全国周培源大学生力学竞赛辅导力学竞赛-静力学专题课件

全国周培源大学生力学竞赛辅导力学竞赛-静力学专题全国周培源大学生力学竞赛辅导力学竞赛-静力学专题全国周培源大学生力学竞赛辅导力学竞赛-静力学专题全国周培源大学生力学竞赛考试范围2021/2/42全国周培源大学生力学竞赛辅导力学竞赛-静力学专题全国周培源大全国周培源大学生力学竞赛考试范围材料力学基本部分专题部分理论力学基本部分专题部分2021/2/42全国周培源大学生力学竞赛考试范围材料力学基本部分专题部分理论理论力学(基本部分)(一)静力学

(1)掌握力、力矩和力系的基本概念及其性质。能熟练地计算力的投影、力对点的矩和力对轴的矩。

(2)掌握力偶、力偶矩和力偶系的基本概念及其性质。能熟练地计算力偶矩及其投影。

(3)掌握力系的主矢和主矩的基本概念及其性质。掌握汇交力系、平行力系与一般力系的简化方法、熟悉简化结果。能熟练地计算各类力系的主矢和主矩。掌握重心的概念及其位置计算的方法。

(4)掌握约束的概念及各种常见理想约束力的性质。能熟练地画出单个刚体及刚体系受力图。

(5)掌握各种力系的平衡条件和平衡方程。能熟练地求解单个刚体和简单刚体系的平衡问题。

(6)掌握滑动摩擦力和摩擦角的概念。会求解考虑滑动摩擦时单个刚体和简单平面刚体系的平衡问题。2021/2/43理论力学(基本部分)(一)静力学

(1)掌握力理论力学(基本部分)(二)运动学

(1)掌握描述点运动的矢量法、直角坐标法和自然坐标法，会求点的运动轨迹，并能熟练地求解点的速度和加速度。

(2)掌握刚体平移和定轴转动的概念及其运动特征、定轴转动刚体上各点速度和加速度的矢量表示法。能熟练求解定轴转动刚体的角速度、角加速度以及刚体上各点的速度和加速度。

(3)掌握点的复合运动的基本概念，掌握并能应用点的速度合成定理和加速度合成定理。

(4)掌握刚体平面运动的概念及其描述，掌握平面运动刚体速度瞬心的概念。能熟练求解平面运动刚体的角速度与角加速度以及刚体上各点的速度和加速度。2021/2/44理论力学(基本部分)(二)运动学

(1)掌握描述点理论力学(基本部分)(三)动力学

(1)掌握建立质点的运动微分方程的方法。了解两类动力学基本问题的求解方法。

(2)掌握刚体转动惯量的计算。了解刚体惯性积和惯性主轴的概念。

(3)能熟练计算质点系与刚体的动量、动量矩和动能；并能熟练计算力的冲量（矩），力的功和势能。

(4)掌握动力学普遍定理(包括动量定理、质心运动定理、对固定点和质心的动量矩定理、动能定理)及相应的守恒定理，并会综合应用。

(5)掌握建立刚体平面运动动力学方程的方法。了解其两类动力学基本问题的求解方法。

(6)掌握达朗贝尔惯性力的概念，掌握平面运动刚体达朗贝尔惯性力系的简化。掌握质点系达朗贝尔原理(动静法)，并会综合应用。了解定轴转动刚体静平衡与动平衡的概念。2021/2/45理论力学(基本部分)(三)动力学

(1)掌握建立质理论力学(专题部分)专题1：虚位移原理

掌握虚位移、虚功的概念；掌握质点系的自由度、广义坐标的概念；会应用质点系虚位移原理。专题2：碰撞问题

(1)掌握碰撞问题的特征及其简化条件。掌握恢复因数概念

(2)会求解两物体对心碰撞以及定轴转动刚体和平面运动刚体的碰撞问题。2021/2/46理论力学(专题部分)专题1：虚位移原理

掌握虚位移公理1力的平行四边形规则F1F2FRFROF1F2FR=F1+F2

★作用在物体上同一点的两个力，可以合成为一个合力。合力的作用点也在该点，合力的大小和方向，由这两个力为边构成的平行四边形的对角线确定。§1静力学公理A2021/2/47公理1力的平行四边形规则F1F2FR★作用在刚体上的两个力，使刚体保持平衡的充要条件是：这两个力的大小相等，方向相反，且在同一直线上。F1F2公理2二力平衡条件AB注意：公理对于刚体的平衡是充要条件，而对变形体仅为平衡的必要条件；F1=F22021/2/48★作用在刚体上的两个力，使刚体保持平衡的充要条件是：公理3加减平衡力系原理★

在已知力系上加上或减去任意的平衡力系，并不改变原力系对刚体的作用。

推理1力的可传性

作用于刚体上某点的力，可以沿着它的作用线移到刚体内任意一点，并不改变该力对刚体的作用。AFABFF1

F2BAF2

作用于刚体上的力——滑动矢量作用线取代作用点2021/2/49公理3加减平衡力系原理★在已知力系上加上或减去

推理2三力平衡汇交定理

作用于刚体上三个相互平衡的力，若其中两个力的作用线汇交于一点，则此三力必在同一平面内，且第三个力的作用线通过汇交点。CBOAF3F1F2F1F2F122021/2/410推理2三力平衡汇交定理作用于刚体上三个相互平公理4作用与反作用定律

作用力和反作用力总是同时存在，两力的小相等、方向相反，沿着同一直线，分别作用在两个相互作用的物体上。公理5刚化原理

变形体在某一力系作用下处于平衡，如将此变形体刚化为刚体，其平衡状态保持不变。2021/2/411公理4作用与反作用定律作用力和反作用力总是同§2平面任意力系的平衡条件和平衡方程FR=0Mo=0′｝平面任意力系平衡的解析条件：所有各力在两个任选的坐标轴上的投影的代数和分别等于零，以及各力对于任意一点矩的代数和也等于零。●几点说明：（1）三个方程只能求解三个未知量；（2）二个投影坐标轴不一定互相垂直，只要不平行即可；（3）投影坐标轴尽可能与多个未知力平行或垂直；（4）力矩方程中，矩心尽可能选多个未知力的交点。平衡方程2021/2/412§2平面任意力系的平衡条件和平衡方程FR=0Mo=0′（A、B、C三点不得共线）（x轴不得垂直于A、B两点的连线）

