第五章FIR数字滤波器设计和实现课件

概述线性相位FIRDF约束条件和频率响应窗函数法频率取样法FIR数字滤波器的实现结构

第五章FIR数字滤波器设计和实现1概述第五章1概述：IIR和FIR比较IIR与FIR性能比较IIR数字滤波器幅频特性较好，但相频特性较差FIR数字滤波器可以严格线性相位，又可任意幅度特性因果稳定系统可用FFT计算(计算两个有限长序列的线性卷积)但阶次比IIR滤波器要高得多2概述：IIR和FIR比较IIR与FIR性能比较2概述：IIR和FIR比较IIR与FIR设计方法比较IIRDF无限冲激响应，H(Z)是z-1的有理分式，借助于模拟滤波器设计方法，阶数低（同样性能要求）。其优异的幅频特性是以非线性相位为代价的。缺点：只能设计特定类型的滤波器，不能逼近任意的频响。

FIRDF有限冲激响应，系统函数H(Z)是z-1的多项式，采用直接逼近要求的频率响应。设计灵活性强。缺点：①设计方法复杂；②延迟大；③阶数高。(运算量比较大，因而在实现上需要比较多的运算单元和存储单元)

FIRDF的技术要求通带频率ωp，阻带频率ωs及最大衰减αp，最小衰减αs很重要的一条是保证H(z)具有线性相位。3概述：IIR和FIR比较IIR与FIR设计方法比概述：FIRDF设计方法FIR数字滤波器设计FIR滤波器的任务给定要求的频率特性，按一定的最佳逼近准则，选定h(n)及阶数N。三种设计方法窗函数加权法频率采样法FIRDF的CAD--切比雪夫等波纹逼近法4概述：FIRDF设计方法FIR数字滤波器4概述：FIRDF零极点FIR滤波器的I/O关系：FIR滤波器的系统传递函数：在Z平面上有N-1个零点；在原点处有一个（N-1）阶极点，永远稳定。FIR系统定义：一个数字滤波器DF的输出y(n)，如果仅取决于有限个过去的输入和现在的输入x(n),x(n-1),.......,x(n-N+1)，则称之为FIRDF。

FIR滤波器的单位冲激响应：5概述：FIRDF零极点FIR滤波器的I/O关系：FFIRDF的频率响应为：FIR滤波器的最重要特点是能实现线性相位。具有线性相移特性的FIR滤波器是FIR滤波器中应用最广泛的一种。Hr(ω)：振幅响应，它是一个取值可正可负的实函数。

θ(ω)=arg[H(ejw)]为数字滤波器的相位响应。概述：FIRDF频率响应6FIRDF的频率响应为：FIR滤波器的最重要特点是能信号通过线性滤波器时，其幅度和相位可能会发生改变，滤波器幅频特性|H(ω)|和相频特性θ(ω)可能会随频率的变化而改变。如：输入正弦信号Acos(nω0)

则：输出为|H(ω0)|Acos(nω0＋θ)，其中相移θ＝θ(ω0)

输出频率和输入频率相同，但幅度和相位都发生了变化输出信号比输入信号滞后的样点数n(位移)可由下式求得:

设：nω0＋θ＝0－滤波器在数字频率ω0处的相位延迟（位移）

由于相位延迟n的不同，最终产生了相位失真。确保不产生相位失真的办法：使不同频率的信号通过滤波器时有相同的延迟n。概述：相位失真7信号通过线性滤波器时，其幅度和相位可能会发生改变，滤波器幅频对不同的频率有恒定的相移θ，不同的相位延迟n，会产生相位失真.如：方波y(t)可以用无数奇次谐波的正弦波的叠加来得到：

若每个正弦波相移π/2弧度：确保所有频率具有相同相位延迟的简单方法：

随着频率的变化而改变相位，使滤波器具有线性相位特性，即使所有频率的相位延迟保持恒定，这种方法可通过使系统的相位函数θ(ω)为频率ω的线性函数来实现。

概述：相位失真可见相移之后正弦波之和已不再是方波。8对不同的频率有恒定的相移θ，不同的相位延迟n，会产生相位失线性相移FIRDF约束条件和频率响应三个内容约束条件恒延时滤波h(n)偶对称：恒相延时和恒群延时同时成立h(n)奇对称：仅恒群延时成立频率响应TypeI：h(n)偶对称、N为奇数TypeII：h(n)偶对称、N为偶数TypeIII：h(n)奇对称、N为奇数TypeIV：h(n)奇对称、N为偶数FIRDF零极点分布9线性相移FIRDF约束条件和频率响应三个内容9相延时：

群延时：

线性相移FIRDF约束条件：恒延时滤波恒延时滤波滤波器的延时分为相延时和群延时两种令恒延时滤波器：τp(ω)或τg(ω)是不随ω变化的常量，这时滤波器具有线性相位特性。10相延时：群延时：线性相移FIRDF约束条件：恒延时滤（负号是因为系统必有时延）由于FIR滤波器的传递函数为:wθ(w)0故:线性相移FIRDF约束条件：恒延时恒相延时和恒群延时同时成立要使τp、τg都不随ω变化,θ(ω)必须是一条过原点直线11（负号是因为系统必有时延）由于FIR滤波器的传递函数为于是:线性相移FIRDF约束条件：恒延时12于是:线性相移FIRDF约束条件：恒延时12可以证明，当

线性相移FIRDF约束条件：恒延时上式成立，此时恒相延时和恒群延时同时成立时，线性相位滤波器的必要条件是：

不管N为偶数，还是N为奇数，系统冲激响应h(n)都关于中心点(N-1)/2偶对称。当N为奇数时对称中心轴位于整数样点上;当N为偶数时对称中心轴位于非整数样点上。h(n)为偶对称，N为偶数07nh(n)h(n)为偶对称，N为奇数06nh(n)13可以证明，当线性相移FIRDF约束条件：恒延时上式成立于是有：线性相移FIRDF约束条件：恒群延时只要求恒群延时成立若只要求群延时τg(ω)为一常数，则相移特性为不过原点的直线。0ωθ(ω)故14于是有：线性相移FIRDF约束条件：恒群延时只要求恒群延可以证明，当

上式成立，此时故线性相移FIRDF约束条件：恒群延时15可以证明，当上式成立，此时故线性相移FIRDF约束条件FIR滤波器单独满足恒定群延时的必要条件为：

冲激响应h(n)对中心点(N-1)/2成奇对称。此时，无论N为奇数或偶数，滤波器的相频特性均为线性，并包含有π/2的固定相移：

因此，信号通过此类滤波器时不仅产生(N-1)/2个取样点的延迟，还将产生90o的相移，通常这类滤波器又被称为90o移相器，并具有很好的应用价值。当N为奇数时，故07h(n)为奇对称，N为偶数nh(n)06h(n)为奇对称，N为奇数nh(n)线性相移FIRDF约束条件：恒群延时16FIR滤波器单独满足恒定群延时的必要条件为：当N为奇数时奇对称：θ(ω)对所有的频率成分都有一个90°相移。因此，有四种类型的FIRDF：

