2021年普通高等学校招生全国统一考试甲、乙卷数学试题及参考答案+评析

2021年高考数学全国卷试题评析

+2021年普通高等学校招生全国统一考试

甲、乙卷数学试题及参考答案FMGT整理2Q21年7月TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"2021年高考数学全国卷试题评析 3\o"CurrentDocument"2021年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）理科数学试题 72021年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）理科数学试题参考答案13\o"CurrentDocument"2021年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）文科数学试题 192021年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）文科数学试题参考答案25\o"CurrentDocument"2021年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）理科数学试题 292021年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）理科数学试题参考答案36\o"CurrentDocument"2021年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）文科数学试题 382021年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）文科数学试题参考答案44注：2021年全国甲卷使用地区：四川、广西、云南、贵州、西藏2021年全国甲卷使用地区：安徽、河南、陕西、山西、江西、甘肃、黑龙江、吉林、宁夏、青海、新疆、内蒙古2021年高考数学全国卷试题评析教育部考试中心2021年高考数学全国卷共6套，由教育部考试中心命制,包括全国甲卷2套（文、理科）、全国乙卷2套（文、理科）、新高考I卷1套（不分文理科）、新高考H卷1套（不分文理科）。2021年高考数学全国卷命题，落实高考内容改革总体要求，贯彻德智体美劳全面发展教育方针，聚焦核心素养，突出关键能力考查，体现了高考数学的科学选拔功能和育人导向。试题突出数学本质，重视理性思维，坚持素养导向、能力为重的命题原则；倡导理论联系实际、学以致用，关注我国社会主义建设和科学技术发展的重要成果，通过设计真实问题情境，体现数学的应用价值；稳步推进改革，科学把握必备知识与关键能力的关系，科学把握数学题型的开放性与数学思维的开放性,稳中求新，体现了基础性、综合性、应用性和创新性的考查要求。.发挥学科特色，彰显教育功能2021年高考数学全国卷命题，坚持思想性与科学性的高度统一，发挥数学应用广泛、联系实际的学科特点，命制具有教育意义的试题，以增强考生社会责任感，引导考生形成正确的人生观、价值观、世界观。试题运用我国社会主义建设和科技发展的重大成就作为情境，深入挖掘我国社会经济建设和科技发展等方面的学科素材，引导考生关注我国社会现实与经济、科技进步与发展，增强民族自豪感与自信心，增强国家认同，增强理想信念与爱国情怀。一是关注科技发展与进步。新高考II卷第4题以我国航天事业的重要成果北斗三号全球卫星导航系统为试题情境设计立体几何问题，考查考生的空间想象能力和阅读理解、数学建模的素养。二是关注社会与经济发展。乙卷理科第6题以北京冬奥会志愿者的培训为试题背景，考查逻辑推理能力和运算求解能力。新高考I卷第18题以“一带一路”知识竞赛为背景，考查考生对概率统计基本知识的理解与应用。