导数及其应用优秀课件

导数及其应用导数及其应用1◆导数Derivative的概念函数自变量函数导数其它形式◆导数Derivative的概念函数自变量函2例题设，求解所以如果将式中的定点x=2改为任意点x,则有如下结果其结果表示是x的函数，称之为导函数。例题设，求3◆基本导数公式记熟、记牢、记准◆基本导数公式记熟、记牢、记准4◆函数的和差积商的求导法则你记住了吗？特别◆函数的和差积商的求导法则你记住了吗？特别5例1设解例2解例1设解例2解6

例3设解练一练求下列函数的导数例3设解练一练求下列函数的导数7◆复合函数的求导法则推广链式法则ChainRule◆复合函数的求导法则推广链式法则8

也可以不写出中间变量例6设例7设解解因为所以可分解为所以代入也可以不写出中间变量例6设例7设解解因为所以9由外及里，环环相扣例8设解由外及里，环环相扣例8设解10练一练求下列函数的导数练一练求下列函数的导数11例9例10解解例9例10解解12练一练求下列函数的导数练一练求下列函数的导数13◆高阶导数

——导函数的导数函数一阶导数二阶导数三阶导数n阶导数◆高阶导数——导函数的导数函数14练一练求下列函数的二阶导数解练一练求下列函数的二阶导数解15◆隐函数的导数隐函数的求导方法——将方程两边同时对自变量x求导。将方程两边同时对x

求导，得：解所以注意：y是x的函数，则y的函数f(y)视为x的复合函数。例12求由方程确定的隐函数的导数◆隐函数的导数隐函数的求导方法——将方程两边同时对自变量x求16解将方程两边同时对

x求导，得：因为当x=0时，从原方程可以解得y=0所以例求由方程所确定的隐函数的导数解将方程两边同时对x求导，得：因为当x=017解将方程两边同时对x

求导，得：注意：y是x的函数，siny则是x的复合函数。例求由方程所确定的隐函数的导数解将方程两边同时对x求导，得：注意：y是x的函数，s18◆幂指函数的导数两边取对数，得将方程两边同时对

x

求导（注意y

是x的函数）得：解法2解法1转化为初等函数，直接求导法转化为隐函数，对数求导法例14◆幂指函数的导数两边取对数，得将方程两边同时对x求导（注19一般地，幂指函数的求导，可有两种方法，都可得到一般公式：如练习设解答一般地，幂指函数20◆对数求导法两边取对数，得两边对x

求导（注意y是x的函数）得：对数求导法常用于幂指函数和以乘、除、乘方、开方运算为主的函数的求导。例15解◆对数求导法两边取对数，得两边对x求导（注意y是x21练一练解练一练解22◆由参数方程所确定的函数的导数注意一阶导数也是t的函数◆由参数方程所确定的函数的导数注意一阶导数也是t的函数23求由摆线的参数方程所确定的函数的一阶导数。解例16求由摆线的参数方程所确定的函数的一阶导数。24练习解练习解25练一练解练一练解26◆单侧导数

左导数

右导数函数在点x0处可导左导数和右导数都存在，并且相等。◆单侧导数左导数右导数函数在点27例5已知解因为所以，从而例5已知解因为所以，从而28◆导数的几何意义MxyoT法线是过切点且与切线垂直的直线的切线方程为法线方程为◆导数的几何意义MxyoT法线是过切点且与切线垂直的直线的切29解根据导数的几何意义，所求切线的斜率为所以，所求切线方程为所求法线的斜率为所求法线方程为例6求双曲线在点处的切线方程和法线方程。即即解根据导数的几何意义，所求切线的斜率为所以，所求切线方程30例曲线在点

处的切线平行于直线例曲线在点

处的切线垂直于直线例曲线在点

处的法线垂直于直线例曲线在点31◆函数的可导性与连续性的关系可导连续连续是可导的必要非充分条件◆函数的可导性与连续性的关系可导连续连续是32故函数在点x=0处连续故函数f(x)=|x|在点x=0不可导解函数f(x)在某点连续，却不一定在该点可导。例7讨论函数在点