线性相移FIRDF约束条件线性相位约束条件对于任意给定的值N，当FIR滤波器的h(n)相对其中心点(N-1)/2是对称时，不管是偶对称还是奇对称，此时滤波器的相移特性是线性的，且群延时都是τ=(N-1)/2。偶对称：

θ(ω)为过原点的，斜率为-τ的一条直线17奇对称：θ(ω)对所有的频率成分都有一个90°相移。因线性相移FIRDF频率响应：TypeIh(n)偶对称，N为奇数（恒相时延、恒群时延〕此时，由于h(n)序列的长度为奇数，因此滤波器的频率响应函数可进行以下拆分（前后对称部分、中心点）：h(n)为偶对称，N为奇数06nh(n)对上式的第二和式作变量替换（n=N-1-m)后得到:由对称条件则H(ejω)表示为：18线性相移FIRDF频率响应：TypeIh(n)偶对线性相移FIRDF频率响应：TypeI令则上式为19线性相移FIRDF频率响应：TypeI令则上式为

由此可以看出其线性相位特性。由于cos(nω)对于ω=0、π、2π都是偶对称，所以幅度响应Hr(ω)对ω=0、π、2π也是偶对称。线性相移FIRDF频率响应：TypeI其中振幅响应：相频响应：N=9Hr(w)20由此可以看出其线性相位特性。由于cos(nω)对h(n)偶对称，N为偶数（恒相时延、恒群时延〕由于h(n)序列的长度为偶数，因此滤波器的频率响应函数可拆分成如下两部分（前后对称部分，中心点处无值）：线性相移FIRDF频率响应：TypeIIh(n)为偶对称，N为偶数07nh(n)对上式的第二和式作变量替换（n=N-1-m)后得到:由对称条件则H(ejω)表示为：21h(n)偶对称，N为偶数（恒相时延、恒群时延〕线性相移线性相移FIRDF频率响应：TypeII令，则上式为：其中（注意n从1开始，即b(0)=0，或没有定义）22线性相移FIRDF频率响应：TypeII令，则上线性相移FIRDF频率响应：TypeII

与所设计的b(n)或h(n)无关，恒为0。这种类型（即h(n)偶对称，N为偶数）不能用于高通或带阻滤波器。（2）由于cos[(n-1/2)ω]对于ω=π是奇对称，所以，Hr(w)对ω=π也是奇对称；以ω=0、2π为偶对称。振幅响应：相频响应：N=8n从1开始Hr(w)注意：（1）在ω=π处，有：23线性相移FIRDF频率响应：TypeII与所h(n)奇对称，N为奇数（恒群时延〕h(n)长度为奇数，拆分成前后两部分：线性相移FIRDF频率响应：TypeIII对上式的第二和式作变量替换，并利用对称条件h(n)=-h(N-1-n)，得:06h(n)为奇对称，N为奇数nh(n)24h(n)奇对称，N为奇数（恒群时延〕线性相移FIRDHr(w)线性相移FIRDF频率响应：TypeIII，则上式为：其中令振幅响应：相频响应：n从1开始25Hr(w)线性相移FIRDF频率响应：TypeII与c(n)或h(n)的值无关，因此，这种类型的滤波器不适用于低通、带阻或高通滤波器设计，而且，这说明jHr(w)是纯虚数，对于逼近理想数字希尔伯特变换和微分器，它是很有用的。理想的希尔伯特变换是一个全通滤波器，它对输入信号产生90度的相移，它频繁用于通信系统中的调制。微分器广泛用于模拟和数字系统中对信号求导。

(2)由于sin(nω)对于ω=0、π、2π都是奇对称，所以，Hr(w)以ω=0、π、2π为奇对称。注意：(1)在ω=0和π处，有：线性相移FIRDF频率响应：TypeIII26与c(n)或h(n)的值无关，因此，这种类型的滤波器线性相移FIRDF频率响应：TypeIVh(n)奇对称，N为偶数（恒群时延〕07h(n)为奇对称，N为偶数nh(n)其中27线性相移FIRDF频率响应：TypeIVh(n)奇线性相移FIRDF频率响应：TypeIVHr(w)与d(n)或h(n)的取值无关，因此传输函数H(z)在z=1处为零点。显然，这种类型不能用于实现低通滤波器。又有，所以这类滤波器适用于设计希尔伯特变换和微分器。注意：

(1)在ω=0处，有：(2)由于sin[(n-1/2)ω]在ω=π处偶对称，在0、2π是奇对称，所以，Hr(w)以ω=π偶对称，0、2π为奇对称。28线性相移FIRDF频率响应：TypeIVHr(w)一般形式：偶对称：

奇对称：

（两个恒时延条件）

（一个恒时延条件）(Hr(ω)为ω的实函数)线性相移FIRDF频率响应：小结29一般形式：偶对称：奇对称：（两个恒时延条件）（一个恒四类线性相位FIR滤波器第一类FIR系统是的线性组合，在时，易取得最大值，因此这一类滤波器易体现低通特性，且是偶函数。通过频率移位，又可体现高通、带通、带阻特性。所以，经典的低通、高通、带通和带阻滤波器的都是偶对称的。第三、四类FIR系统是的线性组合，在时，的值为零，且是奇函数。这一类滤波器都是作为特殊形式的滤波器，如Hilbert变换器、差分器等。请使用时注意。N最好取为奇数，以便以中心点为对称。30四类线性相位FIR滤波器第一类FIR系统是的一般的FIRDF的零、极点：在z=0处，有一个（N-1）阶的极点，故滤波器稳定；其零点要求f(z)=0，根据代数理论，它为N-1阶多项式，应有N-1个根，所以有N-1个零点。如果h(n)为实数值，其根肯定是共轭对称的。线性相移FIRDF零极点分布31一般的FIRDF的零、极点：在z=0处，有一个（N令：m=N-1-n于是：

线性相移FIRDF零极点分布线性相移FIRDF的零极点：

如果zi是H(z)的零点，即H(zi)=0则H(z-1)=0，即zi-1亦为H(z)的零点。32令：m=N-1-n于是：线性相移FIRDF零极点分布上面提到zi肯定是共轭的，故zi*亦必为其零点于是零点有：1-1Za1Za21/bb①②③④线性相移FIRDF零极点分布总结:(1)一般情况，

