21-概率及概率空间-课件

12.1概率的定义1.频率

3概率的性质2概率的定义12.1概率的定义1.频率3概率的性质2概率的定义12定义：随机事件:在一定条件下，对随机现象进行一次实验的每一个可能结果；必然事件:在一定条件下必然要发生的事件，记作；不可能事件:在一定条件下不可能发生的事件，记作。基本事件:在随机实验中，不能分解的事件；

随机事件P&S我们称一个随机事件发生当且仅当它所包含的一个基本事件在试验中出现．返回主目录1.概率的概念2定义：随机事件P&S我们称一个随机事件发生当且仅当2310

包含关系

事件间的关系与运算20

事件的并

30事件的交

50

互不相容事件60

逆事件SABP&S返回主目录310包含关系事件间的关系与运算20事件34SABP&S20

事件的并

30事件的交SAB返回主目录4SABP&S20事件的并30事件的交S45SBSAP&S40

互不相容事件50

逆事件A返回主目录5SBSAP&S40互不相容事件50逆事件56随机事件的运算规律交换律:P&S结合律:分配律:反演律（DeMorgan定律）:返回主目录6随机事件的运算规律交换律:P&S结合律:分配律:反672.1.1频率

1.随机事件的发生可能性有大小之分投一枚均匀的骰子，考察下列事件发生的可能性大小．令Ａ＝出现点数２，Ｂ＝出现偶数点，则B比A更容易出现。

2.频率的定义

定义

如果在n次重复试验中事件A发生了nA次，则称nA/n为事件A在n次试验中发生的频率，记为fn(A)，即fn(A)＝频率在某种意义反应了事件发生的可能性大小。

频率的缺陷是其取之依赖于具体的试验。72.1.1频率1.随机事件的发生可能性有大小之分78

大量次的观察，发现事件发生的频率具有稳定性。3.频率具有稳定性

例1

抛一枚硬币,观察事件“正面向上”发生的规律。实验者NnHfn(H)蒲丰404020480.5070K.皮尔逊1200060190.5016K.皮尔逊24000120190.5005。

n无穷大

m/n稳定值8大量次的观察，发现事件发生的频率具有稳定性。3.频率89频率稳定值概率

事件发生的频繁程度事件发生的可能性的大小频率的性质概率的定义P&S返回主目录9频率9104.频率的性质(1)0≤fn

(A)≤1;(2)fn

(Ω)=1；(3)若A1，A2，…，An

是两两互不相容的事件，则1.1.2概率的定义简单说来，随机事件A发生可能性大小的度量（数值），称为A发生的概率，记作P(A)．104.频率的性质(1)0≤fn(A)≤1;(3)1011

1.概率的一般（公理化）定义

定义设E是随机试验，Ω是它的样本空间，对于E的每一事件A对应于一个实数P(A)，称P(A)为事件A的概率，若P(A)满足下列三个条件：

(1)0≤P(A)≤1;(2)P(Ω)=1；

(3)对于两两互不相容的事件A1，A2，…，有以上三个条件分别称为概率的非负性、规范性及可列可加性。利用概率的定义可以推出概率的一些重要性质。111.概率的一般（公理化）定义定义设E1112性质1因为由可列可加性故性质2

若A1，A2，…，An为两两互不相容的事件，则

由可列可加性有

2.概率的性质12性质1因为由可列可加性故性质2若A1，A2，…，An为1213则P(B－A)=P(B)－P(A).ＡΩＢ

证明由于

B=A∪(B－A)且A.(B－A)=Φ,

P(B)=P(A)+P(B－A),于是P(B－A)=P(B)－P(A).推论1Ｐ(B-A)=P(B)-P(AB).推论2

若AB,则P(B)≥P(A).

性质3

设A，B是两事件，若AB,ABΩ13则P(B－A)=P(B)－P(A)1314性质4

对于任一事件A，有

因则有于是有14性质4对于任一事件A，有因则有于是有1415性质5

设任意两个事件A、B，则

P(AB)=P(A)+P(B)－P(AB)

证明由右图可知

A

B=A(B-AB)且由概率可加性及性质３得

P(A

B)=P(A)+P(B-AB)=P(A)+P(B)-P(AB）A(B-AB)=Φ，ABBＡＢ推论1.P(A∪B)≤P(A)+P(B).推论2.