甲卷文、理科第2题以我国在脱贫攻坚工作取得全面胜利和农村振兴为背景，通过图表给出某地农户家庭收入情况的抽样调查结果，以此设计问题，考查考生分析问题和数据处理的能力。三是关注优秀传统文化。乙卷理科第9题以魏晋时期我国数学家刘徽的著作《海岛算经》中的测量方法为背景，考查考生综合运用知识解决问题的能力，让考生充分感悟到我国古代数学家的聪明才智。新高考I卷第16题以我国传统文化剪纸艺术为背景，让考生体验探索数学问题的过程，重点考查考生灵活运用数学知识分析问题的能力。.坚持开放创新，考查关键能力《深化新时代教育评价改革总体方案》提出，构建引导考生德智体美劳全面发展的考试内容体系，改变相对固化的试题形式，增强试题开放性，减少死记硬背和“机械刷题”现象。2021年高考数学全国卷命题积极贯彻《总体方案》要求，加大开放题的创新力度，利用开放题考查考生数学学科核心素养和关键能力，发挥数学科的选拔功能。一是“举例问题”灵活开放。新高考II卷第14题的答案是开放的，给不同水平的考生提供充分发挥数学能力的空间，在考查思维的灵活性方面起到了很好的作用。乙卷文、理科第16题考查考生的空间想象能力，有多组正确答案，有多种解题方案可供选择。二是“结构不良问题”适度开放。甲卷理科第18题，试题给出部分已知条件,要求考生根据试题要求构建一个命题，充分考查考生对数学本质的理解，引导中学数学在数学概念与数学方法的教学中，重视培养数学核心素养，克服“机械刷题”现象。新高考n卷第22题第（2）问是一道“结构不良问题”，对考生的逻辑推理能力、数学抽象能力、直观想象能力等有很深入的考查，体现了素养导向、能力为重的命题原则。三是''存在问题”有序开放。新高考n卷第18题基于课程标准，重点考查考生的逻辑推理能力和运算求解题能力，在体现开放性的同时，也考查了考生思维的准确性与有序性。新高考I卷第21题第（2）问要求考生运用解析几何的基本思想方法分析问题和解决问题，考查考生在开放的情境中发现主要矛盾的能力。.倡导理论联系实际，学以致用2021年高考数学全国卷命题注重理论联系实际，体现数学的应用价值，并让考生感悟到数学的应用之美。理论联系实际的试题，体现现代科技发展和现代社会生产等方面的特点，有机渗透数学建模、数据分析、逻辑推理等数学核心素养与数学思想方法的应用，对选拔与育人具有积极的意义。一是取材真实情境，解决实践问题。新高考II卷第21题取材于生命科学中的真实问题，考查数学抽象、直观想象、逻辑推理等数学核心素养，体现了基础性、综合性、应用性、创新性的考查要求。甲卷理科第8题以测量珠穆朗玛峰高程的方法之 三角高程测量法为背景设计，要求考生能正确应用线线关系、线面关系、点面关系等几何知识构建计算模型，情境真实，突出理论联系实际，二是关注青少年身心健康。身心健康是素质教育的核心内容，在高考评价体系的核心价值指标体系中，包含有健康情感的指标，要求考生具有健康意识，注重增强体质，健全人格，锻炼意志。2021年高考数学试题对此也有所体现，如甲卷理科第4题（文科第6题），以社会普遍关注的青少年视力问题为背景，重点考查考生的数学理解能力和运算求解能力。三是关注现实生产生活。乙卷文、理科第17题，以芯片生产中的刻蚀速率为原型，设计了概率统计的应用问题，考查考生对平均数、方差等知识的理解和应用，引导考生树立正确的人生观、价值观。新高考n卷第6题，以某物理量的测量为背景，考查正态分布基本知识的理解与应用，引导考生重视数学实验，重视数学的应用。总之，2021年高考数学全国卷试题很好地落实了立德树人、服务选才、引导教学的高考核心功能，同时突出数学学科特色，发挥了高考数学科的选拔功能，对深化中学数学教学改革发挥了积极的导向作用。2021年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）