的连续性和可导性。不存在故函数在点x=0处连续故函数f(x)=|x|在点33例8设在点可导，求常数的值。

解因为函数在x=2点可导，所以函数在该点连续。所以有又即有（1）例8设在点可导，求常数34所以代入（1）式得所以即为所求。又所以代入（1）式得所以即为35◆函数的微分结论：可导可微，且一般形式导数公式微分公式一一对应◆函数的微分结论：一般形式导数公式36◆复合函数的微分法则和微分形式不变性◆复合函数的微分法则和微分形式不变性37例1解例2解例1解例2解38例3解例3解39例4求由方程确定的隐函数的微分解两边同时微分，得即所以，所求微分为例4求由方程40◆罗尔定理RolleTheorem(2)在开区间内可导；则在内至少存在一点，使

(1)在闭区间上连续(3)

若函数满足：罗尔定理的几何意义连续曲线y=f(x)的弧AB除端点外处处具有不垂直x轴的切线，且两个端点的纵坐标相等，则曲线弧上至少存在一点C，使得曲线在该点处的切线是水平的.xy◆罗尔定理RolleTheorem(2)在开区间内可41例1验证函数在区间上满足罗尔定理，并求出定理中的值。解因为函数在上连续，在内可导，且所以，函数在上满足罗尔定理而令得所以，即为所求的点。例1验证函数42◆拉格朗日中值定理lagrangeTheorem若函数满足：

(2)在开区间内可导；则在内至少存在一点，使

(1)在闭区间上连续；xy几何意义:连续曲线y=f(x)的弧AB除端点外处处有不垂直x轴的切线，则弧上至少至少存在一点，使得曲线在点处的切线平行弦AB。◆拉格朗日中值定理lagrangeTheorem若函数43推论：如果函数f(x)在区间I上的导数恒为零，那末f(x)在区间I上是一个常数例证明证明令则在内满足Lagrange中值定理而所以而所以推论：如果函数f(x)在区间I上的导数恒为零，那末f44由Lagrange中值定理可知例2解因为所以即所以即为所求。练习解答由Lagrange中值定理可知例2解因为所以即所以45构造有关的函数确定应用区间应用Lagrange定理计算导数后的等式转化为不等式例3解所以即所以解题思路：构造有关的函数确定应用区间应用Lagrange定理计算导数后46◆洛必达法则若属类型的极限问题，则可考虑用洛必达法则，如果存在或为，则注意：法则只能解决存在时，未定式的定值问题。即如果

不存在，也不是

，则法则失效。◆洛必达法则若属47例1求下列极限型型型解原式解原式解原式例1求下列极限型型型解原式解原式解原式48例2求极限解这是型的未定式，且当时，所以，原式适当使用等价无穷小替换，再使用洛必达法则，可简化极限运算。练习例2求极限解这是型的未定式，且当49（1）形如的未定式◆其它形式的未定式的定值解题方法：将未定式变形例3求极限解原式（1）形如的未定式◆其它形式的未定式的定值解题方法50（2）形如的未定式◆其它形式的未定式的定值解题方法：将未定式变形例4求极限解原式（2）形如的未定式◆其它形式的未定式的定值解题方51（3）形如的未定式◆其它形式的未定式的定值

