初中数学二次函数基础测试题及答案

初中数学二次函数基础测试题及答案一、选择题yax2bxc①abc0；②abc0；③2a0；④c4b0，其中正确的结论是( )①②【答案】D【解析】【分析】

B．①②③ C．①③④ D．①②④根据抛物线开口方向得到a0，根据对称轴x

b 0得到b0，根据抛物线与y轴2a的交点在x轴下方得到c0，所以abc0；x1时，由图像可知此时y0，所以b 1abc0x

，可得2a0x2时，由图像可知此时2a 3y0，即4ac0，将2a代入可得c0.【详解】①根据抛物线开口方向得到a0，根据对称轴xb 0得到b0，根据抛物线与y2a轴的交点在x轴下方得到c0，所以abc0，故①正确.xy0，即abc0正确.b 1③x

，可得2a0，所以2a0③错误；2a 3④x2y0，即4ac0③中2a0变形为2a，代入可得c0正确.故答案选D.【点睛】本题考查了二次函数的图像与系数的关系，注意用数形结合的思想解决问题。4个结论：①abc＜0；②2a+b＝0；③4a+2b+c＞0；④b2﹣4ac＞0；其中正确的结论的个数是（ ）A．1【答案】D【解析】【分析】

B．2 C．3 D．4根据二次函数y＝ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定解答．【详解】①由抛物线的对称轴可知：﹣＞0，∴ab＜0，∵抛物线与y轴的交点在正半轴上，∴c＞0，∴abc＜0，故①正确；②∵﹣＝1，∴b＝﹣2a，∴2a+b＝0，故②正确．③∵（0，c）关于直线x＝1的对称点为（2，c），而x＝0时，y＝c＞0，∴x＝2时，y＝c＞0，∴y＝4a+2b+c＞0，故③正确；④由图象可知：△＞0，∴b2﹣4ac＞0，故②正确；故选：D．【点睛】本题考查二次函数的图象与系数的关系，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，属于中考常考题型．(－1,0)和点(3,0)②a＋b＋c＞0；③2a＋b＝0；④4ac＞b2．其中错误的( )②④【答案】C【解析】【分析】

B．①③④ C．①②④ D．②③④利用抛物线开口方向得到a0y轴的右侧得到b0yx轴下方得到c0Ax1y0B进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线xxD进行判断．【详解】解抛物线开口向上，a0，对称轴在y轴的右侧，a和b异号，b0，抛物线与y轴的交点在x轴下方，c0，bc0x1y0，abc0错误；抛物线经过点(1,0)和点(3,0) ，抛物线的对称轴为直线x1，即b1，2a2ab0正确；x2△b24ac0，即4acb2，所以④错误．综上所述：③正确；①②④错误．故选：C．【点睛】

b1，则可对C进行判断；2a本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数yax2bxc(a0)数a决定抛物线的开口方向和大小；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置（左同右异）．常数项cy轴交点(0,cx△决定．y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点是x的一个交点在点（3，0）和（4，0）④一元二次方程ax2+bx+c=n-1有两个不等的实数根．其中正确结论的个数是（ ）A．1【答案】C【解析】【分析】

B．2 C．3 D．4利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间，则b当x=-1时，y>0，于是可对①进行判断；利用抛物线的对称轴为直线x=-2a=1，即b=-2a进行判断；利用抛物线的顶点的纵坐标为n4acb2=n进行4ay=ny=n-12个公共点，于是④进行判断．【详解】∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x=1，∴抛物线与x轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间．∴当x=-1时，y＞0，即a-b+c＞0，所以①正确；b∵抛物线的对称轴为直线x=-2a=1，即b=-2a，∴3a+b=3a-2a=a，所以②错误；∵抛物线的顶点坐标为（1，n），∴4acb2=n，4a∴b2=4ac-4an=4a（c-n），所以③正确；∵抛物线与直线y=n有一个公共点，y=n-12个公共点，∴一元二次方程ax2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根，所以④正确．故选C．【点睛】本题考查了二次函数图像与系数的关系，熟练掌握二次函数性质是解题的关键.A（3，0），x＝1，给出以下结论若M（﹣0.5，y1）N（2.5，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2．其中正确的是（ ）A．①③④【答案】C【解析】【分析】

