量子力学中有关角动量及其耦合问题的讨论

量子力学中有关角动量及其耦合问题的讨论陇东学院电气工程学院，甘肃庆阳745000)摘要:轨道角动量在直角坐标系与球极坐标系下的算符表示及相关推导，同时通过对易关系,得出轨道角动量并不能描写一个可观察量。然后运用力学量算符和波函数的矩阵表示，在给定表象下,讨论电子自旋算符的表示及自旋波函数的构造。接着讨论角动量的LS耦合，其中主要计算总角动量与角动量分量的共同本征态，并且通过介绍耦合表象与非耦合表象，以及在展开耦合基矢的基础上规定量子数j的取值，进而分析角动量的J耦合关键词:角动量;算符;对易关系;自旋;角动量耦合TheDisscussionofAngularMomentumandItsCouplingQuestioninQuantumMechemics(ElectricalEngineeringCollege,LongdongUniversity,Qingyang745000,Gansu,China)Abstract:First,usingabasicassumptionthatthemechanicalquantitiesinQuantumMechanicsistheappropriateoperatorthe,itdiscusstherepresentationoforbitalangimomentumoptratorinbothrectangularandsphericalsystemsandrelateddeductioninthetext,atthesametimeitgetsthatorbitalangularmomentumoptratordoesnotdescribeanobservablequantitythroughthecommunicationrelations.Thenuseingmechanicalquantityoperatorandmatrixrepresentationofwavefuntion,itdiscussethereprentationoftheelectronicspinoperatorsandretructrueofspinwavefuntioninagivenreprentation.NextitdiscussetheLScouplingofangularmomentum,inwhichitmainlycalculatethecommoneigenstatesofthetotalangularmomentumandangularmomentumcomponent,andthroughintrodutionthecouplingandthenon-couplingreprentationanddeterminethevaluesofquantumnumberjonthebasisofexpandthecouplingvectors,analyzeingtheJJcouplingofangularmomentum.Keywords:angularmomentum;operator;commutationrelation;spin;angularmomentumcoupling;clebsh-gordancofficient0引言量子力学中有关角动量及其耦合的问题，在很多量子力学教材和文献[1,2,3,4,5,6]中都作过比较简明的阐述，但在许多文献中都是就某一方面进行分析的，并且由于角动量耦合的克莱布希-高登系数计算比较繁琐，大多数教材和文献中都是直接给出或查表得到，只有在一些高等量子力学教材中出现过较简明扼要的计算。本文对量子力学中的角动量及其耦合的问题进行了比较系统的阐述，首先详细讨论轨道角动量在直角坐标系下的算符表示向球极坐标系下的算符表示的推导，进而通过角动量的对易关系得出了轨道角动量的一些重要性质。接下来讨论自旋角动量的算符表示和波函数的矩阵形式。最后讨论角动量的LS耦合，主要通过比较耦合表象与非耦合表象的异同，详细分析角动量的JJ耦合。1轨道角动量1.1轨道角动量算符=rp在直角笛卡儿坐标中的表示1.1.