集合论 第一章 南开大学李娜

第1章集合1集合的引入集合 作为本书的中心概念，至少从表面上看是非常简单的。一个集合是一个任意的收集、群和总体。因此，我们有2016年9月南开大学所有已注册学生的集合、所有偶自然数的集合、在平面上距离给定点P恰好两厘米的所有点的集合、所有粉红色大象的集合。集合不像桌子和星星一样是现实世界的对象，它们是被我们的思维而不是我们的双手创造出来的。大量的土豆不是土豆的一个集合，一滴水中所有分子的集合和那滴水不同。由于人的思维具有抽象的能力，它能根据某个共同的性质把不同的对象汇聚在一起，形成一个具有该性质的对象的集合。这里所说的性质仅仅是把这些对象联系在一起的能力。因此，存在一个恰好包含数2、5、11、13、28、35、22000的集合。虽然我们很难看出是什么把它们联系在一起的，但是只有一个事实，即在思维中，我们把它们汇总在一起。因此，什么是集合？一个直觉的回答是：一个集合就是将一些对象收集起来汇合成的一个整体。这些被收集起来的对象就是这个被汇合成的整体的元素或者成员。德国数学家GeorgCantor19世纪70年代创立了集合论，并在19世纪的后三十年里发表了一系列论文。他如下地表述集合：集合是我们的直觉或思维中确定的、可区分的对象所汇集成的一个整体，这些对象叫做集合的元素。”构成集合的对象叫做该集合的元素或成员，我们也说它们属于该集合。本书中，我们想发展集合的理论作为其它数学规律的一个基础。因此，我们不关心人或者分子的集合，只关心数学对象的集合，例如，数、空间的点、函数、或集合。事实上，前三个概念可以在集合论中被定义为具有某种特殊性质的集合，我们将在以后的章节中完成这一点。因此，从现在起，我们关心的对象只有集合。为了解释的目的，在数、点这些数学对象被定义之前，我们谈论它们的集合。然而，我们只在例子、习题和问题中谈论到它们，而不会在集合论的主体中谈论它们。例如，数学对象的集合有例648的所有素因子的集合。能够被3除尽的所有数的集合。（3）在闭区间［-1,1］上所有连续实值函数的集合。（4）实轴长为10并且离心率为3的所有双曲线的集合。（5）小于7的所有自然数的集合的集合。从这些例子可以看出，数学家们处理的集合都是非常简单的。它们包括自然数的集合以及它的各种各样的子集（例如所有素数的集合）；还包括自然数的二元有序对、三元组和一般意义上的n元组的集合。整数和有理数可以仅使用这样的集合来定义。实数可以被定义为有理数的集合或者序列。微积分处理的是实数的集合和实数上的函数（实数的序对的集合），并且在某些研究中，还需要考虑函数的集合或者函数的集合的集合，等等。但是，数学家们很少碰到比这更复杂的集合。现在我们考虑：所有那些自己不是自己的元素所组成的“集合”R。换句话说，R是满足条件xgx的所有集合x的集合（"卖作“属于”，笑读作“不属于”）。现在我们问是否ReR。如果ReR,那么，R不是它身的元素（因为R中没有元素属于它自身），因此RgR,这是一个矛盾！反之，如果RER,因为R是一个不是其自身元素的集合，因此，这样的集合属于R,即ReR,这又是一个矛盾！这个论证可以被简洁地概括为：定义R为：xeR当且仅当x^xo现在考虑当x=R时；根据R的定义，ReR当且仅当R电R；这是一个矛盾！这就是著名的罗素悖论！关于这个论证的一些补充说明。首先，R作为一个集合的集合没有错误。许多集合的元素是集合这一点在数学中是合法的（参阅例1.1），并且也不会导致悖论。第二，我们可以很容易地构造出R的元素。例如，如果x是所有自然数的集合，那么x笑x（所有自然数的集合不是一个自然数）。