柯西中值定理和不定式极限汇总课件

§2柯西中值定理和不定式极限§2柯西中值定理和不定式极限1§2柯西中值定理与不定式极限教学要求1．理解柯西中值定理的条件与结论的几何意义，并能运用该定理对相关问题进行论证．2．熟练掌握求两类不定式极限的洛必达法则．3．熟练掌握其它类型不定式变换成两类典型不定式的一般规律，并求极限．§2柯西中值定理与不定式极限教学要求1．2一、柯西中值定理定理6.2(拉格朗日(Lagrange)中值定理)若函数满足下列条件:(i)在闭区间连续;(ii)在开区间可导,则存在使得问题:若曲线y=f(x)表为程为参数方程的形式(1)式如何变化?一、柯西中值定理定理6.2(拉格朗日(Lagrange)中值3定理6.5(柯西中值定理)设满足:(i)在上连续;(ii)在内可导;(iii)不同时为0;(iv)则存在使得以下证法是否正确:显然在均满足拉格朗日中值定理的条件,故又所以定理6.5(柯西中值定理)设满足:(i)在上连续;(ii4回放:拉格朗日(Lagrange)中值定理证明过程:定理6.2(拉格朗日(Lagrange)中值定理)若函数满足下列条件:(i)在闭区间连续;(ii)在开区间可导,则存在使得证:作辅助函数则(i)在连续;(ii)在可导;(ii)由罗尔定理,使得而进而回放:拉格朗日(Lagrange)中值定理证明过程:定理6.5定理6.5(柯西中值定理)设满足:(i)在上连续;(ii)在内可导;(iii)不同时为0;(iv)则存在使得(2)证:作辅助函数故在满足罗尔定理的条件,故存在使得即(3)若则有与条件(iii)矛盾,故进而可由(3)得到(2).定理6.5(柯西中值定理)设满足:(i)在上连续;(ii6定理6.1(罗尔(Rolle)中值定理)若函数满足下列条件:(i)在闭区间上连续;(ii)在开区间可导;(iii)则在内至少存在一点使得定理6.2(拉格朗日(Lagrange)中值定理)若函数满足下列条件:(i)在闭区间连续;(ii)在开区间可导,则存在使得定理6.5(柯西中值定理)设满足:(i)在上连续;(ii)在内可导;(iii)不同时为0;(iv)则存在使得(g(x)=x时为拉格朗日定理)(f(a)=f(b)时为罗尔定理)定理6.1(罗尔(Rolle)中值定理)若函数满足下列条件:7例1设在连续,在内可导,则存在使得分析:注意到证:设则在上满足柯西中值定理的条件,于是存在使得即例1设在连续,在内可导,则存在使得分析:注意到证:设则在上满8二、不定式极限例2求下列极限:二、不定式极限例2求下列极限:91.型不定式定理6.6若函数满足:(i)(ii)在点的空心邻域内都可导,且(iii)(A可以是常数,也可以是则(洛必达法则)证:补充定义任取则在以为端点的区间上满足柯西定理的条件,所以有介于之间)1.型不定式定理6.6若函数满足:(i)(ii)在点的空心邻10当时,故证:补充定义任取则在以为端点的区间上满足柯西定理的条件,所以有介于之间)注:将定理中的换为结论仍然成立.当时,故证:补充定义任取则在以为端点的区间上满足柯西定理的条11例2求下列极限:解:例2求下列极限:解:12解:(难往下)注意到即所以解:(难往下)注意到即所以13解:2.型不定式定理6.7若函数满足:(i)(ii)在点的空心邻域内都可导,且(iii)(A可以是常数,也可以是则解:2.型不定式定理6.7若函数满足:(i)(ii)在点的空142.型不定式定理6.7若函数满足:(i)(ii)在点的空心邻域内都可导,且(iii)(A可以是常数,也可以是则证明思路:(只证A是常数的情形)要证:先证:2.型不定式定理6.7若函数满足:(i)(ii)在点的空心邻15先证:1)已知(条件iii)当时,有2)在区间估计3)建立与柯西中值定理的关系分别估计与由柯西中值定理(因为先证:1)已知(条件iii)当时,有2)在区间估计3)建立与16分别估计与由柯西中值定理(因为同时说明在有界.设又(因为由条件当时分别估计与由柯西中值定理(因为同时说明在有界.设又(因为由条17例2求下列极限:解:注:(1)洛必达法则并不是万能的.若用洛必达法则:(不存在)例2求下列极限:解:注:(1)洛必达法则并不是万能的.若18注:(1)洛必达法则并不是万能的.若用洛必达法则:(不存在)(2)洛必达法则只能用于不定式,不加考虑乱用,将出笑话!(哈哈,错了!)三其它类型不定式常有以下不定式极限:基本思路:通过适当变形,将其化为注:(1)洛必达法则并不是万能的.若用洛必达法则:(不存在)19三其它类型不定式常有以下不定式极限:基本思路:通过适当变形,将其化为例2求下列极限:解:三其它类型不定式常有以下不定式极限:基本思路:通过适当变20例3求下列极限:解:例3求下列极限:解:21例3求下列极限:解:例3求下列极限:解:22例3求下列极限:解:例3求下列极限:解:23例3求下列极限:解:例4(杂题、难题）设为可导函数.