概率论与数理统计老师-第二章

这一章我们要建立样本点和实数的对应关系,即引进随机变量,从而能用分析的知识解决概率问题.第二章随机变量及其分布ReS离散型随机变量的概率分布

随机变量的分布函数

连续型随机变量及其概率密度

随机变量的函数的分布第二章随机变量及其分布

随机变量的概念返回主目录§1随机变量的概念第二章随机变量及其分布例

1袋中有3只黑球，2只白球，从中任意取出3只球，观察取出的3只球中的黑球的个数．我们将3只黑球分别记作1，2，3号，2只白球分别记作4，5号，则该试验的样本空间为§1随机变量返回主目录例

1（续）我们记取出的黑球数为X，则X的可能取值为1，2，3．因此，X是一个变量．

X的取值情况可由下表给出：第二章随机变量及其分布返回主目录§1随机变量例

1（续）第二章随机变量及其分布返回主目录§1随机变量例

1（续）由于试验结果具有随机性，所以X的取值带有随机性。故，我们称X为随机变量．第二章随机变量及其分布返回主目录由上表可以看出，X取什么值依赖于试验结果，即该随机试验的每一个结果都对应着变量X的一个确定的取值，因此变量X是样本空间上的实值单值函数：§1随机变量我们定义了随机变量后，就可以用随机变量的取值情况来刻划随机事件．例如

表示至少取出2个黑球这一事件，等等．第二章随机变量及其分布例

1（续）

所以，{X=2}

表示取出2个黑球这一事件。返回主目录§1随机变量随机变量的定义设E是一个随机试验，S是其样本空间．我们称样本空间S上的实值单值函数为一个随机变量，如果对于任意的实数，集合都是随机事件．第二章随机变量及其分布§1随机变量ReS(){}{}xXxeXe£=£：说明第二章随机变量及其分布§1随机变量返回主目录例

2掷一颗骰子，观察出现的点数,S={1,2,3,4,5,6}令X=出现的点数

,则X就是一个随机变量．它的可能取值为1，2，3，4，5，6．

表示掷出的点数不超过4这一随机事件；

表示掷出的点数为偶数这一随机事件．第二章随机变量及其分布§1随机变量返回主目录即例

3一批产品有50件，其中有8件次品，42件正品．现从中取出6件，令：

X：取出6件产品中的次品数．则X就是一个随机变量．它的取值为0，1，2，…，6．

表示取出的产品全是正品这一随机事件；

表示取出的产品至少有一件这一随机事件．第二章随机变量及其分布§1随机变量返回主目录例

4上午8:00～9:00在某路口观察通过的汽车数，令：

Y：该时间间隔内通过的汽车数．则Y就是一个随机变量．它的取值为0，1，…．

表示通过的汽车数小于100辆这一随机事件；

表示通过的汽车数大于50辆但不超过100辆这一随机事件．注意

Y的取值是可列无穷个！第二章随机变量及其分布§1随机变量返回主目录例

5观察某生物的寿命（单位：小时），令：

Z：该生物的寿命．则Z就是一个随机变量．它的取值为所有非负实数．表示该生物的寿命大于3000小时这一随机事件．表示该生物的寿命不超过1500小时这一随机事件．第二章随机变量及其分布§1随机变量注意

Z的取值是不可列无穷个！返回主目录例

6掷一枚硬币，观察正面，反面出现的情况.令：则X是一个随机变量．第二章随机变量及其分布§1随机变量说明在同一个样本空间上可以定义不同的随机变量．返回主目录例

7掷一枚骰子，在例2中，我们定义了随机变量X表示出现的点数．我们还可以定义其它的随机变量，例如我们可以定义：等等．第二章随机变量及其分布§1随机变量返回主目录一.离散型随机变量的概念与分布律第二章随机变量及其分布离散型随机变量的定义如果随机变量X的取值是有限个或可列无穷个，则称X为离散型随机变量．§2离散型随机变量的概率分布返回主目录