B．①②3④ C．①②③ D．②③④根据二次函数的图象与性质即可求出答案．【详解】解：①由图象可知：a＜0，c＞0，b2a＞0，∴b＞0，∴abc＜0，故①正确；b②2a＝1，∴b＝﹣2a，∵抛物线过点（3，0），∴0＝9a+3b+c，∴9a﹣6a+c＝0，∴3a+c＝0，故②正确；③当x＝1时，y取最大值，y的最大值为a+b+c，当x取全体实数时，ax2+bx+c≤a+b+c，即ax2+bx≤a+b，故③正确；1 ④（﹣0.5，y）关于对称轴x＝1的对称点为（2.5，y1 1 ∴y＝y故选：C1 【点睛】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．（2）方程两根都大于零随x的增大而增大一次函数y＝x+bc的图象一定不过第二象限．其中正确的个数是（ ）A．1个【答案】C【解析】【分析】

B．2个 C．3个 D．4个0，故正确，函数与xx=1.x=30，故（2）正确，由图像知，与yx=﹣＝1b＜0，bc＜0y＝x+bc.【详解】①由x＝2时，y＝4a+2b+c，由图象知：y＝4a+2b+c＜0，故正确；②方程ax2+bx+c＝0两根分别为1，3，都大于0，故正确；③x的增大而减小，故错误；④y＝1＞0，∴b＜0，∴bc＜0，∴一次函数y＝x+bc的图象一定过第一、三、四象限，故正确；故正确的共有3个，故选：C．【点睛】此题主要考查二次函数的图像，解题的关键是熟知各系数所代表的含义.若二次函数y＝x2﹣2x+2在自变量xm≤x≤m+16，则m的值为2（ ）2A．5, 5,1 5,1C．1【答案】B【解析】【分析】

B． 5, 155D． 5,155x=1m+1＜1两种情况，分别确定出其最小6，则可得到关于m的方程，可求得m的值．【详解】∵y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，∴抛物线开口向上，对称轴为x＝1，时，可知当自变量xm≤x≤m+1时，yx的增大而增大，5∴当x＝m时，y有最小值，55∴m2﹣2m+2＝6，解得m＝1+5

m＝1﹣

（舍去），m+1＜1时，可知当自变量xm≤x≤m+1随x的增大而减小，∴当x＝m+1时，y有最小值，m＝5（舍去）或m＝﹣5，综上可知m的值为1+ 5或﹣5故选B．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，用m表示出其最小值是解题的关键．如图，矩形ABCD 的周长是28cm，且AB比BC长2cm．若点P从点A出发，以/sADC方向匀速运动，同时点QA出发，以/s的速度沿ABC方向匀速运动，当一个点到达点C时，另一个点也随之停止运动．若设运动 时间为t(s，APQ的面积为Scm2

，则Scm2

与t(s之间的函数图象大致是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】AB、AD0≤t≤4时，QAB上，PAD1，计算St的关系式，分析图像可排除选项BC4＜t≤6时，QBC上，PAD上，如2，计算St的关系式，分析图像即可排除选项D，从而得结论．【详解】解：由题意得2AB2BC28，ABBC2，可解得AB8，BC6，即AD6，①当0≤t≤4时，Q在边AB上，P在边AD上，如图1，1 1S△APQ=2

AP AQ

2t2tt2，图像是开口向上的抛物线，故选项B、C不正确；②当4＜t≤6时，Q在边BC上，P在边AD上，如图2，1 1S△APQ=2

AP AB

2t8，图像是一条线段，故选项D不正确；故选：A．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，根据动点P和Q的位置的不同确定三角形面积的不同，解决本题的关键是利用分类讨论的思想求出S与t的函数关系式．yax22axc的图象经过点则方程ax22axc0的解为（）A．x3，xA1

1 ．x1

1，x 32

．x1，xC1 C

3 ．xD1D

3，x21【答案】C【解析】【分析】【详解】yax22axc的图象经过点方程ax22axc0一定有x=1yax22axc的图象与x轴的另一个交点为：（3，0），∴方程ax22axc0的解为：x