因此，xeRo第三，构造不属于R的集合就不那么容易，但这是无关紧要的。即使不存在是它们自身元素的集合，前面的论证也将产生矛盾。（一个集合是它自身的元素，似乎“所有集合的集合”V就是这样的一个集合；显然VeV。然而，“所有集合的集合”会以一种更加微妙的方式导致它自己独有的矛盾——参阅习题3.3和3.6。）如何解决这个矛盾呢？我们现在假设有一个集合R,它被定义为所有那些不是自身元素的所有集合的集合，并且导出一个矛盾作为R的定义的一个直接后承。这仅意味着不存在满足R的定义的集合。换句话说，这个论证证明了不存在集合使得它的成员恰是那些不为自身元素的集合。包含在罗素悖论和其它类似例子中的教训使我们不能仅仅通过定义集合来证明集合的存在（类似地，如通过定义独角兽，我们不能证明独角兽的存在）。因此，存在不能定义集合的性质，即，不可能把具有这些性质的所有对象收集到一个集合中。不幸的是，如何做到这一点是不知道的，并且逻辑中的某个结果（尤其是由哥德尔发现的所谓不完全定理）似乎表明做到这一点是不可能的。因此，我们尝试把数学家使用的集合的某些相对简单的性质作为公理来陈述，然后小心地检查从这些公理逻辑推出的所有定理。因为公理是显然真的，并且定理是从它们逻辑地推出，所以，定理也是真的（不一定显然）。我们最终得到大量有关集合的真理，它们包含目前已知的自然数、有理数、实数、函数、序数等等的基本性质，并且没有矛盾。经验表明，在这个公理系统中，当代数学使用的所有概念差不多都能被定义，并且它们的数学性质也可以被导出。在这种意义上，公理化集合论可以作为数学其它分支的一个令人满意的基础。另一方面，我们没有断言关于集合的每个真的事实都能从我们现有的公理中被推导出。在这种意义上，公理化系统是不完备的，并且我们把完备性问题的讨论放到最后一章。2性质在前节中，我们引入集合作为具有某种共同性质的对象的收集。性质这个概念需要一些分析。日常生活中的某个性质一般被认为是模糊的而很难在数学理论中被承认。例如，考虑“所有20世纪中国优秀的电影作品构成的集合。”不同的人判断一部电影作品是否优秀的标准是不同的，因此，不存在一个普遍被接受的标准来决定一部电影作品是否这个“集合”的一个元素。再来看一个更加惊人的例子，考虑“那些能够用十进制记数法写下的自然数的集合”（对于“能够”，我们指某个人能实际地用纸和笔做到）。显然，0是能被写下的。如果数n能被写下，那么想必数n1也能被写下。因此，根据熟悉的归纳法原则，每个自然数n都能被写下。但这显然是荒谬的；为了用十进制写下101010将需要在1的后面跟1010个零，这需要以每秒一个零的速度连续工作300年。这个问题是由“能够”的模糊意思引起的。为了避免类似的问题，我们现在明确地描述一个性质的含义。只允许明确的数学性质；幸运的是，这些性质对于所有数学事实的表达来说是足够的。本节中我们的解释是非形式的。读者如果想从一个更加严格的观点了解对这个主题的研究可以查阅一些数理逻辑的书籍。基本的集合论性质是隶属性：“……是……的一个元素，”并用丘表示。所以，“XwY”读作“X是Y的一个元素”或者“X是Y的一个成员”或者“X属于Y。”在这些表达中X和Y是变元；它们代表（指称）不确定的、任意的集合。命题“XwY”成立或不成立依赖于集合X和Y。我们有时说“XwY”是X和Y的一个性质。例如，“m小于n"是m和n的一个性质。字母m和n是变元，表示不确定的数。有些m和n具有这个性质（例如，“2小于4”是真的），但是其它的则没有（例如，“3小于2”是假的）。所有其它集合论的性质都能借助隶属关系并有逻辑的帮助，即：用等词、逻辑联结词和量词来刻画。