第十九次课二次型

只含平方项的二次型称为二次型的标准形(或法式)。定义P177（二次型标准形）平方项系数只在1,-1,0中取值的标准形称为二次型的规范形1、二次型的规范性以上说明：注意：2.在变换二次型时，要求所作的线性变换是可逆的.设二次型f(x)=xTAx(r(A)=r)经正交变换化为:(思考为什么一定可化为上面形式？)再做一次可逆的线性变换则f

化为思考：在可互化的二次型中最简单的是什么？在对称矩阵合同等价类中最简单的矩阵是什么？任意一个实二次型f(x1,x2,…,xn)=xTAx

定理6.12(惯性定理)总可以经过一个适当的可逆线性变换化成如下形式的规范形其中r是二次型f的秩，p是二次型f的矩阵A的正特征值个数（重根按重数计），r-p是矩阵A的负特征值个数（重根按重数计），且规范形是唯一的.证明略

二次型的标准形中正项个数称为二次型的正惯性指数,负项个数称为二次型的负惯性指数.

设二次型f

的秩为r,正惯性指数为p,则负惯性指为r–p.f的规范形为

惯性定理指出：两个二次型是否等价，被其秩和正惯性指数唯一确定。推论6.11(惯性定理的矩阵语言描述)正、负惯性指数与实二次型的矩阵A的正、负特征值的个数对应相等.n阶实对称矩阵A合同于，其中r是A的秩，p是A的正特征值个数，r-p是A的负特征值个数.（重根按重数计）惯性定理指出：两个二次型是否等价，被其秩和正惯性指数唯一确定.思考并回答(1)二次型的标准形唯一吗？(2)二次型的标准形中平方项的个数与二次型的秩有何关系？与二次型矩阵的非零特征值的个数有何关系？(3)设CTAC=D(C可逆，D是对角阵)，D的对角元是A的特征值吗？如果C是正交矩阵又如何？(4)设4阶对称矩阵A的特征值为0,2,2,-3,A的二次型的规范形是什么？思考：在可互化的二次型中最简单的是什么？在对称矩阵合同等价类中最简单的矩阵是什么？都有⒉正定二次型定义设为实二次型(A为实对称矩阵),如果对于任意非零向量称f为正定(半正定)二次型,称正定(半正定)二次型f的矩阵A为正定(半正定)矩阵。二次型的对称矩阵A是正定（半正定）矩阵。二次型正定（半正定）例1判别下列二次型的正定性故半正定.1.2.解1.任代入都有2.不定.例2

设取因为A正定,则A

对应二次型正定.为正定矩阵.证明证明代入注意A正定A正定当设存在可逆变换证明可逆,充分性:使第个列向量)时,时必要性:则取,使假设存在(第个分量是1,其余分量为0的单位向量),与f正定矛盾.(其中为可逆矩阵的定理

实二次型正定标准形中个系数全为正.性质1（P178的主要意思）

实二次型正定标准形中n个系数全为正.实对称矩阵A正定存在可逆矩阵P，使得性质3A的n个特征值全为正.即A正定矩阵的充要条件是合同于单位矩阵化标准形化规范形正定二次型为证明为实对称阵,则存在正交矩阵使必要性:则为可逆矩阵,令由于可逆,且充分性:任意则从而

如果n

维的二次型f(x)=xTAx

其标准形系数全为正(秩和正惯性指数都等于n)，则称之为正定二次型，二次型的矩阵A称为正定矩阵；如果标准形中系数全为负，则称之为负定二次型，二次型的矩阵称为负定矩阵.定义6.13显然，如果f

负定，则–f

正定.设f(x)是实二次型，若对任意非零向量x，(1)恒有f(x)≥0，则称实二次型f(x)

是半正定的；(2)恒有f(x)≤0，则称实二次型f(x)

是半负定的.定义6.13我们重点讨论正定二次型(正定矩阵).定理(霍尔维茨定理)

对称矩阵A为正定的充要条件是：A的各阶主子式全为正，即总结:

二次型f(x)=xTAx

为正定二次型(A为正定矩阵)与单位矩阵合同.判别二次型是否正定.它的各阶顺序主子式故上述二次型是正定的.例1f

的矩阵为解例2解判别二次型是否正定.二次型的矩阵为即知A是正定矩阵，故此二次型为正定二次型.求得其特征值判别二次型的正定性.例3解二次型的矩阵它的各阶顺序主子式A是负定矩阵，二次型是负定二次型。或者，判别－Ａ为正定.例4与矩阵合同的矩阵是()A特征值是两正一负。是正定二次型？解二次型的矩阵为A的顺序主子式为：所以当例5

问t

满足什么条件时，二次型A的顺序主子式全大于0，此时f正定。例6设是正定矩阵,证明例7证明ATA为正定矩阵的充要条件是A为列满秩矩阵.例8为A的最大特征值。证明：二次型f(x)=xTAx

在时的最大值思考题：1、(1)合同且相似；(2)合同但不相似；(3)不合同但相似；(4)不合同且不相似；例6.16设A为正定矩阵，证明证明因为A为正定矩阵，所以A的特征值全大于零.设是A的所有特征值，则A+E的特征值为从而例6.17设A=(aij)是正定矩阵，证明aii>0(i=1,2,…,n).证明因为A为正定矩阵，则对于任意n元实向量x≠0，有xTAx>0，特别地，取

这里