如：上节例1，2，3，4，6定义的随机变量均为离散型随机变量．第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量离散型随机变量的分布律设离散型随机变量X的所有可能取值为并设则称上式为离散型随机变量X的分布律．离散型随机变量X的分布律还可写成矩阵的形式．返回主目录上节例

2掷一颗骰子，观察出现的点数,令X=出现的点数

,则X就是一个离散型随机变量．它的所有可能取为1，2，3，4，5，6.第二章随机变量及其分布返回主目录X的分布率为说明1.离散型随机变量可完全由其分布律来刻划．即离散型随机变量可完全由它的可能取值以及取这些值的概率唯一确定．第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量离散型随机变量分布律的性质:返回主目录例

1从1～10这10个数字中随机取出5个数字，令：X：取出的5个数字中的最大值．试求X的分布律．解：

X的取值为5，6，7，8，9，10．并且第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量具体写出，即可得X的分布律：返回主目录(求随机变量的分布律)例

2将1枚硬币掷3次，令：

X：出现的正面次数与反面次数之差．试求X的分布律．解：X的取值为-3，-1，1，3．并且第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量返回主目录例

3设离散型随机变量X的分布律为

则第二章随机变量及其分布返回主目录（已知分布律，求随机变量落在某区间上的概率）例

3（续）第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量返回主目录例

4设随机变量X的分布律为解：由随机变量的性质，得第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量该级数为等比级数，故有所以返回主目录第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量常用幂级数的和:返回主目录第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量

设一汽车在开往目的地的道路上需经过四盏信号灯，每盏信号灯以1/2的概率允许或禁止汽车通过.以X表示汽车首次停下时，它已通过的信号灯的盏数，求X的分布律.(信号灯的工作是相互独立的).P{X=3}=(1-p)3p例5第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量解：

以p

表示每盏信号灯禁止汽车通过的概率，则 X的分布律为：Xpk

01234p(1-p)p(1-p)2p(1-p)3p(1-p)4

或写成P{X=k}=(1-p)kp，k=0,1,2,3P{X=4}=(1-p)4

例5(续)返回主目录第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量以p=1/2代入得：Xpk

012340.50.250.1250.06250.0625例5(续)返回主目录二、几种常见的离散型随机变量的概率分布第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量(一)Bernoulli(0-1)分布如果随机变量X的分布律为或则称随机变量X服从参数为p的Bernoulli分布．返回主目录1)定义第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量Bernoulli(0-1)分布要掌握的四个要点：（1）随机变量X的取值；0，1.（3）参数p的意义及其取值范围:返回主目录（2）随机变量X的分布律：Bernoulli分布也称作0-1分布或二点分布．贝努里（Bernoulli）试验

如果随机试验E只考虑两个可能结果，则称E为Bernoulli试验.Bernoulli试验的例子掷一枚硬币，只有“出现正面”与“出现反面”两种结果，因此“掷一枚硬币”可看作是一次Bernoulli试验．返回主目录第二章随机变量及其分布2)Bernoulli分布的概率背景对同一目标进行一次射击，若只考虑“击中目标”与“未击中目标”两种情况，则“同一目标进行一次射击”是Bernoulli试验．在某一时间间隔内观察通过某路口的汽车数，若只考虑“至少通过100辆车”与“至多通过99辆车”这两种情况，这也是Bernoulli试验．Bernoulli试验的例子返回主目录掷一颗骰子，有六种可能结果．但如果我们只关心“出现六点”与“不出现六点”这两种情况，故“掷一颗骰子”也可以看作是Bernoulli试验．第二章随机变量及其分布第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量Bernoulli分布的概率背景:进行一次Bernoulli试验，设：令：X=“在这次Bernoulli试验中事件A发生的次数”．或者说：令返回主目录第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量Bernoulli分布的概率背景要掌握的要点：（1）进行什么试验：进行一次Bernoulli试验；（3）X的意义：X=“在这次Bernoulli试验中事件A发生的次数”．返回主目录例