平面任意力系平衡方程的形式基本形式二力矩式三力矩式FRBAx是否存在三投影式？2021/2/413（A、B、C三点不得共线）（x轴不得垂直于A、B两点的解上述方程，得解：取三角形板ABC为研究对象FDECBAaaaMPFAFB例题1求：三杆对三角平板ABC的约束反力。FCPACaaaMB2021/2/414解上述方程，得解：取三角形板ABC为研究对象FDECBAaa500NDCEFExFEyFDxFDy500N500NAHDCGEB2m2m2m2m2m2mFAxFAyFB求：D、E的约束反力。例题2解：(1)取CDE为研究对象解上述方程，得(2)取整体为研究对象解得:2021/2/415500NDCEFExFEyFDxFDy500N500NAHDGEBFGxFGyFB(3)取BEG为研究对象解得:500N500NDCEFExFEyFDxFDy500NAHDCGEB2m2m2m2m2m2mFAxFAyFB代入（3）式得:2021/2/416GEBFGxFGyFB(3)取BEG为研究对象解得:50BDAFDyFDxFBxFByFAxFAy解：(1)取整体为研究对象(2)取DEF杆为研究对象解得：(3)取ADB杆为研究对象解得：aBCDAFEPaaaFCxFCyFBxFByPDFEFNEB求：A、D、B的约束反力。例题32021/2/417BDAFDyFDxFBxFByFAxFAy解：(1)取整aBCDAFEPaaa(a)aBCDAFEPaaa(b)aBCDAFEaaaM(c)aBCDAFEaaaM(d)2021/2/418aBCDAFEPaaa(a)aBCDAFEPaaa(b)aBPPABCDaaaa2a2aPFBxFByFCyFCxBCFAyPFAxAB求：A、D的约束反力。例题4解：(1)取BC杆为研究对象解得：(2)取AB杆为研究对象解得：代入（3）式解得：2021/2/419PPABCDaaaa2a2aPFBxFByFCyFCxBCFCDPPABCDaaaa2a2aPFBxFByFCyFCxBCFAyPFAxAB(3)取CD杆为研究对象解得：FDxFDyMD2021/2/420CDPPABCDaaaa2a2aPFBxFByFCyFCxBBCDqMEDqMABCDEH2m2m2m2m1m1mFNBFAxFAyMAFCxFCyFNBFDxFDyFNEH解：(1)取DE杆为研究对象(2)取BDC杆为研究对象(3)取整体为研究对象解得：求：A、B的约束反力。例题5已知：q=50kN/m,M=80kN·m2021/2/421BCDqMEDqMABCDEH2m2m2m2m1m1mFNB桁架由二力杆铰接构成。求平面静定桁架各杆内力的两种方法：★

节点法：逐个考虑桁架中所有节点的平衡，利用平面汇交力系的平衡方程求出各杆的内力。应注意每次选取的节点其未知力的数目不宜多于2个。★

截面法

：截断待求内力的杆件，将桁架截割为两部分，取其中的一部分为研究对象，应用平面任意力系的平衡方程求出被截割各杆件的内力。应注意每次截割的内力未知的杆件数目不宜多于3。2021/2/422桁架由二力杆铰接构成。★节点法：逐个考虑桁架中所有节点的PEF2F3F4F5FAxFAyF1AF6解：(1)取整体为研究对象解得：(2)取内部三角形为研究对象aaaaaaP21ABECD(3)取节点A为研究对象FAxFAyFNB求：桁架1、2杆的力。

例题62021/2/423PEF2F3F4F5FAxFAyF1AF6解：(1)取整F1F212345678910111213123456789101112131415161718192021222324求：图示桁架中受力为零的杆件。

思考题解：由节点法可知图中受力为零的杆件有：3、12、9。(b)图中受力为零的杆件有：1、3、4、11、12、13、14、17、21。2021/2/424F1F212345678910111213123456789小结：其它各种平面力系都是平面任意力系的特殊情形，其平衡方程如下：力系名称独立方程的数目共线力系平衡方程平面力偶系平面汇交力系平面平行力系11222021/2/425小结：其它各种平面力系都是平面任意力系的特殊情形，其平衡平衡方程的快速练习2021/2/426平衡方程的快速练习2021/2/4262021/2/4272021/2/4272021/2/4282021/2/4282021/2/4292021/2/4292021/2/4302021/2/4302021/2/4312021/2/4312021/2/4322021/2/432如何截断？2021/2/433如何截断？2021/2/4332021/2/4342021/2/434§3空间力系1.空间力的投影和分解OxyFz直接投影法F=Fx+Fy+Fz=Fxi+Fyj+Fzk2021/2/435§3空间力系1.空间力的投影和分解OxyFzyzOxFFxy二次投影法F=Fx+Fy+Fz=Fxi+Fyj+Fzk2021/2/436yzOxFFxy二次投影法F=Fx+Fy+Fz=F§3-2力对点的矩和力对轴的矩1.力对点的矩OA(x,y,z)BrFhyxzMO(F)空间的力对O点之矩取决于：（1）力矩的大小；（2）力矩的转向；（3）力矩作用面方位。★

须用一矢量表征MO(F)=Fh=2△OAB

2021/2/437§3-2力对点的矩和力对轴的矩1.力对点的矩OA(OA(x,y,z)BrFhyxzMO(F)MO(F)定位矢量2021/2/438OA(x,y,z)BrFhyxzMO(F)MO(F)定位矢量2.力对轴的矩BAFOxyzhFxybFz

★

力对轴的矩等于力在垂直于该轴的平面上的投影对轴与平面交点的矩。Mz(F)

=MO(Fxy)=±Fxyh=±2△OAb

力对轴之矩用来表征——力对刚体绕某轴的转动效应。Mz(F)

☆当力与轴在同一平面时，力对该轴的矩等于零。2021/2/4392.力对轴的矩BAFOxyzhFxybFz★力对轴yzOxFFxyA(x,y,z)FzFxFyFyFxBabxy力对轴之矩的解析表达式2021/2/440yzOxFFxyA(x,y,z)FzFxFyFyFxBabx3.力对点的矩与力对轴的矩的关系●

力对点的矩矢在通过该点的某轴上的投影，等于力对该轴的矩。2021/2/4413.力对点的矩与力对轴的矩的关系●力对点的矩矢在Mz(F)(x,y,z)）FxyMz(F)

