2014年秋电大高等数学基础形成性考核册答案

高等数学基础作业1（一）单项选择题

第1章函数第2章极限与连续⒈下列各函数对中）中的两个函数相等．x2A. f(x)( x)2，g(x)x B. f(x) ，g(x)xx2x21C. f(x)lnx3，g(x)3lnx D. f(x)x1，g(x)

x1f(x)的定义域为(,f(xf(x的图形关于对称．A.坐标原点 B. x轴C. y轴 D. yx⒊下列函数中为奇函数是（B）．A. yx2) B. yxcosxaxaxC. y D. yx)2⒋下列函数中为基本初等函数是（C）．A. yx1 B. yx21, x02yx

y, x0⒌下列极限存计算不正确的是（D）．A. lim x2 1 B. limln(1x)0xx

2 x0C. limsinx

0 D. limxsin10x x x x⒍当x0时，变量（C）是无穷小量．sinx 1A. B.x x1C. xsin D. ln(x2)x⒎若函数f(x)在点x0

满足（A），则f(x)在点x0

连续。A. limf(x)f(xxx0

) B. f(xx0

的某个邻域内有定义C. limxx0

f(x)f(x0

) D. limxx0

f(x)limxx0

f(x)（二）填空题f(x)

x29xx29

x)的定义域是|x．⒉已知函数f(xx2x，则f(x) ．1⒊ )x ．x 2x1 1 2x1 1lim(1 )xlim(1 ) 2e2x

2x x 2x 1f(x)xxxk,x1, x0

, x0，在x0处连续，则k e ．x0⒌函数y 的间断点是 x0 ．x, x0limf(x)Axxxx0 （二）计算题⒈设函数求：f(2),f(0),f(1)．

f(xA称为xx0x, x0f(x)x, x0

时的无穷小量 ．解：f22，f00，f1e1e2x1⒉求函数ylgx2x1

的定义域． 2x10 1解：ylg 有意义，要求 解得x 或x0x x0 22则定义域为x|x或x12

x0DORhDORhEB解：AC设梯形ABCD即为题中要求的梯形，设高为h，即OE=h，下底CD＝2R直角三角形AOE中，利用勾股定理得OE2ROE2R2h2R2h2h则上底＝2AE2 R2hR2h2h故S2

2R2 R2h2 hR⒋求limsin3x．x0sin2xsin3x3x sin3xlimsin3x

lim 3x lim 3x 3

＝133x0sin2x x0sin2x2x

x0sin2x 2 1 2 2

x21．

2x 2xx1sin(x

x21

lim(x1)(x1)lim

x1

112x1sin(x1) x1 sin(x1) x1sin(x1) 1x1⒍求limtan3x．x0 xlimtan3x

limsin3x 1

limsin3x

1 31133x0 x

x0

x cos3x x0 3x cos3x 1⒎求lim

1x21．(1x21)(1x(1x21)(1x21)(1x21)sinx1x21(1x21)sinx解：lim解：sinx

lim lim x2x0 x0 x0⒏求x

x1x

limx0()x．

x1x21x2

sinxx

0 111x1解：

1 1 1 1 (1 )x [(1 )x x x x

e1lim( )xlim( 3)xlim 3 lim e4xx3 x x

x

1x e31 (1 )x

[(1 )3⒐求lim

x26x8．

x x x3x4x2

5x4x26x8 x4x2

x

42 2lim

lim

lim x4x25x4 ⒑设函数

x

x1

x4x1 41 3(x2)2, x1f(x)x, 1x1x1, x1讨论f(x)的连续性，并写出其连续区间．x1,x1（1）limfxlimx1x1limfx1

x

x1

x1

110limfxlimfxfxx处不连续（2）

limfxlimx2

1221x1limx

x

x1limx1x1f 11所以limfxlimfxffxx1处连续x1由（1）（2）得f

x1在除点x1外均连续fx的连续区间为《高等数学基础》第二次作业第3章导数与微分（一）单项选择题⒈设f(0)0且极限lim

f(x)存在，则lim

f(x)

（C ）．x0 x x0 xA. f(0) B. f(0)C. f(x) D. 0cvxf(x

可导，则lim

f(x0

2h)f(x)0

（D ）．0 h0 2hA. 2f(x0

) B. f(x)0C. 2f(x0

) D. f(x)0f(1x)f(1)⒊设f(x)ex，则limx0 x

（A ）．A. e B. 2eC. 1e D. 1e2 4⒋设f(x)x(x1)(x2) (x99)，则f(0)（D ）．A.99B.99C.99!D.99!⒌下列结论中正确的是（C）．f(xx0