解题方法：将未定式先取自然对数、变形，再按情形（1）处理（3）形如的未定式◆其它形式的未定式的定52例5求极限解令则所以而例5求极限解令则所以而53例6求极限解令则而所以例6求极限解令则而所以54解令例7求极限则所以所以解令例7求极限则所以所以55练习求下列极限（提示：利用等价无穷小替换）练习求下列极限（提示：利用等价无穷小替换）56◆函数的单调性yxoabyoabx函数单调递增，则函数单调递减，则由Lagrange中值定理：于是有函数单调性的判别定理◆函数的单调性yxoabyoabx函数单调递增，则函数单调57◆函数单调性的判别定理（1）如果函数在内有，则函数在上是单调递增的。（2）如果函数在内有，则函数在上是单调递减的。例1判别函数的单调性。解因为所以，函数在内是单调递增的。设函数在上连续，在内可导，则◆函数单调性的判别定理（1）如果函数58例2求函数的单调区间解因为令得驻点列表讨论+0_0+3-1所以，函数在及内单调增加，在内单调减少。例2求函数59例3求函数的单调区间解因为当时，不存在当时，，当时，所以，函数在内单调增加，在内单调减少。

小结：驻点（使一阶导数为零的点）或一阶导数不存在的点可将单调区间分开。例3求函数的单调区间解60小结：求函数的单调区间的一般方法：（1）求函数的一阶导数；（2）找出所有的驻点及一阶导数不存在的点；（3）将上述点插入到定义域，分区间确定一阶导数的符号；（4）根据单调性的判别定理，确定单调区间。小结：61例4证明不等式证明令则所以，当时，不等式成立。例4证明不等式证明令则所以，当62◆函数的极值极值的概念：如果函数在点的某邻域内有定义，对于该邻域内任意异于点的，都有，则称为函数的一个极小值；如果有，则称为函数的一个极大值。极大值和极小值统称为函数的极值。使函数取得极值的点称为函数的极值点。由于函数在不同的区间的单调性不同，因而在图象上会出现“峰”与“谷”，使函数值在局部范围内出现“最大”、“最小”，称之为函数的极大、极小值。例如-13◆函数的极值极值的概念：如果函数在点63

函数的极值是一个局部特性，最值是全局特性（1）函数在某个区间内可能既无极大值，也无极小值；如函数Y=x在区间[1，2]内既无极大值，也无极小值。（2）可以缺少其一；如y=x2在区间[-1，2]内，只有极小值。（3）极小值可以大于极大值，如某种股票的交易价格函数；（4）极值一定在区间内部取得。◆函数的极值说明函数的极值是一个局部特性，最值是全局特性◆函64◆极值存在的必要条件（费马定理）如果函数在点处可导，且在点处有极值，则导数为零的点称为函数的驻点。函数在可导点取得极值时，则在该点的切线平行于x轴。函数的极值点是驻点或导数不存在的点。费马定理的逆定理不成立。◆极值存在的必要条件（费马定理）如果函数65◆极值存在的第一充分条件设函数在点的某个邻域内可导（点可除外）则在点处取得极大值；则在点处取得极小值；则在点处无极值；◆极值存在的第一充分条件设函数66例1求函数的极值解因为令得驻点列表讨论+极小值极大值0_0+3-1所以，函数有极大值，有极小值。一阶导数由正到负，函数过极大值；一阶导数由负到正，函数过极小值。例1求函数67例2求函数的极值解因为当时，不存在当时，，当时，

小结：驻点或一阶导数不存在的点，可能是函数的极值点，必须按第一充分条件进行判别。所以，函数有极小值。例3求函数的极值解因为所以，函数无极值。（虽然有）例2求函数的极值解68↗极小值-1/2↘极大值0↗+0_不存在+(1,+∞)1(0,1)0(-∞,0)单调增区间为(-∞,0)和(1,+∞)单调减区间为(0,1)f(0)=0为极大值；f(1)=-1/2为极小值