=MO(Fxy)

=±2△Oab

2021/2/442Mz(F)(x,y,z)）FxyMz(F)=MO(Fx求：MO(F)

例题2已知：F、a、b、、解：(1)直接计算2021/2/443求：MO(F)例题(2)利用力矩关系2021/2/444(2)利用力矩关系2021/2/444zPOabcAxy已知：P

、a、b、c求：力P对OA轴之矩例题3MO(P)解：（1）计算MO(P)（2）利用力矩关系力对点的矩矢在通过该点的某轴的投影，等于力对该轴的矩。2021/2/445zPOabcAxy已知：P、a、b、c求：力OABCFD已知：OA=OB=OC=b,OA⊥OB⊥OC.求：力F对OA边的中点D之矩在AC方向的投影。例题4解：利用力矩关系xyz2021/2/446OABCFD已知：OA=OB=OC=b,OA⊥OB⊥OOABCFDxyz2021/2/447OABCFDxyz2021/2/447

矢量A在轴B上的投影:

AB=A·eBAB=A·eBAθeBB2021/2/448矢量A在轴B上的投影:AB=A·eBA§3-3空间任意力系的简化zABCF1F2F3OxyOyxzM2M1M3xzyOMO主矢FR′MO主矩2021/2/449§3-3空间任意力系的简化zABCF1F2F3OxyOxzyOMO2021/2/450xzyOMO2021/2/450§3-4空间任意力系的简化结果分析●

FR=0，MO≠0′●

FR≠

0，MO=0′●

FR≠

0，MO

≠0′●

FR=0，MO=0′●

FR=0，Mo≠0′★

由于力偶矩矢与矩心位置无关，因此，在这种情况下，主矩与简化中心的位置无关。1.空间任意力系简化为一合力偶的情形2021/2/451§3-4空间任意力系的简化结果分析●FR=0，MOoMoo1FRMO(FR)=FRd=MO=∑MO(Fi)MO(FR)=∑MO(Fi)Mz(FR)=∑Mz(Fi)●

FR≠

0，MO

≠0且

FR⊥MO′′o1FR′′FRdo2.空间任意力系简化为一合力的情形·合力矩定理●

FR≠

0，MO=0′合力的作用线通过简化中心2021/2/452oMoo1FRMO(FR)=FRd=MO=∑MO(Fi)●

FR≠

0，Mo≠0且FR∥Mo′′OMoOMoOO力螺旋左螺旋右螺旋3.空间任意力系简化为力螺旋的情形2021/2/453●FR≠0，Mo≠0且FR∥Mo′′OMOMo′′Mo′●

FR≠

0，MO≠0，且为一般状态′OFRO1Mo′dOMo一般情形下空间任意力系可合成为力螺旋●

FR=0，MO=0′原力系平衡4.空间任意力系简化为平衡的情形2021/2/454OMo′′Mo′●FR≠0，MO≠0，且为一般状总结：空间任意力系的平衡方程空间汇交力系平面任意力系基本形式空间力偶系空间平行力系2021/2/455总结：空间任意力系的平衡方程空间汇交力系平面任意力系基本OxyzF1F2ABCDEGH例题5：棱长为a

的正方体上作用的力系如图示。则（1）力系的主矢量；（2）主矢量在OE方向投影的大小；（3）力系对AC轴之矩；（4）力系最终可简化为力螺旋，其中力偶矩大小。解:（1）力系的主矢量2021/2/456OxyzF1F2ABCDEGH例题5：棱长为a的正方体上OxyzF1F2ABCDEGH（2）主矢量在OE方向投影的大小（3）力系对AC轴之矩2021/2/457OxyzF1F2ABCDEGH（2）主矢量在OE方向投影OxyzF1F2ABCDEGH（4）力系最终可简化为力螺旋，其中力偶矩大小2021/2/458OxyzF1F2ABCDEGH（4）力系最终可简化为力螺旋，PPPabc作业题：1.沿长方体的不相交且不平行的三条棱边作用三个相等的力P，如图示，欲使此力系能简化为一个力，则a、b、c应满足关系：

。

作业题：2.

棱长为a

的正方体上作用的力系如图示。则其简化的最后结果是：

。oxyzF1F2F3oxyzF1F2F3F42021/2/459PPPabc作业题：1.沿长方体的不相交且不平行的三条§4-1滑动摩擦FPFNFsPFN两个表面粗糙的物体，当其接触表面之间有相对滑动趋势或相对滑动时，彼此作用有阻碍相对滑动的阻力——滑动摩擦力★静滑动摩擦力的大小必须由平衡方程确定1.静滑动摩擦力2021/2/460§4-1滑动摩擦FPFNFsPFN两个表面粗糙的物体，FPFNFs静摩擦定律：最大静摩擦力的大小与两物体间的正压力成正比3.动滑动摩擦力2.最大静滑动摩擦力2021/2/461FPFNFs静摩擦定律：最大静摩擦力的大小与两物体间的正压力§4-2考虑摩擦时物体的平衡问题●

检验物体是否平衡；●临界平衡问题；●求平衡范围问题。考虑摩擦的系统平衡问题的特点1.

平衡方程式中除主动、约束力外还出现了摩擦力，因而未知数增多。2.除平衡方程外还可补充关于摩擦力的物理方程Fs≤fsFN。3.除为避免解不等式，可以解临界情况，即补充方程Fmax=fsFN。常见的问题有2021/2/462§4-2考虑摩擦时物体的平衡问题●检验物体是否平衡；PQFsFN解：取物块为研究对象，并假定其平衡。解得已知：Q=400N，P=1500N，fs=0.2，f=0.18。问：物块是否静止，并求此时摩擦力的大小和方向。例题1物块不可能静止，而是向下滑动。此时的摩擦力应为动滑动摩擦力，方向沿斜面向上，大小为2021/2/463PQFsFN解：取物块为研究对象，并假定其平衡。解得PPPPFF1243FsFsPF1FsF12FN1P2解：（1）取整体为研究对象Fs=20N（2）取书1为研究对象（3）取书2为研究对象FN1F12′′FN2F23已知：P=10N，fs1

