【人教A版】2018版高考数学(文科)一轮设计：第八、九章教师用书(Word版,含答案)

.第几何初第1讲空间几何体的结构、三视图和直观图最新考纲1•认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图；3•会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.|基闊诊断町汪白测，迎％记忆知识梳理1•简单多面体的结构特征⑴棱柱的侧棱都平行且相等，上、下底面是全等且平行的多边形;棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形:棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上、下底面是相似多边形旋转体的形成几何体旋转图形旋转轴圆柱矩形任一边所在的直线圆锥直角三角形任一直角边所在的直线圆台直角梯形垂直于底边的腰所在的直线球半圆直径所在的直线三视图几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线•三视图的画法基本要求：长对正，高平齐，宽相等.

在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线•直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是:(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x轴、y轴的夹角为45°或135°，z轴与x轴、y轴所在平面垂直.⑵原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原_来的一半.诊断自测1•判断正误(在括号内打“V”或“x”)「精彩PPT展示TOC\o"1-5"\h\z有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.()有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥.()用斜二测画法画水平放置的/A时，若/A的两边分别平行于x轴和y轴，且/A=90°则在直观图中，/A=45°.()⑷正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同.()解析(1)反例：由两个平行六面体上下组合在一起的图形满足条件，但不是棱柱.(2)反例：如图所示不是棱锥.用斜二测画法画水平放置的/A时，把x，y轴画成相交成45°或135°平行于x轴的线还平行于x轴，平行于y轴的线还平行于y轴，所以/A也可能为135°.正方体和球的三视图均相同，而圆锥的正视图和侧视图相同，且为等腰三角形，其俯视图为圆心和圆答案(1)x⑵x⑶x⑷x2.某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是()A.圆柱B.圆锥C.四面体D.三棱柱解析由三视图知识知圆锥、四面体、三棱柱(放倒看)都能使其正视图为三角形，而圆柱的正视图不可能为三角形

答案A3.如图，长方体ABCD—ABCD中被截去一部分，其中EH//AD'剩下的几何体是（）A.棱台B.四棱柱答案A3.如图，长方体ABCD—ABCD中被截去一部分，其中EH//AD'剩下的几何体是（）A.棱台B.四棱柱c.五棱柱D.六棱柱A解析由几何体的结构特征，剩下的几何体为五棱柱答案C4.（2016天津卷）将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥,得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，贝U该几何体的侧视图为正视图俯觇图解析先根据正视图和俯视图还原出几何体，再作其侧视图.由几何体的正视图和俯视图可知该几何体为图①，故其侧视图为图②.答案B正△AOB的边长为a，建立如图所示的直角坐标系xOy,贝尼的直观图的面积是.解析画出坐标系xO'y'，作出厶OAB的直观图OAB'如图）.D1为OA的中点.易知D'B丄2DB（D为OA的中点）,SaSaOAB—S^oab=答案I考点突破陌匚弓PPTK用囲分类讲练，以恻求決考点一空间几何体的结构特征【例1】⑴给出下列命题：在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；TOC\o"1-5"\h\z棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等•其中正确命题的个数是（）0B.1C.2D.3（2）以下命题：以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台.其中正确命题的个数为（）TOC\o"1-5"\h\z0B.1C.2D.3解析（1）①不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线；’②不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的■面所围成的几何体不是圆锥，如图所示，它是由两个同底圆锥组■成的几何体；③错误，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等（2）由圆台的定义可知①错误，②正确.对于命题③，只有平行于圆锥底面的平面

截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，③不正确•答案⑴A（2）B规律方法（1）关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种空间几何体的概念，要善于通过举反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只需举一个反例即可•（2）圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各元素的关系•⑶既然棱（圆）台是由棱（圆）锥定义的，所以在解决棱（圆）台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略•【训练1】下列结论正确的是（）各个面都是三角形的几何体是三棱锥夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线解析如图1知，A不正确.如图2,两个平行平面与底面不平行时，截得的几何体不是旋转体，则B不正确•若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形•由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长，C错误.由母线的概念知，选项D正确.答案D考点二空间几何体的三视图（多维探究）

命题角度一由空间几何体的直观图判断三视图【例2—1】一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是（）ABCABCD解析该几何体是组合体，上面的几何体是一个五面体，下面是一个长方体，且五面体的一个面即为长方体的一个面，五面体最上面的棱的两端点在底面的射影距左右两边距离相等，因此选解析该几何体是组合体，上面的几何体是一个五面体，下面是一个长方体，且五面体的一个面即为长方体的一个面，五面体最上面的棱的两端点在底面的射影距左右两边距离相等，因此选项B适合.答案B命题角度二由三视图判定几何体【例2—2】（1）（2014全国I卷）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是（）A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱⑵（2015北京卷）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（）A.1B.2C.A.1B.2C.3D.2解析⑴由题知，该几何体的三视图为一个三角形、两个四边形，经分析可知该几何体为三棱柱，故选B.