o1练习解↗极小值↘极大值0↗+0_不存在+(1,+∞)1(0,1)069◆极值存在的第二充分条件◆极值存在的第二充分条件70例4求函数的极值解因为所以，函数有驻点而所以所以，函数有极大值，有极小值。注意：当函数的二阶导数较易求，且二阶导数不为零时，使用第二充分条件判别极值较易；而二阶导数为零的点，必须用第一充分条件判别。例4求函数71◆函数的最大值与最小值由极小值的特性，可知：极小值最小值；极大值最大值已有结论：如果函数在[a,b]上连续，则函数在该区间上一定有最大值和最小值。求函数最值的一般步骤与方法（1）求函数的导数；（2）在给定区间（或定义域）内找出所有的驻点及一阶导数不存在的点；（3）计算函数在上述点处的函数值，以及在端点处的函数值，并比较其大小，其中最大者即为函数在区间上的最大值；最小者即为函数在区间上的最小值。◆函数的最大值与最小值由极小值的特性，可知：极小值72例5求函数在上的最值。解因为令得而所以函数在上的最大值是最小值是例5求函数73◆曲线的凹凸向及拐点

yxoabyoabx

定义如果曲线弧总位于它的每一点的切线的上方，则称该曲线弧是（向上）凹的（concave)；如果曲线弧总位于它的每一点的切线的下方，则称该曲线弧是（向上）凸的(convex)凹弧凸弧凹、凸弧的分界点，称为曲线的拐点(inflectionpoint)。

◆曲线的凹凸向及拐点yxoabyoabx定义74◆凹凸弧的判别定理定理设函数在区间上具有二阶导数，则在该区间上：（1）当时，曲线弧是向上凹的；（2）当时，曲线弧是向上凸的。◆凹凸弧的判别定理定理设函数在区间75例1试证明函数的图形是处处向上凹的。所以，函数的图形在内是向上凹的。证明函数的定义域为判断曲线y=lnx的凹凸性内是凸的。解答例1试证明函数76解函数的定义域为例2求曲线的凹凸区间及拐点。令得列表因为解函数的定义域为例2求曲线77所以，曲线在及内是向上凹的，在内是向上凸的，有拐点及。解函数的定义域为例2求曲线的凹凸区间及拐点。令得因为所以，曲线在及78例3求曲线的凹凸区间及拐点。解因为所以，当时，，当时，所以，曲线在内是向上凹的，在内是向上凸的。有拐点。例3求曲线的凹凸区间及拐点79

