福建省南平市建瓯市芝华中学2022年高一数学第一学期期末统考模拟试题含解析

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）1．若直线经过两点，，且倾斜角为，则的值为（）A.2 B.1C. D.2．若函数在R上单调递减，则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.3．设集合，则（）A. B.C. D.4．设，，定义运算“△”和“”如下：，.若正数，，，满足，，则（）A.△，△ B.，C.△， D.，△5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是A. B.C. D.6．已知函数为偶函数，在单调递减，且在该区间上没有零点，则的取值范围为（）A. B.C. D.7．函数的零点所在的区间是A. B.C. D.8．已知函数则函数的零点个数为.A. B.C. D.9．已知函数，则函数（）A. B.C. D.10．已知函数，若存在互不相等的实数，，满足，则的取值范围是（）A. B.C. D.二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）11．A是锐二面角α-l-β的α内一点，AB⊥β于点B，AB=，A到l的距离为2，则二面角α-l-β的平面角大小为________.12．下面有5个命题：①函数的最小正周期是②终边在轴上的角的集合是③在同一坐标系中，函数的图象和函数的图象有3个公共点④把函数的图象向右平移得到的图象⑤函数在上是减函数其中，真命题的编号是___________（写出所有真命题的编号）13．已知a，b，c是空间中的三条直线，α是空间中的一个平面①若a⊥c，b⊥c，则a∥b；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥α，b⊥α，则a⊥b；④若a∥b，a∥α，则b∥α；说法正确的序号是______14．已知定义在上的函数满足，且当时，.若对任意，恒成立，则实数的取值范围是______15．写出一个满足，且的函数的解析式__________三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16．为持续推进“改善农村人居环境，建设宜居美丽乡村”，某村委计划在该村广场旁一矩形空地进行绿化.如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均摆满宽度相同的花，已知两块绿草坪的面积均为400平方米.（1）若矩形草坪的长比宽至少多9米，求草坪宽的最大值；（2）若草坪四周及中间的花坛宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值.17．已知函数的图象中相邻两条对称轴之间的距离为，且直线是其图象的一条对称轴（1）求，的值；（2）在图中画出函数在区间上的图象；（3）将函数的图象上各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到的图象，求单调减区间.18．已知函数，.（1）利用定义证明函数单调递增；（2）求函数的最大值和最小值.19．已知非空数集，设为集合中所有元素之和，集合是由集合的所有子集组成的集合（1）若集合，写出和集合；（2）若集合中的元素都是正整数，且对任意的正整数、、、、，都存在集合，使得，则称集合具有性质①若集合，判断集合是否具有性质，并说明理由；②若集合具有性质，且，求的最小值及此时中元素的最大值的所有可能取值20．已知函数.（1）判断在上的单调性，并证明你的结论；（2）是否存在，使得是奇函数？若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由.21．已知集合，.（1）若，求；（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围.

参考答案一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）1、A【解析】直线经过两点，，且倾斜角为，则故答案为A．2、D【解析】要保证函数在R上单调递减，需使得和都为减函数，且x=1处函数值满足,由此解得答案.【详解】由函数在R上单调递减，可得，解得，故选：D.3、D【解析】根据绝对值不等式的解法和二次函数的性质，分别求得集合，即可求解.【详解】由，解得，即，即，又由，即，所以.故选：D.4、D【解析】根据所给运算，取特殊值检验即可排除ACB，得到答案.【详解】令满足条件，则，可排除A,C；令满足。则，排除B;故选：D5、B【解析】由三视图判断底面为等腰直角三角形，三棱锥的高为2，则，选B.【考点定位】三视图与几何体的体积6、D【解析】根据函数为偶函数，得到，再根据函数在单调递减，且在该区间上没有零点，由求解.【详解】因为函数为偶函数，所以，由，得，因为函数在单调递减，且在该区间上没有零点，所以，解得，所以的取值范围为，故选：D7、B【解析】∵，，，，∴函数的零点所在区间是故选B点睛：函数零点问题，常根据零点存在性定理来判断，如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，且有，那么，函数在区间内有零点，即存在使得

