求线段比的多种方法(含答案解析)

求线段的比的方法一、利用相似三角形求线段比例题1、如图，在正三角形ABC的边BC、CA上分别有点E、F，且满足BE=CF=,,当平分时，则的值为（）在题目现有的条件中，很难找到等量关系.于是由线段比我们联想到相似三角形的相似比，能否构造相似三角形，利用相似比建立等量关系.那么让我们来添加辅助线.容易知道，题目中的点D是线段AE的中点.结合相似三角形的一些基本图形、基本知识，由中点自然想到三角形的中位线.于是过点D作EC的平行线交AC于点M,此时DM是的中位线.这时图中有两对相似三角形：，利用前一对相似三角形很容易得到,而在第二对相似三角形中，，代入相关数据整理得到，解得.类似地，以为第三边构造相似三角形的中位线：过D作AC的平行线交EC于点M,同样出现两对相似三角形，思路同上.另一方面，也可以构造以线段DF为中位线的三角形.方法：过点E作EM//DF交AC于点M.这三种添加辅助线的方法共同点是：过某个点作某个线段的平行线，从而出现两对相似三角形，并且在某个三角形中含有中位线，具备特殊的数量关系.猜想：是不是只要过某个顶点作某条线段的平行线，都可以解决这个问题？考虑到做平行线后要出现两对相似三角形（全等是特殊的相似），而且能够充分利用题目条件表达出等量关系解决问题，经过筛选，最后得到如下作辅助线的方法（都是平行线）.方法1方法2方法3方法4方法5方法6方法7方法8方法9说明：相对于前七种方法，方法八、九做起来更容易.因为通过构造全等三角形实现了已知长度的线段（ＡＦ或ＢＥ）的转移，而这条线段正好出现在相似三角形中，这就为表示相似比提供了方便.总结：这九种方法实质上是体现了下面的基本图形、基本数量关系.如图１，三角形ABC，点D是射线BA上的一个动点，过点D作DE//BC交射线CA于点E,则有：（1）即；（2）特殊地，若点D是AB的中点，则点E是AC的中点，即DE是三角形ABC的中位线，此时有AD=DB,AE=EC,BC=2DE.（3）若点D在线段BA的延长线上，并且有DA=AB,此时.基本图1二、面积法解：（面积法）如图，连接CD.由等比性质可得，即（1）又即（2）由（1）（2）可得：

整理得：结合解得总结：这种面积法所包含的基本图形、基本数量如下.如图基本图2，三角形ABC，点D是BC边上的一个动点，设BD=b,CD=c.基本图2则（1）（2）特殊地，当点D是BC的中点时，有.练习题：一．选择题（共3小题）1．如图，△ABC中，D为BC中点，E为AD的中点，BE的延长线交AC于F，则为（）A．1：5B．1：4C．1：3D．1：22．如图，已知△ABC，，，AD、BE交于F，则的值是（）A．B．C．D．3．如图，△ABC中，E、D是BC边上的三等分点，F是AC的中点，BF交AD、AE于G、F，则BG：GH：HF等于（）A．1：2：3B．3：5：2C．5：3：2D．5：3：1二．填空题（共4小题）4．如图，△ABC中，点D在BC上，点E在AD上，连结BE并延长，与边AC相交于点F，且，则=_________．5．已知点D，E，F分别在△ABC的三边BC，CA，AB上，G为BE与CF的交点，并且BD=DC=CA=AF，AE=EC=BF，那么的值等于_________．6．如图，AD是BC边上的中线，F是AD上一点，CF的延长线交AB于点E，若，则=_________；若，则=_________．7．（2011•浙江模拟）如图，直角梯形ABCD中，∠BCD=90°，AD∥BC，BC=CD，E为梯形内一点，且∠BEC=90°，将△BEC绕C点旋转90°使B与D重合，得到△DCF，连EF交CD于M．已知BC=5，CF=3，则DM：MC的值为_________．三．解答题（共23小题）8．（2009•沈阳模拟）△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是BC的中点，把一个三角板的直角顶点放在点D处，将三角板绕点D旋转且使两条直角边分别交AB、AC于E、F．（1）如图1，观察旋转过程，猜想线段AF与BE的数量关系并证明你的结论；（2）如图2，若连接EF，试探索线段BE、EF、FC之间的数量关系，直接写出你的结论（不需证明）；（3）如图3，若将“AB=AC，点D是BC的中点”改为：“∠B=30°，AD⊥BC于点D”，其余条件不变，探索（1）中结论是否成立？若不成立，请探索关于AF、BE的比值．9．（2013•阜宁县一模）在数学学习和研究中经常需要总结运用数学思想方法．如类比、转化、从特殊到一般等思想方法，如下是一个案例，请补充完整．题目：如图1，在平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，点F在线段AE上，BF的延长线交射线CD于点G，若，求的值．（1）尝试探究在图1中，过点E作EH∥AB交BG于点H，则易求的值是_________，的值是_________，从而确定的值是_________．（2）类比延伸如图2，在原题的条件下，若（m＞0），则的值是_________．（用含m的代数式表示），写出解答过程．（3）拓展迁移如图3，在梯形ABCD中，DC∥AB，点E是BC延长线上的一点，AE和BD相交于F，若，（a＞0，b＞0），则的值是_________．（用含a、b的代数式表示）写出解答过程．10．（2011•青浦区一模）如图，在△ABC中，点D是AB上的一点，过点D作DE∥BC交边AC于点E，过点E作EF∥DC交AD于点F．已知AD=2cm，AB=（1）的值；（2）的值．11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC的中点，DE的延长线与BC的延长线交于点F．（1）求证：；（2）若，求的值．12．已知△ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，且，CD交BE于O，连AO并延长交BC于F．（1）当时，求的值；（2）当n=1时，求证：BF=CF；（3）当n=_________时，O为AF中点．13．（2011•门头沟区二模）如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，且点G在矩形ABCD的内部，延长BG交DC于点F．若DC=2DF，则=_________；若DC=nDF，则=_________（用含n的式子表示）．