⑵由题中三视图知，此四棱锥的直观图如图所示，其中面ABCD⑵由题中三视图知，此四棱锥的直观图如图所示，其中面ABCD,PC=1,底面四边形ABCD为正方形且边长为棱长PA=“,；12+12+12=3.答案⑴B(2)C正侧一样高，正俯规律方法⑴由实物图画三视图或判断选择三视图，按照一样长，俯侧一样宽”的特点确认.正侧一样高，正俯(2)根据三视图还原几何体.①对柱、锥、台、球的三视图要熟悉明确三视图的形成原理，并能结合空间想象将三视图还原为直观图.根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据•提醒对于简单组合体的三视图，首先要确定正视、侧视、俯视的方向，其次要注意组合体由哪些几何体组成，弄清它们的组成方式，特别应注意它们的交线的位置，区分好实线和虚线的不同【训练2】(1)将正方体(如图1所示)截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体,则该几何体的侧视图为()ABCDABCD⑵如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个锥体的侧视图和俯视图，则该锥体的正视图可能是()

<'----/\//\ABI?解析(1)还原正方体后，将Di,D,A三点分别向正方体右侧面作垂线，----/\//\ABI?射影为CiB,且为实线，BiC被遮挡应为虚线.故选B.(2)由俯视图和侧视图可知原几何体是四棱锥，底面是长方形，内侧的侧面垂直于底面，所以正视图为A.答案(1)B(2)A考点三空间几何体的直观图【例3】已知等腰梯形ABCD，上底CD=1,腰AD=CB=.2,下底AB=3,以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图AB'C'D的面积为解析如图所示，作出等腰梯形ABCD的直观图：因为：(.'2)2-1=1,所以OE=殳，EF=了，则直观图ABCD的面积斜”斜”(两规律方法(1)画几何体的直观图一般采用斜二测画法，其规则可以用

坐标轴成45或135)°和“二测”(平行于y轴的线段长度减半，平行于x轴和z轴的线段长度不变)来掌握•对直观图的考查有两个方向，一是已知原图形求直观图的相关量，二是已知直观图求原图形中的相关量(2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系:解析如图1,在直观图中，过点A作AE丄BC,垂足为E.BE=在Rt△ABE中，AB=1，/ABE=45°又四边形AECD为矩形，AD=EC=BE=•••BC=BE+EC=¥+1.由此还原为原图形如图2所示，是直角梯形AB'C'D'在梯形ABCD'中,AD丄1，BC1，AB丄2.•••这块菜地的面积S=2(aD+BCba•丄1+1+今X2=2+说答案课莖总结［思想方法］画三视图的三个原则：⑴画法规则：“长对正，宽相等，高平齐”.（2）摆放规则：侧视图在正视图的右侧，俯视图在正视图的正下方.（3）实虚线的画法规则：可见轮廓线和棱用实线画出，不可见线和棱用虚线画出2•棱台和圆台是分别用平行于棱锥和圆锥的底面的平面截棱锥和圆锥后得到的，所以在解决棱台和圆台的相关问题时，常“还台为锥”，体现了转化的数学思想.［易错防范］1•台体可以看成是由锥体截得的，易忽视截面与底面平行且侧棱延长后必交于一占八、、・2•空间几何体不同放置时其三视图不一定相同.3•对于简单组合体，若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，易忽视实虚线的画法•I课时柞业丨分层训练*提升能力基础巩固题组（建议用时：30分钟）一、选择题1•关于空间几何体的结构特征，下列说法不正确的是（）棱柱的侧棱长都相等棱锥的侧棱长都相等三棱台的上、下底面是相似三角形有的棱台的侧棱长都相等解析根据棱锥的结构特征知，棱锥的侧棱长不一定都相等•答案B如图所示的几何体是棱柱的有（）

