2022高考数学：立意新颖界定明确有效区分-2022全国新高考1卷数学评析

全国新高考1卷数学评析向功能。有效区分，让不同水平的学生高低立显。[1]”这是命题研究组对2022全国新高考12022全国新高考1卷数学的试题教学，这种感触逐步加深。2022全国数学高考落下帷幕，命题研究组通过研题、试讲、回顾、反思，对2022年全国新高考1卷数学题，深受启发，特撰写此文。立意新颖，不为题海战术开方便之门2022全国高考数学试题颇具江苏特色。譬如：选择题压轴题第8题，解答题压轴题第21题等。选择题第8题及其出题背景研究该题为2016年江苏高考试题第17效区分”。命题研究组研究员在给高一学生讲解第8题时，发现：有高一学生，采用“极端思想”，求得答案为B。实则答案为。参考答案：V144(sincos2)2；注意到11sinsin2cos222(sin2cos)2sin4cos2sin2sin22cos2()32234274V144(sincos2)2，故，答案选C，而非。3本题题源是教材习题，改编自2016年江苏高考第17题。教材习题求函数ysin2cos)的最大值。

(02试题修改对教材习题进行处理，将符号语言转换成图像语言。可以有两种处理1方向：处理成侧棱长为1，高线长未知的正四棱锥的体积；处理成母线长为1，高线长未知的圆锥的体积。为使得处理的情况具有一般性，将侧棱长为1”、母线长为1”均改为长为a”.（1）按处理方向处理，形成1稿.1稿已知一正四棱锥P的高为1BCD111,侧棱长为a(a，记1，求其体积V的最大值及此时1)(012的长。1232提示：Vcos，cosaPO1a32稿现要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分形状为正四棱锥Pa(a0)AO,下部分形状为正四1BCD1111棱柱，其底面正方形的中心为O,要求正四棱柱的高OO1BCD1是正四棱111锥的高的k(k倍，求仓库容积V最大时PO的长.1122稿分析：记A(0)，则V(2k)a3sin2cos；注意到112311sinsin2cos222(sin2cos)2sin4cos2sin2sin22cos2()32234273，当且仅当sin22cos2，即cos时，等号成立；342232