5掷一枚骰子，观察出现的点数.我们定义随机变量：第二章随机变量及其分布§1随机变量返回主目录例615件产品中有4件次品，11件正品．从中取出1件令X：取出的一件产品中的次品数．则X的取值为0或者1，并且第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量返回主目录{}{}154115110====XPXP，．，即：÷øöçèæ1541~bX(二）二项分布如果随机变量X的分布律为第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量返回主目录1)定义第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量二项分布要掌握的四个要点：（1）随机变量X的取值；0，1，...，n;（3）参数n,p的意义及其取值范围:返回主目录（2）随机变量X的分布律：说明显然，当n=1时第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量返回主目录2)二项分布的概率背景n重Bernoulli试验若独立重复地进行n次Bernoulli试验，这里“重复”是指每次试验中事件A发生的概率不变，“独立”是指各次试验的结果相互独立，则称该试验为n重Bernoulli试验．返回主目录第二章随机变量及其分布n重Bernoulli试验的例子掷n次硬币，可看作是一n重Bernoulli试验．掷n颗骰子，如果我们对每颗骰子只关心“出现六点”与“不出现六点”这两种情况，故“掷n颗骰子”也可以看作是一n重Bernoulli试验．对同一目标进行n次射击，若每次射击只考虑“击中目标”与“未击中目标”两种情况，则“同一目标进行n次射击”是一n重Bernoulli试验．在某一时间间隔内观察通过某路口的汽车数，若只考虑“至少通过100辆车”与“至多通过99辆车”这两种情况，这是一次Bernoulli试验．若独立重复地做该试验n次，则它是一n重Bernoulli试验．n重Bernoulli试验的例子返回主目录第二章随机变量及其分布n重Bernoulli试验中的基本事件及其概率在n重Bernoulli试验中的基本事件为返回主目录第二章随机变量及其分布n重Bernoulli试验中的基本事件及其概率返回主目录第二章随机变量及其分布()()，则，，且qpAPpAP=-==1n重Bernoulli试验中的基本事件及其概率返回主目录第二章随机变量及其分布例：将一枚硬币抛掷三次，观察正面、反面出现

的情况,就是一3重Bernoulli试验.样本空间中的每一个样本点就是一个基本事件.{HHH,HHT,HTH,THH, HTT,THT,TTH,TTT}n重Bernoulli试验中A恰好发生k次的概率设在一次Bernoulli试验中，返回主目录第二章随机变量及其分布返回主目录n重Bernoulli试验中A恰好发生k次的概率二项分布的分布律第二章随机变量及其分布第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量返回主目录二项分布的概率背景进行n重Bernoulli试验，设在每次试验中令X：在这n重Bernoulli试验中事件A发生的次数．第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量二项分布的概率背景要掌握的要点：（1）进行什么试验：（3）X的意义：返回主目录进行n重Bernoulli试验；X=“在这n重Bernoulli试验中事件A发生的次数”．

{X=k}=“n重Bernoulli试验中事件A发生k次”注意由二项式定理，我们有返回主目录二项分布的分布律第二章随机变量及其分布例7一大批产品的次品率为0.05，现从中取出10件．试求下列事件的概率：

B={取出的10件产品中恰有4件次品}C={取出的10件产品中至少有2件次品}D={取出的10件产品中没有次品}返回主目录因此，取10件产品可看作是10重Bernoulli试验．分析：取1件产品可看作是一次Bernoulli试验．第二章随机变量及其分布由于产品是一大批，所以，从中取出10件，虽然是不放回抽样，但是，可以认为每次抽取的次品率不变。例7一大批产品的次品率为0.05，现从中取出10件．返回主目录X：取出的10件产品中的次品数．解：第二章随机变量及其分布例7（续）返回主目录第二章随机变量及其分布例8一张考卷上有5道选择题，每道题列出4个可能答案，其中只有一个答案是正确的．某学生靠猜测至少能答对4道题的概率是多少？则答5道题相当于做5重Bernoulli试验．第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量返回主目录解：每答一道题相当于做一次Bernoulli试验，例

8（续）所以第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量返回主目录例9

对同一目标进行射击，设每次射击的命中率均为0.23，问至少需进行多少次射击，才能使至少命中一次目标的概率不少于0.95？返回主目录第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量分析：设需进行n次射击，才能使至少命中一次目标的概率不少于0.95．每次射击只关心命中还是不命中目标，进行n次射击，可看成是一n重Bernoulli试验．例9