理科数学试题（使用地区：四川、广西、云南、贵州、西藏）1.设集合M={x[0<x<4},N=< >,则A/nN=（ ）A.C.|x|4<x<5|B.x-<x<4>3DA.C.|x|4<x<5|B.x-<x<4>3D.{x|0<x<5|为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入调2.根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（ ）A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间.已知（l-i）2z=3+2i,则2=（ ）.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据上和小数记录表的数据，的满足L=5+lgV.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据为（ ）（啊«1.259）A.1.5 B,1.2 C.0.8 D.0.65.已知月，工是双曲线C的两个焦点，夕为。上一点，且/百产6=60。,归用=3|尸身，则。的离心率为（ ）A.a B.叵 C.y/l D.V132 26.在一个正方体中，过顶点力的三条棱的中点分别为其F,G.该正方体截去三棱锥4-ERG后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（）7.等比数列7.等比数列｛4｝的公比为g,前〃项和为5.，设甲：q>0,乙：｛S.｝是递增数列，则（ ）A.甲是乙充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8.2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m）,三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图，现有4B,C三点，且4B,。在同一水平面上的投影A', 满足NAC®=45。，NAEC'=60。.由。点测得6点的仰角为15。，88,与CU的差为100；由6点测得力点的仰角为45。，则力，，两点到水平面AB'C的高度差A4'-CC约为（6x1.732）（ ）A346B.A346B.373C.446D.4739.若9.若a£[O,yj,tan2a=cosa--:—,则tana=(2-sinaA岳Z1. B.—5「邪 n715153310.将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）12△2 r4A.B.-C.- D.353I11.已如4B,。是半径为1球。的球面上的三个点，且AC_LBC,AC=BC=1,则三棱锥TOC\o"1-5"\h\z。-ABC的体积为（ ）A.正 B・立 C・立 D.B12 12 4 4.设函数/（力定义域为R,/（x+1）为奇函数，/（x+2）为偶函数，当xe［l,2］时，f（x）=ax2+b.若/（0）+/（3）=6,则/《卜（ ）, 9 c 3 八 7 八5A. 一一 B. 一一 C. - D.-4 2 4 2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分..曲线旷=、7在点（-1，-3）处的切线方程为 .x+2.已知向量a=（3,l）,B=（l,O）,c=a+%B.若£_|_£,贝!］上=..已知£,工为椭圆G二+二=1的两个焦点，P,0为C上关于坐标原点对称的两点，且164|PQ|=|耳段，则四边形「耳。巴的面积为..已知函数〃x）=2cos（0x+°）的部分图像如图所示，则满足条件八*）一/（一个））（/（幻一/（普力＞0的最小正整数x为-三、解答题：共70分.解答应写出交字说明、证明过程或演算步骤，第17〜21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.(―)必考题：共60分..甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一■级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：一■级品二级品合计甲机床15050200乙机床12080200合计270130400(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？(2)能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?出犬= 〃(加―⑹ (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P（K2>k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828.已知数列｛《,｝的各项均为正数，记S”为｛《,｝的前〃项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.①数列｛。,,｝是等差数列：②数列｛底｝是等差数列；③。2=3%.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分..已知直三棱柱A8C—4月0中，侧面A4/R为正方形，AB=BC=2,£,b分别为AC和CG的中点，〃为棱A耳上的点.(1)证明：BF±DE；(2)当耳。为何值时，面与面。尸E所成的二面角的正弦值最小?.抛物线C的顶点为坐标原点。.焦点在x轴上，直线/：x=l交C于只0两点，且OP，OQ.已知点M(2,0),且。/与/相切.(1)求C,0M的方程；(2)设A，4,4是C上的三个点，直线AA2,4人3均与。M相切.判断直线4A3与。加的位置关系，并说明理由..已知。>0且函数/(x)=±~(x>0).ax(1)当”=2时，求/(力的单调区间；(2)若曲线y=/(x)与直线y=i有且仅有两个交点，求a的取值范围.(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.［选修4-4：坐标系与参数方程］(10分).在直角坐标系xQv中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线。的极坐标方程为p=2&cose.(1)将C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点力的直角坐标为(1,0)为。上的动点，点一满足所=0而，写出尸的轨迹G的参数方程，并判断。与G是否有公共点.［选修4-5：不等式选讲］(10分).已知函数/。)=卜-2|送(幻=|2*+3|-|21-1］.17)(1)画出y=/(x)和y=g(x)的图像；(2)若/a+a)Ng(x),求a的取值范围.2021年普通高等学校招生全国统一考试(全国甲卷)