A.②③⑤C.③⑤3D.①③A.②③⑤C.③⑤3D.①③解析由棱柱的定义知③⑤两个几何体是棱柱.答案C（2017衡水中学月考）将长方体截去一个四棱锥后得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（）解析解析角的对角线，•••该几何体的侧视图为选项D.答案D如图是一几何体的直观图、正视图和俯视图，该几何体的侧视图为（）俯视圏224斗D俯视圏224斗D解析由直观图和正视图、俯视图可知，该几何体的侧视图应为面PAD，且EC投影在面FAD上且为实线，点E的投影点为FA的中点，故B正确.答案B5.解析如图，设辅助正方体的棱长为三棱锥A-BCD，最长的棱为AD=A.①③解析如图，设辅助正方体的棱长为三棱锥A-BCD，最长的棱为AD=A.①③B.①④C②④D.①②③④如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）A.62B.42答案C6•某几何体的正视图和侧视图均为如图所示的图形，贝恠下图的四个图中可以作为该几何体的俯视图的是（解析由正视图和侧视图知，该几何体为球与正四棱柱或球与圆柱体的组合体,故①③正确.答案A（2015全国U卷）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（((7((71,则三棱锥的体积为Vi1,则三棱锥的体积为Vi=3X2Xixix1=6.剩余部分的体积V2=i3—石=6.因此,V11V2=5.解析由已知三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个“大角”后剩余的部分，如图所示，截去部分是一个三棱锥•设正方体的棱长为11ii5答案D（2017石家庄质检）一个三棱锥的正视图和俯视图如图所示，贝U该三棱锥的侧视图可能为（）ABAB解析解析由题图可知，该几何体为如图所示的三棱锥，其中平面ACD丄平面BCD.所以该三棱锥的侧视图可能为选项D.答案D二、填空题（2017福建龙岩联考）一水平放置的平面四边形OABC,用斜二测画法画出它的直观图OAB'C如图所示，此直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面四边形OABC面积为CC1正视图侧视圉广11正视图侧视圉广1十」丁B解析因为直观图的面积是原图形面积的¥倍，且直观图的面积为1所以原图形的面积为2・2.答案22（2017兰州模拟）已知正方体的棱长为1,其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为羽的矩形，则该正方体的正视图的面积等于.解析由题知此正方体的正视图与侧视图是一样的，正视图的面积与侧视图的面积相等为2答案2某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为▽俯视图解析由题中三视图可知，三棱锥的直观图如图所示，其中PA丄平面ABC,M为AC的中点，且BM丄AC.故该三棱锥的最长棱为PC.在Rt△PAC中，PC—；PA2+AC2=」22+22=22.答案22如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点P是上底面A1B1C1D1内一动点，则三棱锥P—ABC的正视图与侧视图的面积的比值为.解析三棱锥P—ABC的正视图与侧视图为底边和高均相等的三角形，故它们的面积相等，面积比值为1.答案1能力提升题组

（建议用时：15分钟）在如图所示的空间直角坐标系O—xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2,2），给出编号①②③④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（）I2y①I2y①A.①和②B.③A.①和②B.③和①C.④和③D.④和②解析如图，在坐标系中标出已知的四个点，根据三视图的画图规则判断三棱锥的正视图为④，俯视图为②.答案D如图是一个几何体的三视图，贝U该几何体任意两个顶点间距离的最大值是俯现图4B.5C.32D解析由三视图知几何体的直观图如图所示，计算可知线段

D最长，且AF=；BF2+AB2=33.答案D（2017长郡中学月考）已知△ABC的平面直观图△AB'C是边长为a的正三角形，那么原厶ABC的面积为解析如图，过C作y轴的平行线CD'，与x轴交于点D'则2a\/6CD丄SinT45丁°2"a.又CD是原△ABC的高CD的直观图,所以CD=6a.”1762故Sxabc=qABCD="^a.答案寻2（2016北京卷）某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为値觇图値觇图解析由题中三视图可画出长为2、宽为1、高为1的长方体,将该几何体还原到长方体中，如图所示，该几何体为四棱柱ABCD-ABCD'.13故该四棱柱的体积V=Sh=2X（1+2）X1X1=2.3答案3第2讲空间几何体的表面积与体积最新考纲了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式II基础诊断琉置自测，理解记忆知识梳理1•多面体的表(侧)面积多面体的各个面都是平面，则多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和•2•圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图<-X*—/「■-111L，2ltr!/V7'—浴R存:侧面积公式S圆柱侧=2nlS圆锥侧=nlS圆台侧=n（1+r2）l3.柱、锥、台和球的表面积和体积表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积S侧+2S底v=sh锥体(棱锥和圆锥)S表面积=S侧+S底1v=鈔台体(棱台和圆台)S表面积=S侧+S上+S下v=3（s上+s下+JS上S下）h球s=4nRv^4nR3诊断自测1•判断正误(在括号内打“V”或“X”)「精彩PPT展示TOC\o"1-5"\h\z锥体的体积等于底面面积与高之积.()球的体积之比等于半径比的平方.()台体的体积可转化为两个锥体的体积之差.()3⑷已知球0的半径为R,其内接正方体的边长为a,则R=2"a.()解析(1)锥体的体积等于底面面积与高之积的三分之一，故不正确

（2）球的体积之比等于半径比的立方，故不正确.答案⑴X⑵X⑶V⑷V已知圆锥的表面积等于12ncm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为（）31cmB.2cmC.3cmD.~cm解析S表=n+nl=n+n2r=3n=12n二r—4,二r=2（cm）.答案B（2017西安一中月考）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）冊视图3nB.4nC.2n+4D.3+4解析由几何体的三视图可知，该几何体为半圆柱，直观图如图所示•12表面积为2X2+2XQXnX1+nX1X2—4+3n.答案D（2016全国U卷）体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）3212nB.ynC.8nD.4n解析设正方体的棱长为a，贝Ua3—8,解得a—2.设球的半径为R,贝U2R—3a，即R—3.所以球的表面积S—4nR2—12n.答案A（2016天津卷）已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m），则该四棱锥的体积为m3.

