(完整word版)解析几何练习题及答案

设经过点P的直线l的方程为y—1=k(x—1),即y=kx+1—k.y=kx+1—k,由2y2x-2=1,

2得(2—k2)x2—2k(1—k)x-(1—k)2-2=0(2—k2w0).①x1+x2k(1—k)2.2-k由题由题意,得12-k2-1,解得k=解得k=2.当k=2时,方程①成为2x2—4x+3=0.A=16-24=-8<0,方程①没有实数解.,不能作一条直线l与双曲线交于A,B两点,且点P(1,1)是线段AB的中点.法二设Z2,y1),B(x2,y2),假设直线l的斜率不存在,即x1=x2不符合题意,22所以由题得x2—y1=1,x2—,=1,两式两式相减得(x1+x2)(x1-x2)—(y1+y2Iy1一y2)y1—y2即2—=0,x1—x2即直线l斜率k=2,得直线l方程y-1=2(x-1),即y=2x-1,

y=2x-i,y-22.一得2x—4x+3=0,A=16—24=—8<0,即直线y=2x—1与双曲线无交点,即所求直线不合题意,所以过点P(1,1)的直线l不存在.Fi,12.(2021南京质检)中央在原点,焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的Fi,F2,且|F1F2|=253,椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4,离心率之比为3:7.(1)求这两曲线方程；(2)假设P为这两曲线的一个交点,求cos/F1PF2的值.解：(1)由c=#3,设椭圆长、短半轴长分别为a、b,双曲双曲线实半轴、虚半轴长分别为m、n,a—m=4,7返=3返,amTOC\o"1-5"\h\z解得a=7,m=3.,b=6,n=2.22,椭圆方程为7Z+^=1,493622双曲线方程为x—y4=1.94(2)不妨设F1、F2分别为左、右焦点,P是第一象限的一个交点,那么|PFi|十|PF2|=14,|PFi|—|PF2|=6,・.|PFi|=10,|PF2|=4.又|FiF2|=2^13,.cos/FiPF2=|PFi|2+|PF2|2-|FiF2|22|.cos/FiPF2=1102+42—2'1324~-=二2X10X45.第八篇第5节一、选择题TOC\o"1-5"\h\z〔2021银川模拟〕抛物线y=2x2的焦点坐标为〔〕A.,0;B.〔1,0〕C.?,8〕dG4〕解析：抛物线y=2x2,即其标准方程为x2=1y,它的焦点坐标是［0,〔j.应选C.答案：C2.抛物线的焦点为椭圆x-+y-=1的下焦点,顶点在椭圆中央,那么抛物线方程为〔〕49A.x2=-4乖yB.y2=—4&XC.x2=—4代yD.y2=—4匹x解析：由椭圆方程知,a2=9,b2=4,焦点在y轴上,下焦点坐标为〔0,-c〕,其中c=-a2—b2=.5,,抛物线焦点坐标为〔0,—乖〕,「•抛物线方程为x2=—445y.应选A.答案：A3.抛物线B.相交y2=2px,以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准3.抛物线B.相交A.相离C.相切D.不C.相切解析：如下图,设抛物线焦点弦为AB,中点为M,准线为I,A1、B1分别为A、B在直线l上的射影,那么|AA1|=|AF|,|BB1|=|BF|,111是M到I的距离d=2〔|AA1|十|BB1|〕=2〔|AF|十|BF|〕=2|AB|,故圆与抛物线准线相切.应选C.答案：C4.〔2021洛阳高三统一测试〕F是抛物线y2=4x的焦点,过点F的直线与抛物线交于A,B两点,且|AF|=3|BF|,那么线段AB的中点到该抛物线准线的距离为〔〕

A53B.8A53B.8103解析：设点A(X1,y1),B(X2,y2),D.10其中X1>0,X2D.10过A,B两点的直线方程为x=my+1,将x=my+1与y2=4x联立得y2—4my—4=0,yiy2=一4,那么由X1X2=222yiV2=3那么由X1X2=222yiV2=31V2)