85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰·B·塔布]86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔·卡内基]87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯]88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森]90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。――[兰斯顿·休斯]92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。――[玛科斯·奥雷利阿斯]93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。[约翰·纳森·爱德瓦兹]94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。――[约翰·拉斯金]95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。――[威廉·班]96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。――[萧伯纳]97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁格]98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。――[英国哲学家培根]99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。――[马塞尔·普劳斯特]100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。――[罗丹]101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。――[托尔斯泰]102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候――。[叔本华]103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。――[梭罗]104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。――[威廉·彭]105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。――[戴尔·卡内基]106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。――[约翰·罗伯克]107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。――[撒母耳·厄尔曼]108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。――[卡雷贝·C·科尔顿]109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。――[戴尔·卡内基]110.每天安静地坐十五分钟·倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。――[艾瑞克·佛洛姆]111.你知道何谓沮丧---就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。－－[坎伯]112.「伟大」这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。――[布鲁克斯]113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。――[罗根·皮沙尔·史密斯]114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。――[阿萨·赫尔帕斯爵士]115.旅行的精神在于其自由，完全能够随心所欲地去思考.去感觉.去行动的自由。――[威廉·海兹利特]116.昨天是张退票的支票，明天是张信用卡，只有今天才是现金；要善加利用。――[凯·里昂]117.所有的财富都是建立在健康之上。浪费金钱是愚蠢的事，浪费健康则是二级的谋杀罪。――[B·C·福比斯]118.明知不可而为之的干劲可能会加速走向油尽灯枯的境地，努力挑战自己的极限固然是令人激奋的经验，但适度的休息绝不可少，否则迟早会崩溃。――[迈可·汉默]119.进步不是一条笔直的过程，而是螺旋形的路径，时而前进，时而折回，停滞后又前进，有失有得，有付出也有收获。――[奥古斯汀]120.无论那个时代，能量之所以能够带来奇迹，主要源于一股活力，而活力的核心元素乃是意志。无论何处，活力皆是所谓“人格力量”的原动力，也是让一切伟大行动得以持续的力量。――[史迈尔斯]121.有两种人是没有什么价值可言的：一种人无法做被吩咐去做的事，另一种人只能做被吩咐去做的事。――[C·H·K·寇蒂斯]122.对于不会利用机会的人而言，机会就像波浪般奔向茫茫的大海，或是成为不会孵化的蛋。――[乔治桑]123.未来不是固定在那里等你趋近的，而是要靠你创造。未来的路不会静待被发现，而是需要开拓，开路的过程，便同时改变了你和未来。――[约翰·夏尔]124.一个人的年纪就像他的鞋子的大小那样不重要。如果他对生活的兴趣不受到伤害，如果他很慈悲，如果时间使他成熟而没有了偏见。――[道格拉斯·米尔多]125.大凡宇宙万物，都存在着正、反两面，所以要养成由后面.里面，甚至是由相反的一面，来观看事物的态度――。[老子]126.在寒冷中颤抖过的人倍觉太阳的温暖，经历过各种人生烦恼的人，才懂得生命的珍贵。――[怀特曼]127.一般的伟人总是让身边的人感到渺小；但真正的伟人却能让身边的人认为自己很伟大。――[G.K.Chesteron]128.医生知道的事如此的少，他们的收费却是如此的高。――[马克吐温]129.问题不在于：一个人能够轻蔑、藐视或批评什么，而是在于：他能够喜爱、看重以及欣赏什么。――[约翰·鲁斯金]导数及其应用优秀课件80导数及其应用导数及其应用81◆导数Derivative的概念函数自变量函数导数其它形式◆导数Derivative的概念函数自变量函82例题设，求解所以如果将式中的定点x=2改为任意点x,则有如下结果其结果表示是x的函数，称之为导函数。例题设，求83◆基本导数公式记熟、记牢、记准◆基本导数公式记熟、记牢、记准84◆函数的和差积商的求导法则你记住了吗？特别◆函数的和差积商的求导法则你记住了吗？特别85例1设解例2解例1设解例2解86

例3设解练一练求下列函数的导数例3设解练一练求下列函数的导数87◆复合函数的求导法则推广链式法则ChainRule◆复合函数的求导法则推广链式法则88

也可以不写出中间变量例6设例7设解解因为所以可分解为所以代入也可以不写出中间变量例6设例7设解解因为所以89由外及里，环环相扣例8设解由外及里，环环相扣例8设解90练一练求下列函数的导数练一练求下列函数的导数91例9例10解解例9例10解解92练一练求下列函数的导数练一练求下列函数的导数93◆高阶导数

——导函数的导数函数一阶导数二阶导数三阶导数n阶导数◆高阶导数——导函数的导数函数94练一练求下列函数的二阶导数解练一练求下列函数的二阶导数解95◆隐函数的导数隐函数的求导方法——将方程两边同时对自变量x求导。将方程两边同时对x

求导，得：解所以注意：y是x的函数，则y的函数f(y)视为x的复合函数。例12求由方程确定的隐函数的导数◆隐函数的导数隐函数的求导方法——将方程两边同时对自变量x求96解将方程两边同时对

x求导，得：因为当x=0时，从原方程可以解得y=0所以例求由方程所确定的隐函数的导数解将方程两边同时对x求导，得：因为当x=097解将方程两边同时对x

求导，得：注意：y是x的函数，siny则是x的复合函数。例求由方程所确定的隐函数的导数解将方程两边同时对x求导，得：注意：y是x的函数，s98◆幂指函数的导数两边取对数，得将方程两边同时对

x

求导（注意y

是x的函数）得：解法2解法1转化为初等函数，直接求导法转化为隐函数，对数求导法例14◆幂指函数的导数两边取对数，得将方程两边同时对x求导（注99一般地，幂指函数的求导，可有两种方法，都可得到一般公式：如练习设解答一般地，幂指函数100◆对数求导法两边取对数，得两边对x