对同一目标进行射击，设每次射击的命中率均为0.23，问至少需进行多少次射击，才能使至少命中一次目标的概率不少于0.95？返回主目录第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量{n次射击至少命中一次目标}=B解：设需进行n次射击，才能使至少命中一次目标的概率不少于0.95．设X={n次射击中的命中次数}，例9（续）则有返回主目录第二章随机变量及其分布§2-2离散型随机变量例9（续）取对数，得所以，有

即至少需进行12次射击，才能使至少命中一次目标的概率不少于0.95．返回主目录第二章随机变量及其分布§2-2离散型随机变量二项分布的分布形态下面我们研究的问题是：第二章随机变量及其分布§2-2离散型随机变量返回主目录随k的变化规律。二项分布的分布形态第二章随机变量及其分布§2-2离散型随机变量返回主目录书中第26页倒数第14行二项分布的分布形态由此可知，二项分布的分布先是随着k的增大而增大，达到其最大值后再随着k的增大而减少．这个使得第二章随机变量及其分布§2-2离散型随机变量返回主目录第二章随机变量及其分布§2-2离散型随机变量返回主目录例10

对同一目标进行400次独立射击，设每次射击时的命中率均为0.02，（1）试求400次射击最可能命中几次？

则第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量返回主目录解：（2）求至少命中两次目标的概率。令例10（续）因此，最可能射击的命中次数为第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量返回主目录2)P{至少命中两次目标}[]802.80==k{}2³=XP{}}1{01=-=-=XPXP3991400400)98.0)(02.0(98.01C--=.9972.0=例10（续）第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量返回主目录2)P{至少命中两次目标}.9972.0=如果某人在400次独立射击中，最多命中1次,能否相信此人的命中率为0.02?P{最多命中1次目标}=1-0.9972=0.0028答:此人的命中率为0.02是不可信的.3）泊松(Poisson)分布如果随机变量X的分布律为

则称随机变量X服从参数为λ的Poisson分布．第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量返回主目录第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量泊松分布要掌握的四个要点：（1）随机变量X的取值；0，1，…,可列个取值。（3）参数λ

的意义及其取值范围:返回主目录（2）随机变量X的分布律：分布律的验证⑴由于可知对任意的自然数k，有第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量⑵又由幂级数的展开式，可知所以是分布律．返回主目录0>lPoisson分布中的意义

*考虑“要求服务的顾客到达服务站”第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量返回主目录

我们把顾客看作时间轴上的质点，顾客到达服务站认为是质点出现。Poisson分布中的意义第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量返回主目录即X服从参数为的Poisson分布．Poisson分布的应用Poisson分布是概率论中重要的分布之一．自然界及工程技术中的许多随机指标都服从Poisson分布．第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量返回主目录*例如，可以证明，电话总机在某一时间间隔内收到的呼叫次数，放射物在某一时间间隔内发射的粒子数，容器在某一时间间隔内产生的细菌数，某一时间间隔内来到某服务台要求服务的人数，等等，在一定条件下，都是服从Poisson分布的．第二章随机变量及其分布返回主目录例11（29页例6）实验器皿中产生甲,乙两种细菌的机会是相等的,并且产生的细菌数X服从泊松分布,试求:(1)产生了甲类细菌但没有乙类细菌的概率;(2)在已知产生了细菌且没有甲类细菌的条件下,有两个乙类细菌的概率.分析:实验器皿中产生几个细菌是随机的;每个细菌是甲类细菌还是乙类细菌也是随机的.(原因)(结果)(全概)(逆概)解:(1)B表示产生了甲类细菌但没有乙类细菌,第二章随机变量及其分布返回主目录例11(续)由全概率公式,知书中第29页倒数第13行第二章随机变量及其分布返回主目录例11(续)由逆概公式,知(2)C表示产生了细菌且没有甲类细菌,书中第29页倒数第10行书中第29页倒数第7行例12设随机变量X服从参数为λ的Poisson分布，且已知解：随机变量X的分布律为由已知第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量返回主目录例12（续）得由此得方程得解所以，第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量返回主目录Poisson定理证明：第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量Poisson定理的证明(续)对于固定的k，第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量返回主目录Poisson定理的证明(续)第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量返回主目录Poisson定理的应用第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量返回主目录Poisson定理的应用第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量返回主目录例13设每次射击命中目标的概率为0.01，现射击600次，求至少命中3次目标的概率（用Poisson分布近似计算）．解：设B={600次射击至少命中3次目标}

