第2章a-平面力系的合成与平衡课件

第2章

平面力系的合成与平衡

第2章

平面力系的合成与平衡1平面汇交力系合成的几何法

多边形abcde称为此平面汇交力系的力多边形

求合力矢的几何作图法称为力多边形法则矢量称为此力多边形的封闭边

2.1平面汇交力系合成与平衡平面汇交力系合成的几何法多边形abcde称为此平面汇2

必须注意:2.若改变各分力矢的合成次序，则绘出的力多边形的形状亦会随之改变，但不会影响合力FR的大小和方向。1.力多边形中各分力矢量首尾相接沿着同一方向环绕力多边形。由此组成的力多边形abcde有一缺口，故为不封闭的力多边形，而合力矢则沿相反方向连接此缺口，构成力多边形的封闭边。

必须注意:2.若改变各分力矢的合成次序，3结论：平面汇交力系可简化为一合力，其合力的大小与方向等于各分力的矢量和（几何和），合力的作用线通过力系的汇交点。可简写为

结论：平面汇交力系可简化为一合力，其合力的大小与方向等于42.1.2平面汇交力系平衡的几何条件平面汇交力系平衡的必要和充分的几何条件是：力系的力多边形自行封闭。平面汇交力系平衡的充分和必要条件是力系的合力矢等于零。或力系中各力矢的矢量和等于零，即2.1.2平面汇交力系平衡的几何条件平面汇交力系平衡的必5例支架的横梁AB与斜杆DC彼此以铰链C相联接，并各以铰链A、D连接于铅直墙上。如图所示。已知AC＝CB；杆DC与水平线夹45°角；荷载Fp=10kN，作用于B处。梁和杆的重量忽略不计，求铰链A的约束反力和杆DC所受的力。

例支架的横梁AB与斜杆DC彼此以铰链C相联接，并各以铰链6量得：FC=28.3kNFA=22.4kN解：选取横梁AB为研究对象

量得：FC=28.3kNFA=22.4kN解：选7平面汇交力系合成与平衡的解析法

平面汇交力系合成与平衡的解析法

82.2.1力在直角坐标轴上的投影与力的解析表达式2.2.1力在直角坐标轴上的投影与力的解析表达式9力在轴上的投影为代数量,当力与投影轴正向间夹角为锐角时，其值为正；夹角为钝角时，其值为负。力在轴上的投影为代数量,当力与投影轴正向间夹角为锐角时，10例试用解析法求作用在图示支架上点O的三个力的合力的大小和方向。

解：建立直角坐标系Oxy

求合力FR在坐标轴上的投影

2.2.2平面汇交力系合成的解析法例试用解析法求作用在图示支架上点O的三个力的合力的大小和方11合力的大小为:

合力方向:合力的大小为:合力方向:122.2.3平面汇交力系的平衡方程平面汇交力系平衡的必要和充分条件是该力系的合力矢FR等于零。合力FR等于零，必须有FRx＝0、FRy＝0，即用解析式表示的平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：各力在力系作用面内两个坐标轴上投影的代数和分别等于零。平面汇交力系的平衡方程2.2.3平面汇交力系的平衡方程平面汇交力系平衡的13注意：利用平衡方程求解平衡问题时，受力图中的未知力的指向可以任意假设。若计算结果为正值，表示假设的指向就是实际的指向；若计算结果为负值，表示假设的指向与实际指向相反。解题的步骤：

(1)选取研究对象(2)画研究对象受力图(3)选投影轴，建立平衡方程(4)求解未知量

注意：利用平衡方程求解平衡问题时，受力图中的未知力的指向可以14例图为井架起重装置。重物通过卷扬机D由绕过滑轮B的钢索起吊。设重物E重FP=20kN，起重臂的重量、滑轮的大小和重量以及钢索的重量均不计。试求当重物E匀速上升时起重臂AB和杆件BC所受的力。

例图为井架起重装置。重物通过卷扬机D由绕过滑轮B的钢索起15解：取滑轮B连同重物E一起为研究对象取投影轴x沿CB方向，y轴垂直于FBC算出FBA和FBC均为正值，说明图中所画力FBA、FBC的方向正确。由作用与反作用定律知，起重臂受压力为45.0kN，BC杆受拉力为9.65kN。

解：取滑轮B连同重物E一起为研究对象取投影轴x沿CB方向，y16例

桁架接头，由四根角钢材料铆接在连接板上而成。这四根杆件的轴线汇交于O点，作用在杆件2和4上的力分别为F2＝4kN，F4＝2kN，求在平衡状态下，作用在杆件1和3上的力F1、F3的值。例桁架接头，由四根角钢材料铆接在连接板上而成。这四根杆件17解：以接头为研究对象,设1、3杆受拉。