14．在△ABC中，已知AB＞AC，AD平分∠BAC交BC于点D，点E在DC的延长线上，且，过E作EF∥AB交AC的延长线于F．（1）如图1，当k=1时，求证：AF+EF=AB；（2）如图2，当k=2时，直接写出线段AF、EF、AB之间满足的数量关系：_________；（3）如图3，当时，请猜想线段AF、EF、AB之间满足的数量关系（含k），并证明你的结论．15．（1）如图1，ABCD是一个正方形花园，要在边AD、DC的E、H处开两个门，且DE=CH，要修建两条小路BE、AF．那么这两条小路长度和位置各有什么关系？并证明你的结论；（2）如图2，在（1）的图形中，如果要在正方形四边E、H、F、G处各开一个门，并用小路EF、HG连接起来，如果EF⊥GH，求的值；（3）把（2）中的正方形改为矩形，如图3，AB=a，AD=b，其它条件不变，求的值．16．如图，▱ABCD中，E是AB的中点，在AD上截取2AF=FD，EF交AC于G，求的值．17．如图，F是平行四边形ABCD的边AD上一点，CF交BA的延长线于点E，若，AB=4，求AE的长．18．如图，正方形ABCD，P为BC边上一点，以AP为斜边在正方形ABCD内作等腰Rt△APQ，连接AC交PQ于点E，连接DQ．（1）求证：△ACP∽△ADQ；（2）当P为BC的中点时，求的值；（3）在（2）的条件下，求证：EQ=DQ．19．如图，在正方形ABCD中，点P是BC边上一点（不与点B，C重合），连接PA，将线段PA绕点P顺时针旋转90°得到线段PE，PE交边DC于点F，连接CE，AF．（1）求证：△ABP∽△PCF；（2）当的值等于多少时，△APF∽△PCF？请说明理由；（3）当CP=CE时，求cot∠EPC的值．20．2012.惠安县如图，在矩形ABCD中，P是BC边上一点，连接DP并延长，交AB的延长线于点Q，（1）若，求的值．（2）若P为BC边上的任意一点，求证：．21．（2013•浦东新区一模）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，连接AE并延长，交对角线BD于点F、DC的延长线于点G，如果．求的值．22．如图，矩形ABCD中，AD=nAB，E是AB的中点，BF⊥EC于F，连接FD，FG⊥FD交直线BC于点G．（1）求证：△FBG∽△FCD；（2）当n=1时，求CG：BC的值；（3）当CG：BC=7：8时，求n的值．23．如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AD交AB于点E，M为AE的中点，BF⊥BC交CM的延长线于点F（1）求证：．（2）若BD=4，CD=3，求BE•AC的值．24．（2010•武昌区模拟）已知如图，△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，D是BC边上一点，DE⊥AC于E，连BE交AD与F．（1）如果，求的值；（2）如果，求的值；（3）如果，直接写出的值．25．△ABC中，D、E分别为BC、AC边上的动点，BD=mCD，AE=nEC，AD与BE相交于点O．（1）如图1，当m=2，n=1时，=_________，=_________；（2）当m=1.5时，求证：；（3）如图2，若CO的延长线交AGB于点F，当m、n之间满足关系式_________时，AF=2BF．（直接填写结果，不要求证明）26．如图1，D是△ABC的边BC上一点，AH⊥BC于H，S△ABD=BD•AH，S△ADC=DC•AH，则，因此，利用三角形的面积比可以来表示两条线段的比，甚至用三角形面积的比来证明与线段比有关的命题．请解决下列问题：已知：如图2，直线l与△ABC的边AB、AC交于D、F，与BC的延长线交于E，连接BF、AE．（1）求证：；（2）求证：••=1．27．已知，如图1，直角梯形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=nAD，AE⊥BD于点E，过E作CE的垂线交直线AB于点F．（1）当n=4时，则=_________，=_________；（2）当n=2时，求证：BF=AF；（3）如图2，F点在AB的延长线上，当n=_________时，B为AF的中点；如图3，将图形1中的线段AD沿AB翻折，其它条件不变，此时F点在AB的反向延长线上，当n=_________时，A为BF的中点．28．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC边上一动点，BD=nCD，CE⊥AD于F，交AB于E．（1）若n=1，则=_________．=_________．（2）若n=2，求的值．（3）当n=_________时，=．29．如图，已知点E是矩形ABCD的边CB延长线上一点，且CE=CA，连接AE，过点C作CF⊥AE，垂足为点F，连接BF、FD．（1）求证：△FBC≌△FAD；（2）连接BD，若，且AC=10，求FC的值．30．在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠BCD=60°，AD=CD．（1）如图1，连接AC，求证：AC是∠BCD的角平分线；（2）线段BC上一点E，将△ABE沿AE翻折，点B落到点F处，射线EF与线段CD交于点M．①如图2，当点M与点D重合时，求证：FM=AB；②如图3，当点M不与点D重合时，求证：FM﹣DM=AB．