，有四个零点：(2)r=1，单位圆上的零点：

(共轭对)(3)位于实轴上的实数：b,1/b(实轴上的倒数对)。(4)zi=±1：单零点

33上面提到zi肯定是共轭的，故zi*亦必为其零点1-例：设FIR滤波器的系统函数为：求出该滤波器的单位取样响应h(n)，判断是否具有线性相位，求出其幅度特性和相位特性。解：对FIR数字滤波器，其系统函数为：34例：设FIR滤波器的系统函数为：解：对FIR数字滤波器所以，该FIR滤波器具有第一类线性相位特性，设其频率响应函数为幅度特性函数为：相位特性函数为：35所以，该FIR滤波器具有第一类线性相位特性，设其频率响应函数思路：理想数字滤波器设计的FIR数字滤波器要求：线性相位尽可能降低逼近误差FIRDF窗口法（傅里叶级数法）hd(n)无限长，且非因果h(n)有限长，且因果36思路：理想数字滤波器设计的FIR数字滤波器要求：线性相位设所要求的DF的频率响应是Hd(ejω)，需要注意：它可能是低通、高通、带通和带阻FIRDF，没有特指某种类型的数字滤波器。不管是何种FIRDF，它的频率响应是频域中的周期函数，周期为2π，所以它可以展开为傅氏级数形式：窗口法：基本原理式中hd(n)是傅里叶系数，也是单位取样响应序列。由傅里叶级数理论可得：37设所要求的DF的频率响应是Hd(ejω)，需要注意：它因此，所要求的DF的系统函数便可求得：显然，Hd(z)是非因果的，且hd(n)的持续时间为-∞～+∞，物理上不可实现。我们可以采用逼近

Hd(ejω)的方法

首先把hd(n)先截短为有限项，把hd(n)截为2M+1项，得：窗口法：基本原理38因此，所要求的DF的系统函数便可求得：窗口法：基本原理3然后把截短后的hd(n)右移，使之变成因果性的序列。令H(z)等于H1(z)乘以z-M得：令h(n)=hd(n-M),n=0,1,2,......,2M，则频率响应z=ejω窗口法：基本原理显然H(z)是物理可实现的其冲激响应h(n)的持续时间也是有限的选择hd(n)=±hd(N-1-n)，保证H(z)具有线性相位。

39然后把截短后的hd(n)右移，使之变成因果性的序列。频率对hd(n)的截短必然产生误差，即以

|H(ejω)|近似|Hd(ejω)|。定义逼近误差为均方误差：而Hd(ejω)可以展开为：式中:窗口法：性能分析|H(ejω)|对|Hd(ejω)|的逼近40对hd(n)的截短必然产生误差，即以|H(ejω)|因为|H(ejω)|是对hd(n)截短而产生的，假定：即当|n|>M时，An=0,Bn=0。所以把上述两式代入逼近误差中，利用三角函数的正交性可得：由于上式中每一项都是正的，所以，只有当最小。

窗口法：性能分析41因为|H(ejω)|是对hd(n)截短而产生的，假说明：①当用|H(ejω)|≈|Hd(ejω)|时，要使ε2=min，|H(ejw)|的截短后的单位取样响应h(n)的系数必须等于所要求的幅频响应|Hd(ejw)|展成傅里叶级数的系数hd(n)。②有限项傅氏级数是在最小均方意义上对原信号的最佳逼近其逼近误差为：

截短的长度M越大，逼近误差ε2愈小（因为hd(n)值愈小）。

窗口法：性能分析42说明：①当用|H(ejω)|≈|Hd(ejω)|时，要将hd(n)截短：相当于将hd(n)与一窗函数wR(n)相乘，即窗口法：Gibbs效应其中在一定意义上来看，窗函数决定了我们能够“看到”多少个原来的冲激响应，“窗”这个用词的含义也就在此。43将hd(n)截短：相当于将hd(n)与一窗函数窗函数的频谱窗口法：Gibbs效应此矩形窗谱为一钟形偶函数，在ω＝+2π/N之间为其主瓣，主瓣宽度Δω=4π/N，在主瓣两侧有无数幅度逐渐减小的旁瓣,见图所示。ω2π/N-2π/N主瓣第1个旁瓣第2个旁瓣44窗函数的频谱窗口法：Gibbs效应此矩形窗谱为一钟形偶函截短，根据时域相乘映射为频域卷积，得：窗口法：Gibbs效应为便于分析，我们假定|Hd(ejw)|是理想低通滤波器LPF。式中积分等于θ由–ωc到ωc区间内WN[ej(w-θ)]下的面积，随着ω变化，窗函数的主瓣和不同正负、不同大小的旁瓣移入和移出积分区间，使得此面积发生变化，也即|H(ejw)|的大小产生波动。-wc0wcθ45截短，根据时域相乘映射为频域卷积，得：窗口法：Gibbsθ0WR(θ)-ωc0ωcωHd(θ)0.50.50.08950.08950.04680.0468卷积窗口法：Gibbs效应-wc0wcθπ-πHd(θ)46θ0WR(θ)-ωc0ωcωHd(θ)0.50.50.089现在分析几个特殊频率点的滤波器性能

ω=0时：由于一般情况下都满足ωc>>2π/N，因此，H(0)的值近似等于窗谱函数WR(ejw)与θ轴围出的整个面积。窗口法：Gibbs效应θ0WR(θ)①-wc0wcθπ-πHd(θ)①

ω=ωc时：

此时窗谱主瓣一半在积分区间内一半在区间外，因此，窗谱曲线围出的面积，近似为ω=0时所围面积的一半，即。-wc0wcθHd(θ)w=wcWR(w-θ)②47现在分析几个特殊频率点的滤波器性能窗口法：Gibbs效应ω=ωc-2π/N时，正肩峰

此时窗谱主瓣全部处于积分区间内，而其中一个最大负瓣刚好移出积分区间，这时得到最大值，形成正肩峰。之后，随着ω值的不断增大，H(ejw)的值迅速减小，此时进入滤波器过渡带。ω=ωc+2π/N时，负肩峰

此时窗谱主瓣刚好全部移出积分区间，而其中一个最大负瓣仍全部处于区间内，因此得到最小值，形成负肩峰。之后，随着ω值的继续增大，H(ejw)的值振荡并不断减小，形成滤波器阻带波动。-wc0wcθHd(θ)WR(w-θ)③-wc0wcθHd(θ)WR(w-θ)④48ω=ωc-2π/N时，正肩峰-wc0wcθHd(θ)W