F1和F3均为负值，说明实际力F1和F3的指向与所假设的方向相反，1、3两杆均受压力作用。解：以接头为研究对象,设1、3杆受拉。F1和F3均为负值18平面力偶系的合成与平衡

平面力偶系的合成与平衡192.3.1力对点的矩的概念与计算

OFh力对点的矩可以用来度量力使物体绕点转动的效应。力对点的矩是一个代数量，它的绝对值等于力的大小F

与力臂h的乘积，力使物体绕矩心逆时针转向转动时取为正值，反之取为负值。

MO(F)＝±Fh力矩的单位常用N·m或kN·m记为：2.3.1力对点的矩的概念与计算OFh力对点的矩可以用来20力矩性质

（1）力F对点O的矩，不仅决定于力的大小，同时与矩心的位置有关。矩心的位置不同，力矩随之而异。

（3）力的大小等于零，或力的作用线通过矩心（即力臂h=0），则力矩等于零。（4）相互平衡的两个力对同一点的矩的代数和等于零。

（2）力F沿其作用线移动，不改变它对点的矩。力矩性质（1）力F对点O的矩，不仅决定于力的大小，同时与矩212.3.2合力矩定理合力矩定理：平面汇交力系的合力对于平面内任一点的矩等于其分力对于同一点之矩的代数和。即：简写为：2.3.2合力矩定理合力矩定理：平面汇交力系的合力22例图示挡土墙每1m长所受土压力的合力为FR，它的大小为FR=150kN，方向如图示。求土压力FR使墙倾覆的力矩。30°AF1F2FRda=2mb=1.5m例图示挡土墙每1m长所受土压力的合力为FR，它的大小为F23解：土压力FR可使挡土墙绕墙趾A点倾覆，故求FR使墙倾覆的力矩，就是求FR对A点的力矩。

30°AF1F2FRda=2mb=1.5m解：土压力FR可使挡土墙绕墙趾A点倾覆，故求FR使墙倾覆的力24例

重力坝受力情况如图。已知F1＝400kN，F2＝80kN，F3＝450kN，F4＝200kN。试验算在此情况下重力坝会不会绕A点倾覆。例重力坝受力情况如图。已知F1＝400kN，F2＝80k25解：F1是使重力坝绕A点倾覆的力，它对A点产生的力矩是倾覆力矩；而阻止重力坝倾覆的力是F2、F3、F4，它们对A点产生的力矩是抗倾覆力矩。

倾覆力矩为

解：F1是使重力坝绕A点倾覆的力，它对A点产生的力矩是倾覆力26抗倾覆力矩为

抗倾覆力矩大于倾覆力矩的绝对值，重力坝不会倾覆。

倾覆力矩抗倾覆力矩为抗倾覆力矩大于倾覆力矩的绝对值，重力坝不会倾27力偶:大小相等、方向相反、作用线平行的一对力力偶与力偶矩记作：(F、F′)力偶:大小相等、方向相反、作用线平行的一对力力偶与力偶矩记作28由于力偶中的两个力的矢量和等于零，因而力偶不可能使物体产生移动效应，又因为力偶中的两力不共线，所以也不能相互平衡。这样的两个力可以使物体产生纯转动效应。

力偶作用面：力偶臂：力偶中两个力作用线所决定的平面力偶中两个力作用线之间的距离由于力偶中的两个力的矢量和等于零，因而力偶不可能使物29力偶使物体转动的效应，取决于力偶的两个反向平行力和力偶臂的大小以及力偶的转向。

在平面力系问题中，力偶在力系作用面内的转向不是逆时针方向就是顺时针方向，因而可以把力偶中的力的大小F与力偶臂d的乘积加上适当的正负号作为度量力偶对物体转动效应的物理量，称为力偶矩。记为:或M

表示，即

通常规定，力偶逆时针旋转时，力偶矩为正；反之为负。

力偶使物体转动的效应，取决于力偶的两个反向平行力和力偶臂30力偶的简明表示:力偶矩的单位和力矩的单位相同:N·m或kN·m。

在平面力系问题中，力偶矩是一个代数量。

力偶的简明表示:力偶矩的单位和力矩的单位相同:N·m或k312.4.2力偶的基本性质

1.力偶没有合力，既不能与一个力等效也不能与一个力相平衡。

2.力偶对其作用面内任一点之矩恒等于力偶矩，而与矩心位置无关。3.在同一平面内的两个力偶，如果它们的力偶矩大小相等，力偶的转向相同，则这两个力偶是等效的。称为力偶的等效性。