我们经常在不同的语境中谈论同一个集合，并且发现用不同的变元表示它很方便。我们用等号“=”表达两个变元表示相同的集合。因此，如果X与Y是相同的集合，那么记作X=Y（X与Y相等，或者，X等于Y）。在下面的例子中，我们列出了关于相等的一些显而易见的事实：2.1例⑴X=X。 （X和X相等。）⑵如果X=Y，那么Y=X。 （如果X和Y相等，那么Y和X也相等。）（3） 如果X=Y并且Y=乙那么X=Z。（如果X和Y相等，并且Y和Z相等，那么X和Z也相等。）（4） 如果X=Y并且XwZ那么YgZo（如果X和Y相等，并且X属于乙那么Y也属于Z。）⑸如果X=Y并且ZwX,那么ZgYo（如果X和Y相等，并且Z属于X,那么Z也属于Y。）从简单的性质出发，用逻辑联结词可以构建更复杂的性质。常用的逻辑联结词有：“并非……"、“……并且……"、“……或者……"、“如果……，那么……”和"……当且仅当……"o2.2例（1）“XwY或者YgX"是X和Y的一个性质。⑵“并非XeY并且并非YwX”或者表达为“X不是Y的一个元素并且Y也不是X的一个元素”也是X和Y的一个性质。（3）“如果X=Y，那么XgZ当且仅当YgZ”是X，Y和Z的一个性质。⑷“X不是X的一个元素"（或者：“并非XwX”）是X的一个性质。我们用XgY代替“并非XwY”并且用XhY来代替“并非X=YO"量词“对所有的”（即：“对每一个”）和“有"（即：“存在”）提供了额外的逻辑手段。数学的实践表明在我们刚刚描述的这种限制的语言中，所有的数学事实都能被表达，但是，这种语言却不允许本节开头的那种模糊的表达。让我们观察一些包含量词性质的例子。2.3例“存在YwX。'“对每个YwX,存在Z使得ZgX并且ZwY。'⑶“存在Z使得ZeX并且Z笑Y。'(1)的真或假明显地依赖于集合X。例如，如果X是1949年之后所有中华人民共和国主席的集合，那么(1)就是真的；如果X是1949年之前所有中华人民共和国主席的集合，那么(1)就是假的。我们说(1)是X的一个性质，或者说(1)依赖于参数X。类似地，(2)是X的一个性质，(3)是X和Y的一个性质。还需要注意：Y不是(1)的一个参数，因为对于某个具体的集合Y而言，Y对于(1)是否为真不产生任何意义；我们在量词中使用字母Y仅是为了方便,也可以说“存在WwX,”或者“存在X的某个元素。”类似地，(2)不是Y或Z的一个性质，不是Z的一个性质。在这里，我们不再给出确定一个给定性质的参数的规则，我们依赖于读者的常识，并通过下面的例子来说明这一点。2.4例“YwX。⑵“存在YwX。'“对每个X,存在YgXo'这里，(1)是X和Y的一个性质；它对某些集合对X、Y是真的，但对其它的对是假的。是X的一个性质(但不是Y的)，而(3)没有参数。因此，(3)或者是真的或者是假的(事实上，它是假的)。没有参数的性质(因此，或者为真或者为假)被称作命题；所有数学定理是(真)命题。我们有时希望涉及一个任意的、不确定的性质。我们用黑体大写字母表示命题和性质，并且，如果方便的话，在圆括号内列举它的某个或全部参数。因此，A(X)代表参数X的任意性质，例如，在例2.3中的(1)、(2)oE(X,Y)是参数X和Y的一个性质，例如，在例2.3中的(3)、或者在例2.4中的(1)、或者“XwY或者X=Y或者YgXo'一般地，P(X,Y,...,Z)是一个性质，它的真或假依赖于参数X,Y,...,Z(并且可能还有其它的)。我们再一次强调：所有集合论的性质都可以由隶属关系和逻辑联结词组成的语言中被表达出。然而，随着发展和越来越复杂的定理被证明，给多种多样的特殊的性质命名是有实际意义的，即：为了定义新的性质。