解析根据三视图可知该四棱锥的底面是底边长为2m,高为1m的平行四边13形，四棱锥的高为3m.故该四棱锥的体积V=3X2X1X3二2（m3）.答案2分类讲练.以例求法考点一空间几何体的表面积【例1】（1）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（）A.8+22AM图测视图B.11A.8+22AM图测视图B.11+22C.14+22D.15⑵（2016全国I卷）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是号尹则它的表面积是（圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是号尹则它的表面积是（）17nB.18n17nB.18nC.20nD.28n解析（1）由三视图知，该几何体是一个直四棱柱，上为直角梯形，如图所示解析（1）由三视图知，该几何体是一个直四棱柱，上为直角梯形，如图所示•直角梯形斜腰长为「】2+12=■2，所以底面周长为面积为2X(4+2)=8+22,两底面的面积和为2X*X1X(1+2)=3.所以该几何体的表面积为8+2.2+3=11+22.1⑵由三视图知该几何体为球去掉了§球所剩的几何体(如图).TOC\o"1-5"\h\z74328n设球的半径为R,则3nR=~3,R=2.7232故几何体的表面积S=4nR+4nR=17n.答案(1)B(2)A规律方法空间几何体表面积的求法(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量.(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理⑶旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用【训练1】(2016全国川卷)如图所示，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为()18+365B.54+185C.90D.81解析由几何体的三视图可知，该几何体是底面为正方形的斜平行六面体由题意可知该几何体底面边长为3，高为6，所以侧棱长为"3+6=3.5.故该几何体的表面积S=32X2+(3X6)X2+(3X3.5)X2=54+185.答案B考点二空间几何体的体积【例2】(1)(2016山东卷)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示则该几何体的体积为()

12

a・3+3n侧视图俯视图12B3+亍nC12

a・3+3n侧视图俯视图12B3+亍nCi+¥nD.1+尹⑵(2014全国U卷)正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为2,侧棱长为3,D为BC中点，则三棱锥A—B1DC1的体积为()A.33B.3C.13D21_2="3+"6冗.解析(1)由三视图知该四棱锥是底面边长为1_2="3+"6冗.可得半球半径为乎，从而该几何体的体积为*x12x1+2X4冗><⑵由题意可知，AD丄平面B1DC1，即AD为三棱锥A—B1DC1的高,且AD=~2"X2=3，易求得SAB1DC1=2X2X3=3，1所以VA—B1DC1=3X.3X3=1.答案(1)C(2)C规律方法空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解•⑵若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，贝U常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.【训练2】(1)已知等腰直角三角形的直角边的长为2,将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()2^2nB.4^2nC.22nD.42n⑵(2015浙江卷改编)某几何体的三视图如图所示(单位：cm),则该几何体的体积是cm3.2_1_止视图恻视图H—2—H解析(1)绕等腰直角三角形的斜边所在的直线旋转一周形成的曲面围成的几何体为两个底面重合，等体积的圆锥的组合体，如图所示.€三二每一个圆锥的底面半径和高都为，2，故所求几何体的体积V=2X1⑵由三视图可知该几何体是由棱长为2cm的正方体与底面边长为2cm正方形、高为2cm的正四棱锥组成.33又正方体的体积Vi=2=8(cm)，正四棱锥的体积V2=^X22x2=3(cm3).所以该几何体的体积V=Vi+V2=32(cm3).答案(i)B⑵32

考点三多面体与球的切、接问题(典例迁移)【例3】(经典母题)(2016全国川卷)在封闭的直三棱柱ABC—A1B1C1内有一个体TOC\o"1-5"\h\z积为V的球若AB丄BC,AB=6,BC=8,AAl3,则V的最大值是()9n32n4nB.yC.6nD.~3解析由AB丄BC,AB=6,BC=8,得AC=10.要使球的体积V最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若球与三个侧面相切，设11底面△ABC的内切圆的半径为r.则6X8=p(6+8+10)•，所以r=2.2r=4>3,不合题意.球与三棱柱的上、下底面相切时，球的半径R最大.3439由2R=3,即R=2.故球的最大体积V=2冗.答案B【迁移探究1】若本例中的条件变为“直三棱柱ABC—A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上”，若AB=3,AC=4,AB丄AC,AA1=12,求球O的表面积.解将直三棱柱补形为长方体ABEC—A1B1E1C1,则球O是长方体ABEC—A1B1E1C1的外接球.•••体对角线BC1的长为球O的直径.因此2R=.32+42+122=13.故S球=4dR2=169n.O的球面上”，若【迁移探究2】若本例中的条件变为“正四棱锥的顶点都在球该棱锥的高为4,底面边长为2O的球面上”，若解如图，设球心为O,半径为r,则在Rt△AOF中，(4—r)2+(.2)2=r2,解得r=9，则球O的体积V球=彳n3=3nX9=彳：；兀规律方法空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或

