2023届湖南省长沙市一中开福中学高一数学第一学期期末教学质量检测模拟试题含解析

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（本大题共12小题，共60分）1．已知，，满足，则（）A. B.C. D.2．已知函数（，），若的图像的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标均不属于区间，则的取值范围是（）A. B.C. D.3．集合的真子集的个数是（）A. B.C. D.4．设f（x）为定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=log3（1+x），则f（﹣2）=（）A.﹣3 B.﹣1C.1 D.35．若函数（，且）在区间上单调递增，则A.， B.，C.， D.，6．已知命题p：，，则为（）A.， B.，C.， D.，7．函数的部分图象是（）A. B.C. D.8．下列命题中正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则9．设全集，集合，则（）A.{3，5} B.{2，4}C.{1，2，3，4，5} D.{2，3，4，5，6}10．如图所示的程序框图中，输入，则输出的结果是A.1 B.2C.3 D.411．已知,,,,则A. B.C. D.12．已知函数在区间上单调递增，且在区间上只取得一次最大值，则取值范围是（）A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20分）13．已知正实数a，b满足，则的最小值为___________.14．函数的单调减区间为__________15．定义：如果函数在定义域内给定区间上存在，满足，则称函数是上的“平均值函数”，是它的一个均值点.若函数是上的平均值函数，则实数的取值范围是____16．已知向量，，则向量在方向上的投影为___________.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．计算求值：（1）（2）18．已知函数，（Ⅰ）求的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值19．已知集合且和集合（Ⅰ）求；（Ⅱ）若全集，集合，且，求a的取值范围20．如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处，第一种是从A沿直线步行到C，第二种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到某旅客选择第二种方式下山，山路AC长为1260m，从B处步行下山到C处，，经测量，，，求索道AB的长21．函数在一个周期内的图象如图所示，O为坐标原点，M，N为图象上相邻的最高点与最低点，也在该图象上，且（1）求的解析式；（2）的图象向左平移1个单位后得到的图象，试求函数在上的最大值和最小值22．如图，四棱锥的底面是正方形，，点在棱上.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）当且为的中点时，求与平面所成的角的大小.

参考答案一、选择题（本大题共12小题，共60分）1、A【解析】将转化为是函数的零点问题，再根据零点存在性定理即可得的范围，进而得答案.【详解】解：因为函数在上单调递减，所以；；因为满足，即是方程的实数根，所以是函数的零点，易知函数f(x)在定义域内是减函数，因为，，所以函数有唯一零点，即.所以.故选：A.【点睛】本题考查对数式的大小，函数零点的取值范围，考查化归转化思想，是中档题.本题解题的关键在于将满足转化为是函数的零点，进而根据零点存在性定理即可得的范围.2、C【解析】由已知得，，且，解之讨论k，可得选项.【详解】因为的图像的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标均不属于区间，所以，所以，故排除A，B；又，且，解得，当时，不满足，当时，符合题意，当时，符合题意，当时，不满足，故C正确，D不正确，故选：C.【点睛】关键点睛：本题考查根据正弦型函数的对称性求得参数的范围，解决问题的关键在于运用整体代换的思想，建立关于的不等式组，解之讨论可得选项.3、B【解析】确定集合的元素个数，利用集合真子集个数公式可求得结果.【详解】集合的元素个数为，故集合的真子集个数为.故选：B.4、B【解析】因为函数f（x）为奇函数，所以．选B5、B【解析】函数在区间上单调递增，在区间内不等于，故当时，函数才能递增故选6、C【解析】全称命题的否定定义可得.【详解】根据全称命题的否定，：，.故选：C.7、C【解析】首先判断函数的奇偶性，即可排除AD，又，即可排除B.