2023年新高考数学一轮复习课时10.3《抛物线》达标练习（教师版）

2023年新高考数学一轮复习课时10.3《抛物线》达标练习一 、选择题LISTNUMOutlineDefault\l3抛物线y=ax2的准线方程是y=1，则a的值为()A.eq\f(1,4)B.－eq\f(1,4)C.4D.－4【答案解析】答案为：B.解析：由y=ax2，变形得x2=eq\f(1,a)y=2×eq\f(1,2a)y，∴p=eq\f(1,2a).又抛物线的准线方程是y=1，∴－eq\f(1,4a)=1，解得a=－eq\f(1,4).]LISTNUMOutlineDefault\l3设抛物线C：y2=2px(p＞0)的焦点为F，点M在C上，|MF|=5.若以MF为直径的圆过点(0，2)，则C的方程为()A.y2=4x或y2=8xB.y2=2x或y2=8xC.y2=4x或y2=16xD.y2=2x或y2=16x【答案解析】答案为：C；解析：由已知得抛物线的焦点F(eq\f(p,2),0)，设点A(0，2)，抛物线上点M(x0，y0)，则eq\o(AF,\s\up10(→))=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，－2))，eq\o(AM,\s\up10(→))=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(yeq\o\al(2,0),2p)，y0－2)).由已知得，eq\o(AF,\s\up10(→))·eq\o(AM,\s\up10(→))=0，即yeq\o\al(2,0)－8y0＋16=0，因而y0=4，Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,p)，4)).由|MF|=5得，eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,p)－\f(p,2)))\s\up12(2)＋16)=5，又p＞0，解得p=2或p=8，即抛物线方程为y2=4x或y2=16x.LISTNUMOutlineDefault\l3已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点.若eq\o(FP,\s\up10(→))=4eq\o(FQ,\s\up10(→))，则|QF|等于()A.eq\f(7,2)B.eq\f(5,2)C.3D.2【答案解析】答案为：C；解析：因为eq\o(FP,\s\up10(→))=4eq\o(FQ,\s\up10(→))，所以|eq\o(FP,\s\up10(→))|=4|eq\o(FQ,\s\up10(→))|，所以eq\f(|PQ|,|PF|)=eq\f(3,4).如图，过Q作QQ′⊥l，垂足为Q′，设l与x轴的交点为A，则|AF|=4，所以eq\f(|PQ|,|PF|)=eq\f(|QQ′|,|AF|)=eq\f(3,4)，所以|QQ′|=3，根据抛物线定义可知|QQ′|=|QF|=3.LISTNUMOutlineDefault\l3已知抛物线y2=2px(p＞0)，点C(－4,0)，过抛物线的焦点作垂直于x轴的直线，与抛物线交于A，B两点，若△CAB的面积为24，则以直线AB为准线的抛物线的标准方程是()A.y2=4xB.y2=－4xC.y2=8xD.y2=－8x【答案解析】答案为：D；解析：因为AB⊥x轴，且AB过点F，所以AB是焦点弦，且|AB|=2p，所以S△CAB=eq\f(1,2)×2p×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)＋4))=24，解得p=4或－12(舍)，所以抛物线方程为y2=8x，所以直线AB的方程为x=2，所以以直线AB为准线的抛物线的标准方程为y2=－8x，故选D.LISTNUMOutlineDefault\l3已知抛物线C：y2=2px(p＞0)的焦点为F，点M在抛物线C上，且|MO|=|MF|=eq\f(3,2)(O为坐标原点)，则eq\o(OM,\s\up7(→))·eq\o(MF,\s\up7(→))=()A.－eq\f(7,4)B.eq\f(7,4)C.eq\f(9,4)D.