=0.1，fs2

=0.25。问：要提起这四本书需加的最小压力。例题22021/2/464PPPPFF1243FsFsPF1FsF12FN1P2解：（PQFmaxFN解：取物块为研究对象，先求其最大值。解得：（2）求其最小值。解得：求：平衡时水平力Q的大小。例题3已知：P，，fsPQFmaxFN2021/2/465PQFmaxFN解：取物块为研究对象，先求其最大值。解得：MeaABdbABOFNAFAD解：取推杆为研究对象考虑平衡的临界情况，可得补充方程已知：fs，b。求：a为多大，推杆才不致被卡。例题4FNBFBF2021/2/466MeaABdbABOFNAFAD解：取推杆为研究对象考虑平衡ABCQ5cm10cm30°BFBCPFBAFBA′FNFmaxAOP解:(1)取销钉B为研究对象FBA=2Q(2)取物块A为研究对象①处于滑动的临界平衡状态时已知：P=1000N，fs=0.52求：不致破坏系统平衡时的Qmax例题52021/2/467ABCQ5cm10cm30°BFBCPFBAFBA′FNFmFBA′FNFmaxAOP②处于翻倒的临界平衡状态时2021/2/468FBA′FNFmaxAOP②处于翻倒的临界平衡状态时20已知：d=5cm,h=20cm,

fs=0.5，水平接触面均光滑。求：当F=2nP时，能保持平衡n的最大值。例题6如图（a），有2n

块相同的均质砖块在作用于物块H上的水平力F的作用下保持平衡。解:取右半部分的n块砖为为研究对象，临界平衡时，受力如图（b）。2021/2/469已知：d=5cm,h=20cm,fs=0.5，水平接ACBFBPFoACBFBDFAxFAyFNCFCoDFPFDFNDFC′FNC′解:(1)取AB杆为研究对象设C处达到临界状态，则有：解得：FNC=100N，FC=40N(2)取轮为研究对象已知：P=100N，FB=50N，fc=0.4，

求：(1)若fD=0.3，

轮心O的水平推力Fmin=60°，AC=CB=l/2，

r。

(2)若fD=0.15，

轮心O的水平推力Fmin例题72021/2/470ACBFBPFoACBFBDFAxFAyFNCFCoDFPACBFBFAxFAyFNCFCoDFPFDFNDFC′FNC′设C处达到临界状态，则有：解得：FNC=100N，FC=40N(2)取轮为研究对象解得：FD=40N，F=26.6N，FND=184.6N由于FD﹤FDmax，D处无滑动，上述假定正确2021/2/471ACBFBFAxFAyFNCFCoDFPFDFNDFC′FNoDFPFDFNDFC′FNC′(3)当fD=0.15时因FD﹥Fdmax

故应设D处达到临界状态补充方程：解得：FD=FC=25.86N，F=47.81N故上述假定正确ACBFBFAxFAyFNCFC2021/2/472oDFPFDFNDFC′FNC′(3)当fD=0.1例题解：梯子AB靠在墙上，与水平面成θ角。梯子长AB=l，重量可略去，如图所示。已知梯子与地面、墙面间的静摩擦因素为fsA，fsB。重量为P的人沿梯上登，他在梯上的位置C不能过高，即距离AC=s，如超过一定限度，则梯子即将滑倒。试求s的范围。梯子AB——研究对象PFNAFAmaxFBmaxFNBxysmax(1)(2)(3)临界平衡时有：(4)(5)2021/2/473例题解：梯子AB靠在墙上，与水平面成θ角。梯子长A解：梯子AB——研究对象PFNAFAmaxFBmaxFNBxysmax(1)(2)(3)临界平衡时有：(4)(5)解上述方程，得(6)所求

s

值为(7)设θ=60°,fsA=0.4,fsB=0.2则：smax=0.7156l。2021/2/474解：梯子AB——研究对象PFNAFAmaxFBmaxFN讨论：PFNAFAmaxFBmaxFNBxysmax(6)（1）当时，即：，此时有（2）当fsB=0，即墙面为光滑时，由式（6）得但当fsA=0，即地面为光滑时，由式（6）得此时,人无法登上梯子。2021/2/475讨论：PFNAFAmaxFBmaxFNBxysmax(6)（思考题2：均质杆重P，长l，置于粗糙的水平面上，两者间的静摩擦系数为fs。现在杆的一端施加与杆垂直的力F，试求使杆处于平衡时的Fmax.设杆的高度忽略不计。F思考题3：重量均为P的小球A、B用一不计重量的杆连结。放置在水平桌面上，球与桌面间摩擦系数为

fs

，一水平力F作用于A球，系统平衡时Fmax。30°ABF思考题1：有人想水平地执持一迭书，他用手在这迭书的两端加一压力225N。如每本书的质量为0.95kg，手与书间的摩擦系数为0.45，书与书间的摩擦系数为0.40。求可能执书的最大数目。2021/2/476思考题2：均质杆重P，长l，置于粗糙的水平面上，两者间的静摩思考题：均质杆质量为m，长l，置于粗糙的水平面上，两者间的静摩擦系数为fs。现在杆的一端施加与杆垂直的力F，试求使杆处于平衡时的Fmax。设杆的高度忽略不计。xOFABl解：取杆AB为研究对象2021/2/477思考题：均质杆质量为m，长l，置于粗糙的水平面上，两者间的静思考题：重量均为P的小球A、B用一不计重量的杆连结。放置在水平桌面上，球与桌面间摩擦系数为

fs

，一水平力F作用于A球，系统平衡时Fmax。30°ABFAFAFSAFSAFSBFmax解：（1）取小球A为研究对象（2）取小球B为研究对象2021/2/478思考题：重量均为P的小球A、B用一不计重量的杆连结。放置§4-3摩擦角和自锁现象1.摩擦角FRAFNFsAFRA=FN+FS全约束反力★摩擦角——全约束反力与法线间夹角的最大值fffFRAAFN摩擦角的正切等于静摩擦系数AfFmaxFNFRA2021/2/479§4-3摩擦角和自锁现象1.摩擦角FRAFNFs2.自锁现象物块平衡时，0≤F≤Fmax