参考答案与试题解析一．选择题（共3小题）1．如图，△ABC中，D为BC中点，E为AD的中点，BE的延长线交AC于F，则为（）A．1：5B．1：4C．1：3D．1：2考点：相似三角形的判定与性质．分析：过D作BF的平行线，交AC边于G，即：DG∥BF，又D为BC中点可得出：△CDG∽△CBF，即：==，CG=FC=FG；同理可得：△AEF∽△ADG，AF=AG=FG，所以AF=FG=GC，即：==．解答：解：过D作BF的平行线，交AC边于G，如下图所示：∵D为BC中点，DG∥BF∴∠CGD=∠CFB又∵∠C=∠C∴△CDG∽△CBF∴==，即：CG=CF=FG又E为AD的中点，BE的延长线交AC于F，DG∥BF同理可得：△AEF∽△ADG∴==，即：AF=AG=FG∴AF=FG=GC∴===1：2故选：D．点评：本题主要考查相似三角形的判定与性质，关键在于找出条件判断两个三角形相似，再运用相似三角形的性质求解．2．如图，已知△ABC，，，AD、BE交于F，则的值是（）A．B．C．D．考点：平行线分线段成比例；相似三角形的性质．分析：先过E作EG∥BC，交AD于G，再作DH∥AC交BE于H，由平行线分线段成比例定理的推论，再结合已知条件，可分别求出和的值，相乘即可．解答：解：作EG∥BC交AD于G，∵，，∴=，∴=，∴=，∴=．作DH∥AC交BE于H，则DH=CE=AE，∴==，∴=×=．故选C．点评：此题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等，解题时要注意比例式的变形．3．如图，△ABC中，E、D是BC边上的三等分点，F是AC的中点，BF交AD、AE于G、F，则BG：GH：HF等于（）A．1：2：3B．3：5：2C．5：3：2D．5：3：1考点：平行线分线段成比例；三角形中位线定理．分析：作FM∥BC交AE于点M，则根据△BEH∽△FMH，利用BF表示出HF的长度，作DN∥AC交BF于点N，则△BDN∽△BCF且△DNG∽△AFG，依据△BDN∽△BCF可以用BF表示出BN的长，然后依据△DNG∽△AFG表示出NG的长，则BG，GM，HF都可以利用BF表示出来，则比值即可求解．解答：解：设BC=6a，则BD=DE=EC=2a，作FM∥BC交AE于点M，∵F是AC的中点，∴MF=EC=a，∵FM∥BC，∴△BEH∽△FMH，∴===，则HF=BF，作DN∥AC交BF于点N，设AC=2b，则AF=CF=b，∴△BDN∽△BCF，∴====，∴DN=CF=b，BN=BF，∵DN∥AC，∴△DNG∽△AFG，∴===，∴NG=GF，即NG=NF=（BF﹣BN）=（BF﹣BF）=BF，∴BG=GF+GF=BF，∴GM=BF﹣BG﹣HF=BF﹣BF﹣BF=BF，∴BG：GH：HF=BF：BF：BF=5：3：2．故选C．点评：本题考查了三角形的形似的判定与性质，正确利用相似三角形的性质，利用BF把BG，GM，HF表示出来是关键．二．填空题（共4小题）4．如图，△ABC中，点D在BC上，点E在AD上，连结BE并延长，与边AC相交于点F，且，则=．考点：平行线分线段成比例．分析：先过D作DG∥AC，根据已知得出=，再设EG=x，则EF=2x，GF=3x，再根据=，求出BG和BE的值，即可得出的值．解答：解：过D作DG∥AC交BF于G，∵，∴=，设EG=x，则EF=2x，GF=3x，∵=，∴=，∴BG=1.5x，∴BE=2.5x，∴==；故答案为：．点评：本题主要考查了平行线分线段成比例定理，关键是作出辅助线，表示出BE，EF的长．5．已知点D，E，F分别在△ABC的三边BC，CA，AB上，G为BE与CF的交点，并且BD=DC=CA=AF，AE=EC=BF，那么的值等于．考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；三角形中位线定理．专题：计算题．分析：过E作AB的平行线交CF于M点，则EM是△AFC的中位线，M是中点，利用AAS求证△BFG≌△EMG然后得EM=BF，所以BG=GE，G是BE的中点，而D是BC的中点，所以DG是△BEC的中位线，然后即可得出答案．解答：解：过E作AB的平行线交CF于M点，∴EM是△AFC的中位线，M是中点，∴EM=AF=BF，∴△BFG≌△ENG，∴BG=GE，即G是BE的中点，又∵BD=DC，∴DG是△BEC的中位线，∴DG=CE=BD=BC．故答案为：点评：此题主要考查学生对相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理和全等三角形的判定与性质的理解和掌握，解得此题的关键是作“过E作AB的平行线交CF于M点”这一辅助线，然后求证出DG是△BEC的中位线，这是此题的突破点．6．如图，AD是BC边上的中线，F是AD上一点，CF的延长线交AB于点E，若，则=1：6；若，则=1：2n．考点：平行线分线段成比例．专题：应用题．分析：可过点D作GD∥EC交AB于G，由中位线定理可得BG=GE，进而可得AE与BE的比值，当其比值为时，亦可得出结论．解答：解：过点D作GD∥EC交AB于G，∵点D是BC的中点，∴==1，即BG=GE，又∵GD∥EC，∴==，∴=．同理，当，则=．故答案为：，．点评：本题主要考查了平行线分线段成比例的性质问题，能够利用其性质求解一些简单的计算问题．7．（2011•浙江模拟）如图，直角梯形ABCD中，∠BCD=90°，AD∥BC，BC=CD，E为梯形内一点，且∠BEC=90°，将△BEC绕C点旋转90°使B与D重合，得到△DCF，连EF交CD于M．已知BC=5，CF=3，则DM：MC的值为4：3．考点：直角梯形；旋转的性质．专题：证明题．分析：由旋转的性质易得△BEC≌△DFC，可得∠EBC=∠FDC，CE=CF=3，在直角三角形BEC中即可求得BE=4；已知∠BCD=90°，由∠EBC+∠ECB=90°，且∠BCE+∠ECM=90°，即可得∠EBC=∠ECM，则∠ECM=∠FDC；则可证得△CME∽△DMF即可得DM：MC=DF：CE即可得解．解答：解：连接DF，∵△BEC绕C点旋转90°使B与DC重合，得到△DCF，∴△BEC≌△DFC，∴∠EBC=∠FDC①，BE=DF，CE=CF=3，在直角三角形BEC中，BE==4；已知∠BCD=90°，∠BEC=90°，∴∠EBC+∠ECB=90°，∠BCE+∠ECM=90°，∴∠EBC=∠ECM②，∴由①②得∠ECM=∠FDC；又∵∠CME=∠DMF，∴△CME∽△DMF，∴DM：MC=DF：CE=4：3．故答案为：4：3．点评：本题考查了旋转的性质，直角梯形的性质，相似三角形的判定及性质等知识点，是一道综合性的中档题．三．解答题（共23小题）8．（2009•沈阳模拟）△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是BC的中点，把一个三角板的直角顶点放在点D处，将三角板绕点D旋转且使两条直角边分别交AB、AC于E、F．（1）如图1，观察旋转过程，猜想线段AF与BE的数量关系并证明你的结论；（2）如图2，若连接EF，试探索线段BE、EF、FC之间的数量关系，直接写出你的结论（不需证明）；（3）如图3，若将“AB=AC，点D是BC的中点”改为：“∠B=30°，AD⊥BC于点D”，其余条件不变，探索（1）中结论是否成立？