2.4.2力偶的基本性质1.力偶没有合力，既不能32证明：

设有一力偶作用在物体上，其力偶矩为M＝Fd

在力偶的作用面内任取一点O为矩心，则力偶的两个力对O点之矩的代数和为此值即等于力偶矩证明：

设有一力偶作用在物体上，其力偶矩为M＝Fd33根据力偶的等效性，可得出两个推论

:推论1：力偶可在其作用面内任意移动，而不改变它对刚体的转动效应。即力偶对刚体的转动效应与其在作用面内的具体位置无关。推论2：在保持力偶矩大小和转向不变的情况下，可任意改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，不会改变它对刚体的转动效应。根据力偶的等效性，可得出两个推论:推论1：力偶可在其作用面34平面力偶系的合成和平衡条件

平面力偶系:作用在物体上同一平面内的一群力偶1．平面力偶系的合成

设有三个力偶(Fl，F1′)、(F2，F2′)、(F3，F3′)作用在刚体的同一平面内，其力偶矩分别为Ml＝Fldl、M2＝F2d2、M3＝–F3d3

平面力偶系的合成和平衡条件平面力偶系:作用在物体上同35在力偶作用面内任意取一线段AB,并且令AB＝d，将各力偶在作用面内移转，使它们的力偶臂都与AB重合，于是得到与原力偶系等效的三个新力偶(FⅠ，FⅠ′)、(FⅡ，FⅡ′)和(FⅢ，FⅢ′)。而力FⅠ、FⅡ、FⅢ的大小为

在力偶作用面内任意取一线段AB,并且令AB＝d，将各力36设FⅠ＋FⅡ>FⅢ

F与F′大小相等，方向相反，作用线平行而不重合，所以构成了与原力偶系等效的合力偶

设FⅠ＋FⅡ>FⅢF与F′大小相等，方向相反，37合力偶的矩为

即

结论：平面力偶系可以合成为一个合力偶，合力偶矩等于各分力偶矩的代数和。合力偶的矩为即结论：平面力偶系可以合成为一个合力偶，合力382．平面力偶系的平衡

平面力偶系平衡的必要与充分条件是：力偶系中各力偶矩的代数和等于零。平面力偶系的平衡方程2．平面力偶系的平衡平面力偶系平衡的必要与充分条件是39例如图所示，在物体的某平面内受到三个力偶作用。已知Fl＝300N，F2＝600N，Me＝100N·m，求其合成结果。解：由平面力偶系的合成结果可知此三个力偶合成的结果是一个合力偶。例如图所示，在物体的某平面内受到三个力偶作用。已知Fl＝340第2章a-平面力系的合成与平衡课件41合力偶矩大小为

转向为逆时针方向，与原力偶系共面。

合力偶矩大小为转向为逆时针方向，与原力偶系共面。42例不计重量的水平杆AB，受到固定铰支座A和连杆DC的约束，如图所示。在杆AB的B端有一力偶(F、F′)作用，其力偶矩的大小为。求固定铰支座A的反力FA和连杆DC的反力FDC。解：以杆AB为研究对象

例不计重量的水平杆AB，受到固定铰支座A和连杆DC的约束，43由平面力偶系的平衡条件，有

由平面力偶系的平衡条件，有44第2章

平面力系的合成与平衡

第2章

平面力系的合成与平衡45平面汇交力系合成的几何法

多边形abcde称为此平面汇交力系的力多边形

求合力矢的几何作图法称为力多边形法则矢量称为此力多边形的封闭边

2.1平面汇交力系合成与平衡平面汇交力系合成的几何法多边形abcde称为此平面汇46

必须注意:2.若改变各分力矢的合成次序，则绘出的力多边形的形状亦会随之改变，但不会影响合力FR的大小和方向。1.力多边形中各分力矢量首尾相接沿着同一方向环绕力多边形。由此组成的力多边形abcde有一缺口，故为不封闭的力多边形，而合力矢则沿相反方向连接此缺口，构成力多边形的封闭边。

必须注意:2.若改变各分力矢的合成次序，47结论：平面汇交力系可简化为一合力，其合力的大小与方向等于各分力的矢量和（几何和），合力的作用线通过力系的汇交点。可简写为