轨道角动量算符L三个分量算符为L=yp-zp=y-zxzyizyL二zp-xp二z-xyxy （1）ixz L=xpppzyz=ixy-yx平方算符表示为L2=L2x+L2y+L2z=-2-z22yzy+zx-xz+2xy^yx .1.1.2推导轨道角动量在球极坐标中的算符表示笛卡儿坐标（x,y,z和球极坐标（r,0）之间的关系为x二rsinOcos,y二rsinOsinz二rcosOr2=x2+y2+z2,cosO二zyr,tan将r2=x2+y2+z2两边对x,y,分别求偏导数，得rxx二r二sinOsin r=y二sinOsinyrrzz=r二cosO|将cosO=zr两边分别对x,y,求偏导数，得 Ox=1zrsinOr2x=1rcosOcos0lzrly=sin0r2y=rcos0sin01zrlcos2z=0sin0r2z=rsin0再将tan二yx两边分别对X,y,求偏导数，得⑵(3)(4)(5)lysin二-二-xsec2x2rsin0lllcos (6)==ysec2crsin0z=0联立(4),(5),式)得r0 x=xr+x0+x =sin0cos+1cos0cos1sinrr0—rsinOry=yr+0y0+y.=sin0sin+1cos0sin+1cosrrOrsinO=r+0+ zzrzOz二cosOTsinOrr01.1.3轨道角动量算符L=r p在球极坐标中的表示三个分量算符是 Lx=isinO+ctgOcosL=— yicosO—ctgOsinLz=—i三个分量算符的平方表示分别为(7)(8)2222 22 sii2+2ctgOsincosO+ctgOcos22=—2Lx222+ctgOcos—ctgO+cscOsis()O 2222 22cosO2—2ctgOsinosO+ctgOsin2 22 (9)Ly=—222+ctgOsin+ctgO+cscOcsisi()O 222Lz=—2算符平方表示为 12222221.(10)L=Lx+Ly+Lz=-sinO+22sinOOOsinO1.2轨道角动量算符的对易关系,L,L之间的对易关系为三个分量Lxyz,L=iLLxyz (11)Ly,Lz=iLx,L=iLLyzx即L=iL(12)L2和L,L,L的对易关系为Lxyz,L2 =0Lx 2 Ly,L=0(13),L2 =0Lz的三个分量L是厄米矢量算符，丄,L彼此不对易，意味着虽然L由此可见,轨道角动量算符Lxyz但其并不能描写一个可观察量，不能描写量子力学中所谓轨道角动量这么一个矢量力学量，即是说,量子力学中没有角动量矢量。虽然经典力学中有轨道角动量，对应到量子力学中就有轨道角动量算符,却不存在轨道角动量，因此，轨道角动量矢量是经典概念而不是量子概念。量子力学中没有轨道角动量矢量，但是，经典力学中有轨道角动量，特别是有轨道角动量平方及轨道角动量在n方向上的投影。和L和L,而且L存在本征值和本值矢量完全集，可以描写对应到量子力学中就有相应的算符Lnn22量子力学中轨道角动量平方以及轨道角动量n分量这样的力学量。2自旋角动量2.1自旋角动量算符自旋角动量算符满足的对易关系为S=iS(14)S在Sz表象中，自旋角动量的分量算符的矩阵表示为 S01x=210 S0-iy=2i0=0S1z20-1因为=4I=4S01 01 210 222x=210 2 10 =4 01=4I=4其中I是单位矩阵。同样可得S2222y=4,Sz=4从而可以得到S2二S2+S2+S2xyz=324所以S2,S2xy,S2z和S2算符都是常数算符。并且Sx,Sy,Sz满足反对易关系Sx,Sy+=0 Sy,Sz+=0Sz,Sx+=02.2自旋波函数在Sz表象中，自旋角动量的一般态可表示为X二c1x1(Sz)+c2x1(Sz)2-2其中X1X01(Sz)=,1(Sz)=1J202同理可得(15)(16)(17)(18)(19)(20)X1(Sx)=2XS=1(y/2y)211,xS=l(x)2 1-22-1.(21)11 ,x1(□Sy)=i-2-i3总角动量(LS耦合)3.1基本关系之和，即为轨道角动量L=rp与自旋角动量S电子的总角动量JJ=L+S或Ja二La+Sa,a=x,y|由Z于L与s属于不同自由度,相应的算符相互对易，即La,S0=0,a,^=x^v角动量仍满足角动量的普遍对易式JJ=iJ3.2下面讨论J2,L2,JZ的共同本征态波函数的一般形式可写为〃(r,sz,t)=/1(r,t)x1(sz)+/2(r,t)xsz)2-1(2采用(x,y,z,S表象,上式可以表示成〃(r,sz,t)=1〃0 〃l(r,t)1(r,t)0 +/2(r,t)l=2(r,t)归一化条件为/+/dxdydz二 (〃*11+/*2/2)dxdydz=1.88如果采用球极坐标(r,0),则本征函数表示成〃(0,,s妙1(0),z)=1(0,)x1(sz)+/2(0,)x-(sz)=22〃(0),2 ,试令：〃(0,,sz)二c1Ylml(0,)x1(sz)+c2Ylml(0,)x-1(sz)22征函数，曲满足Jz的本征方程Jz/=(Lz+Sz)〃二m1j〃二m+2/只须m1=m,m2=m+1,有〃二c1Ylmx1+c2Ylm+1x212(22)(23)(24) (25)(26)(27)(28)(2作为Jz