若不成立，请探索关于AF、BE的比值．考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；旋转的性质．分析：（1）作辅助线：连接AD，利用等腰三角形中的三线合一，即可证得AD=BD=DC=BC，∠ADB=∠ADC=90°，又由同角的余角相等，证得∠5=∠4，则可得△BDE≌△ADF，则AF=BE；（2）由（1）可得AF=BE，AE=CF，又由勾股定理，易得EF2=BE2+FC2；（3）可证得有两角对应相等，所以可得△BDE∽△ADF，利用三角函数即可求得比值．解答：（1）结论：AF=BE．证明：连接AD，∵AB=AC，∠BAC=90°，点D是BC的中点，∴AD=BD=DC=BC，∠ADB=∠ADC=90°，∴∠B=∠C=∠1=∠2=45°．∴∠3+∠5=90°．∵∠3+∠4=90°，∴∠5=∠4，∵BD=AD，∴△BDE≌△ADF．∴BE=AF．（2）根据（1）可得BE=AF，所以AB﹣BE=AC﹣AF，即AE=FC，∵∠BAC=90°，∴EF2=AF2+AE2，∴EF2=BE2+FC2．（3）（1）中的结论BE=AF不成立∵∠B=30°，AD⊥BC于点D，∠BAC=90°，∴∠3+∠5=90°，∠B+∠1=90°．∵∠3+∠4=90°，∠1+∠2=90°∴∠B=∠2，∠5=∠4．∴△BDE∽△ADF．∴．点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质．此题图形变化很多，而且图形复杂，属于中等难度的题目，解题时要注意数形结合思想的应用．9．（2013•阜宁县一模）在数学学习和研究中经常需要总结运用数学思想方法．如类比、转化、从特殊到一般等思想方法，如下是一个案例，请补充完整．题目：如图1，在平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，点F在线段AE上，BF的延长线交射线CD于点G，若，求的值．（1）尝试探究在图1中，过点E作EH∥AB交BG于点H，则易求的值是3，的值是2，从而确定的值是．（2）类比延伸如图2，在原题的条件下，若（m＞0），则的值是．（用含m的代数式表示），写出解答过程．（3）拓展迁移如图3，在梯形ABCD中，DC∥AB，点E是BC延长线上的一点，AE和BD相交于F，若，（a＞0，b＞0），则的值是ab．（用含a、b的代数式表示）写出解答过程．考点：相似形综合题．分析：（1）过E点作平行线，构造相似三角形，利用相似三角形和中位线的性质，分别将各相关线段均统一用EH来表示，最后求得比值；（2）先作EH∥AB交BG于点H，得出△EFH∽△AFB，即可得出==m，再根据AB=CD，表示出CD，根据平行线的性质得出△BEH∽△BCG，即可表示出=，从而得出的值；（3）先过点E作EH∥AB交BD的延长线于点H，得出EH∥AB∥CD，根据EH∥CD，得出△BCD∽△BEH，即可求出CD=bEH，再根据，得出AB=aCD=abEH，再进一步证出△ABF∽△EHF，从而得出的值．解答：解：（1）过点E作EH∥AB交BG于点H，则有△ABF∽△HEF，∴=，∴AB=3EH．∵平行四边形ABCD中，EH∥AB，∴EH∥CD，又∵E为BC中点，∴EH为△BCG的中位线，∴CG=2EH，∴===．故答案为：3，2，．（2）作EH∥AB交BG于点H，则△EFH∽△AFB，∴==m，∴AB=mEH．∵AB=CD，∴CD=mEH．∵EH∥AB∥CD，∴△BEH∽△BCG．∴==2，∴CG=2EH．∴==．故答案为：．（3）过点E作EH∥AB交BD的延长线于点H，则有EH∥AB∥CD，∵EH∥CD，∴△BCD∽△BEH，∴==b，∴CD=bEH．又=a，∴AB=aCD=abEH．∵EH∥AB，∴△ABF∽△EHF，∴===ab；故答案为：ab．点评：此题考查了相似性的综合，用到的知识点是相似形的判定与性质、平行四边形的性质、中位线的性质，解题的关键是根据题意画出图形，再根据有关性质和定理求出各线段的比值．10．（2011•青浦区一模）如图，在△ABC中，点D是AB上的一点，过点D作DE∥BC交边AC于点E，过点E作EF∥DC交AD于点F．已知AD=2cm，AB=（1）的值；（2）的值．考点：平行线分线段成比例．分析：（1）根据平行线分线段成比例即可求出的值；（2）根据平行线分线段成比例求出AF=3cm，从而求出的值．解答：解：（1）∵DE∥BC，∴=，∵AD=2cm，AB=∴=；（2）∵EF∥DC，∴==，解得AF=3cm，∴=．点评：考查了平行线分线段成比例，平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC的中点，DE的延长线与BC的延长线交于点F．（1）求证：；（2）若，求的值．考点：相似三角形的判定与性质．分析：（1）根据直角三角形斜边上中线性质求出DE=EC，推出∠EDC=∠ECD，求出∠FDC=∠B，根据∠F=∠F证△FBD∽△FDC，即可；（2）根据已知和三角形面积公式得出，，根据相似三角形面积比等于相似比的平方得出，即可求出．解答：（1）证明：∵CD⊥AB，∴∠ADC=90°，∵E是AC的中点，∴DE=EC，∴∠EDC=∠ECD，∵∠ACB=90°，∠BDC=90°∴∠ECD+∠DCB=90°，∠DCB+∠B=90°，∴∠ECD=∠B，∴∠FDC=∠B，∵∠F=∠F，∴△FBD∽△FDC，∴=．（2）解：∵，∴，∴，∵△FBD∽△FDC，∴，∴=．点评：本题考查了相似三角形的性质和判定，三角形的面积，注意：相似数据线的面积比等于相似比的平方，题目比较好，有一定的难度．12．已知△ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，且，CD交BE于O，连AO并延长交BC于F．（1）当时，求的值；（2）当n=1时，求证：BF=CF；（3）当n=时，O为AF中点．考点：平行线分线段成比例．分析：（1）连接DE交AF于K，根据平行线分线段成比例定理，即可证得DE∥BC，继而可得，，根据比例的性质，即可求得的值；（2）由n=1时，AD=BD，AE=CE，可得O是△ABC的重心，继而可得BF=CF；（3）根据（1）的证明方法，即可求得答案．