结论：平面汇交力系可简化为一合力，其合力的大小与方向等于482.1.2平面汇交力系平衡的几何条件平面汇交力系平衡的必要和充分的几何条件是：力系的力多边形自行封闭。平面汇交力系平衡的充分和必要条件是力系的合力矢等于零。或力系中各力矢的矢量和等于零，即2.1.2平面汇交力系平衡的几何条件平面汇交力系平衡的必49例支架的横梁AB与斜杆DC彼此以铰链C相联接，并各以铰链A、D连接于铅直墙上。如图所示。已知AC＝CB；杆DC与水平线夹45°角；荷载Fp=10kN，作用于B处。梁和杆的重量忽略不计，求铰链A的约束反力和杆DC所受的力。

例支架的横梁AB与斜杆DC彼此以铰链C相联接，并各以铰链50量得：FC=28.3kNFA=22.4kN解：选取横梁AB为研究对象

量得：FC=28.3kNFA=22.4kN解：选51平面汇交力系合成与平衡的解析法

平面汇交力系合成与平衡的解析法

522.2.1力在直角坐标轴上的投影与力的解析表达式2.2.1力在直角坐标轴上的投影与力的解析表达式53力在轴上的投影为代数量,当力与投影轴正向间夹角为锐角时，其值为正；夹角为钝角时，其值为负。力在轴上的投影为代数量,当力与投影轴正向间夹角为锐角时，54例试用解析法求作用在图示支架上点O的三个力的合力的大小和方向。

解：建立直角坐标系Oxy

求合力FR在坐标轴上的投影

2.2.2平面汇交力系合成的解析法例试用解析法求作用在图示支架上点O的三个力的合力的大小和方55合力的大小为:

合力方向:合力的大小为:合力方向:562.2.3平面汇交力系的平衡方程平面汇交力系平衡的必要和充分条件是该力系的合力矢FR等于零。合力FR等于零，必须有FRx＝0、FRy＝0，即用解析式表示的平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：各力在力系作用面内两个坐标轴上投影的代数和分别等于零。平面汇交力系的平衡方程2.2.3平面汇交力系的平衡方程平面汇交力系平衡的57注意：利用平衡方程求解平衡问题时，受力图中的未知力的指向可以任意假设。若计算结果为正值，表示假设的指向就是实际的指向；若计算结果为负值，表示假设的指向与实际指向相反。解题的步骤：

(1)选取研究对象(2)画研究对象受力图(3)选投影轴，建立平衡方程(4)求解未知量

注意：利用平衡方程求解平衡问题时，受力图中的未知力的指向可以58例图为井架起重装置。重物通过卷扬机D由绕过滑轮B的钢索起吊。设重物E重FP=20kN，起重臂的重量、滑轮的大小和重量以及钢索的重量均不计。试求当重物E匀速上升时起重臂AB和杆件BC所受的力。

例图为井架起重装置。重物通过卷扬机D由绕过滑轮B的钢索起59解：取滑轮B连同重物E一起为研究对象取投影轴x沿CB方向，y轴垂直于FBC算出FBA和FBC均为正值，说明图中所画力FBA、FBC的方向正确。由作用与反作用定律知，起重臂受压力为45.0kN，BC杆受拉力为9.65kN。

解：取滑轮B连同重物E一起为研究对象取投影轴x沿CB方向，y60例

桁架接头，由四根角钢材料铆接在连接板上而成。这四根杆件的轴线汇交于O点，作用在杆件2和4上的力分别为F2＝4kN，F4＝2kN，求在平衡状态下，作用在杆件1和3上的力F1、F3的值。例桁架接头，由四根角钢材料铆接在连接板上而成。这四根杆件61解：以接头为研究对象,设1、3杆受拉。

F1和F3均为负值，说明实际力F1和F3的指向与所假设的方向相反，1、3两杆均受压力作用。解：以接头为研究对象,设1、3杆受拉。F1和F3均为负值62平面力偶系的合成与平衡