－eq\f(9,4)【答案解析】答案为：A；解析：不妨设M(m，eq\r(2pm))(m＞0)，易知抛物线C的焦点F的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，因为|MO|=|MF|=eq\f(3,2)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋2pm＝\f(9,4)，,m＋\f(p,2)＝\f(3,2)，))解得m=eq\f(1,2)，p=2，所以eq\o(OM,\s\up7(→))=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\r(2)))，eq\o(MF,\s\up7(→))=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\r(2)))，所以eq\o(OM,\s\up7(→))·eq\o(MF,\s\up7(→))=eq\f(1,4)－2=－eq\f(7,4).故选A.LISTNUMOutlineDefault\l3焦点为F的抛物线C：y2＝8x的准线与x轴交于点A，点M在抛物线C上，则当eq\f(|MA|,|MF|)取得最大值时，直线MA的方程为()A.y＝x＋2或y＝－x－2B.y＝x＋2C.y＝2x＋2或y＝－2x＋2D.y＝－2x＋2【答案解析】答案为：A解析：如图，过M作MP与准线垂直，垂足为P，则eq\f(|MA|,|MF|)＝eq\f(|MA|,|MP|)＝eq\f(1,cos∠AMP)＝eq\f(1,cos∠MAF)，则当eq\f(|MA|,|MF|)取得最大值时，∠MAF必须取得最大值，此时直线AM与抛物线相切，可设切线方程为y＝k(x＋2)，与y2＝8x联立，消去x得ky2－8y＋16k＝0，所以Δ＝64－64k2＝0，得k＝±1.则直线方程为y＝x＋2或y＝－x－2.LISTNUMOutlineDefault\l3已知抛物线E：y2=2px(p＞0)的焦点为F，过F且斜率为1的直线交E于A，B两点，线段AB的中点为M，其垂直平分线交x轴于点C，MN⊥y轴于点N.若四边形CMNF的面积等于7，则抛物线E的方程为()A.y2=xB.y2=2xC.y2=4xD.y2=8x【答案解析】答案为：C；解析：由题意，得Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，直线AB的方程为y=x－eq\f(p,2)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，联立y=x－eq\f(p,2)和y2=2px得，y2－2py－p2=0，则y1＋y2=2p，所以y0=eq\f(y1＋y2,2)=p，故N(0，p)，又因为点M在直线AB上，所以x0=eq\f(3p,2)，即Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3p,2)，p))，因为MC⊥AB，所以kAB·kMC=－1，故kMC=－1，从而直线MC的方程为y=－x＋eq\f(5,2)p，令y=0，得x=eq\f(5,2)p，故Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5p,2)，0))，四边形CMNF的面积可以看作直角梯形CMNO与直角三角形NOF的面积之差，即S四边形CMNF=S梯形CMNO－S△NOF=eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)p＋\f(3,2)p))·p－eq\f(1,2)p·eq\f(p,2)=eq\f(7,4)p2=7，∴p2=4，又p＞0，∴p=2，故抛物线E的方程为y2=4x，故选C.LISTNUMOutlineDefault\l3如果P1，P2，…，Pn是抛物线C：y2＝4x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，…，xn，F是抛物线C的焦点，若x1＋x2＋…＋xn＝10，则|P1F|＋|P2F|＋…＋|PnF|＝()A.n＋10B.n＋20C.2n＋10D.2n＋20【答案解析】答案为：A解析：由抛物线的方程y2＝4x可知其焦点为(1,0)，准线为x＝－1，由抛物线的定义可知|P1F|＝x1＋1，|P2F|＝x2＋1，…，|PnF|＝xn＋1，所以|P1F|＋|P2F|＋…＋|PnF|＝x1＋1＋x2＋1＋…＋xn＋1＝(x1＋x2＋…＋xn)＋n＝n＋10.故选A.LISTNUMOutlineDefault\l3已知P为抛物线y2=4x上一个动点，Q为圆x2＋(y－4)2=1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是()A.2eq\r(5)－1B.2eq\r(5)－2C.eq\r(17)－1D.eq\r(17)－2【答案解析】答案为：C解析：由题意得圆x2＋(y－4)2=1的圆心A(0,4)，半径r=1，抛物线的焦点F(1,0).