,

因此

0≤≤f★如果作用于物块的全部主动力的合力的作用线在摩擦角之内，则无论这个力怎样大，物块必保持平衡。fAFRAFR2021/2/4802.自锁现象物块平衡时，0≤F≤Fmax,因此（2）非自锁现象★如果作用于物块的全部主动力的合力的作用线在摩擦角之外，则无论这个力怎样小，物块一定会滑动。fAFRFRA2021/2/481（2）非自锁现象★如果作用于物块的全部主动力的合力的作用PF30°问题1已知摩擦角f=20°，F=P，问物块动不动？为什么？问题2已知摩擦角均为

f

，问欲使楔子打入后不致滑出，在两种情况下的

，物角应为若干？FNAFNBFSBFSAFRAFRBf2021/2/482PF30°问题1已知摩擦角f=20°，F=P，问PQmaxFRfPQminFRfFRPQmaxf+例题8用几何法求解例3PQminFRf-2021/2/483PQmaxFRfPQminFRfFRPQmaxCFABObad解:

由图示几何关系得例题9用几何法求解例4ff2021/2/484CFABObad解:由图示几何关系得例题9用几何F1F2RF1F2dtnF+dFFdFNdFSdF=dFSdFN=FddFS=fsdFNdF=Ffsd为维持皮带平衡，应有例10皮带（或绳索）绕在半径为R的圆柱上，其包角为

，摩擦系数为fs，其两端的拉力为F1及F2，求平衡时F1与F2的关系。2021/2/485F1F2RF1F2dtnF+dFFdFNdFSdF=dFF1F2接上题，如果将绳在圆柱上绕两周，且知F2

=1kN，求绳平衡时F1的范围，绳与圆柱间的摩擦系数为fs

=0.5。解:将数据代入上题公式F2=1kN,fs=0.5,=4如果允许F1＜

F2，将数据代入

故：2021/2/486F1F2接上题，如果将绳在圆柱上绕两周，且知F2=1kN，§4-3滚动摩阻的概念FPFNFsOAFPOAPFOAFRMPFFNFsOAMFPOAFsFN′d2021/2/487§4-3滚动摩阻的概念FPFNFsOAFPOAPFOAPFFNFsOAM保证滚子不滑动：保证滚子不滚动：2021/2/488PFFNFsOAM保证滚子不滑动：保证滚子不滚动：2021/ACO1FSAFNAMAMCFSCFNCBDO2FSBFNBMBMDFSDFNDPFABCDO1O2r解:（1）取滚子A为研究对象（2）取滚子B为研究对象，同理可得例题11已知：P，r

，1，

2求：系统保持平衡时Fmax2021/2/489ACO1FSAFNAMAMCFSCFNCBDO2FSBFNBPFmaxMA′FNA′FSA′MB′FNB′FSB′AB（3）取平板为研究对象若已知：P=10kN,r=7.5cm,1=0.2cm,2=0.05cm。代入上式解得Fmax=0.167kN2021/2/490PFmaxMA′FNA′FSA′MB′FNB′FSB′AB（结论与讨论1.摩擦现象分为滑动摩擦和滚动摩阻两类。2.滑动摩擦力是在两个物体相互接触的表面之间有相对滑动趋势或有相对滑动时出现的切向阻力。前者自然称为静滑动摩擦力，后者称为动滑动摩擦力。

（1）静摩擦力的方向与接触面间相对滑动趋势的方向相反，它的大小应根据平衡方程确定。当物体处于平衡的临界状态时，静摩擦力达到最大值，因此静摩擦力随主动力变化的范围在零与最大值之间，即2021/2/491结论与讨论1.摩擦现象分为滑动摩擦和滚动摩阻两类。2.静摩擦定律：最大静摩擦力的大小与两物体间的正压力成正比

（2）动摩擦力的方向与接触面间相对滑动的速度方向相反，它的大小为3.摩擦角为全约束反力与法线间夹角的最大值，且有当主动力的合力作用线在摩擦角之内时发生自锁现象。4.物体滚动时会受到阻碍滚动的滚动阻力偶作用。2021/2/492静摩擦定律：最大静摩擦力的大小与两物体间的正压力成正比静力学练习题2021/2/493静力学练习题2021/2/4932021/2/4942021/2/4942021/2/4952021/2/495静力学专题2021/2/496静力学专题2021/2/4962021/2/4972021/2/4972021/2/4982021/2/4982021/2/4992021/2/4992021/2/41002021/2/41002021/2/41012021/2/41012021/2/41022021/2/41022021/2/41032021/2/41032021/2/41042021/2/41042021/2/41052021/2/41052021/2/41062021/2/41062021/2/41072021/2/41072021/2/41082021/2/41082021/2/41092021/2/41092021/2/41102021/2/41102021/2/41112021/2/41112021/2/41122021/2/41122021/2/41132021/2/41132021/2/41142021/2/41142021/2/41152021/2/41152021/2/41162021/2/41162021/2/41172021/2/41172021/2/41182021/2/41182021/2/41192021/2/41192021/2/41202021/2/41202021/2/41212021/2/41212021/2/41222021/2/41222021/2/41232021/2/41232021/2/41242021/2/41242021/2/41252021/2/4125部分竞赛题2021/2/4126部分竞赛题2021/2/4126一、在图示机构中，已知：悬挂着的三脚架的重量是P，轮轴重P1,尺寸l1、l2、l3、r1、r2如图所示，C、D处的静摩擦系数均为f,且l1>l2，滚动摩阻略去不计。试求机构平衡时水平拉力Q的最大值。(20分)2011陕西省大学生力学竞赛理论力学题2021/2/4127一、在图示机构中，已知：悬挂着的三脚架的重量是P，轮轴重P1解：（1）假设C处先滑1）对三脚架2）对轮（2）假设D处先滑1）对整体2）对轮2021/2/4128解：（1）假设C处先滑1）对三脚架2）对轮（2）假设D处先滑

这幅浮雕（约公元前1900年）反映了奴隶们搬运一个石雕巨像的情景。仔细观察可以发现：巨像放在滑板上，由172个奴隶拉着，有一个人在指挥，有一人在滑板上将液体倒在地面上进行润滑。资料中所给的巨像重量约为60t。二、

根据记载，古埃及人在四千年前就已懂得了摩擦学的原理，他们曾用滚子和滑板来搬运重物。2021/2/4129这幅浮雕（约公元前1900年）反映了奴隶们搬看了这幅图后，可以有几个疑问：