求导（注意y是x的函数）得：对数求导法常用于幂指函数和以乘、除、乘方、开方运算为主的函数的求导。例15解◆对数求导法两边取对数，得两边对x求导（注意y是x101练一练解练一练解102◆由参数方程所确定的函数的导数注意一阶导数也是t的函数◆由参数方程所确定的函数的导数注意一阶导数也是t的函数103求由摆线的参数方程所确定的函数的一阶导数。解例16求由摆线的参数方程所确定的函数的一阶导数。104练习解练习解105练一练解练一练解106◆单侧导数

左导数

右导数函数在点x0处可导左导数和右导数都存在，并且相等。◆单侧导数左导数右导数函数在点107例5已知解因为所以，从而例5已知解因为所以，从而108◆导数的几何意义MxyoT法线是过切点且与切线垂直的直线的切线方程为法线方程为◆导数的几何意义MxyoT法线是过切点且与切线垂直的直线的切109解根据导数的几何意义，所求切线的斜率为所以，所求切线方程为所求法线的斜率为所求法线方程为例6求双曲线在点处的切线方程和法线方程。即即解根据导数的几何意义，所求切线的斜率为所以，所求切线方程110例曲线在点

处的切线平行于直线例曲线在点

处的切线垂直于直线例曲线在点

处的法线垂直于直线例曲线在点111◆函数的可导性与连续性的关系可导连续连续是可导的必要非充分条件◆函数的可导性与连续性的关系可导连续连续是112故函数在点x=0处连续故函数f(x)=|x|在点x=0不可导解函数f(x)在某点连续，却不一定在该点可导。例7讨论函数在点

的连续性和可导性。不存在故函数在点x=0处连续故函数f(x)=|x|在点113例8设在点可导，求常数的值。

解因为函数在x=2点可导，所以函数在该点连续。所以有又即有（1）例8设在点可导，求常数114所以代入（1）式得所以即为所求。又所以代入（1）式得所以即为115◆函数的微分结论：可导可微，且一般形式导数公式微分公式一一对应◆函数的微分结论：一般形式导数公式116◆复合函数的微分法则和微分形式不变性◆复合函数的微分法则和微分形式不变性117例1解例2解例1解例2解118例3解例3解119例4求由方程确定的隐函数的微分解两边同时微分，得即所以，所求微分为例4求由方程120◆罗尔定理RolleTheorem(2)在开区间内可导；则在内至少存在一点，使

(1)在闭区间上连续(3)

若函数满足：罗尔定理的几何意义连续曲线y=f(x)的弧AB除端点外处处具有不垂直x轴的切线，且两个端点的纵坐标相等，则曲线弧上至少存在一点C，使得曲线在该点处的切线是水平的.xy◆罗尔定理RolleTheorem(2)在开区间内可121例1验证函数在区间上满足罗尔定理，并求出定理中的值。解因为函数在上连续，在内可导，且所以，函数在上满足罗尔定理而令得所以，即为所求的点。例1验证函数122◆拉格朗日中值定理lagrangeTheorem若函数满足：

(2)在开区间内可导；则在内至少存在一点，使

(1)在闭区间上连续；xy几何意义:连续曲线y=f(x)的弧AB除端点外处处有不垂直x轴的切线，则弧上至少至少存在一点，使得曲线在点处的切线平行弦AB。◆拉格朗日中值定理lagrangeTheorem若函数123推论：如果函数f(x)在区间I上的导数恒为零，那末f(x)在区间I上是一个常数例证明证明令则在内满足Lagrange中值定理而所以而所以推论：如果函数f(x)在区间I上的导数恒为零，那末f124由Lagrange中值定理可知例2解因为所以即所以即为所求。练习解答由Lagrange中值定理可知例2解因为所以即所以125构造有关的函数确定应用区间应用Lagrange定理计算导数后的等式转化为不等式例3解所以即所以解题思路：构造有关的函数确定应用区间应用Lagrange定理计算导数后126◆洛必达法则若属类型的极限问题，则可考虑用洛必达法则，如果存在或为，则注意：法则只能解决存在时，未定式的定值问题。即如果