进行600次射击可看作是一600重Bernoulli试验.A={1次射击命中目标}，则P(A)=0.01.第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量返回主目录例13（续）所以第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量返回主目录例14.第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量收保费-赔偿费=赚钱例14.解：

第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量例14.解：

第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量4）几何分布若随机变量X的分布律为第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量返回主目录第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量几何分布要掌握的四个要点：（1）随机变量X的取值；1，2，…,可列个取值。（3）参数p

的意义及其取值范围:返回主目录（2）随机变量X的分布律：分布律的验证⑴由条件⑵由条件可知综上所述，可知是一分布律．第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量返回主目录几何分布的概率背景在Bernoulli试验中，独立重复地进行Bernoulli试验,进行到A首次出现为止．第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量即返回主目录例

14对同一目标进行射击，设每次射击时的命中率为0.64，射击进行到击中目标时为止，令：

X：所需射击次数．试求随机变量X的分布律，并求至少进行2次射击才能击中目标的概率．解：第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量例

14（续）故，X的分布律为：第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量返回主目录P{至少进行2次射击才能击中目标}例15返回主目录n重贝努里概型三个朋友去喝咖啡，他们决定用如下的方式付账：每人各掷一枚均匀的硬币，如果某人掷出的结果与其余两人的不一样，则由该人付账；如果三人掷出的结果都一样，则重新掷下去，直到确定了由谁付账时为止．（2）进行了3次还没确定付账人的概率．求：⑴抛掷硬币次数X的分布律；A={三人掷出的结果不一样}，解：例15（续）返回主目录几何分布

故，X的分布律为：

5）超几何分布如果随机变量X的分布律为第二章随机变量及其分布§2离散型随机变量返回主目录超几何分布的概率背景一批产品有N件，其中有M件次品，其余N-M件为正品．现从中取出n件．令：X：取出n件产品中的次品数．则X的分布律为§2离散型随机变量第二章随机变量及其分布返回主目录一.分布函数的定义及其性质

定义设X是一个随机变量，是任意实数，称为

X

的分布函数．0xxX§3随机变量的分布函数返回主目录说明函数

分布函数的性质10

是一个不减的函数

,

§3随机变量的分布函数返回主目录事实上，§3随机变量的分布函数返回主目录2030§3随机变量的分布函数返回主目录对于任意的实数，有：40§3随机变量的分布函数返回主目录上述四条性质是一维随机变量分布函数的最基本的性质，即任何一维随机变量的分布函数都具有这四条性质；更进一步地，我们还可以证明：如果某一一元函数具有这四条性质，那么，它一定是某一一维随机变量的分布函数（证明略）．应用：1。用分布函数计算某些事件的概率§3随机变量的分布函数返回主目录对于任意的实数,有(){}的分布函数，则是随机变量设XxXPxF£={})(aFaXP=£{}()0-=<aFaXP§3随机变量的分布函数返回主目录{}{}{}aXPaXPaXP<-£==()()0--=aFaF{}{}{}aXPbXPbXaP£-£=£<()()aFbF-=用分布函数计算某些事件的概率§3随机变量的分布函数返回主目录用分布函数计算某些事件的概率§3随机变量的分布函数返回主目录{}bXP>{}bXP£-=1()bF-=1{}{}bXPbXP<-=³1()01--=bF例1§3随机变量的分布函数返回主目录的分布函数为设随机变量X()ïïïïîïïïïíì£<£<£<£<=xxxxxxxF31321211213210200{}3£XP⑴．()3F=1={}3<XP⑵．()03-=F1211={}1=XP⑶．()()011--=FF612132=-==þýüîíì>21XP⑷．÷øöçèæ-211F43411=-={}()()20442FFXP--=<<⑸．12112111=-={}()()010331---=<£FFXP⑹．125211211=-=由分布函数的极限性质，有§3随机变量的分布函数返回主目录2。用分布函数的极限性质确定中的待定常数)(xF例2设随机变量X的分布函数为解:(1)由分布函数的性质，我们有§3随机变量的分布函数返回主目录()()+¥<<¥-+=xBarctgxAxF()()BarctgxAxFxx+==-¥®-¥®limlim0BA2p-=()()BarctgxAxFxx+==+¥®+¥®limlim1BA2p+=求（1）常数A,B;例2（续）X的分布函数为§3随机变量的分布函数返回主目录例3§3随机变量的分布函数返回主目录设随机变量X的分布函数为解：由分布函数的右连续性，我们有?=A则例4

