初中数学人教九年级上册第二十四章圆富顺二中叶志海的圆周角PPT

足球训练场上教练在球门前划了一个圆圈，进行无人防守的射门训练，如图，小明、小强两名同学分别站在圆上A、D两处，他们争论不休，都说自己所在位置，射门角度大，射门的机率高。如果你是教练，请评一评他们两个人，如果仅从射门角度的大小考虑，谁的位置射门更有利？ADBCO比较∠BAC与∠BDC大小？小明小强问题引入

问题1

什么叫圆心角？指出图中的圆心角？

顶点在圆心的角叫圆心角,

∠BOC.问题2

如图，∠BAC的顶点和边有哪些特点?A

∠BAC的顶点在☉O上，角的两边分别交☉O于B、C两点.复习引入你能类比圆心角的定义给圆周角下个定义吗?.OBCA特征：①角的顶点在圆上.圆周角定义:

顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角.②角的两边都与圆相交.（注意：两个条件必须同时具备，缺一不可）概念归纳·COAB·COB·COBAA·COAB·COB·COBAA判一判：下列各图中的∠BAC是否为圆周角并简述理由.（2）（1）（3）（5）（6）顶点不在圆上顶点不在圆上边AC没有和圆相交√√√如图，连接BO,CO,得圆心角∠BOC.试猜想∠BAC与∠BOC存在怎样的数量关系.测量与猜测：性质探究一条弧所对的圆周角与圆心角之间的关系

思考:同一条弧所对的圆心角和圆周角之间，圆心与这个圆周角有哪几种位置关系？画图说明圆心O在∠BAC的内部圆心O在∠BAC的一边上圆心O在∠BAC的外部同一条弧所对的圆心角与圆周角，圆心与圆周角的位置有三种位置关系：圆心O在∠BAC的一边上（特殊情形）OA=OC∠A=∠C∠BOC=∠A+∠C推导论证OABDOACDOABCD圆心O的内部在∠BACOACDOABD探索活动作直径ADOABDCOADCOABDCOADOABDCOADOABD圆心O在∠BAC的外部探索活动作直径AD性质归纳圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半。几何语言：由圆周角定理，得问题1

如图，OB，OC都是⊙O的半径，点A,D是上任意两点，连接AB，AC，BD，CD.∠BAC与∠BDC相等吗？请说明理由.D∴∠BAC=∠BDC相等互动探究结论：同弧所对的圆周角相等.DABOCEF问题2

如图，若弧CD=弧EF，∠A与∠B相等吗？相等∵弧CD=弧EF，

∵∠A＝∠COD,∠B＝∠EOF.∴

∠A＝∠B结论：等弧所对的圆周角相等.互动探究圆周角定理推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等.性质归纳A1A2A3

在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对弧___________．·CBOAFGE（（相等性质归纳可否删掉“在同圆或等圆中”这个条件？

试一试：1.如图，点A、B、C、D在☉O上，点A与点D在点B、C所在直线的同侧，∠BAC=35º.(1)∠BOC=

º，理由是

;(2)∠BDC=

º，理由是

.7035同弧所对的圆周角相等一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

足球训练场上教练在球门前划了一个圆圈，进行无人防守的射门训练，如图，小明、小强两名同学分别站在圆上A、D两处，他们争论不休，都说自己所在位置，射门角度大，射门的机率高。如果你是教练，请评一评他们两个人，如果仅从射门角度的大小考虑，谁的位置射门更有利？ADBCO比较∠BAC与∠BDC大小？小明小强依据同弧所对圆周角相等，得∠BAC=∠BDC，所以两人的射门机率相同。解决问题想一想如图，线段AB是☉O的直径，点C是☉O上的任意一点（除点A、B外），那么，∠ABC就是直径AB所对的圆周角，想一想，∠ACB会是怎样的角？·OACB解：∵OA=OB=OC，∴△AOC、△BOC都是等腰三角形.∴∠OAC=∠OCA，∠OBC=∠OCB.又∵∠OAC+∠OBC+∠ACB=180°.∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=180°÷2=90°.1.半圆或直径所对的圆周角等于多少度？

2．90°的圆周角所对的弦是否是直径？圆周角和直径的关系圆周角定理推论2:半圆或直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.·AC1OC2C3性质归纳B试一试：2.如图，AB是☉O的直径，∠A=80°.则∠ABC=

.OCAB10°例1

如图,AB是⊙O的直径,弦CD交AB于点P,∠ACD=60°,∠ADC=70°.求∠APC的度数..OADCPB解:连接BC,则∠ACB=90°,∠DCB＝∠ACB－∠ACD＝90°－60°=30°.∵∠BAD=∠DCB=30°,∴∠APC=∠BAD＋∠ADC＝30°＋70°＝100°.典例精析例2如图，⊙O直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长．又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，解：∵AB是直径，∴∠ACB=∠ADB=90°．在Rt△ABC中，∵CD平分∠ACB，∴AD=BD.典例精析圆心角类比圆周角圆周角定义圆周角定理及其推论课堂小结同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。1.顶点在圆上，2.两边都与圆相交（二者必须同时具备）圆周角与直径的关系半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）；90°的圆周角所对的弦是直径。.数学思想：类比、分类讨论、转化1.判断（1）同一个圆中等弧所对的圆周角相等（）（2）相等的弦所对的圆周角也相等（）（3）同弦所对的圆周角相等（）（4）90。的角所对的弦是直径（）√××当堂训练×OABC完成下列填空：

∠1=

.∠2=

.∠3=

.∠5=

.2.如图，点A、B、C、D在同一个圆上，AC、BD为四边形ABCD的对角线.∠4∠8∠6∠73.已知圆心角∠AOB=100°,点C

在⊙O上，则圆周角∠ACB=

.130°或50°4.如图，△ABC的顶点A、B、C都在⊙O上，∠C＝30°，AB＝2，则⊙O的半径是

.CABO解：连接OA、OB∵∠C=30°，∴∠AOB=60°又∵OA=OB，∴△AOB是等边三角形∴OA=OB=AB=2，即半径为2.25.如图AB是⊙O的直径,C,D是圆上的两点,若∠ABD=40°,则∠BCD=＿＿＿＿＿.ABOCD40°50°如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的圆交BC于D,交AC于E,(1)BD与CD的大小有什么关系?为什么?(2)求证：弧BD=弧DE

.ABCDE∵AB是圆的直径，点D在圆上，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BC，∵AB=AC，∴BD=CD.∵AD平分顶角∠BAC，即∠BAD=∠CAD，（同圆中相等的圆周角所对弧相等）.解:BD=CD.理由是:连接AD,拓展提升课时作业A层（基础题）⑴如图所示，A、B、C三点在⊙O上，∠BOC=100o，则∠BAC=

度，∠BDC=

度.⑵如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，∠D=25°，则∠AOC=

⑶如图，已知AB=AC=2cm,∠BDC=60°，则△ABC的周长是

。⑷如图：∠A是⊙O的圆周角，∠A=40°，求∠OBC的度数.

（5）如图，用直角曲尺检查半圆形的工件，哪个是合格的？为什么？（6）如图，你能用三角尺确定一张圆形纸片的圆心吗？有几种方法？B层（中等题）（1）在⊙O中，∠BOC=100o，则弦BC所对的圆周角是

度.（2）如图，AD是⊙O直径，弧BC=弧CD，∠A=30°，求∠B的度数.

C层（提高题