材料力学复习(3) (1)课件

材料力学总复习（三）

单元体应力分布二向应力状态分析—解析法三向应力状态分析—图解法广义胡克定理强度理论及其应用重点内容：1、单元体的画法掌握下列图中的A、B、C点的已知单元体。

PPAAsxsxMPxyzBCtzxsxsxBtxztxytyxalSFxzy4321zy4321FSMzT12yxzzy4321FSMzTxzy432132、主单元体、主平面、主应力：主单元体(Principalbody)：各侧面上切应力均为零的单元体。主平面(PrincipalPlane)：切应力为零的截面。主应力(PrincipalStress）：主面上的正应力。主应力排列规定：按代数值大小，

s1s2s3y

xzsxsysz（1）定义单向应力状态：一个主应力不为零的应力状态。

二向应力状态：一个主应力为零的应力状态。三向应力状态：三个主应力都不为零的应力状态。AsxsxtzxsxsxBtxz规定：

与截面外法线同向为正；

ta绕研究对象顺时针转为正；

a逆时针为正。3、任意斜截面上的应力图1xysxtxysyOsytxysxsataaxyOtn图2②极值应力xysxtxysyO（3）分析受扭构件的破坏规律。MC解：确定危险点并画其原始单元体求极值应力txyCtyxMCxyOtxytyx

破坏分析低碳钢铸铁建立应力坐标系，如下图所示，（注意选好比例尺）（1）二向应力圆的画法在坐标系内画出点A(x，xy)

和B(y，yx)

AB与sa

轴的交点C便是圆心。以C为圆心，以AC为半径画圆——应力圆；sxtxysyxyOnsataaOsataCA(sx,txy)B(sy,tyx)x2anD(sa,

ta)4、二向应力圆的画法sxtxysyxyOnsataaOsataCD(sx,txy)D’(sy

,tyx)x2anE(sa,

ta)（2）单元体与应力圆的对应关系面上的应力(，)

应力圆上一点(，)两面夹角

两半径夹角2

；且转向一致。FBs1s2xyzs3（1）、三向应力状态（空间应力状态）xyzABContpxpypznn5、三向应力状态研究——应力圆法（2）三向应力分析弹性理论证明，图a单元体内任意一点任意截面上的应力都对应着图b的应力圆上或阴影区内的一点。图a整个单元体内的最大切应力为：s2s1xyzs3图btmax例：

单元体的应力如图所示,作应力圆,并求出主应力和最大切应力值及其作用面方位.解:

该单元体有一个已知主应力因此与该主平面正交的各截面上的应力与主应力z

无关,依据x截面和y截面上的应力画出应力圆.

求另外两个主应力40MPaxyz20MPa20MPa20MPa（1）各向同性材料的广义胡克定律（1）正应力:拉应力为正,压应力为负1.符号规定(Signconvention)（2）切应力:对单元体内任一点取矩,若产生的矩为顺时针,则τ为正;反之为负（3）线应变:以伸长为正,缩短为负;

（4）切应变:使直角减者为正,增大者为负.xxyzyxyyxz6广义胡克定律上式称为广义胡克定律（GeneralizedHooke’slaw）

——沿x,y,z轴的线应变

——在xy,yz,zx面上的角应变

（2）平面应力状态的广义胡克定理（假设z

=0,xz=0,yz=0）xyzxyxyyxxyxyyx（4）各向同性材料的体积应变123a1a2a3构件每单位体积的体积变化,称为体积应变用q表示.各向同性材料在三向应力状态下的体应变如图所示的单元体,三个边长为dx

,dy

,dz变形后的边长分别为变形后单元体的体积为dx(1+,dy(1+2,dz(1+3

V1=dx(1+·

dy(1+2·

dz(1+3体积应变（volumetricstrain）为①.纯剪切应力状态下的体积应变即在小变形下,切应力不引起各向同性材料的体积改变.②.三向等值应力单元体的体积应变三个主应力为