“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题•⑵若球面上四点P,A,B,C中PA,PB,PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题.课営总结［思想方法］转化与化归思想：计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形，“化曲为直”来解决，因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法.求体积的两种方法：（1）割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决.（2）等积法：等积法包括等面积法和等体积法.等体积法的前提是几何图形（或几何体）的面积（或体积）通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高•［易错防范］求组合体的表面积时：组合体的衔接部分的面积问题易出错.由三视图计算几何体的表面积与体积时，由于几何体的还原不准确及几何体的结构特征认识不准易导致失误•3•底面是梯形的四棱柱侧放时，容易和四棱台混淆，在识别时要紧扣定义，以防出错•|课时昨业丨分层训练，提蘇籠为基础巩固题组（建议用时：40分钟）一、选择题1.（2015全国I卷）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3,估算出堆放的米约有（）A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛解析设米堆的底面半径为r尺,n则2n二8,所以16

r=.冗A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛解析设米堆的底面半径为r尺,n则2n二8,所以16

r=.冗所以米堆的体积为V=卜3nr25=12.165^爭（立方尺）.320故堆放的米约有可T62"22（斛）.答案B2.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是正视图中的x的值是（）9A.2B.23C.2D.3侧视图3,1解析由三视图知，该几何体是四棱锥，底面是直角梯形，且S底=刃+2）X21=3.—V=尹3=3，解得x=3.答案D3.（2017合肥模拟）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）B.2+3A.1+3C.1+22D.2一2解析四面体的直观图如图所示•侧面SAC丄底面ABC,且厶SAC与厶ABC均为腰长是腰直角三角形，SA=SC=AB=BC=2,AC=2.设AC的中点为0,连接SO,BO,贝USO丄AC,又SO?平面SAC,平面SACG平面ABC=AC,•••SO丄平面ABC,又BO?平面ABC,二SO丄BO.又OS=OB=1,二SB=2,1故厶SAB与厶SBC均是边长为.2的正三角形，故该四面体的表面积为2X2X2X2+2^43X（2）2=2+.3.答案B（2015全国U卷）已知A,B是球O的球面上两点，/AOB=90°C为该球面上的动点•若三棱锥O—ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为（）A.36nB.64nC.144nD.256n解析因为△AOB的面积为定值，所以当OC垂直于平面AOB时，三棱锥O—ABC的体积取得最大值.由3X^R2XR=36,得R=6.从而球O的表面积S=4冗R2=144n.pAB答案CpAB（2017青岛模拟）如图，四棱锥P—ABCD的底面ABCD为平行四边形，NB=2PN，则三棱锥N—PAC与三棱锥D—FAC的体积比为（）B.1:8A.1B.1:8C.1:6D.1C.1:6解析设点F,N在平面ABCD内的投影分别为点P',N',则PP'丄平面ABCD,NN'2NN'丄平面ABCD，所以PP'//NN；则在△BPP中，由BN=2PN得而戶§.ABCPP三棱锥N—PAC=V三棱锥P—ABC—V三棱锥N—ABCABCPP111abcNN'=§Subc(PP'—NN'今§S°abc•

