函数单调性与凸性的判别法

关于函数单调性与凸性的判别法第一页，共八十五页，2022年，8月28日2.带Lagrange余项的Taylor公式：第二页，共八十五页，2022年，8月28日带Lagrange余项的Maclaurin公式：第三页，共八十五页，2022年，8月28日

§4函数单调性与凸性的判别法函数单调性判别法函数的凸性及其判别法第四页，共八十五页，2022年，8月28日一.函数单调性的判别法定义第五页，共八十五页，2022年，8月28日定理1证明：第六页，共八十五页，2022年，8月28日第七页，共八十五页，2022年，8月28日说明:单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点.例如,2)如果函数在某驻点两边导数同号,

则不改变函数的单调性.例如,第八页，共八十五页，2022年，8月28日定理2证明：第九页，共八十五页，2022年，8月28日第十页，共八十五页，2022年，8月28日证明：第十一页，共八十五页，2022年，8月28日第十二页，共八十五页，2022年，8月28日证明：第十三页，共八十五页，2022年，8月28日第十四页，共八十五页，2022年，8月28日解：注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．第十五页，共八十五页，2022年，8月28日Nove.17Mon.Review函数单调性判别法第十六页，共八十五页，2022年，8月28日例4.

证明时,成立不等式证:

令从而因此且证第十七页，共八十五页，2022年，8月28日*证明令则从而即第十八页，共八十五页，2022年，8月28日二.函数的凸性及其判别法问题:如何研究曲线的弯曲方向?第十九页，共八十五页，2022年，8月28日图形上任意弧段位于弦的上方图形上任意弧段位于弦的下方第二十页，共八十五页，2022年，8月28日定义1若函数在整个区间上是凸的或凹的，则称函数是凸函数或凹函数。第二十一页，共八十五页，2022年，8月28日凹函数凸函数第二十二页，共八十五页，2022年，8月28日定义1’凹函数凸函数定义2第二十三页，共八十五页，2022年，8月28日定理证明：第二十四页，共八十五页，2022年，8月28日第二十五页，共八十五页，2022年，8月28日几何意义：若曲线弧个点处的切线斜率是单调增加的，则该曲线是下凸的；若各点处的切线斜率是单调减少的，则该曲线弧是上凸的。第二十六页，共八十五页，2022年，8月28日求拐点的步骤：第二十七页，共八十五页，2022年，8月28日解：第二十八页，共八十五页，2022年，8月28日解：二阶导数不存在的点也可能是拐点.第二十九页，共八十五页，2022年，8月28日Nove.23Mon.Review函数单调性判别法第三十页，共八十五页，2022年，8月28日函数凸性及其判别法第三十一页，共八十五页，2022年，8月28日若函数可微：凹函数凸函数函数凸性判别法：第三十二页，共八十五页，2022年，8月28日求拐点的步骤：3.考察在这些点的左、右的凹凸性。拐点：第三十三页，共八十五页，2022年，8月28日解：导数不存在，二阶导数也不存在。第三十四页，共八十五页，2022年，8月28日凸凹凹第三十五页，共八十五页，2022年，8月28日证明：第三十六页，共八十五页，2022年，8月28日证明：第三十七页，共八十五页，2022年，8月28日hw：p1731(3,5)，2(3,5,7,9).p1881(3,5),2(1),3,5,6.更进一步有不等式：第三十八页，共八十五页，2022年，8月28日例.求曲线的凹凸区间及拐点.解:1)求2)求拐点可疑点坐标令得对应3)列表判别故该曲线在及上向上凹,向上凸

,点

(0,1)