（1）为什么雕刻中有172个奴隶在拉石像？这个数目是随意的还是有道理的？（2）资料中所说石像有60t，是否合理？（3）从力学角度看，这些人是否能拉动石像？2021/2/4130看了这幅图后，可以有几个疑问：（1）为什么雕刻中有172个首先估计巨像重量约为60t是否可靠。假设浮雕的画面是按一定比例雕刻的，可测出巨像中的法老身高约为奴隶身高的5倍，则体积应为5的3次方即125倍。设奴隶体重60kg，密度约为1g/cm3，石块密度一般在3g/cm3左右，因此法老重量为60×125×3=22500kg=22.5t再加上座椅及底座，因此巨像总重为60t是比较可靠的。

2021/2/4131首先估计巨像重量约为60t是否可靠。2021

设滑板经润滑后与地面的摩擦系数为0.23（查摩擦学方面的手册），则要搬动巨像，每个奴隶的平均拉力至少应大于其次，对奴隶的拉力进行估计。78N780N7800N太轻松了不可能实现0有可能2021/2/4132

设滑板经润滑后与地面的摩擦系数为0.23（查但有一个问题，体重为60kg，拉力为780N，那么摩擦系数不就大于1了吗？可以用一个简单的试验来验证：把一枚硬币放在手掌上，慢慢转动手掌，可以明显发现当倾角大于45°时，硬币并不会相对手掌滑动，由此证明皮肤与硬币间的摩擦系数大于1。我们有理由认为奴隶们光着脚工作。而皮肤与地面的摩擦系数是可以大于1的。2021/2/4133但有一个问题，体重为60kg，拉力为780N因此奴隶体重为60kg，拉力为780N并不会导致什么矛盾。或者雕像不足60吨，奴隶的体重超过60kg，或地面摩擦系数更小些，这都会使拉力减小些。综上，从浮雕可以得出结论：这些奴隶是可以搬动这个巨像的。但同时也可看出：奴隶们的劳动强度是巨大的，这也符合历史上的记载。

雕刻者如果想随意刻些人数，完全可以刻很少的人数，没有必要刻出172人。因此我们认为，这一浮雕所表现的可能是当时真实的情况（其它旁证）。2021/2/4134因此奴隶体重为60kg，拉力为780N并不会关于多点摩擦：判断未知量的个数和独立平衡方程数。采用穷举法，分别假设达到临界状态（考虑所有可能情况）。摩擦力的方向也可假设。可先判断那个点先达到临界状态。2021/2/4135关于多点摩擦：2021/2/4135三、四两拨千斤（南京工程学院）中国武术中有“四两拨千斤”的招式。请你分析一下：（1）“四两拨千斤”与力学中的什么内容有关系？（2）试用力学原理简要解析一下“四两拨千斤”的关键所在？（3）试分析图示拔桩装置的力学原理。2021/2/4136三、四两拨千斤（南京工程学院）2021/2/4136解：（1）力的合成（2）“四两拨千斤”是用很小的力去改变一个很大的力的方向。2021/2/4137解：（1）力的合成2021/2/4137（3）分析图示装置的力学原理图示A、B两点的受力为两个力三角形如图示2021/2/4138（3）分析图示装置的力学原理图示A、B两点的受力为两个力三角四、魔术表演利用一无底的薄壁圆桶（设半径R），再找两个乒乓球，如果满足就可以进行魔术表演了：把两乒乓球如图所示放在圆桶内，那么有时候圆桶会翻倒，有时候不会翻倒。（淮海工学院）2021/2/4139四、魔术表演就可以进解:1、，保证球可以放入桶内。，保证两球重心不在一水平线，从而产生翻倒力矩。2、整体受力如图，在临界翻倒的情况下，应有NA=0，对B取矩，有取两球为研究对象，可得联立求解，可得：故要使得圆桶不翻倒，必须满足

2021/2/4140解:1、，保证球可以放入桶内。，保证两球重心不在一水平线，从2个乒乓球的重量不一样，一个是普通的乒乓球，一个是注水的乒乓球。表演魔术时，如果先放空心乒乓球再放注水乒乓球，圆桶就会翻倒，若先放注水乒乓球再放空心乒乓球，圆桶不会翻倒。要满足的条件：根据2的结果，注水乒乓球的重量3、魔术的机关在于：2021/2/41412个乒乓球的重量不一样，一个是普通的乒乓球第六届全国周培源大学生力学竞赛题2021/2/4142第六届全国周培源大学生力学竞赛题2021/2/41422021/2/41432021/2/41432021/2/41442021/2/41442021/2/41452021/2/4145第七届全国周培源大学生力学竞赛题2021/2/4146第七届全国周培源大学生力学竞赛题2021/2/41462021/2/41472021/2/41472021/2/41482021/2/4148m1gm2gFNFgnFgτFf2021/2/4149m1gm2gFNFgnFgτFf2021/2/4149静力学小结1.问题的描述研究对象（物理模型）：点、刚体、变形体2.正确的受力分析3.问题的类型平衡问题-------多点摩擦变形、破坏-----与材料力学的结合与动力学的结合2021/2/4150静力学小结2021/2/4150 谢谢大家！ 谢谢大家！全国周培源大学生力学竞赛辅导力学竞赛-静力学专题全国周培源大学生力学竞赛辅导力学竞赛-静力学专题全国周培源大学生力学竞赛辅导力学竞赛-静力学专题全国周培源大学生力学竞赛考试范围2021/2/42全国周培源大学生力学竞赛辅导力学竞赛-静力学专题全国周培源大全国周培源大学生力学竞赛考试范围材料力学基本部分专题部分理论力学基本部分专题部分2021/2/4153全国周培源大学生力学竞赛考试范围材料力学基本部分专题部分理论理论力学(基本部分)(一)静力学

(1)掌握力、力矩和力系的基本概念及其性质。能熟练地计算力的投影、力对点的矩和力对轴的矩。

(2)掌握力偶、力偶矩和力偶系的基本概念及其性质。能熟练地计算力偶矩及其投影。

(3)掌握力系的主矢和主矩的基本概念及其性质。掌握汇交力系、平行力系与一般力系的简化方法、熟悉简化结果。能熟练地计算各类力系的主矢和主矩。掌握重心的概念及其位置计算的方法。