1，x121

3．故选C．考点：抛物线与x轴的交点．已知抛物线y＝x2+2x﹣m﹣1与x轴没有交点，则函数y＝的大致图象是（ ）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】由题意可求m＜﹣2，即可求解．【详解】∵抛物线y＝x2+2x﹣m﹣1与x轴没有交点，∴△＝4﹣4（﹣m﹣1）＜0∴m＜﹣2∴函数y＝的图象在第二、第四象限，故选B．【点睛】本题考查了反比例函数的图象，二次函数性质，求m的取值范围是本题的关键．O处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y＝4x－1 12x2刻画，斜坡可以用一次函数y＝2x刻画，下列结论错误的( )1:2O4米呈下降趋势O7米7.5mO3m【答案】D【解析】【分析】A、CBy7.5xD．【详解】y1x24x 2解： 1 ，y x 2x7x0 2解得，1 ， 7，12y0 y 21272∶7=1∶2，∴A正确；1小球落地点距O点水平距离为7米，C正确；1y4x x221 (x4)28，12则抛物线的对称轴为x4，x4yx的增大而减小，即小球距O4正确，当y7.5时，7.54x1x2，2x28x150，x1

3，x2

5，当小球抛出高度达到时，小球水平距O点水平距离为或，D意；故选：D【点睛】本题考查的是解直角三角形的坡度问题、二次函数的性质，掌握坡度的概念、二次函数的性质是解题的关键．则，我们规定如：3*2＝3×2﹣3+2＝5．以下说法中错误的是（ ）A．不等式x＜3By＝（x+2）*xxC．在实数范围内，无论a取何值，代数式a*（a+1）的值总为正数D．方程（x﹣2）*3＝5的解是x＝5【答案】D【解析】【分析】根据题目中所给的运算法则列出不等式，解不等式即可判定选项A；根据题目中所给的运算法则求得函数解析式，由此即可判定选项B；根据题目中所给的运算法则可得a*1 3（a+1）＝a（a+1）﹣a+（a+1）＝a2+a+1＝（a2）24＞0，由此即可判定选项C；根据题目中所给的运算法则列出方程，解方程即可判定选项D.【详解】∵a*b＝ab﹣a+b，∴（﹣2）*（3﹣x）＝（﹣2）×（3﹣x）﹣（﹣2）+（3﹣x）＝x﹣1，∵（﹣2）*（3﹣x）＜2，∴x﹣1＜2，解得x＜3，故选项A正确；∵y＝（x+2）*x＝（x+2）x﹣（x+2）+x＝x2+2x﹣2，1 ∴当时，x2+2x﹣2＝0，解得，x＝﹣1+ 3，x＝﹣1﹣3，故选项B1 1 3∵a*（a+1）＝a（a+1）﹣a+（a+1）＝a2+a+1＝（a+2）2+4＞0，∴在实数范围内，无论a取何值，代数式a*（a+1）的值总为正数，故选项C正确；∵（x﹣2）*3＝5，解得，x＝3，故选项D错误；【点睛】本题是阅读理解题，根据题目中所给的运算法则得到相应的运算式子是解决问题的关键.y=ax2+bx+c（a≠0）x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结1 2论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；3＜a3（）A．①②③【答案】B【解析】

B．①③④ C．②③④ D．①②④【分析】x=1及图象开口向下可判断出、b、c①性得到函数图象经过的判断；根据图象经过，0）可得到a、、c作判断；从图象与y轴的交点B在（0，2）和（0，1）之间可以c③的正误．【详解】①∵函数开口方向向上，∴a＞0；∵对称轴在y轴右侧∴ab异号，∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，∴c＜0，∴abc＞0，故①正确；②∵图象与x轴交于点A（1，0），对称轴为直线x=1，∴图象与x轴的另一个交点为（3，0），∴当x=2时，y＜0，∴4a+2b+c＜0，故②错误；③∵图象与y轴的交点B在（0，2）和（0，1）之间，∴2＜c＜1∵b1，2a∴b=2a，∵函数图象经过（1，0），∴ab+c=0，∴c=3a，∴2＜3a＜1，1 23＜a3；故正确④∵函数图象经过（1，0），∴ab+c=0，∴bc=a，∵a＞0，∴bc＞0，即b＞c；故④正确；故选B．【点睛】主要考查图象与二次函数系数之间的关系．解题关键是注意掌握数形结合思想的应用．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，动点P从A点出发，以每秒1个单位长度速度沿AB向B点运动，同时动点Q从B点出发，以每秒2个单位长度的速度沿BCCDPBQ点同时停止运动．设P点运动的时间为tAPQ的面积为S，则表示S与t之间的函数关系的图象大致是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】PAB上运动，点QBCPAB上运动，QCD上运动，依次得出St的关系式，即可判断得出答案．【详解】解：当点PAB上运动，点QBCAPtBQ2t1SAPQ

