小学五年级数学思维训练(奥数)《最大公因数》专题训练(含答案)

最大公因数专题简析：几个数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个就是这几个数的最大公因数。课本向我们介绍了用列举法来求几个数的最大公因数。本讲我们一起来探讨用短除法、辗转相除法等几个方法求几个数的最大公因数。自然数a、b的最大公因数可以记作（a,b）。例1用短除法求36和54的最大公因数。分析与解答：人们常常用短除法求两个数的最大公因数,短除法的形式如下：23654-……先同时除以公因数2；31827•……再同时除以公因数3；369……再同时除以公因数3；23……除到两个商为互质数为止把上式中所有的除数相乘所得的积即为36和54的最大公因数即（36,54）=2X3X3=18.随堂练习：用短除法求40和32的最大公因数。例2求45、60、90这三个数的最大公因数。分析与解答：与前面的例1不同的是这道题要求三个数的最大公因数方法1：可以用列举法。45的因数有：1,3,4,5,9,15,45；60的因数有：1,2,3,4,5，6,10,12,15,20,30,60；90的因数有：1,2,3,4,5，6,10,15,18,30,45,90.45,60和90的公因数有：1,3,5,15；所以（45,60,90）=15.方法2：也可以用短除法。3456090……先同时除以公因数3；5152030……再同时除以公因数5；346……除到三个商只有公因数1为止。把上式的除数3和5相乘所得的积即为45,60,和90的最大公因数，即（45,60,90）=3X5=15.随堂练习：用短除法求36、48和60的最大公因数。例3求319和377的最大公因数。分析与解答：求这两个数的最大公因数如果用短除法很难找出它们的公因数，我们可以用下面这种新的方法：用较大的数377除以较小的数319；377三319=1……58上面的算式中有余数58，用上式中的除数319除以余数58：319^58=5……29上面的算式中仍有余数，再用上式中的除数58除以余数29：58三29=2上式中没有余数了，这时算式中的除数29就是想319和377的最大公因数，即（319,377）=29上面这张求最大公因数的方法被古希腊的大数学家欧几里德命名为“辗转相除法”。随堂练习：求217和372的最大公因数。例4用454和546除以同一个整数，余数都是17，这个整数是多少？分析与解答：根据题意，如果将454和546同时减去余数17，所得的差应都是这个整数的倍数，而这个整数则是它们的公因数。454—17=437546—17=529529三437=1……92437三92=4……6292三69=1……2369三23=3（437,529）=23答：这个整数是23。随堂练习：用349和635除以同一个整数，余数都是19，求这个数。例5用31、61和76除以同一个整数，余数都是1，这个整数最大是多少？分析与解答：如果把31、61和76这三个数都同时减去1得30、60和75，所求的整数就是30、60和75的最大公因数。31—1=3061—1=6076—1=7533060755102025；245(30,60,75)=15答：这个整数最大是15。随堂练习：用28、40和64除以同一个整数都余4，这个数最大是多少？例6用360、314和245除以同一个整数所得到的余数都相同，这个整数最大是多少？分析与解答：根据题意，这三个数除以同一个整数所得到的余数相同如果从三个数中选两个相减，得到：360—314=46360—245=115314—245=69所求的整数就是46、115和69的最大公因数。234611569253(46,115,69)=23893893三470=1423答：这个整数是23.随堂练习：用853、1129和1497同时除以一个整数所得余数相同，这个整数是多少？拓展应用：1.求140、210和175的最大公因数。2.求4935和13912的最大公因数。用504和708除以同一个整数，余数都是28，求这个数。用37、69和85除以同一个整数都余5，这个数最大是多少？用365、450和314除以同一个整数，余数都相同，这个数是多少？部分答案拓展应用1、(140,210,175)=352、可用“辗转相除法”13912三4935=2……40424935三4042=1……8934042三893=4……470470三423=1……47423三47=9(4935,13912)=473、504-28=476,708-28=680(4