理科数学试题参考答案1——12BCBCADBBACAD13.5x-y+2=O14T.315.816.217(1)75%；60%； (2)能.选①②作条件证明③时，可设出底，结合的关系求出勺，利用｛勺｝是等差数列可证生=3q；选①③作条件证明②时，根据等差数列的求和公式表示出£,结合等差数列定义可证；选②③作条件证明①时，设出后=曲+〃，结合4，S”的关系求出应，根据4=3“可求b,然后可证｛4｝是等差数列.【详解】选①②作条件证明③：设=an+b(a>0),则S“=(a〃+b)2,当〃=1时，q=S[=(a+61；当〃N2时，an=Sn-Sn_,=(a〃+b1-(an-a+b)2=a(2an-a+2b)；因为｛4｝也是等差数列，所以(a+0)2=a(2a-a+2b),解得人=0；所以="(2〃-1),所以4=3q.选①③作条件证明②：因为生=3囚，｛《,｝是等差数列，所以公差4=生-％=2%,所以S“=W]+〃"；"d="Z，即4^=日〃，因为yJSn+i— (〃+1)— ，所以｛后｝是等差数列.选②③作条件证明①：设y[^=an+b(a>0),则S“=(〃〃+力)2,当〃=1时，a]=Sj=(〃+〃)“；当〃22时，an-Sn_5〃_]=(〃〃+/?)'—(〃〃一=a(2n〃-a+2Z?)；) 4/7因为4=3%,所以a(3a+2》)=3(a+b)-,解得力=0或6=--—；当人=0时，4=/,4=。2(2〃_1),当〃N2时，4-4」=2/满足等差数列的定义，此时｛4｝为等差数列；当6=-■■时,>/\=an+b=an-^a,7^"=-1<0不合题意，舍去.综上可知｛4｝为等差数列.(1)见解析；(2)与。=；【解析】【分析】通过已知条件，确定三条互相垂直的直线，建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量证明线线垂直和求出二面角的平面角的余弦值最大，进而可以确定出答案.【详解】因为三棱柱是直三棱柱，所以底面ABC,所以网_LAB因为A81//A6,BFlA^,所以BE_LAB,又BB】cBF=B,所以43，平面8。£耳.所以BA,BC,8B1两两垂直.以8为坐标原点，分别以BA8C8与所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图.所以6（0,0,0）,A（2,0,0）,C（0,2,0）,耳（0,0,2）,A（2,0,2）,C,（0,2,2）,矶1,1,0）,尸（0,2,1）.由题设Q（a,0,2）（0<a<2）.(1)因为旃=(0,2,1),诙=(1一/1,一2),所以旃.诙=0x(l-a)+2xl+lx(_2)=0,所以8尸(2)设平面。尸£的法向量为蓝=(x,y,z),因为访=(一1,1,1),诙=(1一。』,一2),fin-EF-0 1―x+y+z=0[fn-DE=Q[(l-a)x+y-2z=0令z=2—a,贝ij所=(3,l+a,2-a)因为平面BCG用的法向量为丽=(2,0,0),设平面BCC^与平面DEF的二面角的平面角为。，.Im-BAl 6 3则cos^=J।।_= , ——=] :.网网2xy/2a ?7当。=—时，2a2一2。+4取最小值为二， ?7当。=—时，2a2一2。+4取最小值为二， 2二瓜此时cos。取最大值为『7一日".此时4o=g.(1)抛物线C:y2=x,0M方程为(x-2>+y2=i；(2)相切，理由见解析【分析】(1)根据已知抛物线与x=l相交，可得出抛物线开口向右，设出标准方程，再利用对称性设出P，Q坐标，由OP_LQ2,即可求出P；由圆M与直线x=l相切，求出半径，即可得出结论；(2)先考虑44斜率不存在，根据对称性，即可得出结论；若斜率存在，由4,4,&三点在抛物线上，将直线斜率分别用纵坐标表示，再由44小&与圆M相切，得出%+%，%,%与%的关系，最后求出M点到直线44的距离，即可得出结论.(1)上单调递增；W，+8]上单调递减；(2)。,6)口(4”).(1)(x-V2)2+y2=2；(2).的轨迹G的参数方程为卜=：二：+2c°s,为参数)，c\ 7 [y=2sin夕与C1没有公共点.(1)图像见解析；(2)a>^-2【解析】【分析】(1)分段去绝对值即可画出图像；(2)根据函数图像数形结和可得需将y=/(x)向左平移可满足同角，求得y=/(x+a)过时a的值可求.【详解】(1)可得f(x)=|x—2|=F-：'「：，画出图像如下:[x-2,x22y-4,一』23画出函数图像如下:g(x)—|2x+-12x-1|—<4x+2,—-<x<—画出函数图像如下:4,x>-2如图，在同一个坐标系里画出〃x),g(x)图像，y=〃x+a)是y=/⑺平移了个单位得到，则要使/(x+a)2g(x),需将y=/(x)向左平移，即。＞0,当y当y=/(x+a)过拈，4)时,《+”2|=4,解得叫日或-《(舍去),则数形结合可得需至少将y=/(x)向左平移3个单位，,a2日.绝密★启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）