解答：解：（1）连接DE交AF于K，∵，∴DE∥BC，∴，，∴设OK=a，则OF=3a，∴KF=4a，∴AK=2a，∴OA=AK+OK=3a，∴=1；（2）∵n=1时，AD=BD，AE=CE，∴O是△ABC的重心，∴AF是△ABC的中线，∴BF=CF；（3）∵，∴DE∥BC，∴，，∴设OK=a，则OF=3a，∴KF=4a，∴AK=2a，∴OA=AK+OK=3a，∴=1，∴当n=时，O为AF中点．故答案为：．点评：此题考查了平行线分线段成比例定理与比例的性质．此题难度适中，解题的关键是数形结合思想的应用与辅助线的作法．13．（2011•门头沟区二模）如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，且点G在矩形ABCD的内部，延长BG交DC于点F．若DC=2DF，则=；若DC=nDF，则=（用含n的式子表示）．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：综合题；探究型．分析：（1）求简单的线段相等，可证线段所在的三角形全等，即连接EF，证△EGF≌△EDF即可；可设DF=x，BC=y；进而可用x表示出DC、AB的长，根据折叠的性质知AB=BG，即可得到BG的表达式，由（1）证得GF=DF，那么GF=x，由此可求出BF的表达式，进而可在Rt△BFC中，根据勾股定理求出x、y的比例关系，即可得到的值；（2）方法同（1）．解答：解：（1）连接EF，则根据翻折不变性得，∠EGF=∠D=90°，EG=AE=ED，EF=EF，∴Rt△EGF≌Rt△EDF，∴GF=DF；设DF=x，BC=y，则有GF=x，AD=y∵DC=2DF，∴CF=x，DC=AB=BG=2x，∴BF=BG+GF=3x；在Rt△BCF中，BC2+CF2=BF2，即y2+x2=（3x）2∴y=2x，∴；（2）由（1）知，GF=DF，设DF=x，BC=y，则有GF=x，AD=y∵DC=n•DF，∴BF=BG+GF=（n+1）x在Rt△BCF中，BC2+CF2=BF2，即y2+[（n﹣1）x]2=[（n+1）x]2∴y=2x，∴．故答案为：；．点评：此题考查了矩形的性质、图形的折叠变换、全等三角形的判定和性质、勾股定理的应用等重要知识，难度适中．14．在△ABC中，已知AB＞AC，AD平分∠BAC交BC于点D，点E在DC的延长线上，且，过E作EF∥AB交AC的延长线于F．（1）如图1，当k=1时，求证：AF+EF=AB；（2）如图2，当k=2时，直接写出线段AF、EF、AB之间满足的数量关系：AF+EF=2AB；（3）如图3，当时，请猜想线段AF、EF、AB之间满足的数量关系（含k），并证明你的结论．考点：相似形综合题．分析：（1）延长AD、EF交于点G，当k=1时，DE=BD，再根据∠BDA=∠EDG，BD=ED，证出△ABD≌△GED，得出AB=GE，又因为∠BAD=∠DAC，所以∠FGD=∠DAC，AF=GF，即可证出AF+EF=AB；（2）当k=2时，同（1）可得△ABD∽△GED，根据相似三角形的对应边成比例即可得出结论；（3）当时，同（1）可得△ABD∽△GED，根据相似三角形的对应边成比例即可得出结论．解答：（1）证明：如图1，延长AD、EF交于点G，当k=1时，DE=BD∵EF∥AB，∴∠BAD=∠EGD，在△ABD与△GED中，，∴△ABD≌△GED（AAS），∴AB=GE，又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC，∴∠FGD=∠DAC，∴AF=GF，∴AF+EF=AB；（2）解：如图2，延长AD、EF交于点G，当k=2时，∵EF∥AB，∴∠BAD=∠EGD，又∵∠BDA=∠EDG，∴△ABD∽△GED，∴==2，即GE=2AB，又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC，∴∠FGD=∠DAC，∴AF=GF，∴AF+EF=2AB；（3）猜想：AE+EF=kAB．证明：如图3，延长AD、EF交于点G，当=k时，∵EF∥AB，∴∠BAD=∠EGD，又∵∠BDA=∠EDG，∴△ABD∽△GED，∴==k，即GE=kAB，又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC，∴∠FGD=∠DAC，∴AF=GF，∴AF+EF=kAB．点评：本题考查的是相似三角形综合题，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形，再根据相似三角形的性质求解是解答此题的关键．15．（1）如图1，ABCD是一个正方形花园，要在边AD、DC的E、H处开两个门，且DE=CH，要修建两条小路BE、AF．那么这两条小路长度和位置各有什么关系？并证明你的结论；（2）如图2，在（1）的图形中，如果要在正方形四边E、H、F、G处各开一个门，并用小路EF、HG连接起来，如果EF⊥GH，求的值；（3）把（2）中的正方形改为矩形，如图3，AB=a，AD=b，其它条件不变，求的值．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；矩形的性质；相似三角形的判定与性质．分析：（1）关键正方形的性质就可以求出AE=DH，进而可以得出△ABE≌△DAH，再由全等三角形的性质就可以得出结论；（2）如图2，作EN⊥BC于N，交GH于点Q，GM⊥CD于M，根据正方形的性质得出△EFN≌△GHM，就可以得出EF=GH，从而得出结论；（3）如图3，作EN⊥BC于N，交GH于点Q，GM⊥CD于M，根据正方形的性质得出△EFN∽△GHM，就可以得出，从而得出结论；解答：解：（1）BE=AH，BE⊥AH理由：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠D=90°．∵DE=CH，∴AD﹣DE=CD﹣CH，即AE=DH．∵在△ABE和△DAH中，∴△ABE≌△DAH（SAS），∴∠AEB=∠AHD．BE=AH，∵∠DAH+∠AHD=90°，∴∠DAH+∠AEB=90°．∴∠AFE=90°∴AH⊥BE．