有极限，则在点x0

可导．f(xx0f(xx0

x0x0

可导．有极限．f(xx0

有极限，则在点x0

连续．（二）填空题x2sin1

, x0⒈设函数f(x)0,

xx0

，则f(0) 0 ．df(lnx) 2ln x 5⒉设f(ex)e2x5ex，则dx

．x xx1x⒊曲线f(x)

1在2处的切线斜率是k222π 22⒋曲线f(x)sinx在( ,处的切线方程是y4yx2xy2x2xlnx)

x 2 2 4yxlnxy1x（三）计算题⒈求下列函数的导数y：

3 3 1x⑴y(xx3)ex

y(x23)ex

x2ex2⑵ycotxx2lnx ycsc2xx2xlnx⑶yx2

y

2xlnxxlnx ln2x⑷y⑸y

cosx2xx3lnxx2

yy

x(sinx2xln2)3(cosx2x)1x41sinx( 2x)(lnxx2)cosxsinx sin2xsinx⑹yx

sinxlnx y4x3cosxlnx⑺y

sinxx23x

y

3x(cosx2x)(sinxx2)3xln332xex 1⑻yextanxlnx yex

tanx

cos2x x⒉求下列函数的导数y：x2⑴x2x21x2x21x2⑵ylncosx3sinx3y 3xcosx3

3x

tanx3x x x⑶yx x x7yx83x3x x

y

7 1x88y

1 2(xx12)3(1(xx1

1 1x2)3 2⑸ycos2exyexsin(2ex)⑹ycosex2⑹y2ex

sinex2⑺ysinnxcosnxynsinn1xcosxcosnxnsinnxsin(nx)⑻y5sinx2y2xln5cosx25sinx2yesin2x⑼ysin2xesin2x⑽yxx2 ex2⑽yxx2(x2xlnx)2xex2⑾y⑾

ex eexy xe

( exlnx)eexexexe⒊在下列方程中，yy(x)是由方程确定的函数，求y：⑴ycosxe2yycosxysinx2e2yyy

ysinxcosx2e2y⑵ycosylnxysiny.ylnxcosy.1xy

cosysinylnx)⑶2xsinyx2y2xcosy.y2siny

2yxx2y

y(2xcosy

x2)

2yx

2sinyy

2xy2ysiny2xy2cosyx2

y2 y2 y2⑷yxlnyyy

y1yyy1⑸lnxeyy21eyy2yyxy

1x(2yey)⑹y

1exsiny2yyexcosy.ysinxy

exsiny2yexcosy⑺e

e

y3eyyex3y2yexy

3y2ey⑻y5x2yy5xln5y2yln2y

5xln512yln2⒋求下列函数的微分dy：⑴ycotxcscx1 cosxdy( )dx⑵y

cos2lnxsin

x sin2xdy

1sinxlnxcosxx dxsin2x1x⑶y11(1x)x)21x21

1x

x)

1x211x21x x)21x1x31x两边对数得：lny1ln(1x)ln(1x)3y1(1 1 )y 31x 1xy

( 1 1 )1 1x331x1 1x331x⑸ysin2exdy2sinexex3exdxsinex)exdx⑹ytanex3dysec2ex33x2dx3x2ex

sec2xdx⒌求下列函数的二阶导数：⑴yxlnxy1lnxy1x⑵yxsinxyxcosxsinxyxsinx2cosx⑶yarctanxy

11x2y

2x(1x2)2⑷y3x2y23x

ln3 y4x23x

ln2

32ln33x2（四）证明题设f(x)是可导的奇函数，试证f(x)是偶函数．证：因为f(x)是奇函数所以f(x)f(x)f(x)(1)f(xf(x)f(x)所以f(x)是偶函数。《高等数学基础》第三次作业．（一）单项选择题．

第4章导数的应用f(x)满足条件则存在abf)A.在(a,b)内连续 B.在(a,b)内可导

f(b)f(a)baC.在(a,b)内连续且可导 D.在[a,b]内连续，在(a,b)内可导⒉函数f(x)x2

4x1的单调增加区间是）．A. (,2) B. (1,C. (2,) D. (2,)⒊函数yx24x5在区间(6,6)内满足）．A.先单调下降再单调上升 B.单调下降C.先单调上升再单调下降 D.单调上升⒋函数f(x)满足f(x)0的点，一定是f(x)的（C ）．A.间断点 B.极值C.驻点 D.拐点⒌设f(x)在(a,b)内有连续的二阶导数，x0

