振动力学与结构动力学第二章

第二章单自由度系统的振动节单自由度系统的无阻尼自由振动一、自由振动的解自由振动---由初位移、初速度引起的,在振动中无动荷载作用的振动。分析自由振动的目的---确定体系的动力特性：频率、周期。lEI振动力学与结构动力学第二章共58页，您现在浏览的是第1页!一.运动方程及其解mEIl令二阶线性齐次常微分方程其通解为由初始条件可得令其中振动力学与结构动力学第二章共58页，您现在浏览的是第2页!无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后，其自由振动是以为振动频率的简谐振动，并且永无休止初始条件的说明：初始条件是外界能量转入的一种方式，有初始位移即转入了弹性势能，有初始速度即转入了动能振动力学与结构动力学第二章共58页，您现在浏览的是第3页!

例:图示刚架其横梁的刚度为无限大，柱子的抗弯刚度，梁的质量m=5000kg，不计柱子的轴向变形和阻尼，试计算此刚架的自振频率。思考题：刚架如何振动？关键是求侧移劲度。振动力学与结构动力学第二章共58页，您现在浏览的是第4页!(b)并联情况思考题：并联后系统频率与单个弹簧系统相比有何变化？振动力学与结构动力学第二章共58页，您现在浏览的是第5页!振动力学与结构动力学第二章共58页，您现在浏览的是第6页!例二.求图示体系的自振频率和周期.=1解:mEIllm/2EIEIll例三.质点重W,求体系的频率和周期.解:EIkl1k振动力学与结构动力学第二章共58页，您现在浏览的是第7页!2、超阻尼情况

体系仍不作振动，只发生按指数规律衰减的非周期蠕动，上式也不含简谐振动因子，由于大阻尼作用，受干扰后，偏离平衡位置体系不会产生振动，初始能量全部用于克服阻尼，不足以引起振动。振动力学与结构动力学第二章共58页，您现在浏览的是第8页!考虑阻尼使得结构的自振频率略有减小，亦即使系统的自振周期稍有增大。阻尼影响使振幅按指数规律衰减。结构实际量测表明，对于一般钢筋混凝土杆系结构的阻尼比在0.05左右，拱坝在0.03-0.05，重力坝包括大头坝在0.05-0.10,土坝、堆石坝在0.10-0.20之间。强震时，还会增加一些，但其值也是不大的。即使取0.02代入求得的频率与不考虑阻尼的频率也很接近。因此实际工程结构动力计算时不计阻尼的影响。振动力学与结构动力学第二章共58页，您现在浏览的是第9页!二、阻尼的量测小阻尼解答经过三角转换可写成可以根据自由振动衰减曲线确定阻尼比。考虑两相邻幅值，在ti时刻，yi=Ae-ti;在ti+Td时刻，yi+1=Ae-(ti+Td),定义自然对数递减率y振动力学与结构动力学第二章共58页，您现在浏览的是第10页!振动力学与结构动力学第二章共58页，您现在浏览的是第11页!振动力学与结构动力学第二章共58页，您现在浏览的是第12页!第三节单自由度系统简谐荷载作用下的受迫振动一、无阻尼受迫振动1、无阻尼受迫振动方程解运动方程的解振动力学与结构动力学第二章共58页，您现在浏览的是第13页!动力系数变化曲线振动力学与结构动力学第二章共58页，您现在浏览的是第14页!解：（1）梁的自振频率（2）系统的动力系数想想看还有没有其他方法求自振频率？振动力学与结构动力学第二章共58页，您现在浏览的是第15页!例:图示跨中带有一质体的无重简支梁，受动力荷载作用，若外干扰力频率取不同的值，试求质体的最大动力位移。振动力学与结构动力学第二章共58页，您现在浏览的是第16页!例1求图示体系振幅和动弯矩幅值图，已知动位移、动内力幅值计算计算步骤:1.计算荷载幅值作为静荷载所引起的位移、内力；2.计算动力系数；3.将得到的位移、内力乘以动力系数即得动位移幅值、动内力幅值。mEIEIlPl/4解.Pl/3动弯矩幅值图振动力学与结构动力学第二章共58页，您现在浏览的是第17页![动荷载不作用于质点时的计算]m=1=1令P仍是位移动力系数是内力动力系数吗?运动方程稳态解振幅振动力学与结构动力学第二章共58页，您现在浏览的是第18页!F动弯矩幅值图解:例:求图示体系振幅、动弯矩幅值图.已知mEIl/2l/2FF=1振动力学与结构动力学第二章共58页，您现在浏览的是第19页!二、有阻尼受迫振动1、解的形式式中，、二项由初始条件决定的自由振动，第三、四是荷载作用而伴生的自由振动，第五项为纯受迫振动。前四项自由振动由于阻尼的存在，很快衰减以致消失，最终只存下稳态受迫振动。振动力学与结构动力学第二章共58页，您现在浏览的是第20页!3、系统上各个力的平衡由已知的荷载,以及求得的位移有，振动力学与结构动力学第二章共58页，您现在浏览的是第21页!稳态响应中四个力的平衡振动力学与结构动力学第二章共58页，您现在浏览的是第22页!例.图示为块式基础.机器与基础的质量为;地基竖向刚度为;竖向振动时的阻尼比为机器转速为N=800r/min,其偏心质量引起的离心力为F=30kN.求竖向振动时的振幅。解：振动力学与结构动力学第二章共58页，您现在浏览的是第23页!参照标准形式，可得物体运动规律：由上式可知，当物体较重，且弹簧常数k很小，而悬挂点A振动的频率很高，导致β很大，物体的振幅A→0,物体静止。振动力学与结构动力学第二章共58页，您现在浏览的是第24页!第四节减振与隔振简述一、减振与隔振的常用方法1、找出产生振动的根源，并设法使其消除或减弱2、远离振源3、避免共振4、采用动力消振器主动隔振（隔离振源）消极隔振（隔振材料）振动力学与结构动力学第二章共58页，您现在浏览的是第25页!机器的受迫振动方程为振动力学与结构动力学第二章共58页，您现在浏览的是第26页!第五节一般荷载作用下的响应一、杜哈姆积分和脉冲响应函数任意一般荷载实际上只受初速度的自由振动，以v作为初速度，初位移为零。有解答振动力学与结构动力学第二章共58页，您现在浏览的是第27页!例.求突加荷载作用下的位移，开始时静止，不计阻尼。m解：动力系数为2振动力学与结构动力学第二章共58页，您现在浏览的是第28页!第六节非线性系统的动力响应一、增量型的运动方程式振动力学与结构动力学第二章共58页，您现在浏览的是第29页!从上面两式，可得：振动力学与结构动力学第二章共58页，您现在浏览的是第30页!二、单自由度系统的动力特性周期：园频率：工程频率：与外界无关,体系本身固有的特性与系统是否正在振动着以及如何进行振动的方式都毫无关系A、v不是系统的固有属性的数字特征，与系统过去所受到过的激励和考察开始时刻系统所处的状态有关