这个也就是方程的根．由此可判断根所在区间.8、B【解析】令，得，令,由，得或，作出函数的图象，结合函数的图象，即可求解【详解】由题意，令，得，令,由，得或，作出函数的图象，如图所示，结合函数的图象可知，有个解，有个解，故的零点个数为，故选B.【点睛】本题主要考查了函数的零点问题，其中令,由，得到或，作出函数的图象，结合函数的图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题9、C【解析】根据分段函数的定义域先求出，再根据，根据定义域，结合，即可求出结果.【详解】由题意可知，，所以.故选：C.10、D【解析】作出函数的图象，根据题意，得到，结合图象求出的范围，即可得出结果.【详解】假设，作出的图象如下；由，所以，则令，所以，由，所以，所以，故.故选：D.【点睛】方法点睛：已知函数零点个数(方程根的个数)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）11、【解析】如图，过点B作与，连，则有平面，从而得，所以即为二面角的平面角在中，，所以,所以锐角即二面角的平面角的大小为答案：点睛：作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角，然后通过解三角形的方法求得角，解题时要注意所求角的范围12、①④【解析】①，正确；②错误；③，和在第一象限无交点，错误；④正确；⑤错误．故选①④13、③【解析】根据空间线面位置关系的定义，性质判断或举反例说明【详解】对于①，若a，b为平面α的直线，c⊥α，则a⊥c，b⊥c，但a∥b不一定成立，故①错误；对于②，若a∥α，b∥α，则a，b的关系不确定，故②错误；对于③，不妨设a在α上的射影为a′，则a′⊂α，a∥a′，由b⊥α可得b⊥a′，于是a⊥b，故③正确；对于④，若b⊂α，显然结论不成立，故④错误.故答案为③【点睛】本题考查了空间线面位置关系的判断，属于中档题，14、【解析】根据题意求出函数和图像，画出图像根据图像解题即可.【详解】因为满足，即；又由，可得，因为当时，所以当时，，所以，即；所以当时，，所以，即；根据解析式画出函数部分图像如下所示；因为对任意，恒成立，根据图像当时，函数与图像交于点，即的横坐标即为的最大值才能符合题意，所以，解得，所以实数的取值范围是：.故答案为：.15、（答案不唯一）【解析】根据题意可知函数关于对称，写出一个关于对称函数，再检验满足即可.【详解】由，可知函数关于对称，所以，又，满足.所以函数的解析式为（答案不唯一）.故答案为：（答案不唯一）.三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16、（1）最大值为16米；（2）最小值为平方米.【解析】（1）设草坪的宽为x米，长为y米，依题意列出不等关系，求解即可；（2）表示，利用均值不等式，即得最小值.【详解】（1）设草坪的宽为x米，长为y米，由面积均为400平方米，得.因为矩形草坪的长比宽至少大9米，所以，所以，解得.又，所以.所以宽的最大值为16米.（2）记整个的绿化面积为S平方米，由题意可得（平方米）当且仅当米时，等号成立.所以整个绿化面积的最小值为平方米.17、（1）.．（2）见解析（3），【解析】（1）两条对称轴之间的距离是半个周期，求，当时，代入求（2）由（1）知，根据“五点法”画出函数的图象；（3）首先求图象变换后的解析式，再令，，求函数的单调递减区间.【详解】（1）∵相邻两条对称轴之间的距离为，∴的最小正周期,∴.∵直线是函数的图象的一条对称轴，∴．∴，∵，∴（2）由知0-1010故函数在区间上的图象如图（3）由的图象上各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到，图象向左平移个单位后得到，，令，，∴函数的单调减区间为，【点睛】本题考查三角函数性质和图象的综合问题，意在考查熟练掌握三角函数性质，一般“五点法”画的图象，若是函数图象变换，1.左右平移，需根据“左＋右－”的变换规律求解，2.周期变换（伸缩变换），若是函数横坐标伸长（或缩短）到原来的倍，变换后的解析式为.18、（1）证明见详解；（2）最大值；最小值.【解析】（1）任取、且，求，因式分解，然后判断的符号，进而可得出函数的单调性；（2）利用（1）中的结论可求得函数的最大值和最小值.【详解】（1）任取、且，因为，所以，，，，，，即，因此，函数在区间上为增函数；（2）由（1）知，当时，函数取得最小值；当时，函数取得最大值.【点睛】关键点睛：求函数的最值利用函数的单调性是解决本题的关键.19、（1），；（2）①有，理由见解析；②的最小值为，所有可能取值是、、、、.【解析】（1）根据题中定义可写出与；（2）（i）求得，取、、、、，找出对应的集合，使得，即可得出结论；（ii）设，不妨设，根据题中定义分析出、，，，，，然后验证当、、、、时，集合符合题意，即可得解.【小问1详解】解：由题中定义可得，.【小问2详解】解：（ⅰ）集合具有性质，理由如下：因为，所以当时，取集合，则；当时，取集合，则；当时，取集合，则；当时，取集合，则；当时，取集合，则；当时，取集合，则；当时，取集合，则；当时，取集合，则；当时，取集合，则；当时，取集合，则；当时，取集合，则；当时，取集合，则；当时，取集合，则；当时，取集合，则；当时，取集合，则；综上可得，集合具有性质；（ⅱ）设集合，不妨设因为为正整数，所以，因为存在使得，所以此时中不能包含元素、、、且，所以．所以因为存在使得，所以此时中不能包含元素及、、、且，所以，所以若，则、、，而，所以不存在，使得，所以若，则、、，而，所以不存在，使得，所以同理可知，，若，则，所以当时，若，则取，可知不存在，使得，所以，解得又因为，所以经检验，当、、、、时，集合符合题意所以最小值为，且集合中元素的最大值的所有可能取值是、、、、.【点睛】关键点点睛：本题考查集合的新定义问题，解题时充分抓住题中的新定义，结合反证法结合不等式的基本性质逐项推导，求出每一项的取值范围，进而