理想滤波器的不连续点演化为过渡带通带与阻带内出现起伏过渡带：正负肩峰之间的频带。其宽度等于窗口频谱的主瓣宽度。对于矩形窗WR(ejw),此宽度为4π/N。

肩峰及波动：这是由窗函数的旁瓣引起的。旁瓣越多，波动越快、越多。相对值越大，波动越厉害，肩峰越强。肩峰和波动与所选窗函数的形状有关，要改善阻带的衰减特性只能通过改变窗函数的形状。加窗处理对理想矩形频率响应的影响窗口法：Gibbs效应49理想滤波器的不连续点演化为过渡带通带与阻带内出现起伏过渡Gibbs现象在对hd(n)截短时，由于窗函数的频谱具有旁瓣，这些旁瓣在与Hd(ejw)卷积时产生了通带内与阻带内的波动，称为吉布斯现象。长度N的改变只能改变ω坐标的比例及窗函数WR(ejw)的绝对大小，但不能改变肩峰和波动的相对大小（因为不能改变窗函数主瓣和旁瓣的相对比例，波动是由旁瓣引起的），即增加N，只能使通、阻带内振荡加快，过渡带减小，但相对振荡幅度却不减小。结论：过渡带宽度与窗的宽度N有关，随之增减而变化。阻带最小衰减（与旁瓣的相对幅度有关）只由窗函数决定，与N无关。窗口法：Gibbs效应50Gibbs现象在对hd(n)截短时，由于窗函数的频谱Gibbs现象；窗口法：Gibbs效应51Gibbs现象；窗口法：Gibbs效应51设计FIRDF时，窗函数不仅可以影响过渡带宽度，还能影响肩峰和波动的大小(阻带的衰减)，因此，选择窗函数应使其频谱：主瓣宽度尽量小，以使过渡带尽量陡。旁瓣相对于主瓣越小越好，这样可使肩峰和波动减小，即能量尽可能集中于主瓣内。对于窗函数，这两个要求是相互矛盾的，要根据需要进行折衷的选择，窗口法：常用窗函数w020lg|W(w)/W(0)|B3dBAD(dB/Oct)为了定量地比较各种窗函数的性能，给出三个频域指标：3db带宽B，单位为（最大可能的频率分辨力）最大旁瓣峰值A(dB)，A越小，由旁瓣引起的谱失真越小旁瓣谱峰渐进衰减速度D（dB/oct）一个好的窗口，应该有最小的B、A及最大的D。52设计FIRDF时，窗函数不仅可以影响过渡带宽度，还能影响肩以下介绍的窗函数均为偶对称函数，都具有线性相位特性。设窗的宽度为N，窗函数的对称中心点在(N-1)/2处。因此，均为因果函数。矩形窗最简单的窗函数，从阻带衰减的角度看，其性能最差。它的频率响应函数为：窗口法：基本窗函数_矩形窗振幅响应53以下介绍的窗函数窗口法：基本窗函数_矩形窗振幅响应53为了对过渡带和阻带衰减进行精确分析，对窗振幅响应进行连续积分（或累积振幅响应），即矩形窗函数w(n)以及它的振幅响应、累积振幅响应如下图所示。窗口法：基本窗函数_矩形窗性能指标3dB带宽B=0.89Δω最大旁瓣峰值A=-13dB旁瓣谱峰渐进衰减速度D=-6dB/oct在Matlab中，实现矩形窗的函数为w=boxcar(n)。54为了对过渡带和阻带衰减进行精确分析，对窗振幅响应进行连续积分振幅响应在ω=ω1处具有第一个零点：因而主瓣的宽度为2Δω，所以过渡带宽也近似为2Δω。大约在ω=3π/N处，出现第一个旁瓣（即主旁瓣），其幅度为：将它与主瓣振幅N比较，则最大旁瓣峰值A(dB)为A=-13db。累积振幅响应第一个旁瓣为21dB，这个21dB的阻带衰减与窗长度N无关。根据最小阻带衰减，可以精确地计算出过渡带宽为：它大约是近似带宽的一半。窗口法：基本窗函数_矩形窗55振幅响应窗口法：基本窗函数_矩形窗55三角窗（或巴特利特Bartlett窗）由于矩形窗从0到1（或1到0）有一个突变的过渡带，这造成了吉布斯现象。Bartlett提出了一种逐渐过渡的三角窗形式，它是两个矩形窗的卷积。B=1.28Δω,A=-27dB,D=-12dB/oct，近似过渡带宽8π/N，精确过渡带宽6.1π/N，最小阻带衰减25dB。与矩形窗来比较，阻带衰减性能有所改善，但代价是过渡带的加宽。窗口法：基本窗函数_三角窗56三角窗（或巴特利特Bartlett窗）窗口法：基本窗函在Matlab中，函数bartlett(n)和triang(n)用来计算相似的三角窗，但它们有两个重要的区别：bartlett函数返回的序列两端总是0，因此，对于奇数n，语句bartlett(n+2)的中间部分等于triang(n)；对于偶数n，bartlett仍然是两个矩形序列的卷积，但n为偶数时的三角窗没有标准定义。5.3.3窗口法：基本窗函数_三角窗57在Matlab中，函数bartlett(n)和tr余弦窗

B=1.2Δω,A=-23dB,D=-12dB/oct。近似过渡带宽8π/N，精确过渡带宽6.5π/N，最小阻带衰减34dB。窗口法：基本窗函数_余弦窗或其中频率响应58余弦窗 窗口法：基本窗函数_余弦窗或其中频率响应58窗口法：基本窗函数_余弦窗59窗口法：基本窗函数_余弦窗59升余弦窗函数汉宁窗、汉明窗、布莱克曼窗都是升余弦窗的特例。它们都是频率为0~2π/(N-1)和4π/(N-1)的余弦序列的组合。升余弦窗的频率特性比矩形窗有很大改善。其中A、B、C为常数。当A=0.5，B=0.5，C=0时，为汉宁(Hanning)窗。