振动力学与结构动力学第二章共58页，您现在浏览的是第31页!求图示系统的固有频率（a）弹簧串联情况；（b）弹簧并联情况。(a)串联情况思考题：串联后系统频率与单个弹簧系统相比有何变化？振动力学与结构动力学第二章共58页，您现在浏览的是第32页!

例：简支梁AB，重量不计。在梁的中点位置放一重为W的物体M时，其静挠度为yst。现将物体M从高度h处自由释放，落到梁的中点处，求该系统振动的规律。当物体落到梁上后，梁、物体系统作简谐振动，只要定出简谐振动的三个参数：圆频率、振幅和初相角即可。振动力学与结构动力学第二章共58页，您现在浏览的是第33页!2.算例例一.求图示体系的自振频率和周期.mEIlEIl=1=1ll/2l解:振动力学与结构动力学第二章共58页，您现在浏览的是第34页!第二节单自由度系统的有阻尼自由振动一、有阻尼自由振动的解特征方程的根：1、临界阻尼情况：不产生振动的最小阻尼振动力学与结构动力学第二章共58页，您现在浏览的是第35页!3、负阻尼情况<0或c<0

阻尼本来是耗散能量的，负阻尼表示在系统振动过程中不仅不消耗能量，而且不断加入能量。这种情况下系统的运动是不稳定的，其振幅将会愈来愈大，直至系统破坏。4、低阻尼或小阻尼情况<1或c<2m振动力学与结构动力学第二章共58页，您现在浏览的是第36页!

不同阻尼比对自由振动幅值的影响振动力学与结构动力学第二章共58页，您现在浏览的是第37页!自由振动衰减曲线振动力学与结构动力学第二章共58页，您现在浏览的是第38页!