及均为拐点.凹凹凸第三十九页，共八十五页，2022年，8月28日内容小结1.可导函数单调性判别在I

上单调递增在I

上单调递减2.曲线凹凸与拐点的判别+–拐点—连续曲线上有切线的凹凸分界点第四十页，共八十五页，2022年，8月28日有位于一直线的三个拐点.1.求证曲线

证明：第四十一页，共八十五页，2022年，8月28日令得从而三个拐点为因为所以三个拐点共线.第四十二页，共八十五页，2022年，8月28日证明:当时，有证明:xxxFp2-=sin)(令,则是凸函数即2.(自证)第四十三页，共八十五页，2022年，8月28日函数的极值：极大值与极小值第四十四页，共八十五页，2022年，8月28日§5函数极值、函数作图函数的极值与求法；渐近线；函数作图。第四十五页，共八十五页，2022年，8月28日一.函数的极值与求法定义：函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.第四十六页，共八十五页，2022年，8月28日第四十七页，共八十五页，2022年，8月28日定理1(必要条件)注意:例如,极值可疑点：导数为零的点，导数不存在的点(尖点).第四十八页，共八十五页，2022年，8月28日定理2(第一充分条件)(是极值点情形)第四十九页，共八十五页，2022年，8月28日证明：第五十页，共八十五页，2022年，8月28日求极值的步骤:(不是极值点情形)第五十一页，共八十五页，2022年，8月28日例1.解列表讨论极大值极小值第五十二页，共八十五页，2022年，8月28日图形如下第五十三页，共八十五页，2022年，8月28日解：第五十四页，共八十五页，2022年，8月28日第五十五页，共八十五页，2022年，8月28日定理3（第二充分条件）第五十六页，共八十五页，2022年，8月28日证明：第五十七页，共八十五页，2022年，8月28日极小值极大值第五十八页，共八十五页，2022年，8月28日定理3’(第二充分条件)第五十九页，共八十五页，2022年，8月28日例1.若直角三角形的一直角边与斜边之和为常数，求有最大面积的直角三角形；解：第六十页，共八十五页，2022年，8月28日证明：第六十一页，共八十五页，2022年，8月28日证明：第六十二页，共八十五页，2022年，8月28日第六十三页，共八十五页，2022年，8月28日解：第六十四页，共八十五页，2022年，8月28日第六十五页，共八十五页，2022年，8月28日小结极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.驻点和不可导点统称为极值可疑点.函数的极值必在极值可疑点取得.判别法第一充分条件;第二充分条件;(注意使用条件)Hw：p1733(4,5,6,8),4,5(2,4,5,7,9),6(2),7,10.第六十六页，共八十五页，2022年，8月28日二.渐近线定义:1.垂直渐近线第六十七页，共八十五页，2022年，8月28日例如有垂直渐近线两条:第六十八页，共八十五页，2022年，8月28日2.水平渐近线例如有水平渐近线两条:第六十九页，共八十五页，2022年，8月28日3.斜渐近线斜渐近线求法:第七十页，共八十五页，2022年，8月28日注意:第七十一页，共八十五页，2022年，8月28日解：第七十二页，共八十五页，2022年，8月28日解：第七十三页，共八十五页，2022年，8月28日三.函数作图1.函数基本性质：1).定义域，值域，连续范围；2).函数的奇偶性：奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称；3).周期性。第七十四页，共八十五页，2022年，8月28日2.利用导数研究函数性质：第七十五页，共八十五页，2022年，8月28日3.渐近线1).垂直渐近线；2).水平与斜渐近线。4.描点作图

第七十六页，共八十五页，2022年，8月28日解：第七十七页，共八十五页，2022年，8月28日第七十八页，共八十五页，2022年，8月28日第七十九页，共八十五页，2022年，8月28日p1887(1,3,5),8,11(2).p2294,6,8,9,10(1,4,6,7,9),12(1),13(1,3),15,20,21,30第八十页，共八十五页，2022年，8月28日列表–xyy

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对函数进行全面讨论并画图：解所以，曲线有渐近线x=00(拐点)++因––––00++3极小值+例1.0.间断点第八十一页，共八十五页，2022年，8月28日0xy3.第八十二页，共八十五页，2022年，8月28日列表–xyy

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对函数进行全面讨论并画图：解所以，曲线有渐近线y=0，因