文科数学试题（使用地区：四川、广西、云南、贵州、西藏）注意事项：.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上..回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效..考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的..设集合M={l,3,5,7,9},N={x|2x>7},则MQN=（ ）A.{7,9} B.{5,7,9} C.{3,5,7,9} D.{1,3,5,7,9}.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（ ）A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%

C.估计该地农户家庭年收入平均值不超过6.5万元D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间TOC\o"1-5"\h\z.已知（l—i>z=3+2i,则2=（ ）3 3 3A.-l--z B.-l+-z C.--+i2 2 2.下列函数中是增函数的为（ ）.点（3,0）到双曲线三-5=1一条渐近线的距离为（ ）1699 8 6 4A.— B.- C.— D.一5 5 5 5.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据/和小数记录表的数据/的满足L=5+lgV.己知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据为（ ）（而a1.259）A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6.在一个正方体中，过顶点力的三条棱的中点分别为其F,G.该正方体截去三棱锥A-EFG后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（）在aABC中，已知3=120°,AC=®AB=2,则8C=(C.y/59.记5“为等比数列｛a.｝前〃项和.若s?=4,S4=6,则56=（

10.将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）A.0.3B.0.5, cosaC.0.6D.0.811.若aw0, ,tan2a- .12J 2-sina，则tana=()A.V15TTR石D. 5C.此3D.叵3A.7B.8C.9D.1012.设/（x）是定义域为12.设/（x）是定义域为A的奇函数，且〃1+力=/（一%）.若/二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分..若向量£出满足同=3,卜一目=5,〃・石=1,则，|=..己知一个圆锥的底面半径为6,其体积为30%则该圆锥的侧面积为.15.已知函数/（x）=2cos（5+°）的部分图像如图所示，则/15.16.已知0K为椭圆G； =1的两个焦点，P,。为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|=|耳段,则四边形P-Q玛的面积为.三、解答题：共70分.解答应写出交字说明、证明过程程或演算步骤，第17〜21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.

.甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：一级品二级品合计甲机床15050200乙机床12080200合计270130400(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？n(ad-bc)2(2)能否有99%n(ad-bc)2P(K2>k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828附：K2=(a+与(c+d)(a+c)(h+d).记S“为数列｛%｝的前〃项和，己知。“>0,%=3弓，且数列｛后｝是等差数列，证明：｛勺｝是等差数列..已知直三棱柱ABC-A4G中，侧面A445为正方形，AB=BC=2,E,尸分别为AC和CC；的中点，BF1(1)求三棱锥(1)求三棱锥R-EBC的体积;(2)已知〃为棱A#上的点，证明：BF上DE..设函数/(x)= +以一3山》+1,其中a>0.(1)讨论/(X)的单调性；(2)若y=/(x)的图象与x轴没有公共点，求a的取值范围..抛物线C的顶点为坐标原点"焦点在x轴上，直线/：x=l交C于只。两点，且OPLOQ.已知点M(2,0),且OM与/相切.(1)求C,QM方程；(2)设4，4，43是c上的三个点，直线A4，4A均与OM相切.判断直线&&与0M的位置关系，并说明理由.(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.［选修4-4：坐标系与参数方程］.在直角坐标系X0V中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线。的极坐标方程为P=2yf2cos0.(1)将C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点4的直角坐标为(1,0),M为C上的动点，点夕满足Q=&丽7,写出尸的轨迹£的参数方程,并判断C与G是否有公共点.［选修4-5：不等式选讲］.已知函数/(x)=|x-2|,g(x)=|2x+3|-|2x-l|.

