凹凸性、渐近线、作图课件

函数的凹凸性、渐近线与作图一、函数的凹凸性二、曲线的渐近线三、函数作图2022/12/161函数的凹凸性、渐近线与作图一、函数的凹凸性二、曲线的渐近线三若在某区间内,曲线上每一点的切线都位于该曲线的下方,则称曲线在该区间内是凹的；若曲线上每一点的切线都位于该曲线的上方，则称曲线在该区间内是凸的．一、函数的凹凸性若在某区间内,曲线上每一点的切线都位于该曲线的下方,则称曲线2(a)中曲线上任意两点的割线在曲线的上方(b)中曲线上任意两点的割线在曲线的下方2022/12/163(a)中曲线上任意两点的割线在曲线的上方(b)中曲线上任意两（一）凹凸性定义2022/12/164（一）凹凸性定义2022/12/114凹曲线的一阶导数变化规律：2022/12/165凹曲线的一阶导数变化规律：2022/12/115凸曲线的一阶导数变化规律：2022/12/166凸曲线的一阶导数变化规律：2022/12/116定理1：(用二阶导数判定函数的凹凸性)（二）凹凸性的判定2022/12/167定理1：(用二阶导数判定函数的凹凸性)（二）凹凸性的判定（三）拐点定理1：（拐点必要条件）2022/12/168（三）拐点定理1：（拐点必要条件）2022/12/118定理2（拐点的充分条件）2022/12/169定理2（拐点的充分条件）2022/12/119例1.判断曲线的凹凸性.解:故曲线在上是凹的.说明：若在某点二阶导数为0,在其两侧二阶导数不变号,则曲线的凹凸性不变.例1.判断曲线的凹凸性.解:故曲线在上是凹的.说明：若在某点10求拐点的一般步骤：（2）求二阶导数；（5）求出拐点的纵坐标．（1）求函数的定义域；（3）求定义域内使二阶导数等于零

或二阶导数不存在的点；（4）检验各点两侧二阶导数的符号,如果

符号不同,该点就是拐点的横坐标；求拐点的一般步骤：（2）求二阶导数；（5）求出拐点的纵坐标．11凹、凸区间解：函数的定义域为令得是拐点．在两侧例2.求曲线及拐点．没有二阶导数不存在的点列表如下：-0+凸

拐点凹符号发生改变,则凹、凸区间解：函数的定义域为令得是拐点．在两侧例2.求曲线12解:函数的定义域为的拐点．当时，不存在．当时，在的两侧，的符号发生改变.点是该曲线的拐点．例3.求曲线当时，解:函数的定义域为的拐点．当时，不存在．当时，在的两侧，的13x=linspace(-10,10);y=nthroot(x,3);plot(x,y)2022/12/1614x=linspace(-10,10);2022/12/111的拐点．解函数的定义域为

由于在处没有定义,所以该曲线例4.求曲线没有拐点．的拐点．解函数的定义域为由于在处没有定义,所以该曲线例15ezplot('x*y=1',[-1010])2022/12/1616ezplot('x*y=1',[-1010])2022/预习：P112—115P108习题420(2)(3)21作业2022/12/1617预习：P112—115P108习题4作业20二、曲线的渐近线2022/12/1618二、曲线的渐近线2022/12/1118