且已知例3求下列极限:解:例4(杂题、难题）设为可导函数.且已24例4(杂题、难题）设为可导函数.且已知解:例4(杂题、难题）设为可导函数.且已知解:25都简单了:而都简单了:而26引子提出的问题:5.求极限引子提出的问题:5.求极限27§2柯西中值定理和不定式极限§2柯西中值定理和不定式极限28§2柯西中值定理与不定式极限教学要求1．理解柯西中值定理的条件与结论的几何意义，并能运用该定理对相关问题进行论证．2．熟练掌握求两类不定式极限的洛必达法则．3．熟练掌握其它类型不定式变换成两类典型不定式的一般规律，并求极限．§2柯西中值定理与不定式极限教学要求1．29一、柯西中值定理定理6.2(拉格朗日(Lagrange)中值定理)若函数满足下列条件:(i)在闭区间连续;(ii)在开区间可导,则存在使得问题:若曲线y=f(x)表为程为参数方程的形式(1)式如何变化?一、柯西中值定理定理6.2(拉格朗日(Lagrange)中值30定理6.5(柯西中值定理)设满足:(i)在上连续;(ii)在内可导;(iii)不同时为0;(iv)则存在使得以下证法是否正确:显然在均满足拉格朗日中值定理的条件,故又所以定理6.5(柯西中值定理)设满足:(i)在上连续;(ii31回放:拉格朗日(Lagrange)中值定理证明过程:定理6.2(拉格朗日(Lagrange)中值定理)若函数满足下列条件:(i)在闭区间连续;(ii)在开区间可导,则存在使得证:作辅助函数则(i)在连续;(ii)在可导;(ii)由罗尔定理,使得而进而回放:拉格朗日(Lagrange)中值定理证明过程:定理6.32定理6.5(柯西中值定理)设满足:(i)在上连续;(ii)在内可导;(iii)不同时为0;(iv)则存在使得(2)证:作辅助函数故在满足罗尔定理的条件,故存在使得即(3)若则有与条件(iii)矛盾,故进而可由(3)得到(2).定理6.5(柯西中值定理)设满足:(i)在上连续;(ii33定理6.1(罗尔(Rolle)中值定理)若函数满足下列条件:(i)在闭区间上连续;(ii)在开区间可导;(iii)则在内至少存在一点使得定理6.2(拉格朗日(Lagrange)中值定理)若函数满足下列条件:(i)在闭区间连续;(ii)在开区间可导,则存在使得定理6.5(柯西中值定理)设满足:(i)在上连续;(ii)在内可导;(iii)不同时为0;(iv)则存在使得(g(x)=x时为拉格朗日定理)(f(a)=f(b)时为罗尔定理)定理6.1(罗尔(Rolle)中值定理)若函数满足下列条件:34例1设在连续,在内可导,则存在使得分析:注意到证:设则在上满足柯西中值定理的条件,于是存在使得即例1设在连续,在内可导,则存在使得分析:注意到证:设则在上满35二、不定式极限例2求下列极限:二、不定式极限例2求下列极限:361.型不定式定理6.6若函数满足:(i)(ii)在点的空心邻域内都可导,且(iii)(A可以是常数,也可以是则(洛必达法则)证:补充定义任取则在以为端点的区间上满足柯西定理的条件,所以有介于之间)1.型不定式定理6.6若函数满足:(i)(ii)在点的空心邻37当时,故证:补充定义任取则在以为端点的区间上满足柯西定理的条件,所以有介于之间)注:将定理中的换为结论仍然成立.当时,故证:补充定义任取则在以为端点的区间上满足柯西定理的条38例2求下列极限:解:例2求下列极限:解:39解:(难往下)注意到即所以解:(难往下)注意到即所以40解:2.型不定式定理6.7若函数满足:(i)(ii)在点的空心邻域内都可导,且(iii)(A可以是常数,也可以是则解:2.型不定式定理6.7若函数满足:(i)(ii)在点的空412.型不定式定理6.7若函数满足:(i)(ii)在点的空心邻域内都可导,且(iii)(A可以是常数,也可以是则证明思路:(只证A是常数的情形)要证:先证:2.型不定式定理6.7若函数满足:(i)(ii)在点的空心邻42先证:1)已知(条件iii)当时,有2)在区间估计3)建立与柯西中值定理的关系分别估计与由柯西中值定理(因为先证:1)已知(条件iii)当时,有2)在区间估计3)建立与43分别估计与由柯西中值定理(因为同时说明在有界.设又(因为由条件当时分别估计与由柯西中值定理(因为同时说明在有界.设又(因为由条44例2求下列极限:解:注:(1)洛必达法则并不是万能的.若用洛必达法则:(不存在)例2求下列极限:解:注:(1)洛必达法则并不是万能的.若45注:(1)洛必达法则并不是万能的.若用洛必达法则:(不存在)(2)洛必达法则只能用于不定式,不加考虑乱用,将出笑话!(哈哈,错了!)三其它类型不定式常有以下不定式极限:基本思路:通过适当变形,将其化为注:(1)洛必达法则并不是万能的.若用洛必达法则:(不存在)46三其它类型不定式常有以下不定式极限:基本思路:通过适当变形,将其化为例2求下列极限:解:三其它类型不定式常有以下不定式极限:基本思路:通过适当变47例