然后引入(定义)新符号来表示所讨论的性质；这个新的符号通常被看作这个简洁明白陈述的缩写。例如，子集的性质被定义为：2.5定义XcY当且仅当X的每个元素都是Y的一个元素。“X是Y的一个子集”(X^Y)是X和Y的一个性质。我们可以在更复杂的陈述中使用它，并且无论何时，只要我们愿意，都可以把XcY替换为它的定义。例如，“如果XcY并且Y^Z,那么X^Z。”的定义是“如果X的每个元素都是Y的一个元素并且Y的每个元素也是Z的一个元素，那么X的每个元素也是Z的一个元素。”显然没有定义的数学也是可能的，但极其笨拙。现在考虑性质P(X)：“不存在YwX。”我们将在第3节中证明：(1)存在一个集合X使得P(X)(即：存在一个没有元素的集合X)。⑵至多存在一个集合X使得P(X)，即：如果P(X)并且P(XJ,那么X=X(即：如果X不包含任何元素，并且X不包含任何元素，那么X和X相等)。(1)和(2)合并在一起表达了事实：存在一个唯一的集合X具有性质P(X)。因此，我们可以给它一个名字，称0(空集)，并且在更复杂的表达式中使用它。“0UZ”的完整意思是“没有任何元素的集合0是Z的一个子集。”我们偶尔把0作为由性质P定义的常元。作为本节的最后一个定义的例子，我们考虑X，Y和Z的性质Q(X,Y,Z)：“对每个U，UgZ当且仅当UgX并且UwY。”我们将在下节中看到：(1)对每个X和Y,存在Z使得Q(X,Y,Z)成立。⑵对每个X和Y,如果Q(X,Y,Z)并且Q(X,Y,Z)成立，那么Z=Z。(即：对每个X和Y，至多存在一个Z使得Q(X,Y,Z)O)条件(1)和(2)(必须证明，无论何时，这种类型的定义都能够被使用)保证了对每个X和Y,存在一个唯一的集合Z使得Q(X,Y,Z)成立。那么，对这个唯一的集合乙我们可以引入一个名字，记作XcY,并且称XcY为X和Y的交。因此,Q（X,Y,XnY）成立。我们把c作为由性质Q定义的算子。3公理现在，我们开始着手建立我们的公理系统并且尝试给出每一条公理的直观意义。我们采用的第一条原则假定我们的“讨论的论域”是非空的，即：某些集合存在。为了具体，我们假定一个特定集合的存在，即空集。存在公理存在一个没有元素的集合。没有元素的集合在直观上可以有多种描述，例如，1789年之前的所有美国总统的集合，满足x2=-1的所有实数x的集合等等。这里描述的集合都是相同的，即空集。因此，直观上，只存在一个唯一的空集。但是到目前为止，我们还不能证明这个论断。我们需要其它的假定来表达这个事实，即：每个集合都由它的元素决定。让我们看看另外一些例子：X是由恰有数2、3和5组成的集合。Y是由大于1并且小于7的所有素数组成的集合。Z是由方程式x3-10x2+31x-30=0的所有解组成的集合。这里，X=Y、X=Z并且Y=Z，并且我们有一个集合的三种不同的描述。这就需要下面的外延公理。外延公理如果X的每个元素都是Y的一个元素，并且Y的每个元素也都是X的一个元素，那么X=Y。显然，如果两个集合有相同的元素，那么它们是相等的。我们现在可以证明下面的引理3.1。引理存在一个唯一没有元素的集合。证明假定A和B都是没有元素的集合。那么，A的每个元素都是B的一个元素（因为A没有元素，陈述“aoA蕴涵awB”是一个前件为假的蕴涵式，因此自然为真）。类似地，B的每个元素也是A的一个元素（因为B没有元素）。因此，根据外延公理，有A=B。3.2定义没有元素的（唯一的）集合被称为空集，并且记作0。注意，常元0的定义可以被存在公理和引理3.1证明。直观上，集合是具有某种共同性质的对象的收集，因此，我们希望有公理表达这个事实。