∴BE、AH这两条小路长度和位置分别是BE=AH，BE⊥AH；（2）如图2，作EN⊥BC于N，交GH于点Q，GM⊥CD于M，∴∠GMH=∠ENF=90°，AD=GM，EN=CD∴∠EFN+∠NEF=90°，∠MHG+∠HGM=90°．∵EF⊥GH，∴∠EQH=90°．∴∠EPQ+∠PEQ=90°，∠MGQ+∠EPG=90°，∴∠PEQ=∠MGQ．∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CD，∴GM=EN．在△ENF和△GMH中，，∴△ENF≌△GMH，∴EF=GH，∴=1；（3）如图3，作EN⊥BC于N，交GH于点Q，GM⊥CD于M，∴∠GMH=∠ENF=90°，AD=GM，EN=CD∴∠EFN+∠NEF=90°，∠MHG+∠HGM=90°．∵EF⊥GH，∴∠EQH=90°．∴∠EPQ+∠PEQ=90°，∠MGQ+∠EPG=90°，∴∠PEQ=∠MGQ．∴△ENF∽△GMH，∴．∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC，∵EN⊥BC，GM⊥CD，∴EN=AB=a，GM=AD=b，∴．点评：本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，相似三角形的判定及性质的运用，本题是一道由特殊到一般的试题，利用相似三角形的性质是关键．16．如图，▱ABCD中，E是AB的中点，在AD上截取2AF=FD，EF交AC于G，求的值．考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．分析：延长FE交CB的延长线于H，如图所示，则再由线段成比例即可证明结论．解答：解：如图所示，延长FE交CB的延长线于H，在△AEF和△BEH中∴△AEF≌△BEH（ASA），∴AF=BH，∵AD∥BC，∴=，又∵2AF=FD，∴=，∴==．点评：本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定及线段的比例问题，应能够熟练掌握．17．如图，F是平行四边形ABCD的边AD上一点，CF交BA的延长线于点E，若，AB=4，求AE的长．考点：平行线分线段成比例；平行四边形的性质．专题：几何综合题．分析：根据已知条件，要求AE的长，结合平行四边形的性质，只需求得AE：CD的值，根据平行线分线段成比例定理，可得AE：CD=AF：DF，从而进行计算．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD∴又∵，AB=4∴∴．点评：此题综合运用了平行四边形的性质和平行线分线段成比例定理．18．如图，正方形ABCD，P为BC边上一点，以AP为斜边在正方形ABCD内作等腰Rt△APQ，连接AC交PQ于点E，连接DQ．（1）求证：△ACP∽△ADQ；（2）当P为BC的中点时，求的值；（3）在（2）的条件下，求证：EQ=DQ．考点：相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形；正方形的性质．专题：证明题．分析：（1）根据正方形的性质得∠DAQ+∠QAE=45°，=；根据等腰直角三角形的性质得∠PAC+∠QAE=45°，=，所以∠PAC=∠QAD，=，于是可判断△ACP∽△ADQ；（2）设正方形ABCD的边长为2a，则PB=PC=a，AP=a，AC=2a，由∠APE=∠ACP=45°，∠PAE=∠CAP得到△APE∽△ACP，利用相似比可计算出=；（3）由（2）的结论得PE=a，而PQ=AP=a，则EQ=PQ﹣PE=a，再利用（1）的结论得到=，可计算得到DQ=a，然后求EQ与DQ的比值．解答：（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠DAC=45°，即∠DAQ+∠QAE=45°，=，∵△APQ为等腰直角三角形，∴∠QAP=45°，即∠PAC+∠QAE=45°，=，∴∠PAC=∠QAD，=，∴△ACP∽△ADQ；（2）解：设正方形ABCD的边长为2a，则PB=PC=a，∴AP===a，AC=2a，∵∠APE=∠ACP=45°，∠PAE=∠CAP，∴△APE∽△ACP，∴===；（3）证明：∵PC=a，=，∴PE=a，∵PQ=AP=a，∴EQ=PQ﹣PE=a，又∵△ACP∽△ADQ，∴=，即=，∴DQ=a，∴==，∴EQ=DQ．点评：本题考查了相似三角形的判定与性质：有两组对应边的比相等且夹角相等的两个三角形相似；有两组对应角相等的两个三角形相似；相似三角形对应边的比等于相等，都等于相似比．也考查了等腰直角三角形的性质和正方形的性质．19．如图，在正方形ABCD中，点P是BC边上一点（不与点B，C重合），连接PA，将线段PA绕点P顺时针旋转90°得到线段PE，PE交边DC于点F，连接CE，AF．（1）求证：△ABP∽△PCF；（2）当的值等于多少时，△APF∽△PCF？请说明理由；（3）当CP=CE时，求cot∠EPC的值．考点：相似三角形的判定与性质；正方形的性质．分析：（1）根据正方形的性质和已知条件证明∠PAB=∠EPC，即可证明：△ABP∽△PCF；（2）当=，△APF∽△PCF，设正方形ABCD边长为1，则AB=BC=1，PB=PC=，FC=，根据勾股定理计算AP，EP的值，即可得到，△APF∽△PCF；（3）过点E作EG⊥BC交BC的延长线于点G（如图），则∠EGP=∠B=90°，设EG=CG=x．则CP=CE=x，PG=x+x．在Rt△EPG中，即可求出cot∠EPC的值．解答：解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠B=∠PCD=90°，∴∠PAB+∠APB=90°．∵∠APE=90°，∴∠EPC+∠APB=90°．∴∠PAB=∠EPC．∴△ABP∽△PCF．（2）当=时，△APF∽△PCF．理由如下：∵∠PAB=∠EPC，∴tan∠PAB=tan∠EPC，即==．设正方形ABCD边长为1，则AB=BC=1，PB=PC=，FC=．在Rt△ABP中，AP=．在Rt△PCF中，FP=．∴==，∵∠APF=∠PCF=90°，∴△APF∽△PCF．（3）过点E作EG⊥BC交BC的延长线于点G（如图），则∠EGP=∠B=90°．∵∠PAB=∠EPC，PA=PE．∴△PAB≌△EPG∴EG=PB，AB=BC=PG，∴PB=EG=CG，∴∠ECG=45°．