Matlab中，w=hanning(n)当A=0.54，B=0.46，C=0时，为汉明(Hamming)窗。

Matlab中，w=hamming(n)当A=0.42，B=0.5，C=0.08时，为布莱克曼窗。

Matlab中，w=blackman(n)窗口法：升余弦窗函数60升余弦窗函数窗口法：升余弦窗函数60窗口法：升余弦窗函数61窗口法：升余弦窗函数61W(ω)0.5u(ω)0.25u(ω-2π/(N-1))0.25u(ω+2π/(N-1))Hanning窗（升余弦窗）窗口法：升余弦窗函数_汉宁窗B=1.44Δω,A=-32db,D=-18db/oct，近似过渡带宽8π/N，精确过渡带宽6.2π/N，最小阻带衰减44dB。与矩形窗来比，最小阻带衰减性能明显提高，但过渡带也明显增大。62W(ω)0.5u(ω)0.25u(ω-2π/(N-1))0.窗口法：升余弦窗函数_汉宁窗63窗口法：升余弦窗函数_汉宁窗63Hamming窗（改进的升余弦窗）窗口法：升余弦窗函数_汉明窗B=1.3Δω,A=-43dB,D=-6dB/oct，近似过渡带宽8π/N，精确过渡带宽6.6π/N，最小阻带衰减53dB。通过这一系数调整，使能量的99.963%都集中在了窗谱的主瓣内。64Hamming窗（改进的升余弦窗）窗口法：升余弦窗函数_汉窗口法：升余弦窗函数_汉明窗65窗口法：升余弦窗函数_汉明窗65Blackman窗（二阶升余弦窗）窗口法：升余弦窗函数_布莱克曼窗B=1.68Δω,A=-58db,D=-18db/oct，近似过渡带宽12π/N，精确过渡带宽11π/N，最小阻带衰减74dB。通过增加余弦的二次谐波分量，能够进一步抑制旁瓣，但主瓣宽度却比矩形窗谱的主瓣宽度大三倍。66Blackman窗（二阶升余弦窗）窗口法：升余弦窗函数_布窗口法：升余弦窗函数_布莱克曼窗比较以上窗函数，可以看到，矩形窗函数具有最窄的主瓣B，但也有最大的旁瓣峰值A和最慢的衰减速度D。汉宁窗主瓣稍宽，但有着较小的旁瓣和较大的衰减速度，因而被认为是较好的窗口。67窗口法：升余弦窗函数_布莱克曼窗比较以上窗函数，可以窗口法：凯瑟窗函数凯瑟（Kaiser）窗上面讨论的几种窗函数以牺牲主瓣宽度，换取旁瓣抑制；Kaiser窗全面反映了这种主瓣和旁瓣衰减之间的互换关系；定义了一组可调的由零阶贝塞尔Bessel函数构成的窗函数；通过调整参数β可以在主瓣宽度和旁瓣衰减之间自由选择它们的比重。从而实现以同一种窗类型来满足不同窗性能需求的目的。Kaiser窗函数由J.F.Kaiser提出，由下式给出：

其中I0是修正过的零阶贝塞尔Bessel函数β是用来调整窗形状的参数，β依赖于参数N。68窗口法：凯瑟窗函数凯瑟（Kaiser）窗68对于相同的N，Kaiser窗可以提供不同的过渡带宽，这是其他窗函数做不到的。通过调整参数β，就可以方便地完成对过渡带宽度和阻带衰减的调整。参数β越高，其频谱的旁瓣越小，但主瓣宽度也相应增加。xI0(x)I0(β)10β零阶贝塞尔函数

Kaiser窗函数依参数β而变化

Matlab中，函数w=kaiser(n,beta)实现Kaiser窗

窗口法：凯瑟窗函数弗里德里希·威廉·贝塞尔（FriedrichWilhelmBessel）1784年—1846年德国天文学家及数学家69对于相同的N，Kaiser窗可以提供不同的过渡带宽，这是下面图固定β，当窗的长度变化时，相应的旁瓣的高度保持不变。

窗口法：凯瑟窗函数70下面图固定β，当窗的长度变化时，相应的旁瓣的高度保持不变。β=5.658，则过渡带宽等于7.8pi/N，最小阻带衰减为60dB，如下图所示：

窗口法：凯瑟窗函数71β=5.658，则过渡带宽等于7.8pi/N，最小阻带凯瑟窗的计算由于Bessel函数的复杂性，这种窗的设计公式很难推导，为此，Kaiser提出了经验公式。给定ωp、ωs、Rp和As，参数β定义如下：

对于过渡带宽△ω=ωs-ωp(rad/s)，滤波器阶数为需要强调的是：阶数为N的滤波器大致能满足要求，但最后的结果还必须要演算以便证明这一点。在Matlab中，函数w=kaiser(n,beta)实现Kaiser窗。5.3.3窗口法：凯瑟窗函数72凯瑟窗的计算5.3.3窗口法：凯瑟窗函数72窗函数旁瓣峰值衰减（dB）窗函数主瓣宽度加窗后滤波器过渡带宽（△ω）加窗后滤波器阻带最小衰减（dB）矩形窗-134π/N1.8π/N-21汉宁窗(升余弦窗)-318π/N6.2π/N-44汉明窗(改进升余弦窗)-418π/N6.6π/N-53布莱克曼窗(二阶升余弦窗)-5712π/N11π/N-74凯塞（β=7.865）-5710π/N10π/N-80窗口法：常用窗函数的性能指标73旁瓣峰值衰减（dB）窗函数加窗后滤波器过渡带宽（△ω）加窗后FIRDF窗口法设计步骤

性能要求Hd(e

j)把Hd(e

j)展成傅里叶级数，得到hd(n)；把hd(n)自然截短到所需的长度N=2M+1；将截短后hd(n)右移M个取样间隔，得h(n)；将h(n)乘以合适的窗函数，即得所需的滤波器的冲激响应，这时窗函数以n=M对称（当然窗函数也可直接加在hd(n)上，这时窗函数以原点为对称）；利用h(n)，既可用硬件构成滤波器的系统函数H(z)，也可直接用计算机软件实现滤波。窗口法：设计步骤74FIRDF窗口法设计步骤窗口法：设计步骤74数字低通滤波器的设计例：

一个理想低通数字滤波器的频率响应如图所示，为：

假定ωc=0.25π，分别取N=11、21、31的线性相位FIR，观察加窗后对滤波器幅频特性的影响。窗口法：设计步骤_数字低通75数字低通滤波器的设计窗口法：设计步骤_数字低通75解:

由于Hd(e

j)是一个实周期函数，把它展成为傅氏级数：窗口法：设计步骤_数字低通式中将hd(n)截短为N=2M+1，并将截短后的hd(n)移位，得：76解:由于Hd(ej)是一个实周期函数，把它展成为傅窗口法：设计步骤_数字低通然后乘以窗函数wR(n)，得到最后得h(n)。对于ωc

=0.25π，由上式得：（当ωc=π，就得到一个全通滤波器）当N=11时，M=5，求得h(0)=h(10)=-0.045，h(1)=h(9)=0，h(2)=h(8)=0.075，h(3)=h(7)=0.1592，h(4)=h(7)=0.2251，h(5)=0.25。当N=11时，乘以汉明窗：77窗口法：设计步骤_数字低通然后乘以窗函数wR(n)，得到窗口法：设计步骤_数字低通78窗口法：设计步骤_数字低通78当N取不同值时，H(ejω)都不同程度上近似于Hd(ejω)。N过小时，通带过窄,且阻带内波纹较大,当N增加时，通频带接近于0.25pi,阻带内波纹减小,但在通带内出现了波纹，随着N的继续增加，这些波纹并不能消失。由图中还可以看到，使用汉明窗后，通带内的振荡基本消失，阻带内的纹波也大大减小，从这一点上来说，滤波器的性能得到了改善，但是，这是以过渡带的加宽为代价的。矩形窗汉明窗窗口法：设计步骤_数字低通79当N取不同值时，H(ejω)都不同程度上近似于Hd(e适用范围对于能用解析式表达，且傅里叶级数的系数容易求解的滤波器：此时，窗函数法是设计FIRDF较为方便的一个方法如果hd(n)不易求，则使用该方法较为困难窗函数用窗口法设计FIRDF，一个重要问题是选用何种窗函数w(n)进行截短，以及截短的长度N。窗函数的选择：阻带衰减指标满足设计给定的阻带衰减和其它滤波器性能要求；能量尽量集中于主瓣内；个人的经验及喜好有关。窗口法：设计步骤_数字低通80适用范围窗口法：设计步骤_数字低通80窗函数长度N的选择：过渡带宽指标采用试验方法，即逐渐增大M，直至H(ejω)在通带和阻带内部达到指标要求。若对|Hd(ejω)|的过渡带提出了具体要求，因为FIRDF的过渡带等于窗函数的主瓣宽度，那么通过查表计算N：例如5.26，5.86。注意：（1）根据所要设计线性相位FIRDF类型来决定最终N取奇数还是偶数。（2）一般选择N为奇数。