44—16=1,1斛得X1=3,X2=7,3故线段AB的中点到该抛物线故线段AB的中点到该抛物线的准线x=B选

故■8一3=1+2X十2答案：B5.F是抛物线丫2=乂的焦点,A,B是该抛物线上的两点,|AF|十|BF|=3,那么线段AB的中点到y轴的距离为()a.4B.1C5C.4D.解析：,「AF|+|BF|=Xa+xb+2=3,5,xa+xb—2xa+Xb5•♦・线段AB的中点到y轴的距离为—2—=5.应选C.答案：C6.设M(X0,yo)为抛物线C:x2=8y上一点,F为抛物线C的焦点,以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交,那么yo的取值范围是()A.(0,2)B.[0,2]C.(2,+oo)D.[2,+8)解析：・••x2=8y,.♦.焦点F的坐标为(0,2),准线方程为y=-2.由抛物线的定义知|MF|=yo+2.以F为圆心、|FM|为半径的圆的标准方程为x2+(y-2)2=(yo+2)2.由于以F为圆心、|FM|为半径的圆与准线相交,又圆心F到准线的距离为4,故4<yo+2,,yo>2.应选C.答案：C二、填空题7.动直线l的倾斜角为60.,且与抛物线x2=2py(p>0)交于A,B两点,假设A,B两点的横坐标之和为3,那么抛物线的方程为.解析：设直线l的方程为y=J3x+b,y=V3x+b,联立2x=2py消去V,得x2=2P(mx+b),即x2-2*px-2Pb=0,.xi+x2=2*^3p=3,.,p=乎,那么抛物线的方程为x2=V3y.答案：x2=>/3y.以抛物线x2=16y的焦点为圆心,且与抛物线的准线相切的圆的方程为.解析：抛物线的焦点为F(0,4),准线为y=—4,那么圆心为(0,4),半径r=8.所以,圆的方程为x2+(y—4)2=64.答案：x2+(y—4)2=64.(2021年高考北京卷)在直角坐标系xOy中,直线l过抛物线y2=4x的焦点F,且与该抛物线相交于A,B两点,其中点A在x轴上方,假设直线l的倾斜角为60°,那么4OAF的面积为.解析：二•抛物线y2=4x,,焦点F的坐标为(1,0).又•••直线I倾斜角为60,直线斜率为西「•直线方程为y=\/3(x—1).y=V3(x-1\联立方程12[y=4x,「1*=§,fx2=3,解得<厂或1广8=-乎,8=2强o由得A的坐标为(3,2回-'Szoaf='QF||yA|=]X1x2\j3=yj3.答案：小.点P是抛物线y2=2x上的动点,点P在y轴上的射影是M,点A&4),那么|PA|十|PM|的最小值是.解析：设点M在抛物线的准线上的射影为M'.由可得抛物线的准线方程为x=—：焦点F坐标为0)求甲|十|PM|的最小值,可先求|PA|十|PM'|的最小值.由抛物线的定义可知,|PMZ|=|PF|,所以|FA|+|PF|=|PA|十|PM'当点A、P、F在一条直线上时,|FA|十|PF|有最小值|AF|=5,所以|)5,1又由于pm‘i=ipmi+5,所以|FA|+|PM|>5-2=|.Q答案：2三、解做题.假设抛物线y=2x?上的两点A(x1,y>B(X2,丫2)关于直线I:y=x+m对称,且xdq

=-2,求实数m的值.解：法一如下图,连接AB,•・A、B两点关于直线l对称,.ABH,且AB中点M(xo,yo)在直线l上.TOC\o"1-5"\h\z可设Iab：y=-x+n,y=-x+n,2由52得2x+x—n=0,y=2x,.1n.xi+x2=—2,xix2=—2.由xix2=—2,得n=1.xi+x21又xo=-2~=一4,一5yo=-xo+n=4+1=4,即点M为14),51由点M在直线l上,得4=—4+m,.3.m=2.法二「A、B两点在抛物线y=2x2上.y1=2x2,,<C2丫2=2x2,-y1—y2=2(x1+x2)(x1一x2).设AB中点M(xo,yo),yLy2,那么x1+x2=2xo,kAB==4xo.x1一x21又AB_l_l,•-Kab=-1,从而xo=-4.又点M在l上,

1.yo=xo+m=m—4,即Mt/m—4•AB的方程是y-^m-4尸一[x+-i12即y=—x+m-2,代入y=2x,得2x2得2x2+x-m1-2>0,“T12'3-m=2.12.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,斜率为26的直线交抛物线于A(xi,yi),B(x2,y2)(xi<x2)两点,且|AB|=9.(1)求该抛物线的方程；(2)0为坐标原点,C为抛物线上一点,假设(OC=OA+温,求入的值.解：(1)直线AB的方程是y=2V2［x-2］；与y2=2px联立,从而有4x2—5px+p2=0,所以x1+x2=5p.由抛物线定义得|AB|=x1+x2+p=9,所以p=4,从而抛物线方