设EG=CG=x．则CP=CE=x，PG=x+x．在Rt△EPG中，cot∠EPC===1+．点评：本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理的运用、全等三角形的判定和性质，题目的综合性很强，难度很大，对学生的解题能力要求很高．20．2012.惠安县如图，在矩形ABCD中，P是BC边上一点，连接DP并延长，交AB的延长线于点Q，（1）若，求的值．（2）若P为BC边上的任意一点，求证：．考点：相似三角形的判定与性质；矩形的性质．分析：（1）根据矩形的性质推出△DPC∽△QPB，得到比例式，求出AD=BC=4PB，DC=3BQ；（2）利用△DCP∽△QBP，得出=，进而得出﹣=﹣即可得出答案．解答：（1）解：∵四边形ABCD是矩形，∴DC=AB，AB∥CD，∴△DCP∽△QBP，∴==，∴DC=3BQ，∴AB=3BQ，∴AQ=4BQ，∴=；（2）证明：∵△DCP∽△QBP，∴=，∴=，∴﹣=﹣=1+﹣=1．点评：本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的性质和判定、三角形的面积等知识点的理解和掌握，能根据比例式推出正确的结论是解此题的关键．21．（2013•浦东新区一模）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，连接AE并延长，交对角线BD于点F、DC的延长线于点G，如果．求的值．考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．分析：由四边形ABCD是平行四边形，可得AD=BC，AD∥BC，即可证得△ADF∽△EBF，△GEC∽△GAD，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC，∴△ADF∽△EBF，△GEC∽△GAD，∴，，∵，∴，，∴=，=，∴=，=，∴=．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．22．如图，矩形ABCD中，AD=nAB，E是AB的中点，BF⊥EC于F，连接FD，FG⊥FD交直线BC于点G．（1）求证：△FBG∽△FCD；（2）当n=1时，求CG：BC的值；（3）当CG：BC=7：8时，求n的值．考点：相似三角形的判定与性质；矩形的性质．分析：（1）由四边形ABCD是矩形，BF⊥EC，FG⊥FD，利用同角的余角相等，易证得∠FBG=∠FCD，∠BFG=∠CFD，即可得△FBG∽△FCD；（2）由当n=1时，AD=AB，可得四边形ABCD是正方形，又由E是AB的中点，可得在Rt△BCF中，=，继而求得CG：BC的值；（3）易求得在Rt△EBC中，tan∠BCE==，可得在Rt△BCF中，=，又由BG：CD=1：8，即可求得n的值．解答：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ACD=90°，即∠BCF+∠DCF=90°，∵BF⊥EC，FG⊥FD，∴∠FBC+∠BCF=90°，∠BFG+∠GFC=90°，∠GFC+∠CFD=90°，∴∠FBG=∠FCD，∠BFG=∠CFD，∴△FBG∽△FCD；（2）当n=1时，AD=AB，∴四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD，∵E是AB的中点，∴在Rt△EBC中，tan∠BCE==，∴在Rt△BCF中，=，∵△FBG∽△FCD；∴BG：CD=BF：CF=1：2，即BG：BC=1：2，∴CG：BC=1：2；（3）∵CG：BC=7：8，∴BG：BC=1：8，∴BG：CD=n：8，∵E是AB的中点，∴BE=AB，∵AD=nAB，∴在Rt△EBC中，tan∠BCE==，∴在Rt△BCF中，=，∵△FBG∽△FCD；∴BG：CD=BF：CF=1：2n，∴2n=8，解得：n=4．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、正方形的性质以及三角函数的定义．此题难度较大，注意掌握数形结合思想的应用．23．如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AD交AB于点E，M为AE的中点，BF⊥BC交CM的延长线于点F（1）求证：．（2）若BD=4，CD=3，求BE•AC的值．考点：相似三角形的判定与性质．分析：（1）首先连接DM，由在Rt△ADE中，MD为斜边AE的中线，则DM=MA，又由AD平分∠BAC，易证得DM∥BF∥AC，可得，△ACM∽△BFM，继而证得．（2）易证得△BED∽△BDA，△ADE∽△ACD，根据相似三角形的对应边成比例，即可得BE：BD=DC：AC，继而求得答案．解答：（1）证明：连接DM．在Rt△ADE中，MD为斜边AE的中线，则DM=MA，∴∠MDA=∠MAD，∵AD平分∠BAC，∴∠MAD=∠DAC，∴∠MDA=∠DAC，∴MD∥AC，∵AC⊥BC，BF⊥BC，∴BF∥AC，∴DM∥BF∥AC，∴，△ACM∽△BFM，∴，∴．（2）解：∵∠AED=90°﹣∠EAD，∠ADC=90°﹣∠DAC，∵∠EAD=∠DAC，∴∠AED=∠ADC∴∠BED=∠BDA，又∵∠DBE=∠ABD，∴△BED∽△BDA，∴DE：DA=BE：BD，∵∠EAD=∠DAC，∠ADE=∠ACD=90°，∴△ADE∽△ACD，∴DE：DA=DC：AC，∴BE：BD=DC：AC，∴BE•AC=BD•DC=4×3=12．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及平行线分线段成比例定理．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．24．（2010•武昌区模拟）已知如图，△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，D是BC边上一点，DE⊥AC于E，连BE交AD与F．（1）如果，求的值；（2）如果，求的值；（3）如果，直接写出的值．考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理．