tt2，函数图象为抛物线；2当点P在AB上运动，点Q在BC上运动时，APt，APQAP上的高保持不变1S t4，函数图象为一次函数；APQ 2【点睛】本题考查的知识点是函数图象，理解题意，分段求出S与t之间的函数关系是解此题的关键．函数yax和yax2bxc在同一直角坐标系内的图象大致是（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根据、b除．【详解】当a＞0时，二次函数的图象开口向上，一次函数的图象经过一、三或一、二、三或一、三、四象限，故A、D不正确；b由B、C中二次函数的图象可知，对称轴x=-2a＞0，且a＞0，则b＜0，B中，一次函数，排除C．MM整点”．例如：P（1，0）、“”y＝mx2﹣4mx+4m﹣2（m＞0）x轴ABABAB所围成的区域（包括边界恰有七个整点，则m的取值范围是（ ）1A．2≤m＜1【答案】B【解析】【分析】

1B．2＜m≤1

C．1＜m≤2 D．1＜m＜2画出图象，利用图象可得m的取值范围【详解】∵y＝mx2﹣4mx+4m﹣2＝m（x﹣2）2﹣2且m＞0，∴该抛物线开口向上，顶点坐标为（2，﹣2），对称轴是直线x＝2．由此可知点（2，0）、点（2，﹣1）、顶点（2，﹣2）符合题意．①当该抛物线经过点（1，﹣1）和（3，﹣1）时（如答案图1），这两个点符合题意．将（1，﹣1）代入y＝mx2﹣4mx+4m﹣2得到﹣1＝m﹣4m+4m﹣2．解得m＝1．此时抛物线解析式为y＝x2﹣4x+2．x2﹣4x+2＝0x1

122

0.6，x2

2 2∴x轴上的点（1，0）、（2，0）、（3，0）符合题意．则当m＝1时，恰好有（1，0）、（2，0）、（3，0）、（1，﹣1）、（3，﹣1）、（2，﹣1）、（2，﹣2）这7个整点符合题意．∴m≤1．【注：m的值越大，抛物线的开口越小，m的值越小，抛物线的开口越大】答案图1（m＝1时） 答案图2（m＝时）②当该抛物线经过点（0，0）和点（4，0）时（如答案图2），这两个点符合题意．此时x轴上的点（1，0）、（2，0）、（3，0）也符合题意．1将（0，0）0＝0﹣4m+0﹣2m＝2．1y＝2x2﹣2x．1 3x＝1yx＝3y

212121．∴点（1，﹣1）符合题意．1 3292321.∴点（3，﹣1）符合题意．1m＝2时，点、（1，0）、、（3，0）、、（1，﹣1）、、、（2，﹣1）都符合题意，共有9个整点符合题意，1∴m＝2不符合题．1∴m＞2．1综合①②可得：当2＜m≤1时，该函数的图象与x轴所围成的区域（含边界）内有七个整点，故选：B．【点睛】考查二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，画出图象，数形结合是解题的关键.已知二次函数y(xh)2(h为常),当自变量x的值满足2x5时,与其对应的函数值y的最大值-1,则h的值( )A．3或6【答案】B【解析】

B．1或6 C．1或3 D．4或6分析：分、2≤h≤5和h＞5三种情况考虑：当h＜2时，根据二次函数的性质可得出关h的一元二次方程，解之即可得出结论；当2≤h≤5时，由此时函数的最大值为0与题意不符，可得出该情况不存在；当h＞5时，根据二次函数的性质可得出关于h的一元二次方程，解之即可得出结论．综上即可得出结论．详解：如图，当h＜2时，有-（2-h）2=-1，解得：h1=1，h2=3（舍去）；当2≤h≤5时，y=-（x-h）2的最大值为0，不符合题意；h＞5-（5-h）2=-1，解得：h3=4（舍去），h4=6．16．故选B．点睛：本题考查了二次函数的最值以及二次函数的性质，分、2≤h≤5和h＞5三种情况求出h值是解题的关键．已知抛物线的顶点M关于坐标原点O的对称点为M′，若点M′在这条抛物线上，则点M的坐标为（ ）A．（1，-5）【答案】C【解析】【分析】【详解】

B．（3，-13） C．（2，-8） D．（4，-20）yx22mx4=(xm)2m24，∴点M（m，﹣m2﹣4），∴M′（﹣m，m2+4），∴m2+2m2﹣4=m2+4．解得m=±2．∵m＞0，∴m=2，∴M（2，﹣8）．故选C．【点睛】本题考查二次函数的性质．y3xayax2+3x的图象可能是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】【