3aaV(2k)a3(2k)a1.2016年江苏高考第173273933题为2稿的特例（高考题为ak4的情况，123PO,V4163）（2）按处理方向处理，形成问题变式.变式现要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分形状是顶点为P,底面圆圆心为Oa(a，下部分形状是底面圆面积与上部分圆锥1的底面圆面积相等的圆柱，其下底面圆圆心为O，要求圆柱的高O是圆锥的高的k(k0)倍，求仓库容积V最大时1PO的长.1注：该例为笔者文章“[2]例谈高中数学教材试题的衍生——以江苏高考数学试题命制为例[J].文理导航(中旬),2017,(02)”2有很多，譬如：《拓展阅读1：2019江苏19题第3问及其新解法》解答题第21题及其出题背景研究2022年全国卷第21感熟悉。其出题背景为：“当点(,n)(n0)在曲线上时，过点A作两条斜率互为PPQ这让笔者联想到20092018年江苏高中联赛复赛解答题第3见《拓展阅读2》）y原题如下：CA（2009年江苏高中联赛复赛解答题第3题）如图，抛物线Py22x及点P1，过点P的不重合的直线l、l与此抛物线分别交12OxDBA，B，C，DA，B，C，D四点共圆的充要条件是l与l的倾斜角互补．122018年江苏高中联赛复赛解答题第3题）在平面直角坐标系圆xy22M:1P(2,2)作直线1,2与椭圆M分别交于,B和C,D63ll1,2率互为相反数.1）证明：；2）记直线AC,的斜率分别为1,k2，求证：kk为定值.12引理过不在曲线上的点P(,n)作两条直线ll分别与椭圆1,2xy22E:ab0)交于ab223,B和C,D两点，且直线1,2的倾斜角,互补，则．xmtcos,证明：设过点P(,n)倾斜角为的直线参数方程为yntsin,(t为参数)，与椭圆E联立方程组，整理得：(abtabtanbmab，2222222222222anbmab222222＝．同理可得a2sin2b2cos2anbmab222222＝，a2sin2b2cos2故成立．sin,互补．加条件“两条直线倾斜角互补”，椭圆中的“割线定理”才能成立．P在椭圆xy22E:ab0)的内部时，即为相交弦定理；ab22P在椭圆xy22E:ab0)的外部时，即为割线定理；ab22P(,n)(nP个交点分别为,C，则直线AC的斜率为定值．（2022年全国1卷第21题出题背景）若曲线为椭圆xy22E:ab0)ab22kACbm2；an2若曲线为椭圆xy22E:ab0)ab22kACbm2；an2若曲线为抛物线E:y22(pkACp；n推论1：过点P(,n)作两条直线ll分别与椭圆1,2xy22E:ab0)交于,B和ab22C,D两点，且直线1,2的斜率1,k2互为相反数，则．2P(,n)作两条直线1,2分别与双曲线xy22E:ab0),Bab22与,D两点，且直线1,2的斜率1,k2互为相反数，则．3P(,n)作两条直线1,2ll分别与抛物线E:y22(pA,B与C,D两点，且直线1,2ll的斜率kk互为相反数，则．1,24界定明确，对一线教师的教学有导向功能“基础题送分到位，中档题多题把关，难题有效区分。”选择题第62021~2022年模考卷中常型。参考答案：C类似考题：1216平的学生。5有效区分，让不同水平的学生高低立显2022年全国1卷第2211222题取得满分，实属凤毛麟角了。参考文献[1]刘蒋巍.一道高中数学联赛模拟题的命制与解析[J].中学数学教学参考,2018(07):60-61.[2]例谈高中数学教材试题的衍生——以江苏高考数学试题命制为例[J].文理导航中旬),2017,(02)6拓展阅读1：《2019江苏19题第3问及其新解法》设函数f(x)(xa)(xb)(xc),a,b,cR、f'(x)为（x）的导函数．若a0,0c1，且fx）的极大值为M，求证M≤4．（3）ac1，所以f(x)x(xb)(xx3bx2，f'(x)3xbxb．20b1，所以4(b2b(2b230，则f'(x)有2个不同的零点，设为1,212．由f'(x)0b1bb1b1bb122x,x．1233列表如下：x(,x)1xxx1,21x2(x,)2f'(x)+0–0+fx极大值极小值()f(x)的极大值Mfx．1解法三：注意到：当)21cos2sin42cos2sin2sin2212cossinsin222(23)34，273当且仅当sin222cos时，等号成立；3令xcos2(4xx)2；0b1，所以1．4Mf1)xbxx)x(x)．(12111117《拓展阅读2：2009年、2018年江苏高中联赛复赛解答题第3题》2009年江苏高中联赛复赛解答题第3题）如图，抛物线y22xP1，P的不重合的直线l、l与此抛物线分别交于点A，B，C，DA，B，C，12D四点共圆的充要条件是直线l与l的倾斜角互补．12y解设l的倾斜角分别为、，由题设知l、12AC、0,.易知直线l的参数方程为1PxOx1ty1tsin，DB代入抛物线方程可化得t2sin22sincost10.设上述方程的两根为1.sin2t、1t，则21tt.由参数t的几何意义，得122sin1CP.sin2若A、B、C、D四点共圆，则APBPCPsin2sin2.因为、0,，所以sinsin.l、l不重合，则.所以.12反过来，若，则因、0,sinsin，且0，0.11.sinsin22故A、B、C、D四点共圆.（2018年江苏高中联赛复赛解答题第3题）在平面直角坐标系中，已知椭圆xy22MP(2,作直线1,2与椭圆M分别交于,B和C,Dll的斜率:11,2

63互为相反数.1）证明：；2）记直线AC,的斜率分别为kk，求证：1,2kk为定值.128P(2,2)l的斜率为kl的12斜率为kA(x,y),B(x,y)1122,C(x,y),D(x,y)．3344故直线l的方程为：y2k(xy2k，与椭圆联立方程组，整理得：1(2kxk(2k)xkk20，222k(kk16k22xx,xx1221222k12k1k)(x2)(xk)(xx2xx221212