但是，正如第1节中被悖论证实的那样，并不是每个性质都描述一个集合：性质'XwX”或“X=X”就是典型的例子。在这两种情况中，问题似乎都是为了把具有这样一个性质的所有对象收集到一个集合中。现在我们已经能够感知所有的集合。如果我们假定具有一个给定性质的所有对象的集合的存在除非这些对象已经属于某个已经存在的集合，那么这个困难能就能被避免。于是，我们需要下面的概括公理模式。概括公理模式令P(x)是x的一个性质。对任意集合A,存在一个集合B使得xeB当且仅当xeA并且P(x)。这是一个公理模式，即，对每一个性质P，我们都有一条公理。例如，如果P(x)是“x=x”,那么这条公理是说：对任意集合A,存在一个集合B使得xeB当且仅当xeA并且x=x(在这种情况下,B=A。)如果P(x)是“xgx”，这条公理假定：对任意集合A,存在一个集合B使得xeB当且仅当xeA并且xgx。虽然这条公理的供给是无穷的，但这不会引起问题，因为一个具体的陈述是否为一个公理是很容易判断的，并且每个证明也只能使用到有穷多次公理。性质P(x)可以依赖于其它的参数p,q；相应地此时公理假定：对任意集合p,q和任意集合A,存在一个集合B(依赖于p,…，q，当然也依赖A)恰有那些满足xeA并且P(x,p,...,q)的x组成。3.3例如果P和Q是集合，那么存在一个集合R使得xeR当且仅当xeP并且xeQ。证明考虑x和Q的性质P(x,Q)：“xeQ。”那么，由概括公理模式可得，对每个Q和每个P,存在一个集合R使得xeR当且仅当xeP并且P(x,Q)，即，当且仅当xeP并且xeQ。(P起A的作用，Q是一个参数。)3.4引理对每个集合A,仅存在一个集合B使得xeB当且仅当xeA并且P(x)。证明如果B'是另一个集合并且满足：xeB'当且仅当xeA并且P(x),那么xeB当且仅当xeB'，因此，根据外延公理，B=B'。我们现在为这个唯一确定的集合B引入一个名字。3.5定义｛xeA|P(x)｝是所有满足xeA并且具有性质P(x)的集合。3.6例有了定义3.5,例3.3中的集合现在可以记作｛xePlxeQ｝。到目前为止，我们的公理化系统还不够强，现在能被证明唯一存在的集合只有空集。对空集应用概括公理模式,无论我们使用的性质P是什么，都只会再次得到空集：{xe0|P(x)}=0。下面的三条公理假定了频繁用在数学中的一些构造可以产生集合。对集公理对任意的集合A和B存在一个集合C使得xeC当且仅当x=A或者x=B。所以，AwC并且BeC，并且C中不存在其它元素。读者可以很容易地证明集合C是唯一的；因此，我们把只包含A和B作为其元素的集合定义为A和B的无序对，并且把A和B的无序对记作{A,B}。特别地，如果A=B,我们用{A}代替{A,A}。3.7例(1)令A=0并且B=0，那么{0}={0,0}是一个集合，并且0e{0}o如果xe{0}，那么x=0。所以，{0}有唯一的元素0。注意，{0}工0，因为0e{0}，但是0^0o⑵令A=0并且B={0}，那么0e{0,{0}}并且{0}e{0,{0}}，并且0和{0}是{0,{0}}仅有的两个元素。注意：0工{0,{0}},{0}工{0,{0}}。并集公理对任意的集合S,存在一个集合U使得xeU当且仅当对某个AeS,xeA。再一次强调，集合U是唯一的；它被称为S的并，记作US。当我们要强调S的元素也是集合时，我们称S是集合的一个系统或者集合的一个簇(因为我们的所有对象都是集合,因此，这总是真的。实际上，“集合”和“集合的系统”这两种表达有相同的意思)。