设随机事件A1,A2,A3

,则Ａ1A2A315性质5设任意两个事件A、B，则证明1516推论3设A1，A2，…，An是n个随机事件，则16推论3设A1，A2，…，An是n个随机事件，1617例1

设事件A、B、A∪B的概率分别为p、q、r，求P（AB）,P（A），P（B），P（）

解（1）因为P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（AB），所以P（AB）=p+q-r．（2）因为A=A-AB且ABA，故P（A

同理可求出P（

（3）因=，所以．17例1设事件A、B、A∪B的概率分别为p、q、1718

1.适用的范围广；

2.提供了估算概率的方法；

3.提供了一种检验理论或假设正确与否的方法。概率统计定义的优点：

1.要确定某事件的概率，就必须进行大量实验，这在实际中难以办到；

2.即使有条件大量实验也无法确切的指出何数为濒率的稳定值。返回主目录古典概型概率统计定义的不足：181.适用的范围广；概率统计定义的优点：1.要1819

当涉及随机变量时，我们必须首先定义概率空间；也就是说，我们需要设定一个框架来对偶然性和相应概率进行定义而不用担心一致性问题。概率的定义具有一致性，具有两个条件：（1）（2）概率的一致性问题返回主目录古典概型19当涉及随机变量时，我们必须首先定义概率空间；也就是说1920在实际工作中，我们会经常考察有条件的随机事件，即在一些信息已知的情况下，某一随机现象的变化。例如，央行加息后股票价格或债券价格的涨落情况、国家的税收政策发生变化后投资回报将如何变动等等，都是典型的条件随机现象，这就是我们在此拟要考察的条件事件和条件概率问题。在后面有关鞅的定义和讨论中，人们会看到条件概率和条件期望更多的作用。条件概率20在实际工作中，我们会经常考察有条件的随机事件，即在一些信2021在初等概率论中，我们已经学过，当事件B发生时事件A的概率为P(A/B)=P(A·B)/P(B),P(B)>0简称事件B关于事件A的条件概率。其中，A/B表示条件事件。然而，上述公式并不全面，因为当事件B已知后，B的逆也成为已知信息，人们自然也会关心在已知情况下事件A的概率，即P(A/)。即使求出P(A/)，也仍存在美中不足的地方，因为信息的最完备形式是σ－代数，所以只有在考察了由B与生成的σ－代数σ(B)下事件A的概率后，才可能对B发生以后事件A发生的可能性有更深刻、更全面的认识和了解。为此，需定义和计算P(A/σ(B))。21在初等概率论中，我们已经学过，当事件B发生时事件A的概率2122

222223232324设(Ω,F,P)为概率空间，AF,BF，且P(B)>0。利用公式P(A/B)=P(A·B)/P(B)可知，PB=P(·/B)是由事件B和概率测度P诱导出来的、定义在可测空间(Ω,F)上的概率测度，于是得到一个新的概率空间(Ω,F,PB)。对(Ω,F,PB)上的随机变量关于概率测度PB求积分。若该积分存在，则称此积分为已知事件B发生条件下的条件期望，记为E(|B)，即E(/B)=(w)dPB=P(dw/B)条件期望

24设(Ω,F,P)为概率空间，AF,BF，且P(24252.2概率空间样本空间的概念我们知道：如果某个实验在相同条件下可以重复进行，每次实验的结果不止一个，而且事前不能确定，我们就称为随机试验；（1）随机试验的每个可能结果称为事件；（2）不可能再分的事件称为基本事件，常用只包含一个元素ω的单点集{ω}来表示；（3）由若干基本事件组成的事件称为复合事件，一般用包含若干个元素的集合表示。所有基本事件对应的元素的全体组成的集合称为样本空间，记作Ω；样本空间中的每一个元素称为样本点。252.2概率空间样本空间的概念2526样本空间是一个必然事件，其逆事件是一个空集φ。样本空间可以是一个离散的集合；如抛一枚硬币，分别用{ω1}和{ω2}表示正面和反面的事件，则样本空间Ω={ω1,ω2}是由有限个离散点组成的集合。样本空间也可以是一个连续的区间或空间。考察2019年我国大学生的就业比率，其基本事件为[0,1]区间中每一个有理数组成的集合，于是样本空间可用区间[0,1]中所有有理数组成的集合表示，是含有无限个样本点的集合；考察某三支股票未来价格（分别设为p1，p2，p3）的变化情况，其基本事件为{(p1，p2，p3)}，其中p1≥0，p2≥0，p3≥0，于是样本空间Ω={(p1，p2，p3)|0p1+，0p2+，0p3+}是一个含有无限点的连续三维空间。样本空间的表示26样本空间是一个必然事件，其逆事件是一个空集φ。样本空间的2627为了保证考察问题的完备性，避免运算、推理过程出现矛盾，就需要所考察事件的集合的构成必须遵循一定规则，于是引出了σ－代数的概念。简单来讲，σ－代数就是根据考察和评价的需要从Ω的子集中挑选出的集合（即事件），并由这些集合按照一定规则构成的集合簇，具体定义为：定义1设Ω为样本空间，F是由Ω的一些子集（或事件）组成的集合簇，若F满足下列条件：(i)Ω∈F，即F包含了空间Ω本身；(ii)若A∈F，则A的逆事件∈F