的本(30)(31)的本征函数，应该满足J的本征方程又/作为J22〃二L2+2S L2+aL^(32)2/=L+S2+S〃二L2+SJ即〃应该满足aL的本征方程。(Lx五Ly)(Lx五Ly)aL二aL+aL+aLxxyyzz aL的本征值为l,-(l+l)(33)土用+1)1Ylm=l,m±1得azLzYlmxl二mYlmxl,22azLzYlm+1x1=-(m+1)Ylm+lxl,(2-2axLx+ayLy)Ylmx1=(Lx+iLy)Ylmx122=l+m+1l-mYlm+lxl,-2(axLx+ayLy)Ylm+1-X=(Lx-iLy)Yi+1x122=l+m+1lmYlmxl.2由此可得出(J2,L2,Jz)的共同本征函数lAljmj.(1)j=l+112,mj=m+2时，11/l+m+1 22ljm=2l+1Y+l-mjlmx1Ylm+122l+1x12=1+m+1Ylm2l+1-mYlm+1(2)j=l-l2,mm+lj=2时，11/l-m2121jmj=-21+1 Y+m+11mx1+221+1Ylm+lxl2=1-1-mYlm21+1+m+1Y1m+14任意两个角动量的耦合(JJ耦合)4.1体系的两种表象4.1.1无耦合表象(34)(35)(36),它满足和J假设体系有两个角动量J21J=iJ,JJ=iJJ1112222,J=0,J2,J=0J11a22a (37)J21,J22 =0,J1a,J20=0(a,0二x,y,z)有2J1j1m1=j1(j1+1)2j1m1J1zj1m1=m1j1m1J2j2j22m2=j2(j2+1)2m2J2zj2m2=m2j2m2由于J2J2J1z,J2z相互对易,因此它们的共同本征矢写为j1m1j2m2=j1m1j2m2构成正交归—完全系,用它们作为基矢的表象称为无耦合表象。4.1.2耦合表象定义体系的总角动量为J=J1+J2，则其满足角动量的基本对易关系式JJ=iJ2J,Ja=O (a二x,y,z)由于J1,J2 =0,总角动量平方算符可写为J2=(J1+J2)2=J21+J22+2J1J2满足J2,J2=0, J2,J2=0J2,J1a弄0,J2,J2弄0aJ,J2=0,J,J2=0ala2Ja,J10弄0,Ja,J20弄0(a,0二x,y,z)可见,J2J2J2,Jz对易,它们必有共同本征矢，以jlj2jn表示，有(38)(39)(40)⑷)(22jjjm=j(j+l)2jjjmi21222Jljlj2jm=jl(jl+1)jlj2jn(43)22jjjm=j(j+1)jjjmJ2122212Jzj1j2jm=mjlj2jm由此,jlj2j也构成一组正交归一完备系，用它们作为基矢的表象称为耦合表象。4.2耦合表象基矢的展开算符与无2,J2相同，但因耦合表象中J以上两个表象，从它们相应的力学量完全集来看，尽管J122,J算符不对易，因此它们是描述同一体系的两个不同的表象•耦合表象中J1z2z,J确定，可将耦合表象基矢按无耦合表象基矢展开假定J12j1j2jm=m1,m2工j1m1j2m2j1m1j2m2j1j2jm(44式中j1m1j2m2j1j2jm称为矢量耦合系数.=J+J可知，m=m1+m2,有m1=m-m2,因此(44式可写为由Jz1z2zj1j2jm二工m2j1,mm2,j2m2j1,m-m2,j2m2j1j2jm.(45)4.3量了数j的取值,J给定时，mmax二m1max+m2max二j1+j2,而-j<mmax<®当J12jmax=mmax=j1+j2.两个表象中的基矢数都为工(2j+l)=(2jjminjmaxl+l)(2j2+l)(4从而只能有jmin=jl-j因此j的取值为jl+j2,jl+j2-l,,jl-j24.4在JJ耦合下CG系数的计算2,J,J2,J,正交归一本征矢量为jmjm;耦合表象非耦合表象中，力学量完备集为Jllz22zll22()2,J2,J2,J),正交归一本征态基矢量为jjjm其中，力学量完备集为(J1212z=J+J,J=J+J.