设随机变量X

的分布律为：求X的分布函数.Xpk

-123当

时，３0２xX-1x§3随机变量的分布函数返回主目录二离散型随机变量的分布函数解：当当X２x３-1xXpk

-123§3随机变量的分布函数返回主目录同理当1§3随机变量的分布函数返回主目录-10123

x-1

0123

x1

且在(k=1,2,…)处有跳跃，其跳跃值为

Xpk

-123§3随机变量的分布函数返回主目录小结：设离散型随机变量X的分布律为为阶梯函数，例5§3随机变量的分布函数返回主目录设随机变量X的分布函数为解：X的可能取值为0，1，2。求X的分布律。

例6

一个靶子是半径为2

米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶，以X表示弹着点与圆心的距离.试求随机变量X的分布函数.解：（1）若,则是不可能事件，（2）X§3随机变量的分布函数于是（3）若,则是必然事件，于是§3随机变量的分布函数返回主目录01231F(x)x§3随机变量的分布函数返回主目录作业：补充题1设随机变量X的分布函数为§3随机变量的分布函数返回主目录并求X的分布律。Xp

-11

2补充题2

在区间[0,a]上任意投掷一个质点，以X表示这个质点的坐标。设这个质点落在[0,a]中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比例。试求X的分布函数.§3随机变量的分布函数返回主目录§3随机变量的分布函数返回主目录补充题1解：§3随机变量的分布函数返回主目录X的可能取值为-1，1，2。补充题1解：§4

连续型随机变量及其概率密度

概率密度及其性质

指数分布

均匀分布

正态分布与标准正态分布返回主目录一.连续型随机变量的概念与性质§4

连续型随机变量定义2.4.1如果对于随机变量X的分布函数， 存在非负实函数，使得对于任意实数，有则称X为连续型随机变量，其中函数称为X的概率密度函数,简称概率密度.连续型随机变量X由其密度函数唯一确定．返回主目录§4

连续型随机变量f(x)0x返回主目录说明(1)密度函数唯一确定连续型随机变量X

．但连续型随机变量X不能唯一确定密度函数．密度函数在个别点处的函数值不影响积分值．§4

连续型随机变量

概率密度具有以下性质：f(x)0x1返回主目录f(x)x0§4

连续型随机变量返回主目录连续型随机变量X具有以下性质：§4

连续型随机变量证明：返回主目录连续型随机变量的一个重要特点：(3)注意1密度函数不是概率！§4

连续型随机变量返回主目录f(x)x0§4

连续型随机变量返回主目录密度函数的概率涵义：注意2§4

连续型随机变量返回主目录f(x)x0由前面讨论可知，对于连续型随机变量，我们关心它在某一点取值的问题没有太大的意义；我们所关心的是它在某一区间上取值的问题．§4

连续型随机变量返回主目录§4

连续型随机变量返回主目录§4

连续型随机变量返回主目录连续型随机变量常用的公式：例1设X是连续型随机变量，其密度函数为解：⑴．由密度函数的性质§4

连续型随机变量返回主目录例1（续）§4

连续型随机变量返回主目录例1（续）§4

连续型随机变量返回主目录例1（续）§4

连续型随机变量返回主目录§4

连续型随机变量例2返回主目录例3§4

连续型随机变量§4

连续型随机变量返回主目录由分布函数的性质有解得例4§4

连续型随机变量例4（续）返回主目录例5某电子元件的寿命X（单位：小时）是以为密度函数的连续型随机变量．求5个同类型的元件在使用的前150小时内恰有2个需要更换的概率.§4