(2)若/(x+a)2g(x),求a的取值范围.2021年普通高等学校招生全国统一考试(全国甲卷)

文科数学试题参考答案1——12BCBDACDDACAC3亚39%16.8(1)75%；60%；(2)能.证明见解析.【分析】先根据病-廓求出数歹U｛底｝的公差d,进一步写出｛底｝的通项，从而求出｛叫的通项公式，最终得证.【详解】•.•数歹U｛底｝等差数列，设公差为4=6-6=斤1-几=石，= + = ,(nGN,)S„=a,n2,(〃eN*).•.当〃N2时，an=Sn-S“_]=a1/一4-1)~=24〃—q当〃=1时，24x1-4=4,满足a“=2的一4,.,•｛。”｝的通项公式为%=24〃-4，(〃62)an—a”” -O])一]2"("-1)—｛叫是等差数列.(l)p(2)证明见解析.【分析】(1)首先求得力。的长度，然后利用体积公式可得三棱锥的体积；(2)将所给的几何体进行补形，从而把线线垂直的问题转化为证明线面垂直，然后再由线面垂直可得题中的结论.【详解】(1)如图所示，连结力E

由题意可得：BF=\lBC2+CF2=>/4+T=V5>由于16,即，BCLAB,BBQBC=B,故AB_L平面BCC",而BFu平面BCC画,故AB上BF,从而有AF=〃^+台尸=14+5=3,AC=\lAF2-CF2=>/9^i=2V2>则AB2+BC2=AC2,：.ABIBC,^ABC为等腰直角三角形，S4bce=5s/\abc=xfx2x2I=1,V^._£BC=—xS^BCEXCF=_xlxl=—.(2)由(1)结论可将几何体补形为一个棱长为2的正方体A8CM-A瓦如图所示，取棱正方形8CG与中，G,P为中点，则5b，与G,又 旦，4用ngG=g,故平面AgG”,而。Eu平面44G”,从而BFA.DE.(1)/(x)的减区间为,增区间为+8)；(2)a>：.2L(1)抛物线C：V=x,0M方程为(x-2)2+/=1；(2)相切，理由见解析⑴(x-0丫+/=2；(2)P的轨迹G的参数方程为卜=3-&+2cos'(。为参数)，。\ 1 [y=2sin8与G没有公共点.(1)图像见解析；(2)a>^2【解析】【分析】(1)分段去绝对值即可画出图像；(2)根据函数图像数形结和可得需将y=/(x)向左平移可满足同角，求得y=/(x+a)过4卜寸a的值可求.【详解】(1)可得f(x)=|x-2]=12-："<:，画出图像如下：%—2,x>2^(x)=|2^+3|-|2x-l|=*4x+2,-1<x<-1,画出函数图像如下:(2)/(工+。)=|尤+。一2|,如图，同一个坐标系里画出/(x),g(x)图像，y=/(x+a)是y=平移了同个单位得到，则要使/(x+a)Ng(x)，需将y=/(x)向左平移，即。＞0,当y当y=〃x+a)过梏时,f八21，解得。*或一|(舍去),则数形结合可得需至少将＞=/(x)向左平移3■个单位，，a2日.绝密★启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）

