圆锥曲线的第三定义

锥曲线的第三定义及运用一、椭圆和双曲线的第三定义1.椭圆一、椭圆和双曲线的第三定义1.椭圆在椭圆C：S+三=1("f»f°)中"、日是关于原点对称的两点，P是椭圆上异于A、B的一b2点，若kp"kPB存在，则有：kpA•kPB=e-1=-ab2证明：构造APAB的PA边所对的中位线MO,kpA=kMo，由点差法结论：k^•kpB=e2-1=-云—X2在双曲线C：a2b2V2TbT中，耻是关于原点对称的两点,P是椭圆上异于A、B的一点，若"kpB—X2在双曲线C：a2b2存在，则有：kpA•kpB-e2一1=一证明：只需将椭圆中的b2全部换成-b2就能将椭圆结论转换成双曲线的结论。

二、与角度有关的问题例题一：已知椭圆C：m+三顼。fbf0）的离心率。=弓,A、B是椭圆的左右顶点,为椭圆与双曲解答:1令匕*T，由椭圆第二定乂可知：tan以・tany=e2-1=一一4TOC\o"1-5"\h\zcosPcos（y-以）cosycos以+sinysin以1+tana•tany3====cos（2以+P）cos（y+a）cosycosa+sinysin以1-tan以•tany5点评:其实所谓的双曲线方程只是一个障眼法，并不影响题目的解答。两顶点一动点的模型要很快的联想到第三定乂，那么剩下的任务就是把题目中的角转化为两直线的倾斜角，把正余弦转化为正切。题目中的正余弦化正切是三角函数的常见考点^。

变式1-1:（石室中学2015级高二下4月18日周末作业）已知双曲线C：粗-产=2015的左右顶点分别为A、B,?为双曲线右支一点，且^PAB=4/APB,求ZPAB=:解答:令/PAB令/PAB=agZPBA=^g则P=5a，由双曲线的第三定义知:tana•tan。=tana•tan5a=e2一1=1则:tana=tan5a=tan兀~兀na则:tana=tan5a=tan兀~兀na=一—5ana=—212点评:与例题1采取同样的思路转化角，但对于正切转换的要求较高。两锐角正切乘积为1即表示sina=cos6,cosa=sin6n两角互余☆，则可解出a的值。当然双曲线的题目较于椭圆和抛物线题目考试概率较小，但既然提到了双曲线的第三定义，不妨做一做。三、与均值定理有关的问题例题2:已知A、B是椭圆抒+==1（afbf0）长轴的两个端点，M、N是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AM、BN的斜率分别为k、k，且kk。0。若\k1+\kI的最小值为1，则椭圆的离心率为:12121121解答一（第三定义+均值）:叩+\\\22此|・|七|三*-=1n翌TOC\o"1-5"\h\z1212aa22解答二（特殊值法）：C）1这道题由于表达式\ki+kk=1非常对称，则可直接猜特殊点求解。ki=\ki=时可取最值，12min122则M、N分别为短轴的两端点。此时：|kj=R2|=—=2ne=~Y。点评：对于常规解法，合理利用M、N的对称关系是解题的关键，这样可以利用椭圆的第三定义将两者斜率的关系联系起来，既构造了“一正”，又构造了“二定”，利用均值定理“三相等”即可用a、b表示出最值1。当然将ki、k2|前的系数改为不相等的两个数，就不能利用特殊值法猜答案了，但常规解法相同，即变式2-1。变式2-1：已知A、B是椭圆丑+季=1（afbf0）长轴的两个端点，M、N是椭圆上关于x轴对称的a2b2两点，直线AM、BN的斜率分别为k、k，且kk。0。若J2|k|+2J2\k的最小值为1，则椭圆的离12121V12心率为:

解答:b2b2连接MB,由椭圆的第二定义可知：kAM•k^-e2-1=-一，而k^=一、n二kk=一克|kj+2^2|k2|>4V；竺=1nb克|kj+2^2|k2|>4V；竺=1nb=1ne=H

aa44变式2-2:已知A、B是椭圆—+=】（afbf0）长轴的两个端点，若椭圆上存在Q，使ZAQB=——a2b23则椭圆的离心率的取值范围为.解答一（正切+均值）：令Q在x轴上方，则直线QA的倾斜角为ag0,：，直线QB的倾斜角为Pg:,兀'，八-「兀1八八（n\tanP-tana/AQB七，"］，tanQB=tan（P-a）=1+tanPtanab2由椭圆的第二定义：tanatanP=-一，则tanP=a2b2a2tanatanP-tana带入可得：1+tanPtanab2

tana

a2tanab21—a2/b2、—-—+tana[a2tanaJb2

1—a2"b2,c-2b一2\,•tana<七a2tana_ab2

1——a2b2a2-b21—a2-2ab（取等条件：tana=-，即Q为上顶点）a而tanx在:，兀单增，则Q为上顶点时（ZAQB）max，所以此时ZAQB>|兀，故eg解答二（极限法）:斗,11当Q趋近于a、b两点时，ZAQB—三（此时Q点所在的椭圆弧趋近于以AB为直径的圆的圆弧,^AQB相当于直径所对的圆周角）；当Q在A、B间运动时ZAQBf-（Q在以AB为直径2的圆内部，^AQBf直径所对的圆周角=90°），由椭圆的对称性可猜测当Q为短轴端点时（ZAQB）。由于：椭圆上存在Q，使ZAQB=乎，那么Q为短轴端点时（ZAQB二2f。2兀。.一<6c取临界情况，即Q为短轴端点时ZAQB——，此时丁=\：3ne=――；当椭圆趋于饱满（e>。）3b3时，椭圆趋近于圆，圆的直径所对的圆周角永远为90°，不满足；当椭圆趋于线段（e—1）时，（ZAQB）■兀，满足。故egmax当然这些只需要在头脑中一想而过，简洁而有逻辑。点评：这道题可以增加对于圆周角的理解，在用极限法讨论：“当Q趋近于A、B两点时，ZAQB—-”2时能会颠覆“ZAQB•兀”的认知，当然这肯定是错的，结合常规解法可以看出此时是角最小的情况，而不是角最大的情况。要搞清楚，不然会被弄晕的。对于常规解法选择正切表示角的大小的原因有二:①与第三定义发生联系②七/口*在；,兀单增便于利用tanx的大小比较角度的大小。2四、总结归纳上述部分题目的常规解法较复杂，但做题时一定要能猜答案，而且要猜得有理由。对于均值不等式，注意取等条件是“三相等”，即相等时取最值。这可以帮助猜测表达形式是高度对称的式子的最值，如：例题2极限法可以刻画出单调变化的某一变量的端点值，如：变式2-2中P在椭圆上滑动，角度的变化一定是光滑的（无突变，连续），所以只需考虑边界值。做几何的选填题时，有时利用圆周角定理可以很快的找到最大角，注意学会恰当运用，如:变式2-2。常以正切值刻画角度大小。在做综合性较大的题目时要联系各种知识，灵活转化，以最巧妙的方法致胜。7.8.五、方法链接针对上文提到的“圆周角找最大角”与“椭圆中另一类均值”进行拓展补充，各附例题。例题3：在平面直角坐标系乂。丫中，给定两点M(-1,2)和N(1,4)，点P在X轴上移动，当ZMPN取最大值时，点P的横坐标为.解答一(正切+均值)：已知：M(-1,2)、N(1,4)，Imn:y=x+3与x轴交于P0(-3,0)令P(t,0)，则：k=二，k=—，zmpn=。MP-1一tNP1一t①当t=-3时，9=0②当tf一3时，i的倾斜角较大，tan9=~=2t+6MP1+k•k12+7