例：有关参数同前刚架，若用千斤顶使M产生侧移25mm，然后突然放开，刚架产生自由振动，振动5周后测得的侧移为7.12mm。试求：（1）考虑阻尼时的自振频率；（2）阻尼比和阻尼系数；（3）振动10周后的振幅。解：由y0=25mm,y0+5TD=7.12mm,有：振动力学与结构动力学第二章共58页，您现在浏览的是第39页!例:对图示体系作自由振动试验.用钢丝绳将上端拉离平衡位置2cm,用力16.4kN,降绳突然切断,开始作自由振动.经4周期,用时2秒,振幅降为1cm.求1.阻尼比2.刚度系数3.无阻尼周期4.重量5.阻尼系数6.若质量增加800kg体系的周期和阻尼比为多少2cm解:1.阻尼比2.刚度系数3.无阻尼周期4.重量5.阻尼系数6.若质量增加800kg,体系的周期和阻尼比为多少振动力学与结构动力学第二章共58页，您现在浏览的是第40页!上式中，前三项都是频率为的自由振动。但、二项是初始条件决定的自由振动，第三项与初始条件无关，是由伴随干扰力的作用而产生的，称为伴生自由振动。第四项则是按照干扰力的频率而进行的振动，称为纯受迫振动。2、动力系数振动力学与结构动力学第二章共58页，您现在浏览的是第41页!例:图示无重简支梁，在跨中W＝20kN的电机，电机偏心所产生的离心力F(t)，若机器每分钟的转数n=500rad/min，梁的EI=1.008X10000kN.m2。在不计阻尼的情况下，试求梁的最大位移和弯矩。振动力学与结构动力学第二章共58页，您现在浏览的是第42页!（3）梁跨中截面的最大位移和弯矩振动力学与结构动力学第二章共58页，您现在浏览的是第43页!解：按叠加原理

（1）惯性力前为何加负号？（2）运动方程式与直接作用在质体时有什么差别？（3）如果梁上还有一个动荷载，运动方程式形式有何变化？振动力学与结构动力学第二章共58页，您现在浏览的是第44页!例2求图示梁中最大弯矩和跨中点最大位移已知:解.Ql/2l/2重力引起的弯矩重力引起的位移l/4振幅动弯矩幅值跨中最大弯矩跨中最大位移振动力学与结构动力学第二章共58页，您现在浏览的是第45页![列幅值方程求内力幅值]解:例:求图示体系振幅、动弯矩幅值图.已知同频同步变化mEIl/2l/2FF=1振动力学与结构动力学第二章共58页，您现在浏览的是第46页!解:例:求图示体系右端的质点振幅F动弯矩幅值图mlmkllAFo振动力学与结构动力学第二章共58页，您现在浏览的是第47页!2、幅频曲线和相频曲线振动力学与结构动力学第二章共58页，您现在浏览的是第48页!当荷载频率远小于系统自振频率时，β→0,惯性力Fi(t)和阻尼力Fd(t)都很小，荷载主要由弹簧力平衡；想想：此时相当于什么情况?当荷载频率远大于系统自振频率时，β→∞,荷载主要由惯性力平衡；当荷载频率接近系统自振频率时，β→1,此时阻尼力此时荷载主要由阻尼力平衡，这种状态称为共振。共振区内（0.75-1.25)阻尼力不可以忽略。振动力学与结构动力学第二章共58页，您现在浏览的是第49页!4、半功率法确定阻尼比简谐荷载受迫振动的幅频曲线可以用来确定系统的阻尼比ξ。取曲线上a、b两点，令纵坐标代入幅频曲线公式，经处理后有振动力学与结构动力学第二章共58页，您现在浏览的是第50页!质量为m的物体挂在弹簧系数为K的弹簧一端，另一端B沿铅直按作简谐运动，考虑粘滞阻尼力作用，求物体运动规律。解：取ξ＝0时物体的平衡位置o为坐标原点，物体的运动微分方程为右端等价于一个干扰力振动力学与结构动力学第二章共58页，您现在浏览的是第51页!在精密仪器与其支座之间装以弹簧系数很低的柔软弹簧，当支座振动强烈时，弹簧的一端将随同支座一起振动。若支座的频率比仪器－弹簧系统的固有频率高得多，仪器将近乎静止而不致损坏。思考题：试解释一下地震仪工作原理。振动力学与结构动力学第二章共58页，您现在浏览的是第52页!二、隔振的基本原理隔振示意图振动力学与结构动力学第二章共58页，您现在浏览的是第53页!计算简图隔振系数随变化