连续型随机变量返回主目录分析：某元件在使用的前150小时内是否需要更换是一次Bernoulli试验，检验5个元件的使用寿命可以看作是在做5重Bernoulli试验．所以，关键是求一个元件在使用的前150小时内需要更换的概率。例5某电子元件的寿命X（单位：小时）是以为密度函数的连续型随机变量．求5个同类型的元件在使用的前150小时内恰有2个需要更换的概率.§4

连续型随机变量返回主目录解：设A={任一元件在使用的前150小时内需要更换}例5（续）§4

连续型随机变量返回主目录B={5个元件中恰有2个的使用寿命不超过150小时}={5重Bernoulli试验中A恰好发生两次}令：Y=“5个元件中使用寿命不超过150小时的元件数”

（2）已知概率密度，会求事件的概率；返回主目录

连续型随机变量常见的问题小结:§4

连续型随机变量（3）已知概率密度,会求分布函数;（1）会确定概率密度中的常数；（4）已知分布函数,会求概率密度.二.一些常用的连续型随机变量§4

连续型随机变量1．均匀分布(uniform)定义2.4.2若随机变量的密度函数为记作X~U[a,b]返回主目录均匀分布的概率背景：XXabxll0返回主目录

重要的连续分布返回主目录

重要的连续分布均匀分布的概率背景

均匀分布的应用：数值计算中的舍入误差，某一时间间隔内汽车站上乘客到站的时间，等均认为服从均匀分布。均匀分布的分布函数abxF(x)01返回主目录

重要的连续分布[]的分布函数为则上的均匀分布，，服从区间若随机变量XbaX例6

设公共汽车站从上午7时起每隔15分钟来一班车,如果乘客到达此站的时间是7:00到7:30之间的均匀随机变量．试求乘客候车时间不超过5分钟的概率．§4

连续型随机变量返回主目录[]上的均匀分布．，服从区间则300X分析：设乘客于7时X分到达此站．{候车时间不超过5分钟}例6（解）B={候车时间不超过5分钟}§4

连续型随机变量返回主目录设乘客于7时X分到达此站．[]上的均匀分布．，服从区间则300X例7§4

连续型随机变量返回主目录分析：例7§4

连续型随机变量返回主目录例7（续）§4

连续型随机变量返回主目录2．指数分布（exponentialdistribution)定义2.4.3如果随机变量X的密度函数为§4

连续型随机变量返回主目录指数分布的分布函数§4

连续型随机变量返回主目录指数分布的应用：指数分布常作为各种“寿命”分布的近似分布，如：“灯泡的寿命”，“动物的寿命”，“电话问题中的通话时间”，“随机服务系统中的服务时间”都常假定服从指数分布。注意:§4

连续型随机变量返回主目录指数分布的重要性质--------无记忆性:设X服从指数分布，则上式说明:§4

连续型随机变量返回主目录设X服从指数分布，则

若把X解释为人的寿命，从群体角度讲:{X>s}表示s岁以上的人群,{X>s+t}表示s+t岁以上的人群.上结果表明：s岁以上的人群中,s+t岁以上的人所占的比例与s无关.