5.3.4窗口法：设计步骤_数字低通81窗函数长度N的选择：过渡带宽指标5.3.4窗口法：设计窗口法：设计步骤_数字低通频率增益(幅度)所要求的通带边缘频率ωp所要求的阻带边缘频率ωs设计中所用的截止频率ωc过渡带宽度0.5截止频率ωc的确定：截止频率ωc对应于明确的0.5增益点，而不再标志某个增益点。对于非理想滤波器，其截止频率ωc不采用通带边缘频率ωp或阻带边缘频率ωs，而使用过渡带的中点（即通带边缘和阻带边缘之间的中点。因此，窗函数法不能精确确定其通带和阻带的边缘频率）：82窗口法：设计步骤_数字低通频率增益所要求的通带边缘频率ωp例：

根据下列指标设计一个线性相位FIR低通滤波器通带边缘频率fp=2kHz阻带边缘频率fstop=3kHz阻带衰减40dB取样频率fs=10kHz

频率|H(ejw)|所要求的通带边缘频率ωp所要求的阻带边缘频率ωs设计中所用的截止频率ωc过渡带宽度-6dB0dB-40dB2kHz3kHz解：(1)求对应的理想数字频率：过渡带宽=3kHz–2kHz=1kHz。转换为数字频率过渡带：截止频率：数字截止频率83例：根据下列指标设计一个线性相位FIR低通滤波器频率|(2)设理想线性相位滤波器为：由此可得脉冲响应：(4)由过渡带宽确定窗口长度：

(3)由阻带衰减确定窗函数：因为阻带衰减40dB，通过查表知道，可以选择Hanning窗：τ＝(N-1)/2=15则此滤波器的脉冲响应为：84(2)设理想线性相位滤波器为：(4)由过渡带宽确定窗口长8585例:用矩形窗、汉宁窗和布莱克曼窗设计FIR低通滤波器，设N=11,ωc=0.2πrad。

解:用理想低通作为逼近滤波器，有86例:用矩形窗、汉宁窗和布莱克曼窗设计FIR低通滤波器，设N用汉宁窗设计：用布莱克曼窗设计：

87用汉宁窗设计：用布莱克曼窗设计：87低通幅度特性88低通幅度特性88

例：请选择合适的窗函数及N来设计一个线性相位低通滤波器

要求其最小阻带衰减为-45dB，过渡带宽为。求出。（设）

解：(1)

因为题目要求设计的低通滤波器的最小阻带衰减为-45dB，所以应该选择汉明窗。89例：请选择合适的窗函数

又根据题目所给低通滤波器的表达式求得：

由此可得：

90又根据题目所给低通滤波例:一段乐曲中夹杂着高频噪声，严重影响收听质量。下图给出了噪声污染后的信号及其频谱。系统的取样频率为16kHz。设计一个滤波器来提高声音质量。

91例:一段乐曲中夹杂着高频噪声，严重影响收听质量。下图给出了噪从图中频谱可以看出，噪声从2kHz的频率点开始占据支配地位，因为这个频率很低，消除噪声的同时也会损失一部分音乐信息。可以用通带边缘频率为2kHz的低通滤波器对此段音乐进行滤波。由于没有特殊的阻带衰减要求，任何具有合理特性的窗函数即可。在此选择Hamming窗。本例中，对过渡带宽也没有特殊要求。为了得到合理的陡峭滚降，选择N=101，则过渡带宽为92从图中频谱可以看出，噪声从2kHz的频率点开始占据支配地此低通滤波器的参数总结如下：取样频率：16kHz通带边缘频率：2kHz过渡带宽：545Hz截止频率：数字截止频率：窗函数：Hamming窗，即93此低通滤波器的参数总结如下：93窗口长度：N=101。则此滤波器的脉冲响应为：得到的脉冲响应、幅频特性如下图所示。94窗口长度：N=101。94020406080100-0.100.10.20.3h(n)012345678-100-80-60-40-200kHzMagnitudeMagnitudeResponse95020406080100-0.100.10.20.3h(n)伴有噪声的音乐经过上述滤波器滤除噪声后的信号及其频谱如下图所示。滤波后的信号几乎没有噪声，但歌曲听起来有点压抑，这是因为歌曲中高频分量也随噪声一起被滤除的缘故。可以想象，如果噪声存在于所有的频率分量上，则不可能在不严重降低信号质量的情况下滤除噪声。

96伴有噪声的音乐经过上述滤波器滤除噪声后的信号及其频谱如下图所以上设计的是数字低通滤波器，若希望设计数字高通、带通和带阻滤波器，只需要改变付氏级数系数中积分的上、下限即可。数字高通滤波器窗口法：设计步骤_数字高通令其时域右移M位后的幅频特性为：（频域为e-jMω，表示时域右移M位）97以上设计的是数字低通滤波器，若希望设计数字高通、带通和带阻滤窗口法：设计步骤_数字高通则求得98窗口法：设计步骤_数字高通则求得98窗口法：设计步骤_数字高通

从这个结果可以看出：一个高通滤波器相当于用一个全通滤波器（即ωc=π）减去一个低通滤波器。

传输函数：脉冲响应：Hap(z)Hlp(z)X(z)Y(z)99窗口法：设计步骤_数字高通从这个结果可以看出：数字带通滤波器窗口法：设计步骤_数字带通令其幅频特性为：（频域为e-jMω，表示时域右移M位）则100数字带通滤波器窗口法：设计步骤_数字带通令其幅频特性为：（频窗口法：设计步骤_数字带通求得从这个结果可以看出：一个带通滤波器相当于两个低通滤波器相减，其中一个截止频率为ωh，另一个为ωl。传输函数：脉冲函数：Hlph(z)Hlpl(z)X(z)Y(z)101窗口法：设计步骤_数字带通求得从这个结果可以看出：窗口法：设计步骤_数字带通或者一个带通滤波器相当于一个低通滤波器和一个高通滤波器相乘，即先经过一个LPDF，再经过一个HPDF。传输函数：脉冲函数：（频域相乘，时域卷积）Hlp(z)Hhp(z)X(z)Y(z)102窗口法：设计步骤_数字带通或者一个带通滤波器相