1113卩卩'=9压ABCPP；V三棱锥D-PAC=V三棱锥P-ACD=ACDPP’，又工四边形ABCDV三棱锥N—PAC1是平行四边形，二S\ABC=ACD，二=3.故选D.V三棱锥D—FAC3答案D、填空题现有橡皮泥制作的底面半径为5,高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个•若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为解析设新的底面半径为r，由题意得£n24+n28=3nX52X4+nX22x8，解得7.答案，7已知底面边长为1,侧棱长为“2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，贝够球的体积为解析依题意可知正四棱柱体对角线的长度等于球的直径，可设球半径为R,则'12+12+(2)2=2,解得R=1，所以V=养3=34答案4冗8.（2017郑州质检）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为刚视图刚视图解析由三视图可知，该几何体是一个底面半径为1,高为2.、.八、21的圆柱和底面半径为1,高为1的半圆锥拼成的组合体.•••体积V=nX1X2+213~6冗答案136三、解答题9.已知一个几何体的三视图如图所示.求此几何体的表面积；如果点P,Q在正视图中所示位置，P为所在线段中点，Q为顶点，求在几何体表面上，从答案136三、解答题9.已知一个几何体的三视图如图所示.求此几何体的表面积；如果点P,Q在正视图中所示位置，P为所在线段中点，Q为顶点，求在几何体表面上，从P点到Q点的最短路径的长.解(1)由三视图知该几何体是由一个圆锥与一L卜觌图Q俯视图个圆柱组成的组合体，其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和.S圆锥侧=(:2a)=.2n，2S圆柱侧=(2n)(2a)=4na，S圆柱底=£2，所以S表=f2n2+4£2+：a2=(“*2+5)n2.⑵沿P点与Q点所在母线剪开圆柱侧面，如图则PQ=\；AP2+AQ2=.a2+(na)2=a,1+/，所以从P点到Q点在侧面上的最短路径的长为a「1+上10.(2015全国U卷)如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，D1C1上,A〔E=D1F=4过点E，F的平面a与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);求平面a把该长方体分成的两部分体积的比值解⑴交线围成的正方形EHGF如图所示.(2)如图，作EM丄AB解⑴交线围成的正方形EHGF如图所示.(2)如图，作EM丄AB，垂足为M，贝UAM=AiE=4,EBi=12,EM=AAi=8.因为四边形EHGF为正方形，所以EH=EF=BC=10.于是MH=EH12-EM2=6，AH=10，HB=6.1故S四边形A[EHA=2X(4+10)X8=56，1S四边形EB1BH=2X(12+6)X8=72.因为长方体被平面a分成两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为77也正确.能力提升题组(建议用时：20分钟)11.若某一几何体的正视图与侧视图均为边长是1的正方形,1且其体积为刃则该几何体的俯视图可以是()解析若俯视图为A，则该几何体为正方体，其体积为1,不满足条件.若俯视图为B，则该几何体为圆柱，其体积为nJX1=n，不满足条件.若俯视图为C，11则该几何体为三棱柱，其体积为^X1X1X1=3,满足条件.若俯视图为D，贝U该A.1B.2解析该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为r，圆柱的底面半径为r，高为2r，如图.则表面积12222S=2X4n2+n2+(2r)2+n2r=(5十4)r2,又S=16+20n•••(5+4)r2=16+20，解得r=2.答案B13•圆锥被一个平面截去一部分，剩余部分再被另一个平面截去一部分后，与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示，若r二1,则该几何体的体积为.解析根据三视图中的正视图和俯视图知，该几何体是由一个半径1r=1的半球，一个底面半径r=1、高2r=2的4圆锥组成的，则其体4311215n积为V=3nrX2+3nrX2rX4=14•四面体ABCD及其三视图如图所示，平行于棱AD，BC的平面分别交四面体的棱AB，BD，DC，CA于点E，F，G，H.⑴求四面体ABCD的体积；证明：四边形EFGH是矩形.解由该四面体的三视图可知，BD丄DC,BD丄AD,AD丄DC,BD=DC=2,AD=1,又BDADC=D，二AD丄平面BDC,112•••四面体ABCD的体积V=3X2X2X2X1=3.⑵证明tBC//平面EFGH，平面EFGHG平面BDC=FG,平面EFGHG平面ABC=EH,：BC/FG,BC/EH,•••FG//EH.同理，EF//AD,HG//AD，二EF/HG,•••四边形EFGH是平行四边形.又•••AD丄平面BDC,BC?平面BDC,：AD丄BC,•••EF丄FG,二四边形EFGH是矩形.第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系最新考纲1.理解空间直线、平面位置关系的定义；2.了解可以作为推理依据的公理和定理；3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.|基晞诊断"辺W飞殺.己辽知识梳理1•平面的基本性质公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内.公理2:过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面.公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线•

空间点、直线、平面之间的位置关系平行公理(公理4)和等角定理平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.异面直线所成的角⑴定义：设a,b是两条异面直线，经过空间任一点0作直线a7/a,b7/b,把a'与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).⑵范围：jo,n1诊断自测1•判断正误(在括号内打“V”或“X”)「精彩PPT展示两个平面a,B有一个公共点A,就说a,B相交于过A点的任意一条直线.()TOC\o"1-5"\h\z两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.()如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.()⑷若直线a不平行于平面a,且a?a,则a内的所有直线与a异面.()

解析（1）如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，故错误.（3）如果两个平面有三个公共点，则这两个平面相交或重合，故错误⑷由于a不平行于平面a且a?a，则a与平面a相交，故平面a内有与a相交的直线，故错误.答案⑴X⑵V⑶x⑷x（必修2P52B1（2）改编）如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为（）A.30°B.45°D.90C.60D.90解析连接B1D1，D1C，贝UB1D1//EF，故/D1B1C为所求的角.又B1D1=B1C=D1C，•••/D1B1S60°.答案C在下列命题中，不是公理的是（）平行于同一个平面的两个平面相互平行过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线解析选项A是面面平行的性质定理，是由公理推证出来的答案A（2016山东卷）已知直线a，b分别在两个不同的平面a，B内，贝厂'直线a和直线b相交”是“平面a和平面B相交”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析由题意知a?a，b?B,若a，b相交，则a，b有公共点，从而a,B有公