(a,b)，若f(x)满足（C），则f(x)在x取到极小值．0A. f(x0C. f(x

)0,f(x0)0,f(x

)0 B. f(x0)0 D. f(x

)0,f(x0)0,f(x

)0)00 0 0 0f(x)在(abf(x)0,f(x)0f(x)在此区间内是（A）．A.单调减少且是凸的 B.单调减少且是凹的C.单调增加且是凸的 D.单调增加且是凹的（二）填空题f(x)(ab)内可导，x0

(a,b)，且当xx0

时f(x)0，当xx 时0f(x)0，则x0

是f(x)的极小值 点．⒉若函数f(x)在点x0

可导，且x0

是f(x)的极值点，则f(x0

) 0 ．yx2的单调减少区间是(,0．f(x)e的单调增加区间是(0,)⒌若函数f(x)在[a,b]内恒有f(x)0，则f(x)在[a,b]上的最大值是f(a)．⒍函数f(x)25x3x3的拐点是 x=0 ．（三）计算题⒈求函数y(x1)(x5)2的单调区间和极值．Xyy(,2)+上升2极大27(2,5)-下降5极小0(5,Xyy(,2)+上升2极大27(2,5)-下降5极小0(5,)+上升驻点x2,x5列表：极大值：f(2)27

2(x5)(x2)极小值：f(5)0⒉求函数yx22x3在区间[0,3]内的极值点，并求最大值和最小值．令：y2x20 x驻点）f(0)3 f6 f2最大值最小值

f(3)6f(1)2⒊试确定函数yax3

bx

cxdabc,d，使函数图形过点(244和点10)xx1是拐点．442xd 10abcd解： 012ac

a1b3c16 06ab d24⒋求曲线y22x上的点，使其到点A(2,0)的距离最短．设p(x,y)是yd

2x上的点，d为p到A点的距离，则：(x(x2)2y2(x2)22x令d

2(x2)2

x1 0

x12 (x2)22x(x2)2 (x2)22x(x2)22x⒌圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为L体积最大？设园柱体半径为R，高为h，则体积3VR2h(L2h2)h3令：V[h(2h)h2][L23h2]0 L 3h h L23232R L23

当h

,R333

L时其体积最大。⒍一体积为V的圆柱体，问底半径与高各为多少时表面积最小？设园柱体半径为R，高为h，则体积V2h

3V3V2

2Rh2R22VRV

2令：S2033

R3R3V23答：当R3V23⒎欲做一个底为正方形，容积为62.5立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设底连长为x，高为h。则：62.562.5x2h

hx2

250Sx250

4xhx2x令S2x 0x2

x3125x5答：当底连长为5米，高为2.5米时用料最省。（四）证明题⒈当x0时，证明不等式xln(1x)．ln(1x)证：由中值定理得：

x)ln1 1

( 0)x)x

x x)1 1xx) 当x时）⒉当x0时，证明不等式ex设f(x)ex(x1)

x1．f(x)ex10 当x时） 当x时f(x)单调上升且f(0)0f(x)0,即ex(x证毕《高等数学基础》第四次作第5章 不定积分第6章 定积分及其应用（一）单项选择题⒈若f(x)的一个原函数是1，则f(x)（D ）．xA. lnx B. 1x2

1 2C. D.x x3⒉下列等式成立的是）．Af(x)dxf(x)B. df(x)f(x)C. df(x)dxf(x) D. ddx

f(x)dxf(x)⒊若f(x)cosx，则f(x)dx（B ）．A.sinxc B. cosxc C. sinxc D. cosxc⒋dx2f(x3)dx（B）．dx1 1A. f(x3) B. x2f(x3) x⒌若f(x)dxF(xc，则x

f(x) D. f(x33 31f( x)dx（B ）．1xA. F( x)c B. 2F( x)c C. F(2 x)c x

1 F( x)c⒍由区间[a,b]上的两条光滑曲线yf(x)和yg(x)以及两条直线xa和xb所围成的平面区域的面积是）．f(x)g(x)]dx B.b[g(x)f(x)]dxaC. ba（二）填空题

af(x)g(x)dx D. f(x)g(x)]dxaf(x的不定积分是f(x)dx．F(x)G(x)是同一函数的原函数，则F(x)G(x)之间有关系式F(xG(x)c(常数⒊d

ex2dxex2⒋(tantanxc⒌若f(x)dxcos3xcf(x)9cos(3x)⒍3(sin5x1)dx33 2⒎若无穷积分11 xp

dx收敛，则p0（三）计算题cos1⒈ xdxcos1d(1)sin1cx2 x x xxxx⒉e dx2exd 2excxxx⒊ 1 dx1 d(lnx)