(4)掌握约束的概念及各种常见理想约束力的性质。能熟练地画出单个刚体及刚体系受力图。

(5)掌握各种力系的平衡条件和平衡方程。能熟练地求解单个刚体和简单刚体系的平衡问题。

(6)掌握滑动摩擦力和摩擦角的概念。会求解考虑滑动摩擦时单个刚体和简单平面刚体系的平衡问题。2021/2/4154理论力学(基本部分)(一)静力学

(1)掌握力理论力学(基本部分)(二)运动学

(1)掌握描述点运动的矢量法、直角坐标法和自然坐标法，会求点的运动轨迹，并能熟练地求解点的速度和加速度。

(2)掌握刚体平移和定轴转动的概念及其运动特征、定轴转动刚体上各点速度和加速度的矢量表示法。能熟练求解定轴转动刚体的角速度、角加速度以及刚体上各点的速度和加速度。

(3)掌握点的复合运动的基本概念，掌握并能应用点的速度合成定理和加速度合成定理。

(4)掌握刚体平面运动的概念及其描述，掌握平面运动刚体速度瞬心的概念。能熟练求解平面运动刚体的角速度与角加速度以及刚体上各点的速度和加速度。2021/2/4155理论力学(基本部分)(二)运动学

(1)掌握描述点理论力学(基本部分)(三)动力学

(1)掌握建立质点的运动微分方程的方法。了解两类动力学基本问题的求解方法。

(2)掌握刚体转动惯量的计算。了解刚体惯性积和惯性主轴的概念。

(3)能熟练计算质点系与刚体的动量、动量矩和动能；并能熟练计算力的冲量（矩），力的功和势能。

(4)掌握动力学普遍定理(包括动量定理、质心运动定理、对固定点和质心的动量矩定理、动能定理)及相应的守恒定理，并会综合应用。

(5)掌握建立刚体平面运动动力学方程的方法。了解其两类动力学基本问题的求解方法。

(6)掌握达朗贝尔惯性力的概念，掌握平面运动刚体达朗贝尔惯性力系的简化。掌握质点系达朗贝尔原理(动静法)，并会综合应用。了解定轴转动刚体静平衡与动平衡的概念。2021/2/4156理论力学(基本部分)(三)动力学

(1)掌握建立质理论力学(专题部分)专题1：虚位移原理

掌握虚位移、虚功的概念；掌握质点系的自由度、广义坐标的概念；会应用质点系虚位移原理。专题2：碰撞问题

(1)掌握碰撞问题的特征及其简化条件。掌握恢复因数概念

(2)会求解两物体对心碰撞以及定轴转动刚体和平面运动刚体的碰撞问题。2021/2/4157理论力学(专题部分)专题1：虚位移原理

掌握虚位移公理1力的平行四边形规则F1F2FRFROF1F2FR=F1+F2

★作用在物体上同一点的两个力，可以合成为一个合力。合力的作用点也在该点，合力的大小和方向，由这两个力为边构成的平行四边形的对角线确定。§1静力学公理A2021/2/4158公理1力的平行四边形规则F1F2FR★作用在刚体上的两个力，使刚体保持平衡的充要条件是：这两个力的大小相等，方向相反，且在同一直线上。F1F2公理2二力平衡条件AB注意：公理对于刚体的平衡是充要条件，而对变形体仅为平衡的必要条件；F1=F22021/2/4159★作用在刚体上的两个力，使刚体保持平衡的充要条件是：公理3加减平衡力系原理★

在已知力系上加上或减去任意的平衡力系，并不改变原力系对刚体的作用。

推理1力的可传性

作用于刚体上某点的力，可以沿着它的作用线移到刚体内任意一点，并不改变该力对刚体的作用。AFABFF1

F2BAF2

作用于刚体上的力——滑动矢量作用线取代作用点2021/2/4160公理3加减平衡力系原理★在已知力系上加上或减去

推理2三力平衡汇交定理

作用于刚体上三个相互平衡的力，若其中两个力的作用线汇交于一点，则此三力必在同一平面内，且第三个力的作用线通过汇交点。CBOAF3F1F2F1F2F122021/2/4161推理2三力平衡汇交定理作用于刚体上三个相互平公理4作用与反作用定律

作用力和反作用力总是同时存在，两力的小相等、方向相反，沿着同一直线，分别作用在两个相互作用的物体上。公理5刚化原理

变形体在某一力系作用下处于平衡，如将此变形体刚化为刚体，其平衡状态保持不变。2021/2/4162公理4作用与反作用定律作用力和反作用力总是同§2平面任意力系的平衡条件和平衡方程FR=0Mo=0′｝平面任意力系平衡的解析条件：所有各力在两个任选的坐标轴上的投影的代数和分别等于零，以及各力对于任意一点矩的代数和也等于零。●几点说明：（1）三个方程只能求解三个未知量；（2）二个投影坐标轴不一定互相垂直，只要不平行即可；（3）投影坐标轴尽可能与多个未知力平行或垂直；（4）力矩方程中，矩心尽可能选多个未知力的交点。平衡方程2021/2/4163§2平面任意力系的平衡条件和平衡方程FR=0Mo=0′（A、B、C三点不得共线）（x轴不得垂直于A、B两点的连线）

平面任意力系平衡方程的形式基本形式二力矩式三力矩式FRBAx是否存在三投影式？2021/2/4164（A、B、C三点不得共线）（x轴不得垂直于A、B两点的解上述方程，得解：取三角形板ABC为研究对象FDECBAaaaMPFAFB例题1求：三杆对三角平板ABC的约束反力。FCPACaaaMB2021/2/4165解上述方程，得解：取三角形板ABC为研究对象FDECBAaa500NDCEFExFEyFDxFDy500N500NAHDCGEB2m2m2m2m2m2mFAxFAyFB求：D、E的约束反力。例题2解：(1)取CDE为研究对象解上述方程，得(2)取整体为研究对象解得:2021/2/4166500NDCEFExFEyFDxFDy500N500NAHDGEBFGxFGyFB(3)取BEG为研究对象解得:500N500NDCEFExFEyFDxFDy500NAHDCGEB2m2m2m2m2m2mFAxFAyFB代入（3）式得:2021/2/4167GEBFGxFGyFB(3)取BEG为研究对象解得:50BDAFDyFDxFBxFByFAxFAy解：(1)取整体为研究对象(2)取DEF杆为研究对象解得：(3)取ADB杆为研究对象解得：aBCDAFEPaaaFCxFCyFBxFByPDFEFNEB求：A、D、B的约束反力。例题32021/2/4168BDAFDyFDxFBxFByFAxFAy解：(1)取整aBCDAFEPaaa(a)aBCDAFEPaaa(b)aBCDAFEaaaM(c)aBCDAFEaaaM(d)2021/2/4169aBCDAFEPaaa(a)aBCDAFEPaaa(b)aBPPABCDaaaa2a2aPFBxFByFCyFCxBCFAyPFAxAB求：A、D的约束反力。例题4解：(1)取BC杆为研究对象解得：(2)取AB杆为研究对象解得：代入（3）式解得：2021/2/4170PPABCDaaaa2a2aPFBxFByFCyFCxBCFCDPPABCDaaaa2a2aPFBxFByFCyFCxBCFAyPFAxAB(3)取CD杆为研究对象解得：FDxFDyMD2021/2/4171CDPPABCDaaaa2a2aPFBxFByFCyFCxBBCDqMEDqMABCDEH2m2m2m2m1m1mFNBFAxFAyMAFCxFCyFNBFDxFDyFNEH解：(1)取DE杆为研究对象(2)取BDC杆为研究对象(3)取整体为研究对象解得：求：A、B的约束反力。例题5已知：q=50kN/m,M=80kN·m2021/2/4172BCDqMEDqMABCDEH2m2m2m2m1m1mFNB桁架由二力杆铰接构成。求平面静定桁架各杆内力的两种方法：★