共点，可得出a,B相交；反之，若a,B相交，则a,b的位置关系可能为平行、相交或异面•因此“直线a和直线b相交”是“平面a和平面B相交”的充分不必要条件.答案A若直线a丄b,且直线a//平面a,则直线b与平面a的位置关系是答案b与a相交或b//a或b?aI考点突破附」PPT宜；i忙*分类匸练.以例求法考点一平面的基本性质及应用【例1】如图所示，在正方体ABCD—AiBiCiDi中，E,F分别是AB,AAi的中点.求证：E,C,Di,F四点共面；CE,DiF,DA三线共点.证明(i)如图，连接EF,CDi,AiB.•••E,F分别是AB,AAi的中点，二EF//AiB.又AiB//CDi,「.EF//CDi,•••E,C,Di,F四点共面.(2)tEF//CDi,EF<CDi,•••CE与DiF必相交，设交点为P,贝U由P€CE,CE?平面ABCD,得P€平面ABCD.同理P€平面ADDiAi.又平面ABCDG平面ADDiAi=DA,：P€直线DA.•••CE,DiF,DA三线共点.规律方法(i)证明线共面或点共面的常用方法直接法，证明直线平行或相交，从而证明线共面纳入平面法，先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内辅助平面法，先证明有关的点、线确定平面a,再证明其余元素确定平面B,最后证明平面a,B重合.

⑵证明点共线问题的常用方法基本性质法，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据基本性质3证明这些点都在这两个平面的交线上.纳入直线法，选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上【训练1】如图所示，四边形ABEF和ABCD都是梯形，BC■綉^AD，BE綉2fA，G，H分别为FA，FD的中点.证明：四边形BCHG是平行四边形；BCC,D，F，E四点是否共面？为什么？1证明由已知FG=GA，FH=HD，可得GH綉qAD.1又BC綉2AD,.・.GH綉BC，•••四边形BCHG为平行四边形.⑵解:BE綉2AF，G为FA的中点，二BE綉FG，•••四边形BEFG为平行四边形，二EF//BG.由(1)知BG綉CH，二EF/CH，aEF与CH共面.又D€FH，二C，D，F，E四点共面.考点二判断空间两直线的位置关系【例2】(1)(2015广东卷)若直线11和12是异面直线，11在平面a内，12在平面B内，I是平面a与平面B的交线，贝U下列命题正确的是()1与11,12都不相交I与11,12都相交C」至多与11，12中的一条相交D.I至少与11，12中的一条相交⑵(2017唐山一中月考)如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有(填上所有正确答案的序号).

解析⑴法一由于I与直线11,12分别共面，故直线I与11,12要么都不相交,要么至少与11，12中的一条相交•若1//11,1//12，则11//12,这与11,12是异面直线矛盾•故1至少与11,12中的一条相交.法二如图1,11与12是异面直线，11与I平行，12与I相交，故A,B不正确;如图2,11与12是异面直线，11,12都与1相交，故C不正确.图I国2（2）在图①中，直线GH//MN;在图②中，G,H,N三点共面，但M?面GHN,N?GH，因此直线GH与MN异面；在图③中，连接QM,GM//HN,因此GH与MN共面；在图④中，G,M,N共面，但H?面GMN,G?MN,因此GH与MN异面.所以在图②④中GH与MN异面.答案（1）D⑵②④规律方法（1）异面直线的判定方法反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面

定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线.⑵点、线、面位置关系的判定，要注意几何模型的选取，常借助正方体为模型，以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系•【训练2】⑴如图，在正方体ABCD—AiBiCiDi中，M,N分别是BCi，CDi的中点，贝U下列判断错误的是（）A.MN与CCi垂直MN与AC垂直MN与BD平行MN与AiBi平行（2）（20i7武汉调研）a,b，c表示不同的直线，M表示平面，给出四个命题：①若a//M，b//M，贝Ua//b或a，b相交或a，b异面；②若b?M，a//b,贝Ua//M；若a丄c，b丄c,贝Ua//b;④若a丄M，b丄M，贝Ua//b.其中正确的为（）A.①④B.②③C.③④D.①②解析（i）如图，连接CiD，在厶CiDB中，MN//BD,故C正确；•••CCi丄平面ABCD,BD?平面ABCD,「.CCi丄BD,MN_LCCi，故A正确；ACLBD,MN//BD,二MN丄AC,故B正确;AiBi与BD异面，MN//BD,•••MN与AiBi不可能平行，故选项D错误.⑵对于①，当a//M,b//M时，则a与b平行、相交或异面，①为真命题②中，b?M,a//b,则a//M或a?M，②为假命题.命题③中，a与b相交、平行或异面，③为假命题.由线面垂直的性质，命题④为真命题，所以①，④为真命题.