理科数学试题（使用地区：安徽、河南、陕西、山西、江西、甘肃、黑龙江、吉林、宁夏、青海、新疆、内蒙古）注意事项：.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上..回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效..考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.TOC\o"1-5"\h\z1,设2（z+z）+3（z-z）=4+6i,则2=（ ）A.l-2z B.1+2/ C.1+z D.1-/.已知集合5=卜卜=2〃+1,〃€2},T={小=4〃+l,〃wZ},则S?T（ ）A.0 B.S C.T D.Z.已知命题p:3xeR,sinx<l；命题,e|A,>1,则下列命题中为真命题的是（ ）A.pzq B.nP八4 C.pzf D.」（pvq）1—Y4.设函数/（幻:;—,则下列函数中为奇函数的是（ ）+xA. 7（x—1）—1 B. /（x-1）+1 C. f（x+1）—1 D. /（x+l）+l5.在正方体ABC。-ABCQ中，夕为4R的中点，则直线总与A"所成的角为（ ）71 c 兀 c 兀 c 兀A. - B. - C. - D.一2 3 4 6.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）A.60种 B.120种 C.240种 D.480种.把函数y=/（x）图像上所有点的横坐标缩短到原来的g倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移?个单位长度，得至！J函数y=sin[t71的图像，则y（x）=（ ）A.sinXlx2~~12B.sin7112sin(2x—普sin2xH l12右平移?个单位长度，得至！J函数y=sin[t71的图像，则y（x）=（ ）A.sinXlx2~~12B.sin7112sin(2x—普sin2xH l127&在区间。。与a,2）中各随机取i个数，则两数之和大于押概率为（）D-I9.魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高.如图,点E,H,G在水平线AC上,OE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”,GC和E”都称为“表目距”，GC与E”的差称为“表目距的差”则海岛的高AB=（ ）A.表高X表距表目距的差+表局B.表高x表距表目距的差-表高C.表高X表距表目距的差+表距D.表高X表距表目距的差一表距10.A.a<bB.a>bah<a1ab>a2设a*0,若x=a为函数= 的极大值点，则（ ）2 211.设3是椭圆C:鼻+==1（。〉人＞0）的上顶点，若C上的任意一点P都满足IP8区2b,则c

11.的离心率的取值范围是（二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.A.12.设a=21nl.01,B.r1A.12.设a=21nl.01,B.r1£>=In1.02,C.c=VkO4-l.则(D.A.a<b<cB.b<c<aA.a<b<cB.b<c<aC.h<a<cD.c<a<b2.已知双曲线C:工-丁=1(〃?>0)的一条渐近线为6工+叫=0,则。的焦距为.m.已知向量a=(1,3),B=(3,4),若(4一刀)_1_坂，贝!!4=..记aABC内角4B,C的对边分别为a,b,c,面积为6，3=60。，a2^c2=3ac,则b=..以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为(写出符合要求的一组答案即可).图①图②图③图①图②图③三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.(-)必考题：共60分..某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.11029.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为［和亍，样本方差分别记为s：和(1)x>y9$，$2；(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果y— 2、尘+,vio则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高)..如图，四棱锥P—ABCD的底面是矩形，P£>J_底面ABC。，PD=DC=T,M为BC的中点，且(1)求BC；(2)求二面角A— —8的正弦值.2 1.记S〃为数列｛叫的前〃项和，2为数列｛S,,｝的前〃项积，已知不+7=2.13U(1)证明：数列也｝是等差数列;(2)求｛4｝通项公式..设函数/(x)=ln(a-x),已知x=O是函数y=4(x)的极值点.(1)求a；⑵设函数g(x)=^k.证明：g(x)<l..已知抛物线C：f=2〃y(p>0)焦点为尸，且尸与圆M：V+(y+4)2=l上点的距离的最小值为4.(1)求P；(2)若点P在M上，PAP8是C的两条切线，A3是切点，求△PAB面积的最大值.（-）选考题，共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.［选修4-4：坐标系与参数方程］（10分）.在直角坐标系中，OC的圆心为C（2,l）,半径为1.（1）写出OC的一个参数方程；（2）过点尸（4,1）作。。的两条切线.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求这两条切线的极坐标方程.［选修4-5：不等式选讲］（10分）.已知函数/（同=«-&+卜+3］.（1）当。=1时，求不等式的解集;(2)若/(x)>-a,求a取值范围.2021年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）