专题：计算题．分析：（1）设AB=BC=3a，利用勾股定理求得AC．利用AB=BC，可得∠C=45°，再利用DE⊥AC于E，可得DE=CE=，然后根据即可求得的值；（2）作EG⊥BC交AD于G，可得，再利用，即可求出的值；（3）根据，可直接得出的值．解答：解：（1）设AB=BC=3a，∵∠ABC=90°∴AC==，又∵AB=BC，DE⊥AC于E∴∠C=∠BAC=45°，∠EDC=45°，∴DE=CE∵，∴DE=CE=，∴．（2）作EG⊥BC交AD于G，∴，∵，∴，∴，（3）∵，∴．点评：此题主要考查勾股定理和相似三角形的判定与性质等知识点，有一定的拔高难度，属于难题．25．△ABC中，D、E分别为BC、AC边上的动点，BD=mCD，AE=nEC，AD与BE相交于点O．（1）如图1，当m=2，n=1时，=，=；（2）当m=1.5时，求证：；（3）如图2，若CO的延长线交AGB于点F，当m、n之间满足关系式n=2m时，AF=2BF．（直接填写结果，不要求证明）考点：平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质．专题：综合题；压轴题．分析：（1）过点E作EF∥BC，交AD于F，根据n=1可知点E是AC的中点，所以EF=DC，再根据m=2可以整理出EF与BD的比，从而得到OB与OE的比值，可得；根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，先求出△AEF与△ACD的比值，再根据等高的△AEF与△OEF面积的比等于底边的比求出△AEF与△OEF的面积的比，然后用△OEF的面积表示出△AEF的面积，然后结合图形解答；（2）过点D作DF∥AC交BE于点F，根据平行线分线段成比例定理可以得到=，=，然后再把BD=mCD，AE=nEC代入即可得到OA、OD、AE、CE四条线段与m、n的关系，把m=1.5代入计算即可得证明；（3）同（2）的思路，过点D作DH∥AB交FC于点H，可以得到AF、FB与m、n的关系，然后把AF=2BF代入即可得到m、n的关系．解答：（1）解：过点E作EF∥BC，交AD于F，∴，∵AE=EC，∴，∵BD=2CD，∴，∵=4，∴，∴，∵，，∴，设S△OEF=x，则S△AEF=5x，S△ABC=20x，∴S△AOE=6x，S四边形CDOE=14x，∴；（2）证明：如图，过点D作DF∥AC交BE于点F，∴=，=，∵BD=mCD，AE=nEC，∴FD=×CE=CE，∴=•，∵m=1.5，∴=•，即=；（3）解：过点D作DH∥AB交FC于点H，与（2）同理可得，=，=，∵BD=mCD，∴DH=•BF=BF，∴=（m+1），∵=•，AE=nEC，∴=•=，∴当AF=2BF时，=2，解得n=2m．故答案为：（1），；（3）n=2m．点评：本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，综合性较强，合理作出辅助线是解题的关键，难度较大，极富挑战性．26．如图1，D是△ABC的边BC上一点，AH⊥BC于H，S△ABD=BD•AH，S△ADC=DC•AH，则，因此，利用三角形的面积比可以来表示两条线段的比，甚至用三角形面积的比来证明与线段比有关的命题．请解决下列问题：已知：如图2，直线l与△ABC的边AB、AC交于D、F，与BC的延长线交于E，连接BF、AE．（1）求证：；（2）求证：••=1．考点：相似三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：（1）过A、B分别作DE的垂线段AM、BN，根据同底的两个三角形面积之比等于高之比，得出=，再证明△ADM∽△BDN，由相似三角形对应边成比例得出=，进而证明出=；（2）根据同高的两个三角形面积之比等于底之比，得出=，=，又由（1）得出=，将这三个式子相乘，即可证明出结论．解答：证明：（1）过A、B分别作DE的垂线段AM、BN，如图．∵S△AEF=EF•AM，S△BEF=EF•BN，∴=．∵在△ADM与△BDN中，，∴△ADM∽△BDN，∴=，∴=；（2）设F到BE的距离为h，则==，同理，得到=，又由（1）得出=，将这三个式子相乘，得••=••=1．即••=1．点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，利用三角形的面积比表示两条线段的比，同时考查了学生的理解能力及知识的迁移能力，难度适中．（1）问分别作出△AEF与△BEF中EF边上的高是解题的关键．27．已知，如图1，直角梯形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=nAD，AE⊥BD于点E，过E作CE的垂线交直线AB于点F．（1）当n=4时，则=，=；（2）当n=2时，求证：BF=AF；（3）如图2，F点在AB的延长线上，当n=时，B为AF的中点；如图3，将图形1中的线段AD沿AB翻折，其它条件不变，此时F点在AB的反向延长线上，当n=1时，A为BF的中点．考点：相似三角形的判定与性质；直角梯形．专题：综合题．分析：（1）根据AE⊥BD，梯形ABCD是直角梯形可求出△ADE∽△ADE，可求出∠ABD=∠DAE，由于AE⊥BD，可求出△ADE∽△BAE，根据相似三角形的性质即可解答；（2）（3）的思路和解法一致，都是通过一对相似三角形来求解；由于∠AEB=∠CEF=90°，两角加上（或减去）一个同角后，可得∠AEF=∠BEC，而易证得∠EBC=∠ADE=∠BAE，即可得△AEF∽△BEC，然后根据这个相似三角形所得比例线段及已知的线段比例关系，来求得n的值或BF、AF的数量关系．解答：解：（1）∵AE⊥BD，梯形ABCD是直角梯形，∴∠AED=∠DAB，∠ADE=∠ADE，∴△ADE∽△BDA，即∠DAE=∠ABD，∵AE⊥BD，∴∠AED=∠AEB，∴△ADE∽△BDA，∵n=4，∴===，∴ED=AE，AE=BE，∴当n=4时，则=，=．（2）证明：∵AD∥BC，∴∠ADE=∠EBC，而∠ADE=∠BAE=90°﹣∠DAE，∴∠BAE=∠EBC；又∵∠AEF=∠BEC=90°+∠BEF，∴△AEF∽△BEC；当n=2时，，即AF=BC=AB；∴BC=2AF，即F是AB的中点，AF=BF．（3）易知∠F=∠C，∠