【详解】因为，定义域为R，关于原点对称，又，故函数为奇函数，图象关于原点对称，故排除AD；又，故排除B.故选：C.8、C【解析】分析】利用不等式性质逐一判断即可.【详解】选项A中，若，，则，若，，则，故错误；选项B中，取，满足，但，故错误；选项C中，若，则两边平方即得，故正确；选项D中，取，满足，但，故错误.故选：C.【点睛】本题考查了利用不等式性质判断大小，属于基础题.9、D【解析】先求补集，再求并集.详解】，则.故选：D10、B【解析】输入x＝2后，该程序框图的执行过程是：输入x＝2，x＝2>1成立，y＝＝2，输出y＝2选B.11、C【解析】分别求出的值再带入即可【详解】因为,所以因为,所以所以【点睛】本题考查两角差的余弦公式．属于基础题12、C【解析】根据三角恒等变换化简，结合函数单调区间和取得最值的情况，利用整体法即可求得参数的范围.【详解】因为，因为在区间上单调递增，由，则，则，解得，即；当时，，要使得该函数取得一次最大值，故只需，解得；综上所述，的取值范围为.故选：C.第II卷二、填空题（本大题共4小题，共20分）13、##【解析】将目标式转化为，应用柯西不等式求取值范围，进而可得目标式的最小值，注意等号成立条件.【详解】由题设，，则，又，∴，当且仅当时等号成立，∴，当且仅当时等号成立.∴的最小值为.故答案为：.14、##【解析】由幂函数、二次函数的单调性及复合函数单调性的判断法则即可求解.【详解】解：函数的定义域为，令，，，因为函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以函数的单调减区间为，单调增区间为.故答案为：.15、##，##【解析】根据题意，方程，即在内有实数根，若函数在内有零点．首先满足，解得，或．对称轴为．对分类讨论即可得出【详解】解：根据题意，若函数是，上的平均值函数，则方程，即在内有实数根，若函数在内有零点则，解得，或（1），．对称轴：①时，，，（1），因此此时函数在内一定有零点．满足条件②时，，由于（1），因此函数在内不可能有零点，舍去综上可得：实数的取值范围是，故答案为：，16、【解析】直接利用投影的定义求在方向上的投影.【详解】因为，，设与夹角为，，则向量在方向上的投影为：.所以在方向上投影为故答案为：.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17、（1）（2）1【解析】（1）以实数指数幂运算规则解之即可；（2）以对数运算规则解之即可.【小问1详解】【小问2详解】18、(Ⅰ)最小正周期是，单调递增区间是.(Ⅱ)最大值为，最小值为【解析】详解】试题分析：(Ⅰ)将函数解析式化为，可得最小正周期为；将代入正弦函数的增区间可得函数的单调递增区间是．(Ⅱ)由可得，故，从而可得函数在区间上的最大值为，最小值为试题解析：（Ⅰ），所以函数的最小正周期是，由，得，所以的单调递增区间是.（Ⅱ）当时，，所以，所以，所以在区间上的最大值为，最小值为点睛：解决三角函数综合题（1）将f(x)化为的形式；（2）构造；（3）逆用和（差）角公式得到（其中φ为辅助角）；（4）利用，将看做一个整体，并结合函数的有关知识研究三角函数的性质19、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】Ⅰ由函数的定义域及值域的求法得，，可求Ⅱ先求解C，再由集合的补集的运算及集合间的包含关系得，解得【详解】Ⅰ由，，得，即，解不等式，得，即，所以，Ⅱ解不等式得：，即，又，又，所以，解得：，【点睛】本题考查了函数的定义域及值域的求法，考查了集合的交集、补集的运算及集合间的包含关系，属于简单题20、索道AB的长为1040m【解析】利用两角和差的正弦公式求出，结合正弦定理求AB即可【详解】解：在中，，，，，则，由正弦定理得得，则索道AB的长为1040m【点睛】本题主要考查三角函数的应用问题，根据两角和差的正弦公式以及正弦定理进行求解是解决本题的关键21、（1）（2）最大值和最小值分别为和【解析】（1）连接交轴于点，过点作于点，设，通过勾股定理计算出和，再结合也在该图象上可求解；（2）根据平移得到，再化简得，从而可求最值.【小问1详解】连接交轴于点，过点作于点.设，则有，即，所以，，因此，所以有，解得，所以，又因为其过，则，又，从而得，所以.【小问2详解】由向左平移1个单位后，得，所以.因为，则，所以当时有最小值，；当时有最大值，.22、(1)见解析(2)【解析】（Ⅰ）欲证平面AEC⊥平面PDB，根据面面垂直的判定定理可知在平面AEC内一直线与平面PDB垂直，而根据题意可得AC⊥平面PDB；（Ⅱ）设AC∩BD=O，连接OE，根据线面所成角的定义可知∠AEO为AE与平面PDB所的角，在Rt△AOE中求出此角即可【详解】（1）证明：∵底面ABCD是正方形∴AC⊥BD又PD