贝ijtan6=2£±6=——殳——=_*—<一贝ijtan6=2£±6=——殳——=_*—<一-^―一=1(tan9f0)t2+7x2-6x+16166,16x+一-62'x.—-6x\x冗此时x=4,t=1,6=—max4③当tp-3时，y的倾斜角较大，tan6=kNP-kMP=-空1+k•k12+7/孩2t+62x2x=-It+3/f0，则tan6=—==<t2+7%2+6"16x+空+62.x•四+67x2x(tan6f0)此时x=4,t=-7,tan（6）=1由于6g[0,丸），且tan6在6g[0,丸）上单增，tan6g[01]二6=—，此时t=1max4解答二（圆周角定理）：本题中的取极值时的P点的几何意义为：过M、N的圆与x轴切于P点。下面给出证明:证明：以与x轴切于P2点的圆满足所求最大角为例：由于l:y=x+3是过M、N两点的圆的一条弦，由垂径定理知圆心在l:y=-x+3上MN随着圆心横坐标从。开始增大：当半径r较小时，圆与x轴无交点；当半径稍大一点时，圆

与X轴相切，有一个交点；当半径更大一点时，圆与x轴有两交点P3、P4。此时：根据圆周角定理：ZMPN=ZMPNpZMQN=ZMP2N，可知：圆与x轴相切时，(ZMPN)(ZMPN)。maxR较小的情况（圆与乂轴相离）R较大的情况（圆与乂轴相交于P、P）所以：过M、N的圆与x轴切于P3、P4点时，分别有（/MPN）n只需比较^MPN与ZMPN，哪一个更大。令与x轴相切的圆的圆心为（x，＞），则切点P（x，0），半径为ynx2-6x+7=0nx=-7or1(消去y)f(x+1)2+G-2)2=V2圆满足L[(x-1)2nx2-6x+7=0nx=-7or1(消去y)常规方法依旧是利用正切度量角的大小，但注意用倾斜角表示所求角时要用大角减去小角，才能得到正角；均值时要注意以分子（一次）为新元构建均值。用圆周角角的性质解答，只要转化为切点，解一个方程组，比较两个角谁大就行了。（不比较也行，画图可知右边角大于左边角：弦长相等，半径越大，弦所对的圆周角越小。）其实两种解法的难度是一样，只是一种要写得多，一种要想得多。☆

变式3-1:若G^AABC的重心，且AG1BG，则sinC的最大值为解答一(余弦定理+均值):令G(0,0),A(a,0),B(0,b),X=-(x+x+x)则由|G3ABC令G(0,0),A(a,0),B(0,b),G3ABCBC=Ja2+4BC=Ja2+4b2由点间的距离公式：AB|=Ja2+b2,|AC|=J4a2+b,AC2+BC2-AB2(4a2+b2)+(a2+4b2)一(a2+b2)由余弦定理：cosC=2xACxBC4(a2+b2)2；(4a2+b2)x(a2+4b2)(a2+b2)2\a2+b22^(4a2+b2)x(a2+4b2)((4a2+b2)x(a2+4b2)

由于:<ab<—+—n<・a2+b2^xQ2+4b2)<2^a2+b2)cosC2。=0<sinC<。=(sinC)'55max解法二(圆周角定理):令A(一令A(一1,0),B(1,0),G(sin。,cos。)，则C(3sin。,3cos。)题目转化为：A(-1,0),B(1,°),c(x,y)满足：x2+y2=9，求sinC的最大值。目测可知c(0,±3)时，(ZABC)max，下面以C'(0,3)来证明。过A(—1,0),B(1,0),C'(0,3)作圆o：若C不在C'点，令AC交圆O于Q点。由圆周角定理：ZACBpZAQB=ZAC'B证得此时由余弦定理「.过A(—1,0),B(1,0),C'(0,3)作圆o：若C不在C'点，令AC交圆O于Q点。由圆周角定理：ZACBpZAQB=ZAC'B证得此时由余弦定理「.(cosC).=5=(sinC)=5点评：可以说这道题与例题3有异曲同工之妙，直观感觉加上圆周角定理可以说是画几个圆就解出题了。其实余弦函数在［。，兀］单调，也可用来度量角的大小。不过更值得一提的是两种方法以不同的方式，间接地表现了题中点的关系，设点的方式☆值得思考领悟。解法一照顾垂直结论，把重心放在原点，利用重心的坐标很好地刻画了。点的坐标；解法二联系圆的直径所对圆周角为直角表示垂直条件，以同样方式刻画C点的坐标。两种方式都完全的展现了题目中的关系。例题4:(对椭圆用均值)：过椭圆=+^2