曲线渐近线的分类2022/12/1619曲线渐近线的分类2022/12/11192022/12/16202022/12/1120例5.求曲线的铅直渐近线．解因为所以和是曲线的两条铅直渐近线．例5.求曲线的铅直渐近线．解因为所以和是曲线的两条铅直21ezplot('x*(x-1)*y=1',[-1010])2022/12/1622ezplot('x*(x-1)*y=1',[-1010]注意：只有当函数的定义域是无穷区间时，其曲线才有可能存在水平渐近线．2022/12/1623注意：只有当函数的定义域是无穷区间时，2022/12/112对于函数所以，是曲线的一条水平渐近线．由于2022/12/1624对于函数所以，是曲线的一条水平渐近线．由于2022/12/1(3)斜渐近线如果曲线是曲线的一条斜渐近线．则或有例子见书98页例62022/12/1625(3)斜渐近线如果曲线是曲线的一条斜渐近线．则或有例子见三、函数作图2022/12/1626三、函数作图2022/12/1126[解]2022/12/1627[解]2022/12/1127极大凹凹凸凸拐点拐点2022/12/1628极大凹凹凸凸拐点拐点2022/12/11282022/12/16292022/12/1129凹凸性、渐近线、作图课件30函数的凹凸性、渐近线与作图一、函数的凹凸性二、曲线的渐近线三、函数作图2022/12/1631函数的凹凸性、渐近线与作图一、函数的凹凸性二、曲线的渐近线三若在某区间内,曲线上每一点的切线都位于该曲线的下方,则称曲线在该区间内是凹的；若曲线上每一点的切线都位于该曲线的上方，则称曲线在该区间内是凸的．一、函数的凹凸性若在某区间内,曲线上每一点的切线都位于该曲线的下方,则称曲线32(a)中曲线上任意两点的割线在曲线的上方(b)中曲线上任意两点的割线在曲线的下方2022/12/1633(a)中曲线上任意两点的割线在曲线的上方(b)中曲线上任意两（一）凹凸性定义2022/12/1634（一）凹凸性定义2022/12/114凹曲线的一阶导数变化规律：2022/12/1635凹曲线的一阶导数变化规律：2022/12/115凸曲线的一阶导数变化规律：2022/12/1636凸曲线的一阶导数变化规律：2022/12/116定理1：(用二阶导数判定函数的凹凸性)（二）凹凸性的判定2022/12/1637定理1：(用二阶导数判定函数的凹凸性)（二）凹凸性的判定（三）拐点定理1：（拐点必要条件）2022/12/1638（三）拐点定理1：（拐点必要条件）2022/12/118定理2（拐点的充分条件）2022/12/1639定理2（拐点的充分条件）2022/12/119例1.判断曲线的凹凸性.解:故曲线在上是凹的.说明：若在某点二阶导数为0,在其两侧二阶导数不变号,则曲线的凹凸性不变.例1.判断曲线的凹凸性.解:故曲线在上是凹的.说明：若在某点40求拐点的一般步骤：（2）求二阶导数；（5）求出拐点的纵坐标．（1）求函数的定义域；（3）求定义域内使二阶导数等于零

或二阶导数不存在的点；（4）检验各点两侧二阶导数的符号,如果

符号不同,该点就是拐点的横坐标；求拐点的一般步骤：（2）求二阶导数；（5）求出拐点的纵坐标．41凹、凸区间解：函数的定义域为令得是拐点．在两侧例2.求曲线及拐点．没有二阶导数不存在的点列表如下：-0+凸

拐点凹符号发生改变,则凹、凸区间解：函数的定义域为令得是拐点．在两侧例2.求曲线42解:函数的定义域为的拐点．当时，不存在．当时，在的两侧，的符号发生改变.点是该曲线的拐点．例3.求曲线当时，解:函数的定义域为的拐点．当时，不存在．当时，在的两侧，的43x=linspace(-10,10);y=nthroot(x,3);plot(x,y)2022/12/1644x=linspace(-10,10);2022/12/111的拐点．解函数的定义域为

由于在处没有定义,所以该曲线例4.求曲线没有拐点．的拐点．解函数的定义域为由于在处没有定义,所以该曲线例45ezplot('x*y=1',[-1010])2022/12/1646ezplot('x*y=1',[-1010])2022/预习：P112—115P108习题420(2)(3)21作业2022/12/1647预习：P112—115P108习题4作业20二、曲线的渐近线2022/12/1648二、曲线的渐近线2022/12/1118

曲线渐近线的分类2022/12/1649曲线渐近线的分类2022/12/11192022/12/16502022/12/1120例5.求曲线的铅直渐近线．解因为所以和是曲线的两条铅直渐近线．例5.求曲线的铅直渐近线．解因为所以和是曲线的两条铅直51ezplot('x*(x-1)*y=1',[-1010])2022/12/1652ezplot('x*(x-1)*y=1',[-1010]注意：只有当函数的定义域是无穷区间时，其曲线才有可能存在水平渐近线．2022/12/1653注意：只有当函数的定义域是无穷区间时，2022/12/112对于函数所以，是曲线的一条水平渐近线．由于2022/12/1654对于函数所以，是曲线的一条水平渐近线．由于2022/12/1(3)斜渐近线如果曲线是曲线的一条斜渐近线．则或有例子见书98页例