由抛物线的几何性质可得：点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是|AF|－r=eq\r(1＋16)－1=eq\r(17)－1.故选C.LISTNUMOutlineDefault\l3已知直线l：eq\r(3)x－y－a=0与抛物线x2=4y交于P，Q两点，过P，Q分别作l的垂线与y轴交于M，N两点，若|MN|=eq\f(16\r(3),3)，则a=()A.－1B.1C.－2D.2【答案解析】答案为：D；解析：∵直线l的方程为eq\r(3)x－y－a=0，∴直线l的倾斜角为60°，∵直线l与抛物线x2=4y交于P，Q两点，过P，Q分别作l的垂线与y轴交于M，N两点，且|MN|=eq\f(16\r(3),3)，∴|PQ|=eq\f(16\r(3),3)sin60°=8.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立方程，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(3)x－y－a＝0，,x2＝4y，))得x2－4eq\r(3)x＋4a=0，由Δ＞0得a＜3，∴x1＋x2=4eq\r(3)，x1x2=4a，∴|PQ|=eq\r(1＋3)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)=8，即48－16a=16，∴a=2，故选D.LISTNUMOutlineDefault\l3已知M(x0，y0)是曲线C：eq\f(x2,2)－y＝0上的一点，F是曲线C的焦点，过M作x轴的垂线，垂足为N，若eq\o(MF,\s\up6(→))·eq\o(MN,\s\up6(→))＜0，则x0的取值范围是()A.(－1,0)∪(0,1)B.(－1,0)C.(0,1)D.(－1,1)【答案解析】答案为：A解析：由题意知曲线C为抛物线，其方程为x2＝2y，所以F(0,eq\f(1,2))，根据题意可知，N(x0,0)，x0≠0，eq\o(MF,\s\up6(→))＝(-x0,eq\f(1,2)－y0)，eq\o(MN,\s\up6(→))＝(0，－y0)，所以eq\o(MF,\s\up6(→))·eq\o(MN,\s\up6(→))＝－y0(eq\f(1,2)－y0)＜0，即0＜y0＜eq\f(1,2)，因为点M在抛物线上，所以有0＜eq\f(x\o\al(2,0),2)＜eq\f(1,2)，又x0≠0，解得－1＜x0＜0或0＜x0＜1，故选A.LISTNUMOutlineDefault\l3抛物线C：y2=4x的焦点为F，N为准线l上一点，M为y轴上一点，∠MNF为直角，若线段MF的中点E在抛物线C上，则△MNF的面积为()A.eq\f(\r(2),2)B.eq\r(2)C.eq\f(3\r(2),2)D.3eq\r(2)【答案解析】答案为：C；解析：如图所示，不妨设点N在第二象限，连接EN，易知F(1,0)，因为∠MNF为直角，点E为线段MF的中点，所以|EM|=|EF|=|EN|，又E在抛物线C上，所以EN⊥l，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\r(2)))，所以N(－1，eq\r(2))，M(0，2eq\r(2))，所以|NF|=eq\r(6)，|NM|=eq\r(3)，所以△MNF的面积为eq\f(3\r(2),2)，故选C.二 、填空题LISTNUMOutlineDefault\l3若抛物线x2=4y上的点A到焦点的距离为10，则点A到x轴的距离是________.【答案解析】答案为：9.解析：[根据题意，抛物线x2=4y的准线方程为y=－1，点A到准线的距离为10，故点A到x轴的距离是9.]LISTNUMOutlineDefault\l3已知抛物线y2=2px(p＞0)的焦点F与双曲线eq\f(x2,3)－y2=1的右焦点重合，若A为抛物线在第一象限上的一点，且|AF|=3，则直线AF的斜率为________.【答案解析】答案为：－2eq\r(2).解析：∵双曲线eq\f(x2,3)－y2=1的右焦点为(2,0)，∴抛物线方程为y2=8x，∵|AF|=3，∴xA＋2=3，得xA=1，代入抛物线方程可得yA=±2eq\r(2).∵点A在第一象限，∴A(1，2eq\r(2))，∴直线AF的斜率为eq\f(2\r(2),1－2)=－2eq\r(2).LISTNUMOutlineDefault\l3已知抛物线C1：y=ax2(a＞0)的焦点F也是椭圆C2：eq\f(y2,4