单元体的体积应变mmm（4）体积应变引出的推论如果变形前单元体的三个棱边成某种比例,由于三个棱边应变相同,则变形后的三个棱边的长度仍保持这种比例.所以在三向等值应力m的作用下,单元体变形后的形状和变形前的相似,称这样的单元体是形状不变的.在最一般的空间应力状态下，材料的体积应变只与三个线应变x

,y,z

有关,仿照上述推导有在任意形式的应力状态下,各向同性材料内一点处的体积应变与通过该点的任意三个相互垂直的平面上的正应力之和成正比,而与切应力无关.23

1图a7复杂应力状态下的应变能密度三个主应力同时存在时,单元体的应变能密度为：用vd

表示与单元体形状改变相应的那部分应变能密度,称为畸变能密度用vV

表示与单元体体积改变相应的那部分应变能密度,称为体积改变能密度23

1图a图

c3

-m

1-m2-mm图bmm称为形状改变应变能密度或歪形能。图

c3

-m

1-m2-m:单元体的应变能密度为：图b例：用能量法证明三个弹性常数间的关系。

纯剪单元体的应变能密度为：

纯剪单元体主应力下应变能密度表示为：txyA138强度理论及其应用轴向拉压弯曲剪切扭转弯曲

切应力强度条件

正应力强度条件（1）简单强度校核（2）材料的许用应力,是通过拉（压）试验或纯剪试验测定试件在破坏时其横截面上的极限应力,以此极限应力作为强度指标,除以适当的安全因数而得,即根据相应的试验结果建立的强度条件.上述强度条件具有如下特点（1）危险点处于单向应力状态或纯剪切应力状态;（1）脆性断裂:无明显的变形下突然断裂.屈服失效

材料出现显著的塑性变形而丧失其正常的工作能力.2.断裂失效（2）韧性断裂:产生大量塑性变形后断裂.（2）材料的破坏形式①最大拉应力（第一强度）理论：

认为构件的断裂是由最大拉应力引起的。当最大拉应力达到单向拉伸的强度极限时，构件就断裂。1）、破坏判据：2）、强度准则：3）、实用范围：实用于破坏形式为脆断的构件。（3）四个强度理论及其相当应力②最大伸长线应变（第二强度）理论：认为构件的断裂是由最大伸长线应变引起的。当最大伸长线应变达到单向拉伸试验下的极限应变时，构件就断裂。1）、破坏判据：2）、强度准则：3）、实用范围：实用于破坏形式为脆断的构件。③最大切应力（第三强度,Tresca）理论：认为构件的屈服是由最大切应力引起的。当最大切应力达到单向拉伸试验的极限切应力时，构件就失效了。1）、破坏判据：3）、实用范围：实用于破坏形式为屈服的构件。2）、强度准则：④畸变能密度（第四强度,Mises）理论：认为构件的屈服是由畸变能密度引起的。即认为无论什么应力状态，只要畸变能密度当畸变能密度达到单向拉伸试验屈服极限时，构件就失效了。1）、破坏判据：2）、强度准则3）、实用范围：实用于破坏形式为屈服的构件。（5）相当应力把各种强度理论的强度条件写成统一形式r

称为复杂应力状态的相当应力.莫尔强度理论是由综合实验结果建立的，主要考虑了材料抗拉和抗压强度不相等的情况。（6）莫尔强度理论1）、破坏判据：3）、实用范围：实用于破坏形式为屈服或断裂的构件。2）、强度准则：（7）强度计算的步骤（1）外力分析:确定所需的外力值;（2）内力分析:画内力图,确定可能的危险面;（3）应力分析:画危面应力分布图,确定危险点并画出单元体,求主应力;（4）强度分析:选择适当的强度理论,计算相当应力,然后进行强度计算.例

在钢材Q235制成的构件中的危险点处取应力状态如图所示。已知钢的[σ]=170MPa,试校核强度。

解：1、计算主应力根据应力状态，分别求出MPaMPaMPa3、分析与讨论根据第三强度理论。该构件安全2、强度理论选用Q235—塑性材料，采用第三或第四强度理论校核1.外力分析