从个人角度讲:如果已知某人活了s年，则他至少再活t年的概率与年龄s无关.§4

连续型随机变量返回主目录设X服从指数分布，则

从个人角度讲:某人已5岁了，，他至少再活10年的概率与另一人已50岁了，，他至少再活10年的概率一样。所以人们风趣地称指数分布的这一性质为“永远年轻”，又称“无记忆性”----即把过去的年龄忘记了。例8§4

连续型随机变量返回主目录例8（续）令：B={等待时间为10~20分钟}§4

连续型随机变量返回主目录例9§4

连续型随机变量返回主目录“无记忆性”例9（续）§4

连续型随机变量返回主目录解:3．正态分布

重要的连续分布xf(x)0的密度函数为如果连续型随机变量X()()()+¥<<¥-=--xexfx22221smsp()，为参数，其中0>+¥<<¥-sm()正态分布．记作的，服从参数为则称随机变量2smX()2~sm，NX定义2.4.4

重要的连续分布x0标准正态分布密度函数的验证

重要的连续分布返回主目录密度函数的验证(续)

重要的连续分布返回主目录密度函数的验证(续)

重要的连续分布返回主目录为此，我们只需证明：密度函数的验证(续)

重要的连续分布返回主目录则有，，作极坐标变换：qqsincosryrx==密度函数的验证(续)

重要的连续分布返回主目录ssmdxduxu=-=则，作变换：

重要的连续分布返回主目录

重要的连续分布返回主目录221dudxux==-则，令

重要的连续分布返回主目录正态分布密度函数的图形性质

重要的连续分布x0正态分布密度函数的图形性质

重要的连续分布x0正态分布密度函数的图形性质

重要的连续分布x0正态分布密度函数的图形性质（续）

重要的连续分布x0返回主目录正态分布的重要性质：

重要的连续分布xf(x)0返回主目录正态分布的重要性正态分布是概率论中最重要的分布，这可以由以下情形加以说明：

⑴．正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之一，大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布的．可以证明，如果一个随机指标受到诸多因素的影响，但其中任何一个因素都不起决定性作用，则该随机指标一定服从或近似服从正态分布．

⑵．正态分布有许多良好的性质，这些性质是其它许多分布所不具备的．

⑶．正态分布可以作为许多分布的近似分布．返回主目录

重要的连续分布标准正态分布的计算

重要的连续分布标准正态分布的计算（续）

重要的连续分布x0-xx(){}xXPxx£=F³我们可直接查表求出对于0:0，我们有公式如果<x一般正态分布的计算

重要的连续分布一般正态分布的分布函数与标准正态分布的分布

函数之间的关系：

重要的连续分布返回主目录正态分布的原则:返回主目录

重要的连续分布返回主目录上述原则称为正态分布的原则.

重要的连续分布例10

重要的连续分布返回主目录例11

重要的连续分布返回主目录

重要的连续分布例11(续)返回主目录

重要的连续分布例11(续)返回主目录例12

重要的连续分布返回主目录例11(续)

重要的连续分布返回主目录例12

重要的连续分布返回主目录例13

重要的连续分布返回主目录例13（续）

返回主目录

重要的连续分布例14（书中第40页例5）

重要的连续分布返回主目录例14（续）

重要的连续分布返回主目录

重要的连续分布0

重要的连续分布0

重要的连续分布4.-分布.返回主目录Γ-函数

重要的连续分布返回主目录

重要的连续分布说明：

重要的连续分布说明：返回主目录作业：§2.5随机变量的函数的分布

离散型

连续型

定理及其应用返回主目录随机变量的函数§2.5随机变量的函数的分布返回主目录例1§5随机变量的函数的分布返回主目录一、离散型随机变量的函数的分布例1（续）§5随机变量的函数的分布返回主目录

设随机变量

X

具有以下的分布律，试求

Y=X2

的分布律.pkX-10120.20.30.10.4

解:Y有可能取的值为0，1，4.P{Y=0}=P{X=0}=0.3,§5随机变量的函数的分布例2返回主目录P{Y=1}=P{X=-1}+P{X=1}=0.2+0.1=0.3,P{Y=4}=P{X=2}=0.4,pkY0140.30.30.4所以，Y=X2的分布律为：pkX-10120.20.30.10.4§5随机变量的函数的分布例2（续）返回主目录例3§5随机变量的函数的分布返回主目录

解:Y有可能取的值为0，1，-1.例3（续）§5随机变量的函数的分布补充题3返回主目录已知X的分布函数为

§5随机变量的函数的分布返回主目录补充题3答案§5随机变量的函数的分布离散型