不存在，也不是

，则法则失效。◆洛必达法则若属127例1求下列极限型型型解原式解原式解原式例1求下列极限型型型解原式解原式解原式128例2求极限解这是型的未定式，且当时，所以，原式适当使用等价无穷小替换，再使用洛必达法则，可简化极限运算。练习例2求极限解这是型的未定式，且当129（1）形如的未定式◆其它形式的未定式的定值解题方法：将未定式变形例3求极限解原式（1）形如的未定式◆其它形式的未定式的定值解题方法130（2）形如的未定式◆其它形式的未定式的定值解题方法：将未定式变形例4求极限解原式（2）形如的未定式◆其它形式的未定式的定值解题方131（3）形如的未定式◆其它形式的未定式的定值

解题方法：将未定式先取自然对数、变形，再按情形（1）处理（3）形如的未定式◆其它形式的未定式的定132例5求极限解令则所以而例5求极限解令则所以而133例6求极限解令则而所以例6求极限解令则而所以134解令例7求极限则所以所以解令例7求极限则所以所以135练习求下列极限（提示：利用等价无穷小替换）练习求下列极限（提示：利用等价无穷小替换）136◆函数的单调性yxoabyoabx函数单调递增，则函数单调递减，则由Lagrange中值定理：于是有函数单调性的判别定理◆函数的单调性yxoabyoabx函数单调递增，则函数单调137◆函数单调性的判别定理（1）如果函数在内有，则函数在上是单调递增的。（2）如果函数在内有，则函数在上是单调递减的。例1判别函数的单调性。解因为所以，函数在内是单调递增的。设函数在上连续，在内可导，则◆函数单调性的判别定理（1）如果函数138例2求函数的单调区间解因为令得驻点列表讨论+0_0+3-1所以，函数在及内单调增加，在内单调减少。例2求函数139例3求函数的单调区间解因为当时，不存在当时，，当时，所以，函数在内单调增加，在内单调减少。

小结：驻点（使一阶导数为零的点）或一阶导数不存在的点可将单调区间分开。例3求函数的单调区间解140小结：求函数的单调区间的一般方法：（1）求函数的一阶导数；（2）找出所有的驻点及一阶导数不存在的点；（3）将上述点插入到定义域，分区间确定一阶导数的符号；（4）根据单调性的判别定理，确定单调区间。小结：141例4证明不等式证明令则所以，当时，不等式成立。例4证明不等式证明令则所以，当142◆函数的极值极值的概念：如果函数在点的某邻域内有定义，对于该邻域内任意异于点的，都有，则称为函数的一个极小值；如果有，则称为函数的一个极大值。极大值和极小值统称为函数的极值。使函数取得极值的点称为函数的极值点。由于函数在不同的区间的单调性不同，因而在图象上会出现“峰”与“谷”，使函数值在局部范围内出现“最大”、“最小”，称之为函数的极大、极小值。例如-13◆函数的极值极值的概念：如果函数在点143