，即如果事件A（A为Ω的一个子集）属于F，则A的补集也属于F；(iii)若Ai∈F，i=1,2,…,+，则

Ai∈F，即如果Ω的可列子集属于F，则这些可列子集的并集也属于F。则称F为一个σ－代数。σ－代数的概念

27为了保证考察问题的完备性，避免运算、推理过程出现矛盾，就2728显然，σ－代数不止一个。对于一个给定的样本空间Ω，其最小的σ－代数是由空集φ和Ω构成的，而最大的σ－代数则由Ω的幂集，即Ω的所有子集构成。最大的σ－代数由Ω的2Ω个子集组成。令G为Ω任一子集簇，所有包含G的σ－代数的交是包含G的最小的σ－代数，称为由G生成的σ－代数，记为σ(G)。由实数集R1中的所有子集(a，b]组成的集合蔟而生成的σ－代数是包含所有R1区间族的最小σ－代数，称为Borel代数，记作B(R1)。B(R1)包含了R1所有开集和闭集，也可以看作是从R1的区间开始经过一系列所有可能的有限和可列集合的并、交、补等运算而获得的。对于一般的n维Eulid空间Rn，可类似得到Rn的Borel代数，记作B(Rn)，只不过Rn的区间应为(a,b]={（x1,x2,…,xn）|ai<xi≤bi,a=(a1,a2,…,an),b=(b1,b2,…,bn),i=1,2,…}.σ－代数的概念（续）

28显然，σ－代数不止一个。对于一个给定的样本空间Ω，其最小2829F为Ω的σ－代数表明，F中的元素，即由Ω中元素构成的、并属于F的事件，是可测的，于是我们将F中的所有元素称为可测集，将Ω与其可测集簇σ－代数F组成的一对（Ω,F）称为一个可测空间。对可测空间（Ω,F），我们需要知道F中的可测集即事件出现的可能性大小，也就是需要对F中的事件进行评价和测度。为避免出现矛盾的情况，测度方式也需要按照一定的规则进行，于是，有定义2对可测空间（Ω,F），在F上定义一个函数μ：F→R1称为一个测度，若满足：μ(φ)=0；A∈F，0μ(A)+；(iii)Ai∈F，i=1,2,…,+，且AiAj=φ（），则μ(Ai)=μ(Ai)。

可测空间的概念与表示29F为Ω的σ－代数表明，F中的元素，即由Ω中元素构成的、并2930对随机事件的测度，人们普遍习惯于用概率测度，记为P。概率测度P满足P(Ω)=1，P(φ)=0，并对于AF，皆有0P(A)1。于是，样本空间Ω、Ω的需要测度的σ－代数F与定义在F上的测度方式、即概率测度P：F[0,1]构成的三元体(Ω,F,P)，称为概率空间。为保持概率空间的完备性，我们常常假设F包含了Ω的所有对P可忽略的子集，此时称(Ω,F,P)是完备的概率空间。所谓对P可忽略的子集，是指对AF，P(A)=0，则称包含于A的子集为对P可忽略的子集。完备的概率空间及其表示30对随机事件的测度，人们普遍习惯于用概率测度，记为P。概3031为清楚起见，我们将本节定义概率空间的基本思路用图示方法表示出来：

完备的概率空间及其表示（续）考察对象与范围（样本空间Ω）拟评价的事件集合（－代数F）评价方法（概率测度P）可测空间（Ω，F

）概率空间(Ω,F,P)31为清楚起见，我们将本节定义概率空间的基本思路用图示方法表31322.1概率的定义1.频率

3概率的性质2概率的定义12.1概率的定义1.频率3概率的性质2概率的定义3233定义：随机事件:在一定条件下，对随机现象进行一次实验的每一个可能结果；必然事件:在一定条件下必然要发生的事件，记作；不可能事件:在一定条件下不可能发生的事件，记作。基本事件:在随机实验中，不能分解的事件；

随机事件P&S我们称一个随机事件发生当且仅当它所包含的一个基本事件在试验中出现．返回主目录1.概率的概念2定义：随机事件P&S我们称一个随机事件发生当且仅当333410

