（江苏专用版 ）2019学年高中数学 4.3.1 平面直角坐标系中的平移变换学案 苏教版选修4-4

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGEPAGE4学必求其心得，业必贵于专精4。3。1平面直角坐标系中的平移变换1．理解平移的意义，深刻认识一个平移就对应一个向量．2．掌握平移公式，并能熟练运用平移公式简化函数的解析式．[基础·初探］1．平移在平面内，将图形F上所有点按照同一个方向，移动同样长度，称为图形F的平移，若以向量a表示移动的方向和长度,也称图形F按向量a平移．2．平移变换公式设P(x，y），向量a＝（h,k），平移后的对应点P′（x′，y′），则(x,y)＋（h，k）＝(x′，y′）或eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋h＝x′，，y＋k＝y′。)）[思考·探究］1．求平移后曲线的方程的步骤是什么？【提示】步骤：(1）设平移前曲线上一点P的坐标为(x，y）,平移后的曲线上对应点P′的坐标为(x′，y′);（2）写出变换公式eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x′＝x＋h，，y′＝y＋k，))并转化为eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x′－h，,y＝y′－k；))(3）利用上述公式将原方程中的x，y代换；（4）按习惯，将所得方程中的x′，y′分别替换为x，y,即得所求曲线的方程．2．在图形平移过程中，每一点都是按照同一方向移动同样的长度，你是如何理解的？【提示】其一，平移所遵循的“长度”和“方向”正是向量的两个本质特征，因此,从向量的角度看,一个平移就是一个向量．其二，由于图形可以看成点的集合，故认识图形的平移，就其本质来讲，就是要分析图形上点的平移．［质疑·手记］预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1:_____________________________________________________解惑:_____________________________________________________疑问2：_____________________________________________________解惑：_____________________________________________________疑问3：_____________________________________________________解惑：_____________________________________________________平移变换公式的应用点M(8，－10）按a平移后的对应点M′的坐标为(－7，4），求a.【自主解答】由平移公式得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（－7＝8＋h，,4＝－10＋k，))解得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(h＝－15，,k＝14，）)即a＝(－15,14）．[再练一题]1．把点A（－2，1)按a＝(3，2）平移,求对应点A′的坐标(x′，y′)．【解】由平移公式得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x′＝－2＋3＝1,，y′＝1＋2＝3,))即对应点A′的坐标（1,3）。平移变换公式在圆锥曲线中的应用求双曲线4x2－9y2－16x＋54y－29＝0的中心坐标、顶点坐标、焦点坐标与对称轴方程、准线方程和渐近线方程．【思路探究】把双曲线方程化为标准方程求解．【自主解答】将方程按x，y分别配方成4（x－2)2－9(y－3）2＝－36，即eq\f（y－32，4)－eq\f（x－22,9）＝1.令eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x′＝x－2，,y′＝y－3,))方程可化为eq\f(y′2,4）－eq\f(x′2，9）＝1.双曲线eq\f（y′2,4）－eq\f（x′2，9)＝1的中心坐标为（0,0）,顶点坐标为(0，2)和(0,－2）,焦点坐标为(0,eq\r（13）)和（0，－eq\r（13）)，对称轴方程为x′＝0，y′＝0，准线方程为y′＝±eq\f(4，13)eq\r（13)，渐近线方程为eq\f(y′，2)±eq\f（x′，3）＝0.根据公式eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝x′＋2，,y＝y′＋3))可得所求双曲线的中心坐标为（2，3）,顶点坐标为(2，5）和（2，1),焦点坐标为(2,3＋eq\r(13)）和（2，3－eq\r(13）），对称轴方程为x＝2，y＝3,准线方程为y＝3±eq\f（4\r(13）,13）,渐近线方程为eq\f（y－3，2)±eq\f(x－2,3)＝0，即2x＋3y－13＝0和2x－3y＋5＝0.几何量a,b，c，e,p决定了圆锥曲线的几何形状，它们的值与圆锥曲线的位置无关，我们将其称为位置不变量．［再练一题]2．已知抛物线y＝x2＋4x＋7.(1）求抛物线顶点的坐标；（2)求将这条抛物线平移到顶点与坐标原点重合时的函数解析式．【导学号：98990018】【解】(1）设抛物线y＝x2＋4x＋7的顶点O′的坐标为（h，k）,那么h＝－eq\f（4，2）＝－2，k＝eq\f（4×7－42,4)＝3，即这条抛物线的顶点O′的坐标为(－2，3）．（2）将抛物线y＝x2＋4x＋7平移，使点O′（－2，3)与点O（0,0）重合，这种图形的变换可以看做是将其按向量eq\o(O′O,\s\up6（→))平移得到的，设eq\o(O′O,\s\up6（→）)的坐标为（m，n），那么eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（m＝0－－2＝2，,n＝0－3＝－3.))所以抛物线按（2，－3)平移，平移后的方程为y＝x2.［真题链接赏析］（教材第40页习题4。3第3题）写出抛物线y2＝8x按向量(2,－1)平移后的抛物线方程和准线方程．将函数y＝2x的图象l按a＝(0，3）平移到l′，求l′的函数解析式．【命题意图】本题主要考查平面直角坐标系中平移公式的运用．【解】设P(x，y)为l的任意一点，它在l′上的对应点P′(x′，y′）由平移公式得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x′＝x＋0，,y′＝y＋3））⇒eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝x′，，y＝y′－3.））将它们代入y＝2x中得到y′－3＝2x′，即函数的解析式为y＝2x＋3。

1．将点P（7，0）按向量a平移，得到对应点A′(11,5)，则a＝________。【答案】(4，5）2．直线l：3x－2y＋12＝0按向量a＝(2，－3)平移后的方程是________．【导学号：98990019】【答案】3x－2y＝03．曲线x2－y2－2x－2y－1＝0的中心坐标是________．【解析】配方，得（x－1)2－（y＋1)2＝1。【答案】（1，－1）4．开口向上，顶点是（3，2)，焦点到顶点距离是1的抛物线方程是________．【解析】开口向上，焦点到顶点距离是1的抛物线的标准方程是x2＝4y，所以所求抛物线的方程是（x－3)2＝4(y－2)．【答案】（x－3）2＝4(y－2)我还有这些不足:（1）_____________________________________________________(2)___________