例：用布拉克曼窗设计一个线性相位的理想带通滤波器

求出的表达式。解:可求得此滤波器的时域函数为

103例：用布拉克曼窗设计一

采用布拉克曼窗设计时(N=51)：

104采用布拉克曼窗设计时(

105105

例：利用窗函数法完成数字带通滤波器的设计，并画出其线性相位结构的示意图。低端阻带边缘：低端通带边缘：高端通带边缘：高端阻带边缘：

窗函数旁瓣峰值衰减（dB）过渡带（△w）阻带最小衰减（dB）矩形窗-134π/N-21汉宁窗-318π/N-44汉明窗-418π/N-53布莱克曼窗–5712π/N-74解：106例：利用窗函数法完成

107107

因h(n)为偶对称且N为奇数，其线性相位结构如图表示。108因h(n)为偶对称且N

例：为取样频率为22kHz的系统设计一个FIR带通滤波器，中心频率为4kHz，通带边缘在3.5kHz和4.5kHz，过渡带宽为500Hz，阻带衰减50dB。

解：截止频率：

kHzffh

hc75.425.05.42/5.0=+=+=数字截止频率：脉冲响应：

109例：为取样频率为22所以窗口长度为：窗函数：因为阻带衰减50dB，可以选择Hamming窗，即

则此滤波器的脉冲响应为：

因为过渡带宽500Hz，转换为数字频率为：110所以窗口长度为：窗函数：因为阻带衰减50dB，可以选择111111数字带阻滤波器窗口法：设计步骤_数字带阻令其幅频特性为：（频域为e-jMω，表示时域右移M位）则112数字带阻滤波器窗口法：设计步骤_数字带阻令其幅频特性为：（频窗口法：设计步骤_数字带阻求得从这个结果可以看出：一个带阻滤波器相当于一个低通滤波器加上一个高通滤波器，低通滤波器的截止频率为ωl，高通在ωh。传输函数：脉冲函数：Hlp(z)Hhp(z)+X(z)Y(z)113窗口法：设计步骤_数字带阻求得从这个结果可以看出：一个带阻滤例：利用窗函数法设计满足下列指标的最低阶数的线性相位FIR数字带阻滤波器。该数字带阻滤波器的性能指标如下：低端阻带边缘：；低端通带边缘：；高端阻带边缘：；高端通带边缘：；阻带衰减不小于52dB。窗口法：设计步骤解：由于，可选汉明窗，其过渡带宽为所以取N=67(或N=53)。114例：利用窗函数法设计满足下列指标的最低阶数的线性相位FIR窗口法：设计步骤设理想线性相位带阻滤波器的频率响应为：其中τ=(N-1)/2=33(或τ=26)115窗口法：设计步骤设理想线性相位带阻滤波器的频率响应为：其中窗口法：设计步骤则汉明窗

116窗口法：设计步骤则汉明窗 116FIRDFMatlab设计函数b=fir1(n,wn,options)，单带FIR滤波器b=fir2(n,f,m,options)，多带FIR滤波器两者可设计低通、高通、带通、带阻和通用多带FIR滤波器Fir1具有以下多种形式：b=fir1(n,wn)b=fir1(n,wn,'ftype')b=fir1(n,wn,window)b=fir1(n,wn,'ftype',window)b=fir1(...,'noscale')参数向量b是n阶FIR滤波器的系数截止频率wn是从0到1之间的数，1对应着奈氏频率。对于高通滤波器，ftype为‘high’；带阻滤波器‘ftype’为‘stop’窗口法：Matlab实现117FIRDFMatlab设计函数窗口法：Matlab实对于带通或带阻滤波器，wn为包含通频带边带频率的一个二元素向量[wn1,wn2]。参量‘window’表示所采用的窗函数类型。window的长度必须为n+1（n为滤波器的阶数），若window却省，则fir1使用汉明窗。注意因为奇数阶的II型滤波器（h(n)为偶对称，长度N为偶数）在高频段的频率响应为零，所以fir1函数在高通和带阻情况下不设计II型滤波器，因此，如果n为奇数时，fir1将阶次加1并返回I型滤波器。函数b=fir2(n,f,m)

也可设计加窗FIR滤波器，但它针对任意形状的分段（piece-wise）线性频率响应。向量f由从0到1的频率点组成，其中1表示奈氏频率，第一个点必须是0，最后一个点必须是1，频率点必须是递增的。m是对应于频率点f处的期望的频率幅值响应。f和m的长度必须相等。窗口法：Matlab实现118对于带通或带阻滤波器，wn为包含通频带边带频率的一个二元素Matlab频率响应函数在Matlab中提供了一个freqz函数，利用这个函数开发一个新的函数freqz_m，它给出了绝对的和相对的dB值幅度响应、相位响应以及群延时响应。窗口法：Matlab实现function[db,mag,pha,grd,w]=freqz_m(b,a);%Modifiedversionoffreqzsubroutine%------------------------------------%[db,mag,pha,grd,w]=freqz_m(b,a);%db=RelativemagnitudeindBcomputedover0topiradians%mag=absolutemagnitudecomputedover0topiradians%pha=Phaseresponseinradiansover0topiradians%grd=Groupdelayover0topiradians%w=501frequencysamplesbetween0topiradians%b=numeratorpolynomialofH(z)(forFIR:b=h)%a=denominatorpolynomialofH(z)(forFIR:a=[1])%[H,w]=freqz(b,a,1000,'whole');

H=(H(1:1:501))';w=(w(1:1:501))';mag=abs(H);

db=20*log10((mag+eps)/max(mag));pha=angle(H);grd=grpdelay(b,a,w);119Matlab频率响应函数窗口法：Matlab实现func例5.5

根据下列技术指标，设计一个数字FIR低通滤波器wp=0.2π,Rp=0.25dBws=0.3π，As=50dB采用汉明窗，确定脉冲响应，并给出所设计的滤波器的频率响应图。解:

在设计中，没有使用通带波动值Rp=0.25dB，但必须检查设计的实际波动，验证它是否确实在给定容限内。窗口法：Matlab实现%Lowpassfilterdesign-Hammingwindowwp=0.2*pi;ws=0.3*pi;tr_width=ws-wpN=ceil(6.6*pi/tr_width)+1

n=[0:1:N];wc=(ws+wp)/2h=fir1(N,wc/pi);[db,mag,pha,grd,w]=freqz_m(h,[1]);delta_w=2*pi/1000;Rp=-(min(db(1:1:wp/delta_w+1)))%PassbandRippleAs=-round(max(db(ws/delta_w+1:1:501)))%MinStopbandattenuation120例5.5根据下列技术指标，设计一个数字FIR低通滤波运行结果如下：tr_width=0.3142（过渡带宽）N=67（滤波器的阶数，长度为68，TypeII偶对称偶数）wc=0.7854（理想LPF截止频率）Rp=0.0364（实际通带波动）As=53（最小阻带衰减）窗口法：Matlab实现从结果看，67阶Hamming窗的FIR数字滤波器的实际阻带衰减为53dB，通带波动为0.0364dB，显然满足上面所提的技术要求，其时域和频域响应曲线如下图所示。121运行结果如下：窗口法：Matlab实现从结果看例5.6

利用例5.5给出的设计技术指标，选择Kaiser窗，设计所需的低通滤波器。解：窗口法：Matlab实现%Lowpassfilterdesign-Kaiserwindowwp=0.2*pi;ws=0.3*pi;As=50;tr_width=ws-wp;N=ceil((As-7.95)/(14.36*tr_width/(2*pi))+1)+1n=[0:1:N];beta=0.1102*(As-8.7)wc=(ws+wp)/2;h=fir1(N,wc/pi,Kaiser(N+1,beta));[db,mag,pha,grd,w]=freqz_m(h,[1]);delta_w=2*pi/1000;As=-round(max(db(ws/delta_w+1:1:501)))%MinStopbandAttenuation122例5.6利用例5.5给出的设计技术指标，选择Kai运行结果如下：N=61（滤波器阶数）beta=4.5513As=51（实际的阻带衰减）窗口法：Matlab实现123运行结果如下：窗口法：Matlab实现123例5.7用Blackman窗设计下面的数字带通滤波器

阻带：ws1=0.2π，As1=60dB；ws2=0.8π，As2=60dB。通带：wp1=0.35π，Rp1=1dB；wp2=0.65π，Rp2=1dB；解：窗口法：Matlab实现%Bandpassfilterdesign-Blackmanwindowws1=0.2*pi;wp1=0.35*pi;wp2=0.65*pi;ws2=0.8*pi;As=60;tr_width=min((wp1-ws1),(ws2-wp2))N=ceil(11*pi/tr_width)+1%;N=75n=[0:1:N];wc1=(ws1+wp1)/2;wc2=(wp2+ws2)/2;wn=[wc1/pi,wc2/pi];h=fir1(N,wn,blackman(N+1));[db,mag,pha,grd,w]=freqz_m(h,[1]);delta_w=2*pi/1000;Rp=-min(db(wp1/delta_w+1:1:wp2/delta_w))%Actua;PassbandRippleAs=-round(max(db(ws2/delta_w+1:1:501)))%MinStopbandAttenuation124例5.7用Blackman窗设计下面的数字带通滤波运行结果如下：N=75 （滤波器的阶数）Rp=0.0028（实际的通带波动）As=75（实际的阻带衰减）窗口法：Matlab实现125运行结果如下：窗口法：Matlab实现125例5.8

理想带阻滤波器的频率响应为：窗口法：Matlab实现用Kaiser窗设计一个长度为N的带阻滤波器，它的阻衰减为60dB。解：%Bandstopfilterdesign-KaiserwindowN=46;As=60;n=[0:1:N];beta=0.1102*(As-8.7)+0.3wc1=pi/3;wc2=2*pi/3;wn=[wc1/pi,wc2/pi];h=fir1(N,wn,'stop',kaiser(N+1,beta));[db,mag,pha,grd,w]=freqz_m(h,[1]);126例5.8理想带阻滤波器的频率响应为：窗口法：Matlab窗口法：Matlab实现127窗口法：Matlab实现127例5.9下式给出理想数字微分器的频率响应：

用长度为21的汉明窗，设计一个数字FIR微分器，画出时域和频域响应图。窗口法：Matlab实现128例5.9下式给出理想数字微分器的频率响应：窗口法：Mat解：具有线性相位的数字微分器的理想脉冲响应为：窗口法：Matlab实现用Matlab可以实现上面的脉冲响应，结合汉明窗就可以设计所要求的滤波器。N为奇数，这是一个3型的线性相位FIR滤波器。由于3型滤波器的Hr(π)=0，因此，此滤波器不是一个全通的微分器。129解：具有线性相位的数字微分器的理想脉冲响应为：窗口法：Mat%Differentiatordesign-HammingwindowN=21;alpha=(N-1)/2;n=0:N-1;hd=(cos(pi*(n-alpha)))./(n-alpha);hd(alpha+1)=0;w_ham=(hamming(N))';h=hd.*w_ham;%[Hr,w,P,L]=Hr_Type3(h);%[Hr,w]=freqz(h,1,1000,'whole');[db,mag,pha,grd,w]=freqz_m(h,[1]);窗口法：Matlab实现130%Differentiatordesign-Hamm例5.10

用汉宁窗设计一个长度为21的数字希尔伯特变换器。窗口法：Matlab实现解：线性相位希尔伯特变换器的理想频率响应为：经过逆变换后，理想脉冲响应为：131例5.10用汉宁窗设计一个长度为21的数字希尔伯特变窗口法：Matlab实现由于N=21，所设计的滤波器是3型的。%Hilbertfilterdesign-HammingwindowN=21;alpha=(N-1)/2;n=0:N-1;hd=(sin(pi*(n-alpha)/2)).^2./(n-alpha).*(2/pi);hd(alpha+1)=0;w_ham=(hamming(N))';h=hd.*w_ham;[db,mag,pha,grd,w]=freqz_m(h,[1]);132窗口法：Matlab实现由于N=21，所设计的滤波器是时域内，以有限长单位取样响应h(n)去逼近要求的单位取样响应。

频域内，以有限个频响取样，去逼近要求的频率响应的方法。

频率取样法133时域内，以有限长单位取样响应h(n)去逼近要求的单位取样|H(ejω)|和|Hd(ejω)|的关系在前面第三章DFT和Z变换的关系讲述中，已经阐述过离散时间信号h(n)的Z变换H(z)可以通过内插公式由其DFT变换值H(k)得到。设h(n)为有限长N，则频率取样法：频域取样和内插Z变换在单位圆上等间隔取样（频率取样），则为DFT：反之，则有：即134|H(ejω)|和|Hd(ejω)|的关系频率取样法：频下面研究系统的系统函数H(z)用离散傅氏变换H(k)内插表示：频率取样法：频域取样和内插即135下面研究系统的系统函数H(z)用离散傅氏变换H(k)频率取样法：频域取样和内插而H(k)又为H(ejω)频率响应取样，即即对要求的Hd(ejω)取样，确