包含关系

事件间的关系与运算20

事件的并

30事件的交

50

互不相容事件60

逆事件SABP&S返回主目录310包含关系事件间的关系与运算20事件3435SABP&S20

事件的并

30事件的交SAB返回主目录4SABP&S20事件的并30事件的交S3536SBSAP&S40

互不相容事件50

逆事件A返回主目录5SBSAP&S40互不相容事件50逆事件3637随机事件的运算规律交换律:P&S结合律:分配律:反演律（DeMorgan定律）:返回主目录6随机事件的运算规律交换律:P&S结合律:分配律:反37382.1.1频率

1.随机事件的发生可能性有大小之分投一枚均匀的骰子，考察下列事件发生的可能性大小．令Ａ＝出现点数２，Ｂ＝出现偶数点，则B比A更容易出现。

2.频率的定义

定义

如果在n次重复试验中事件A发生了nA次，则称nA/n为事件A在n次试验中发生的频率，记为fn(A)，即fn(A)＝频率在某种意义反应了事件发生的可能性大小。

频率的缺陷是其取之依赖于具体的试验。72.1.1频率1.随机事件的发生可能性有大小之分3839

大量次的观察，发现事件发生的频率具有稳定性。3.频率具有稳定性

例1

抛一枚硬币,观察事件“正面向上”发生的规律。实验者NnHfn(H)蒲丰404020480.5070K.皮尔逊1200060190.5016K.皮尔逊24000120190.5005。

n无穷大

m/n稳定值8大量次的观察，发现事件发生的频率具有稳定性。3.频率3940频率稳定值概率

事件发生的频繁程度事件发生的可能性的大小频率的性质概率的定义P&S返回主目录9频率40414.频率的性质(1)0≤fn

(A)≤1;(2)fn

(Ω)=1；(3)若A1，A2，…，An

是两两互不相容的事件，则1.1.2概率的定义简单说来，随机事件A发生可能性大小的度量（数值），称为A发生的概率，记作P(A)．104.频率的性质(1)0≤fn(A)≤1;(3)4142

1.概率的一般（公理化）定义

定义设E是随机试验，Ω是它的样本空间，对于E的每一事件A对应于一个实数P(A)，称P(A)为事件A的概率，若P(A)满足下列三个条件：

(1)0≤P(A)≤1;(2)P(Ω)=1；

(3)对于两两互不相容的事件A1，A2，…，有以上三个条件分别称为概率的非负性、规范性及可列可加性。利用概率的定义可以推出概率的一些重要性质。111.概率的一般（公理化）定义定义设E4243性质1因为由可列可加性故性质2

若A1，A2，…，An为两两互不相容的事件，则

由可列可加性有

2.概率的性质12性质1因为由可列可加性故性质2若A1，A2，…，An为4344则P(B－A)=P(B)－P(A).ＡΩＢ

证明由于

B=A∪(B－A)且A.(B－A)=Φ,

P(B)=P(A)+P(B－A),于是P(B－A)=P(B)－P(A).推论1Ｐ(B-A)=P(B)-P(AB).推论2

若AB,则P(B)≥P(A).

性质3

设A，B是两事件，若AB,ABΩ13则P(B－A)=P(B)－P(A)4445性质4

对于任一事件A，有

因则有于是有14性质4对于任一事件A，有因则有于是有4546性质5

设任意两个事件A、B，则

P(AB)=P(A)+P(B)－P(AB)

证明由右图可知

A

B=A(B-AB)且由概率可加性及性质３得

P(A

B)=P(A)+P(B-AB)=P(A)+P(B)-P(AB）A(B-AB)=Φ，ABBＡＢ推论1.P(A∪B)≤P(A)+P(B).推论2.

设随机事件A1,A2,A3

,则Ａ1A2A315性质5设任意两个事件A、B，则证明4647推论3设A1，A2，…，An是n个随机事件，则16推论3设A1，A2，…，An是n个随机事件，4748例1

设事件A、B、A∪B的概率分别为p、q、r，求P（AB）,P（A），P（B），P（）

解（1）因为P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（AB），所以P（AB）=p+q-r．（2）因为A=A-AB且ABA，故P（A