因此，一个集合系统S的并是由S的元素的元素组成的集合。3.8例令S={0,{0}},xeuS当且仅当对某个AeS,xeA,即，当且仅当，xe0或者xe{0}。因此，xeuS当且仅当x=0。因此，uS={0}ou0=0。⑶令M和N是集合；xeu{M,N}当且仅当xeM或者xeN。集合u{M,N}被称为M和N的并，记作MuN。最后，我们引入了一个读者十分熟悉的简单的集合论的运算。对集公理和并集公理对于定义两个集合的并是必要的(而外延公理用来保证它的唯一性)。两个集合的并有通常的意义：xeMuN当且仅当xeM或者xeN。3.9例{{0}}u{0,{0}}={0,{0}}。并集公理是非常强的，它不仅能使我们构造两个集合的并，而且还能使我们构造任意的、可能无穷的集合的收集。如果A、B和C都是集合，现在我们可以证明元素恰是A、B和C的集合P的存在性和唯一性。P被记作{A,B,C},并且称它为A、B和C的一个无序的三元组。类以地，我们能够定义一个无序四元组或17-元组。在引入本节的最后一个公理之前，我们定义另一个简单的概念。3.10定义A是B的一个子集当且仅当A的每个元素都属于B。换句话说，A是B的一个子集，如果对每个x，xeA蕴涵xeBo我们用AcB表示A是B的一个子集。由定义3.10和外延公理，我们可以得到如下判断两个集合相等的一个充要条件：A=B当且仅当AcB并且BcA，当且仅当如果对每个x，xeA蕴涵xeB，并且，如果对每个x，xeB蕴涵xeAo3.11例{0}匸{0,{0}}并且{{0}}c{0,{0}}o对每个集合A都有：0cA并且AcAo{xeAIP(x)}cAo如果AeS，那么AcuSo下面的公理假定：一个给定集合的所有子集能够被收集到一个集合里。幂集公理对于任意的集合S,存在一个集合P使得XeP当且仅当XcSo由于集合P也是唯一确定的，我们称S的所有子集的集合为S的幕集并且记作倒(S)o3.12例(1)P(0)={0}o⑵p({a})={0,{a}}o⑶倒({a,b})的元素是：0,{a},{b}和{a,b}，所以倒({a,b})={0,{a},{b},{a,b}}°我们用另一个记号约定来结束本节。令P(x)是x的一个性质(可能还有其它的参数)如果存在一个集合A使得对所有的x，P(x)蕴涵xeA，那么{xeA|P(x)}存在，并且它不依赖A。这意味着：如果A，是另一个集合使得对所有的x，P(x)蕴涵xeA，，那么{xeA，IP(x)}={xeAIP(x)}o我们现在定义{x|P(x)}是集合{xeA|P(x)}，其中A是满足P(x)蕴涵xeA的任意集合。{x|P(x)}是具有性质P(x)的所有x的集合。我们再次强调：只有在证明了某个集合A包含所有具有性质P的x之后，才能使用这个记号。3.13例(1){x|xeP并且xeQ}存在。证明令P(x,P,Q)是性质“xwP并且xwQ”；令A=P。那么，P(x,P,Q)蕴涵xeAo因此，{xlxeP并且xgQ}={xgP|xgP并且xgQ}={xgP|xgQ},它是例3.3中的集合R。(2){x|x=a或者x=b}存在；因为在证明取A={a,b}，还可以证明{x|x=a或者x=b}={a,b}。⑶{xlxgx}不存在(因为罗素悖论)；因此，在这个例子中记号{xlP(x)}是不允许的。尽管我们还没有列出所有的公理，现在暂停一下，必要时我们再引入。现在，我们需要引入一些概念并且用已有的公理证明一些定理。读者可能注意到，到目前为止，我们并不能保证任何无穷集合的存在。这个不足将在第3章中被消除。其它的公理将在第6章和第8章中给出。