节点法：逐个考虑桁架中所有节点的平衡，利用平面汇交力系的平衡方程求出各杆的内力。应注意每次选取的节点其未知力的数目不宜多于2个。★

截面法

：截断待求内力的杆件，将桁架截割为两部分，取其中的一部分为研究对象，应用平面任意力系的平衡方程求出被截割各杆件的内力。应注意每次截割的内力未知的杆件数目不宜多于3。2021/2/4173桁架由二力杆铰接构成。★节点法：逐个考虑桁架中所有节点的PEF2F3F4F5FAxFAyF1AF6解：(1)取整体为研究对象解得：(2)取内部三角形为研究对象aaaaaaP21ABECD(3)取节点A为研究对象FAxFAyFNB求：桁架1、2杆的力。

例题62021/2/4174PEF2F3F4F5FAxFAyF1AF6解：(1)取整F1F212345678910111213123456789101112131415161718192021222324求：图示桁架中受力为零的杆件。

思考题解：由节点法可知图中受力为零的杆件有：3、12、9。(b)图中受力为零的杆件有：1、3、4、11、12、13、14、17、21。2021/2/4175F1F212345678910111213123456789小结：其它各种平面力系都是平面任意力系的特殊情形，其平衡方程如下：力系名称独立方程的数目共线力系平衡方程平面力偶系平面汇交力系平面平行力系11222021/2/4176小结：其它各种平面力系都是平面任意力系的特殊情形，其平衡平衡方程的快速练习2021/2/4177平衡方程的快速练习2021/2/4262021/2/41782021/2/4272021/2/41792021/2/4282021/2/41802021/2/4292021/2/41812021/2/4302021/2/41822021/2/4312021/2/41832021/2/432如何截断？2021/2/4184如何截断？2021/2/4332021/2/41852021/2/434§3空间力系1.空间力的投影和分解OxyFz直接投影法F=Fx+Fy+Fz=Fxi+Fyj+Fzk2021/2/4186§3空间力系1.空间力的投影和分解OxyFzyzOxFFxy二次投影法F=Fx+Fy+Fz=Fxi+Fyj+Fzk2021/2/4187yzOxFFxy二次投影法F=Fx+Fy+Fz=F§3-2力对点的矩和力对轴的矩1.力对点的矩OA(x,y,z)BrFhyxzMO(F)空间的力对O点之矩取决于：（1）力矩的大小；（2）力矩的转向；（3）力矩作用面方位。★

须用一矢量表征MO(F)=Fh=2△OAB

2021/2/4188§3-2力对点的矩和力对轴的矩1.力对点的矩OA(OA(x,y,z)BrFhyxzMO(F)MO(F)定位矢量2021/2/4189OA(x,y,z)BrFhyxzMO(F)MO(F)定位矢量2.力对轴的矩BAFOxyzhFxybFz

★

力对轴的矩等于力在垂直于该轴的平面上的投影对轴与平面交点的矩。Mz(F)

=MO(Fxy)=±Fxyh=±2△OAb

力对轴之矩用来表征——力对刚体绕某轴的转动效应。Mz(F)

☆当力与轴在同一平面时，力对该轴的矩等于零。2021/2/41902.力对轴的矩BAFOxyzhFxybFz★力对轴yzOxFFxyA(x,y,z)FzFxFyFyFxBabxy力对轴之矩的解析表达式2021/2/4191yzOxFFxyA(x,y,z)FzFxFyFyFxBabx3.力对点的矩与力对轴的矩的关系●

力对点的矩矢在通过该点的某轴上的投影，等于力对该轴的矩。2021/2/41923.力对点的矩与力对轴的矩的关系●力对点的矩矢在Mz(F)(x,y,z)）FxyMz(F)

=MO(Fxy)

=±2△Oab

2021/2/4193Mz(F)(x,y,z)）FxyMz(F)=MO(Fx求：MO(F)

例题2已知：F、a、b、、解：(1)直接计算2021/2/4194求：MO(F)例题(2)利用力矩关系2021/2/4195(2)利用力矩关系2021/2/444zPOabcAxy已知：P

、a、b、c求：力P对OA轴之矩例题3MO(P)解：（1）计算MO(P)（2）利用力矩关系力对点的矩矢在通过该点的某轴的投影，等于力对该轴的矩。2021/2/4196zPOabcAxy已知：P、a、b、c求：力OABCFD已知：OA=OB=OC=b,OA⊥OB⊥OC.求：力F对OA边的中点D之矩在AC方向的投影。例题4解：利用力矩关系xyz2021/2/4197OABCFD已知：OA=OB=OC=b,OA⊥OB⊥OOABCFDxyz2021/2/4198OABCFDxyz2021/2/447

矢量A在轴B上的投影:

AB=A·eBAB=A·eBAθeBB2021/2/4199矢量A在轴B上的投影:AB=A·eBA§3-3空间任意力系的简化zABCF1F2F3OxyOyxzM2M1M3xzyOMO主矢FR′MO主矩2021/2/4200§3-3空间任意力系的简化zABCF1F2F3OxyOxzyO