同理可求出P（

（3）因=，所以．17例1设事件A、B、A∪B的概率分别为p、q、4849

1.适用的范围广；

2.提供了估算概率的方法；

3.提供了一种检验理论或假设正确与否的方法。概率统计定义的优点：

1.要确定某事件的概率，就必须进行大量实验，这在实际中难以办到；

2.即使有条件大量实验也无法确切的指出何数为濒率的稳定值。返回主目录古典概型概率统计定义的不足：181.适用的范围广；概率统计定义的优点：1.要4950

当涉及随机变量时，我们必须首先定义概率空间；也就是说，我们需要设定一个框架来对偶然性和相应概率进行定义而不用担心一致性问题。概率的定义具有一致性，具有两个条件：（1）（2）概率的一致性问题返回主目录古典概型19当涉及随机变量时，我们必须首先定义概率空间；也就是说5051在实际工作中，我们会经常考察有条件的随机事件，即在一些信息已知的情况下，某一随机现象的变化。例如，央行加息后股票价格或债券价格的涨落情况、国家的税收政策发生变化后投资回报将如何变动等等，都是典型的条件随机现象，这就是我们在此拟要考察的条件事件和条件概率问题。在后面有关鞅的定义和讨论中，人们会看到条件概率和条件期望更多的作用。条件概率20在实际工作中，我们会经常考察有条件的随机事件，即在一些信5152在初等概率论中，我们已经学过，当事件B发生时事件A的概率为P(A/B)=P(A·B)/P(B),P(B)>0简称事件B关于事件A的条件概率。其中，A/B表示条件事件。然而，上述公式并不全面，因为当事件B已知后，B的逆也成为已知信息，人们自然也会关心在已知情况下事件A的概率，即P(A/)。即使求出P(A/)，也仍存在美中不足的地方，因为信息的最完备形式是σ－代数，所以只有在考察了由B与生成的σ－代数σ(B)下事件A的概率后，才可能对B发生以后事件A发生的可能性有更深刻、更全面的认识和了解。为此，需定义和计算P(A/σ(B))。21在初等概率论中，我们已经学过，当事件B发生时事件A的概率5253

225354235455设(Ω,F,P)为概率空间，AF,BF，且P(B)>0。利用公式P(A/B)=P(A·B)/P(B)可知，PB=P(·/B)是由事件B和概率测度P诱导出来的、定义在可测空间(Ω,F)上的概率测度，于是得到一个新的概率空间(Ω,F,PB)。对(Ω,F,PB)上的随机变量关于概率测度PB求积分。若该积分存在，则称此积分为已知事件B发生条件下的条件期望，记为E(|B)，即E(/B)=(w)dPB=P(dw/B)条件期望

24设(Ω,F,P)为概率空间，AF,BF，且P(55562.2概率空间样本空间的概念我们知道：如果某个实验在相同条件下可以重复进行，每次实验的结果不止一个，而且事前不能确定，我们就称为随机试验；（1）随机试验的每个可能结果称为事件；（2）不可能再分的事件称为基本事件，常用只包含一个元素ω的单点集{ω}来表示；（3）由若干基本事件组成的事件称为复合事件，一般用包含若干个元素的集合表示。所有基本事件对应的元素的全体组成的集合称为样本空间，记作Ω；样本空间中的每一个元素称为样本点。252.2概率空间样本空间的概念5657样本空间是一个必然事件，其逆事件是一个空集φ。样本空间可以是一个离散的集合；如抛一枚硬币，分别用{ω1}和{ω2}表示正面和反面的事件，则样本空间Ω={ω1,ω2}是由有限个离散点组成的集合。样本空间也可以是一个连续的区间或空间。考察2019年我国大学生的就业比率，其基本事件为[0,1]区间中每一个有理数组成的集合，于是样本空间可用区间[0,1]中所有有理数组成的集合表示，是含有无限个样本点的集合；考察某三支股票未来价格（分别设为p1，p2，p3）的变化情况，其基本事件为{(p1，p2，p3)}，其中p1≥0，p2≥0，p3≥0，于是样本空间Ω={(p1，p2，p3)|0p1+，0p2+，0p3+}是一个含有无限点的连续三维空间。样本空间的表示26样本空间是一个必然事件，其逆事件是一个空集φ。样本空间的5758为了保证考察问题的完备性，避免运算、推理过程出现矛盾，就需要所考察事件的集合的构成必须遵循一定规则，于是引出了σ－代数的概念。简单来讲，σ－代数就是根据考察和评价的需要从Ω的子集中挑选出的集合（即事件），并由这些集合按照一定规则构成的集合簇，具体定义为：定义1设Ω为样本空间，F是由Ω的一些子集（或事件）组成的集合簇，若F满足下列条件：(i)Ω∈F，即F包含了空间Ω本身；(ii)若A∈F，则A的逆事件∈F

，即如果事件A（A为Ω的一个子集）属于F，则A的补集也属于F；(iii)若Ai∈F，i=1,2,…,+，则

Ai∈F，即如果Ω的可列子集属于F，则这些可列子集的并集也属于F。则称F为一个σ－代数。σ－代数的概念

27为了保证考察问题的完备性，避免运算、推理过程出现矛盾，就5859显然，σ－代数不止一个。对于一个给定的样本空间Ω