全部公理的一个一览表将出现在第15章的第1节中。这个重要的公理化系统是由ErnstZermelo于1908年构造的，通常被称为集合论的Zermelo-Fraenkel公理化系统。习题3.1证明满足xeA并且xgB的所有x的集合存在。由下面的弱假设替换存在公理：弱的存在公理某个集合存在。用弱的存在公理和概括公理模式证明存在公理。［提示：令A是一个已知存在的集合；考虑{xgAIx^x}。］(1)证明一个“所有集合的集合”不存在。［提示：如果V是一个所有集合的集合，考虑{xwVlxgx}。］⑵证明对任意集合A,存在某个x^A。3.4令A和B是集合。证明存在一个唯一的集合C使得xeC当且仅当或者xeA并且xgB成立或者xeB并且x^A成立。3.5(1)给定集合A、B和C,存在一个集合P使得xeP当且仅当x=A或者x=B或者x=C。(2)推广到四个元素。3.6证明对任意的集合X,倒(X)弐是假的。特别地，对任意的集合X,倒(X)hX。这再一次证明了一个“所有集合的集合”不存在。［提示：令Y={ueXIugu}；Yep(X)但YgX。］3.7对集公理、并集公理和幂集公理可以被替换为下面弱的版本。弱的对集公理对任意的A和B,存在一个集合C使得AeC并且BeC。弱的并集公理对任意的S,存在U使得如果XeA并且AeS，那么XeU。弱的幕集公理对任意的集合S,存在P使得XcS蕴涵XeP。用这些弱的版本证明对集公理、并集公理和幂集公理。［提示：用概括公理模式。］

4集合的初等运算这一节的目的是详细阐述上一节引入的概念。特别地，我们将引入简单的集合论运算(并、交、差，等等)，并且证明它们的一些基本性质。读者在一定程度上相当熟悉它们，我们将省略大部分细节。定义3.10告诉我们A是B的一个子集(包含于B),即：A^B。性质匸被称为包含。容易证明：对于任意的集合A、B和C，A^Ao如果A^B并且BuA,那么A=Bo女口果AuB并且BuC，那么AuCo例如，为了证明(3),我们必须证明：如果xeA,那么xeCo但是，因为AuB，所以，如果xeA,那么xeBo现在，又因为BuC，所以，xeB蕴涵xeCo因此，xeA蕴涵xeCo4.1定义如果AuB并且A^B,我们称A是B的一个真子集(A真包含于B),并记为AuBo我们也用记号B»代替AuB，并用记号B=A代替AuBo这一节中大多数将要讨论的集合论的运算前面都提到过。读者可能知道如何用Venn图表示它们(见图1)o1)2)AUBA (4)1)2)AUBA (4)BAAB图1Venn图在图1中，(1)的阴影部分是A和B的交：AcBo(2)的阴影部分是A和B的并：AuBo⑶的阴影部分是A和B的差：A-Bo(4)的阴影部分是A和B的对称差：AABo4.2定义A和B的交：AcB是属于A并且也属于B的所有x的集合。A和B的并：AuB是属于A或者属于B(或者属于两者)的所有x的集合。A和B的差：A-B是属于A并且不属于B的所有x的集合。(注：为了证明存在性和唯一性，参看例3.3和3.8(3)以及习题3.1和3.4o)作为一个练习，请读者完成这些运算的一些简单性质的证明。交换律AcB=BcAAuB=BuA结合律(AcB)cC=Ac(BcC)(AuB)uC=Au(BuC)由于c满足结合律，所以我们可以省略圆括号，把集合A,B和C的交简单地写为AcBcC。类似地，对于u也是如此。特别地，对于数量超过三个的集合的c和u,我们也不需要圆括号。分配律Ac(BuC)=(AcB)u(AcC)Au(BcC)=(AuB)c(AuC)德摩根律C-(AcB)=(C-A)u(C-B)C-(AuB)=(C-A)c(C-