中，J12±±±CG系数的定义:耦合表象与非耦合表象之间的变换幺正矩阵元称为CG系数。即将耦合表象中的基矢用非耦合表象中的基矢展开得到j1j2=mlm2工jlmlj2m2jlmlj2m2jlj2jm(47)其中展开系数jImlj2m2jlj2jm就是CG系数.jjjm二由口町仃土刖+1)Jd12j,m4±f基本关系n(j-)用—⑵□—用+1专口）lYa-ij1j2jm=卅j+用-町!（j—用）!j1j2j,m-n=jjj,m+n12Ya-i（48）njj1j2jm=Rj_用川■/十切于科)!用)!jlj2j,m+n()+jjj,m+n=12当j1,j给定,j=jl+j2,mj,取耦合表象中的本征态jj=jl+j2,jl+与非耦合表象中的本征态jljlj2j相等，即jj=jl+j2,jl+j2=jljlj2j2将49)49代入式(47)可得态jlj2jm=jlj2,jl+j2的展开式(j-)其中C2j=nnnjj=n!C2jj,j-n(50)是二项式系数，而n!2j-n!n(j-)jjn=(j1-+j2-)jjkkn-k二:£Cnj卜j2-j1j1j2j2k=0nk二工Cnjljl—kj2,j2—n+k(n—k)!kk=0n(51)由(50和(51两式得j,j-n=令:m=j-n有jlj2jm二:£k=0nn-kC2j1C2j2nC2jj1,j1-kj2n+k-(52)工k=mkj-m-kC2j1C2j2Cj-m2jj1,j1-kj2,m+k-(53)式(38求出了j=j1+j2,m=m1+m2二j1+j2,j1+j2-1,j1+j2-2,,-j1-j2+的jl-系数j1m1j2m2j1j2jm=j1,j1-k,j2,m+k-j1j1j2jm=(54)=当jl,j给定时，本征态j-n,j-n二jl+j2-n,jl+可2由非耦合表象中的本征态的线性组合得到j-n,n=Eakjl,-kj2,j2-n+J由j-n,j-是J2的本征态可矢UJ2j-n,j-n=(j-n)(j-n+l)j-n,j又由于J二J1+J2,可知J2j-n,j-n=(Jl+J2)2j-n,j-n=(J21+J22+2JlJ2)j-n,j-n令：Jl±=Jlx±iJly,J2±=J2x±iJ2yJ1+J2-=(Jlx+iJly)(J2x-iJ2y)=J1xJ2xTJlxJ2y+iJ2xJ2y+JlyJ2y J1-J2+=(J1xTJly)(J2x+iJ2y)=JlxJ2x+iJlxJ2yTJ2xJly+JlyJ2y所以J1+J2-+J1-J2+=2JlxJ2x+2JlyJ2y从而有2J1J2=2JlxJ2x+2JlyJ2y+2JlzJ2z=J1+J2 -+J1-J2++2JlzJ2z将(61式代入(57式,取自然单位=1)得J2j-n,j-n=(J21+J22+J1+J2-+J1-J2++2J1zJ2z)j-n,j-n= j1(j1+1)+j2(j2+1)j-n,j-n(55)(56)(57则(58))(60)(61)+£ak2(j1-k)(j2-n+k)j1,j1-kj2,j2-n+kk=0nn+£akk=0n—k2j2—n+k+12j1—kk+12j2—n+kn—k+1k2j1—k+1j1,j1—k—1n+k+j2-62)+Xakj1-j1k+1;j2,j2-n+联立(54厂(57式,分别取k=0,1,2,・・・-n得a0n2j2-n+1+a12j1=0,a1n-12j2-n+2+a222j1-1=0,a2n-22j2-n+1+a32j1-2=0,akn—k2j2—n+k+1+ak+1k+12j1—k=0,anT2j2+ann2j1-n+1=0.将看作参数，解出(63式,得an2j2-n+11=-2ja0,1a2-n+22=-n-12j22ja01-1=(-l)2nn-12j2-n+12j2-n+2a02j2j,11-1a二-n-22j2-n+3332jl-2=(-l)3nn-ln-22j2-n+12j2-n+22j2-n+3 322j2ja0,11-12j1-2k2ja2—n+12j2—n+2k=(—1)kCn22—n+k2j12ja01—k+1—k+22j1k=(T)kCCkn2j2—n+kCkaO,2j1 an=(-1)nCn2j2Cna0.2j1利用归一化条件:a21+a22++a2k++a2n=1,得(63)(64)a0=(2jna=0nkk=0n-11-a