平面力偶系的合成与平衡632.3.1力对点的矩的概念与计算

OFh力对点的矩可以用来度量力使物体绕点转动的效应。力对点的矩是一个代数量，它的绝对值等于力的大小F

与力臂h的乘积，力使物体绕矩心逆时针转向转动时取为正值，反之取为负值。

MO(F)＝±Fh力矩的单位常用N·m或kN·m记为：2.3.1力对点的矩的概念与计算OFh力对点的矩可以用来64力矩性质

（1）力F对点O的矩，不仅决定于力的大小，同时与矩心的位置有关。矩心的位置不同，力矩随之而异。

（3）力的大小等于零，或力的作用线通过矩心（即力臂h=0），则力矩等于零。（4）相互平衡的两个力对同一点的矩的代数和等于零。

（2）力F沿其作用线移动，不改变它对点的矩。力矩性质（1）力F对点O的矩，不仅决定于力的大小，同时与矩652.3.2合力矩定理合力矩定理：平面汇交力系的合力对于平面内任一点的矩等于其分力对于同一点之矩的代数和。即：简写为：2.3.2合力矩定理合力矩定理：平面汇交力系的合力66例图示挡土墙每1m长所受土压力的合力为FR，它的大小为FR=150kN，方向如图示。求土压力FR使墙倾覆的力矩。30°AF1F2FRda=2mb=1.5m例图示挡土墙每1m长所受土压力的合力为FR，它的大小为F67解：土压力FR可使挡土墙绕墙趾A点倾覆，故求FR使墙倾覆的力矩，就是求FR对A点的力矩。

30°AF1F2FRda=2mb=1.5m解：土压力FR可使挡土墙绕墙趾A点倾覆，故求FR使墙倾覆的力68例

重力坝受力情况如图。已知F1＝400kN，F2＝80kN，F3＝450kN，F4＝200kN。试验算在此情况下重力坝会不会绕A点倾覆。例重力坝受力情况如图。已知F1＝400kN，F2＝80k69解：F1是使重力坝绕A点倾覆的力，它对A点产生的力矩是倾覆力矩；而阻止重力坝倾覆的力是F2、F3、F4，它们对A点产生的力矩是抗倾覆力矩。

倾覆力矩为

解：F1是使重力坝绕A点倾覆的力，它对A点产生的力矩是倾覆力70抗倾覆力矩为

抗倾覆力矩大于倾覆力矩的绝对值，重力坝不会倾覆。

倾覆力矩抗倾覆力矩为抗倾覆力矩大于倾覆力矩的绝对值，重力坝不会倾71力偶:大小相等、方向相反、作用线平行的一对力力偶与力偶矩记作：(F、F′)力偶:大小相等、方向相反、作用线平行的一对力力偶与力偶矩记作72由于力偶中的两个力的矢量和等于零，因而力偶不可能使物体产生移动效应，又因为力偶中的两力不共线，所以也不能相互平衡。这样的两个力可以使物体产生纯转动效应。

力偶作用面：力偶臂：力偶中两个力作用线所决定的平面力偶中两个力作用线之间的距离由于力偶中的两个力的矢量和等于零，因而力偶不可能使物73力偶使物体转动的效应，取决于力偶的两个反向平行力和力偶臂的大小以及力偶的转向。

在平面力系问题中，力偶在力系作用面内的转向不是逆时针方向就是顺时针方向，因而可以把力偶中的力的大小F与力偶臂d的乘积加上适当的正负号作为度量力偶对物体转动效应的物理量，称为力偶矩。记为:或M

表示，即

通常规定，力偶逆时针旋转时，力偶矩为正；反之为负。

力偶使物体转动的效应，取决于力偶的两个反向平行力和力偶臂74力偶的简明表示:力偶矩的单位和力矩的单位相同:N·m或kN·m。

在平面力系问题中，力偶矩是一个代数量。

力偶的简明表示:力偶矩的单位和力矩的单位相同:N·m或k752.4.2力偶的基本性质

1.力偶没有合力，既不能与一个力等效也不能与一个力相平衡。

2.力偶对其作用面内任一点之矩恒等于力偶矩，而与矩心位置无关。3.在同一平面内的两个力偶，如果它们的力偶矩大小相等，力偶的转向相同，则这两个力偶是等效的。称为力偶的等效性。

2.4.2力偶的基本性质1.力偶没有合力，既不能76证明：

设有一力偶作用在物体上，其力偶矩为M＝Fd

在力偶的作用面内任取一点O为矩心，则力偶的两个力对O点之矩的代数和为此值即等于力偶矩证明：

设有一力偶作用在物体上，其力偶矩为M＝Fd77根据力偶的等效性，可得出两个推论

:推论1：力偶可在其作用面内任意移动，而不改变它对刚体的转动效应。即力偶对刚体的转动效应与其在作用面内的具体位置无关。推论2：在保持力偶矩大小和转向不变的情况下，可任意改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，不会改变它对刚体的转动效应。根据力偶的等效性，可得出两个推论:推论1：力偶可在其作用面78平面力偶系的合成和平衡条件

平面力偶系:作用在物体上同一平