理科数学试题参考答案.C 2.C3.A4.B5.D6.C7.B8.B9.A10.D11.C12.B13.414T52&③④(答案不唯一)(1)龙=l°$=l03s；=0・036国=03；⑵新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.(1)6;(2)画14TOC\o"1-5"\h\z2 1 2b 3(1)由已知三+二=2得，且2H0,取〃=1,得由题意得九 2编-1 2券…要7="，消积得到项的递推关系产七二导，进而证明数列也｝是等差2瓦-124-12bn-l 2bn+l-1bn数列；f3 ，3，〃=i⑵%=1—7 t\,n~27i(n+l)(1)a=i；(2)由(1)得/(x)=ln(l-x),g⑶='+?(：)「：)！？，工<1且xwO,— ' / xln(l-x)/ 、 x+ln(l— 、当xw(O,l)时，要证g(x)=――7； -<1,vx>0,ln(i-x)<0, /.xln(l-x)<0,即证\ / V1iI—V-1x4-ln(l-x)>xln(l-x)，化简得x+(l-x)ln(l-x)>。；同理，当x«YO,0)时，要证g(x)=—~，<1,.-x<0,ln(l-x)>0,.-.xln(l-x)<0,即证xIn(1—xIx+In(1-x)>xln(1-x),化简得工+(17)111(17)〉0；令〃(x)=x+(l-x)ln(l-x),再令f=lr,则/£(O,l)U(l,y)，x=l-t,令g(r)=l-r+/lnf,g'(r)=-l+lnf+l=lnr,当r«O,l)时,g'(r)<0,g⑺单减,假设g(l)能取到，则g⑴=。，故g«)>g⑴=0；当r«LE)时,g'(f)>0,g⑺单增,假设g⑴能取到，则g⑴=0,故g«)>g⑴=0；综上所述，g(x)=大].)<1在x€(F,0)U(0,1)恒成立(1)p=2；(2)20x/5.(1)]-2+cosa,(&为参数)；(2)2pcos(g+%)=4-6或2qcos(8-工)=4+6.[y=1+sina 3 3(1)(-oo,-4]U[2,+oo).(2)f—|,+ooj.2021年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）

文科数学试题（使用地区：安徽、河南、陕西、山西、江西、甘肃、黑龙江、吉林、宁夏、青海、新疆、内蒙古）注意事项：.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上..回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效..考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的..已知全集〃={1,2,3,4,5},集合M={1,2},N={3,4},则加（MuN）=（）A. {5} B. {1,2} C.{3,4} D. {1,2,3,4}.设iz=4+3i,则z=（）A. —3—4i B. -3+4i C.3—4i D. 3+4i.已知命题〃:HxwR,sinx<l；命题/VrwR,*21，则下列命题中为真命题的是（ ）A.B. 八夕c.。八rD.4.Y函数f(x)=sinq+COS方的最小正周期和最大值分别是（)A.5.3瓦和拉 B若苍y满足约束条件<.3兀和2x+y>4,x-y<2,则2.”3,C.6兀和y/2：=3x+y的最小值为（)I).6兀和2A.6.182 257rcos cos——12 12B.10=()C.6D.4A.J_2t出9. 3「\/2k_x. 2D.27.在区间（0,；随机取1个数，则取到的数小于g的概率为（)3n211A.-B.—C.-D.-43368.下列函数中最小值为4是（)A.—?+2x+4 B.Ex|+|4C.y=2x+22~x D.y=lnx+ Inx1—Y9.设函数/(力二^—,则下列函数中为奇函数的是()a.y(x—1)—1 b.y(x—1)+1c.y(x+i)-1 d.y(x+i)+iTOC\o"1-5"\h\z10.在正方体ABC。-A/CQ中，P为BQ的中点，则直线PB与AR所成的角为（ ）兀 c兀 c兀 c兀A.— B.— C.- D.一2 3 4 6211.设8是椭圆C:?+y2=i的上顶点，点p在。上，则归目的最大值为（）A.- B.y/b C.5/5 D.22.设owO,若工=。为函数〃%）=。（4-。）2（工一6）的极大值点，则（）A.a<b B.a>b C.ah<a2 D.ab>a2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分..已知向量。=（2,5）1=（44）,若a//b，贝！.2 2.双曲线土-匕=1的右焦