函数的极值是一个局部特性，最值是全局特性（1）函数在某个区间内可能既无极大值，也无极小值；如函数Y=x在区间[1，2]内既无极大值，也无极小值。（2）可以缺少其一；如y=x2在区间[-1，2]内，只有极小值。（3）极小值可以大于极大值，如某种股票的交易价格函数；（4）极值一定在区间内部取得。◆函数的极值说明函数的极值是一个局部特性，最值是全局特性◆函144◆极值存在的必要条件（费马定理）如果函数在点处可导，且在点处有极值，则导数为零的点称为函数的驻点。函数在可导点取得极值时，则在该点的切线平行于x轴。函数的极值点是驻点或导数不存在的点。费马定理的逆定理不成立。◆极值存在的必要条件（费马定理）如果函数145◆极值存在的第一充分条件设函数在点的某个邻域内可导（点可除外）则在点处取得极大值；则在点处取得极小值；则在点处无极值；◆极值存在的第一充分条件设函数146例1求函数的极值解因为令得驻点列表讨论+极小值极大值0_0+3-1所以，函数有极大值，有极小值。一阶导数由正到负，函数过极大值；一阶导数由负到正，函数过极小值。例1求函数147例2求函数的极值解因为当时，不存在当时，，当时，

小结：驻点或一阶导数不存在的点，可能是函数的极值点，必须按第一充分条件进行判别。所以，函数有极小值。例3求函数的极值解因为所以，函数无极值。（虽然有）例2求函数的极值解148↗极小值-1/2↘极大值0↗+0_不存在+(1,+∞)1(0,1)0(-∞,0)单调增区间为(-∞,0)和(1,+∞)单调减区间为(0,1)f(0)=0为极大值；f(1)=-1/2为极小值

o1练习解↗极小值↘极大值0↗+0_不存在+(1,+∞)1(0,1)0149◆极值存在的第二充分条件◆极值存在的第二充分条件150例4求函数的极值解因为所以，函数有驻点而所以所以，函数有极大值，有极小值。注意：当函数的二阶导数较易求，且二阶导数不为零时，使用第二充分条件判别极值较易；而二阶导数为零的点，必须用第一充分条件判别。例4求函数151◆函数的最大值与最小值由极小值的特性，可知：极小值最小值；极大值最大值已有结论：如果函数在[a,b]上连续，则函数在该区间上一定有最大值和最小值。求函数最值的一般步骤与方法（1）求函数的导数；（2）在给定区间（或定义域）内找出所有的驻点及一阶导数不存在的点；（3）计算函数在上述点处的函数值，以及在端点处的函数值，并比较其大小，其中最大者即为函数在区间上的最大值；最小者即为函数在区间上的最小值。◆函数的最大值与最小值由极小值的特性，可知：极小值152例5求函数在上的最值。解因为令得而所以函数在上的最大值是最小值是例5求函数153◆曲线的凹凸向及拐点

yxoabyoabx

定义如果曲线弧总位于它的每一点的切线的上方，则称该曲线弧是（向上）凹的（concave)；如果曲线弧总位于它的每一点的切线的下方，则称该曲线弧是（向上）凸的(convex)凹弧凸弧凹、凸弧的分界点，称为曲线的拐点(inflectionpoint)。

◆曲线的凹凸向及拐点yxoabyoabx定义154◆凹凸弧的判别定理定理设函数在区间上具有二阶导数，则在该区间上：（1）当时，曲线弧是向上凹的；（2）当时，曲线弧是向上凸的。◆凹凸弧的判别定理定理设函数在区间155例1试证明函数的图形是处处向上凹的。所以，函数的图形在内是向上凹的。证明函数的定义域为判断曲线y=lnx的凹凸性内是凸的。解答例1试证明函数156解函数的定义域为例2求曲线的凹凸区间及拐点。令得列表因为解函数的定义域为例2求曲线157所以，曲线在及内是向上凹的，在内是向上凸的，有拐点及。解函数的定义域为例2求曲线的凹凸区间及拐点。令得因为所以，曲线在及158例3求曲线的凹凸区间及拐点。解因为所以，当时，，当时，所以，曲线在内是向上凹的，在内是向上凸的。有拐点。例3求曲线的凹凸区间及拐点159

85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰·B·塔布]86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔·卡内基]87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯]88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森]90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。――[兰斯顿·休斯]92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。――[玛科斯·奥雷利阿斯]93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。[约翰·