将外力简化并沿主惯性轴分解,将组合变形分解为基本变形,使之每个力（或力偶）对应一种基本变形3.应力分析画出危险截面的应力分布图,利用叠加原理

将基本变形下的应力和变形叠加,建立危险点的强度条件8处理组合变形的基本方法2.内力分析

求每个外力分量对应的内力方程和内力图,确定危险截面.分别计算在每一种基本变形下构件的应力和变形=++=+9拉(压)与弯曲组合一、受力特点杆件将发生拉伸（压缩）与弯曲组合变形作用在杆件上的外力既有轴向拉(压)力,还有横向力二、变形特点FF1

产生弯曲变形F2

产生拉伸变形FyFxFy

产生弯曲变形Fx

产生拉伸变形F1F2F2示例1示例2三、内力分析xyOzMzFN横截面上内力

2.弯曲

1.拉(压):轴力FN

（axialforce）弯矩

Mz

（bendingmoment）剪力Fs（shearforce）因为引起的切应力较小,故一般不考虑.

FS

1、任意点的应力分析：横截面上任意一点（z,y）处的正应力计算公式为：四、应力分析拉伸正应力

弯曲正应力

xyOzMzFN(z,y)综合正应力：轴力图：所以跨中截面是杆的危险截面F1F2F2l/2l/22.危险点的应力分析内力图：弯矩图：xxFN图M图F2F1l/4①危险截面的确定：拉伸正应力最大弯曲正应力杆危险截面下边缘各点处上的拉应力为②计算危险点的应力F1F2F2l/2l/2-当材料的许用拉应力和许用压应力不相等时,应分别建立杆件的抗拉和抗压强度条件.五、强度条件由于危险点处的应力状态仍为单向应力状态,故其强度条件为:例：悬臂吊车如图所示,横梁用20a工字钢制成.其抗弯刚度Wz

=237cm3,横截面面积A=35.5cm2,总荷载F=34kN,横梁材料的许用应力为[]=125MPa.校核横梁AB的强度.FACD1.2m1.2mB30°BADFFRAyFRAxFyFxFNAB30°解：（1）分析AB的受力情况

AB杆为平面弯曲与轴向压缩组合变形

中间截面为危险截面.最大压应力发生在该截面的上边缘（2）压缩正应力（3）最大弯曲正应力（4）危险点的应力FACD1.2m1.2m30°BBADFFRAyFRAxFyFxFNAB30°

10弯曲与扭转研究对象:

圆截面杆受力特点:

杆件同时承受转矩和横向力作用变形特点:

发生扭转和弯曲两种基本变形laABCF一、内力分析

设一直径为d

的等直圆杆AB,B端具有与AB成直角的刚臂.研究AB杆的内力.将力F

向AB

杆右端截面的形心B简化得

横向力F

（引起平面弯曲）

力偶矩M=Fa

（引起扭转）

AB

杆为弯曲与扭转局面组合变形BAFMxlaABCF画内力图确定危险截面固定端A截面为危险截面AAFMMFl二、应力分析危险截面上的危险点为C1

和

C2

点最大扭转切应力发生在截面周边上的各点处.A截面

C3C4

C2C1危险截面上的最大弯曲正应力

发生在C1

、C2

处对于许用拉压应力相等的塑性材料制成的杆,这两点的危险程度是相同的.可取任意点C1

来研究.

C1点处于平面应力状态,该点的单元体如图示TC3C4C2C1C1三、强度分析1.主应力计算C12.相当应力计算

第三强度理论,计算相当力第四强度理论,计算相当应力3.强度校核

该公式适用于图示的平面应力状态.

是危险点的正应力,

是危险点的切应力.且横截面不限于圆形截面讨论C1该公式适用于弯扭组合变形;拉（压）与扭转的组合变形;以及拉（压）扭转与弯