答案⑴D（2）A考点三异面直线所成的角【例3】（1）（2017佛山模拟）如图所示，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，D是AC的中点，AA1:AB=2:1，则异面直线AB1与BD所成的角为.A⑵（2016全国I卷）平面a过正方体ABCD—A1B1C1D1的顶点A，a//平面CB1D1,AA#B乎C#aG平面ABCD=m，aG平面ABB1A=n,则m,n所成角的正弦值为A#B乎C#AA解析⑴取A1C1的中点E，连接B1E，ED，AE，在Rt△AB1E中，/AB1E为异面直线AB1与BD所成的角.3设AB=1，贝UA〔A=2，AB1=3，B〔E=，故/AB〔E=60°⑵根据平面与平面平行的性质，将m,n所成的角转化为平面CB1D1与平面ABCD的交线及平面CB1D1与平面ABB1A1的交线所成的角•设平面CB1D1G平面ABCD=m1.平面all平面CB1D1，二m1//m.又平面ABCD//平面A1B1C1D1，且平面CB1D1G平面A1B1C1D1=B1D1,二B1D1//m1,二B1D1//m.•••平面ABB1A1//平面DCC1D1,且平面CB1D1G平面DCC1D1=CD1,同理可证CD1//n.因此直线m与n所成的角即直线B1D1与CD1所成的角.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，△CB1D1是正三角形,

故直线BiDi与CDi所成角为60°其正弦值为乎.答案(1)60°(2)A规律方法(1)求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移•(2)求异面直线所成角的三个步骤作：通过作平行线，得到相交直线的夹角.证：证明相交直线夹角为异面直线所成的角.求：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角，贝U它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角【训练3】如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD—AiBiCiDi中，AAi=2AB=2,则异面直线AiB与ADi所成2角的余弦值为()23434解析连接解析连接BCi，易证BCi//ADi，则/AiBCi即为异面直线AiB与ADi所成的角.连接AiCi，由AB=i,AAi=2,贝UAiCi=2,AiB=BCi在厶A在厶AiBCi中，由余弦定理得5+5—24cos/AiBC仔2门5X：5二5.i答案D课堂总结［思想方法］主要题型的解题方法⑴要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点也在这个平面内（即“纳入法”）.（2）要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知这些点在交线上.2•判定空间两条直线是异面直线的方法（1）判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线.（2）反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面.求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为相交直线的夹角，体现了化归思想.［易错防范］异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线”，实质上两异面直线不能确定任何一个平面，因此异面直线既不平行，也不相交直线与平面的位置关系在判断时最易忽视“线在面内”.两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角.I课时柞业丨分层训導*提升能丸基础巩固题组（建议用时：40分钟）一、选择题1.（2015湖北卷）11，12表示空间中的两条直线，若p：li，12是异面直线；q：11，12不相交，则（）p是q的充分条件，但不是q的必要条件p是q的必要条件，但不是q的充分条件p是q的充分必要条件p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件解析直线11，12是异面直线，一定有11与12不相交，因此p是q的充分条件；

若li与12不相交，那么li与12可能平行，也可能是异面直线，所以p不是q的必要条件.故选A.答案A2.（2017郑州联考）已知直线a和平面a,B,aGB=丨,a?a,a?B,且a在a,B内的射影分别为直线b和c,则直线b和c的位置关系是（）A.相交或平行B.相交或异面平行或异面D.相交、平行或异面解析依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面，选D.答案D3.给出下列说法3.给出下列说法：①梯形的四个顶点共面；点的两个平面重合；④三条直线两两相交,序号是（）A.①B.①④解析显然命题①正确.由于三棱柱的三条平行棱不共面,②错.命题③中，两个平面重合或相交，③错.②三条平行直线共面；③有三个公共可以确定1个或3个平面.其中正确的C.②③D.③④三条直线两两相交,可确定1个或3个平面,则命题④正确.答案B（2017济南模拟）a,b,c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是（）若直线a,b异面,b,c异面,则a,c异面若直线a,b相交，b,c相交，则a,c相交若a//b,则a,b与c所成的角相等若a丄b,b±c,贝Ua//c解析若直线a,b异面，b,c异面，则a,c相交、平行或异面；若a,b相交,b,c相交，则a,c相交、平行或异面；若a丄b,b丄c,则a,c相交、平行或异

面；由异面直线所成的角的定义知C正确.故选C.答案C5.已知正方5.已知正方体ABCD—AiBiCiDi中,E,F分别为BBi,CCi的中点，那么异面直线AE与DiF所成角的余弦值为（435435解析连接DF，贝UAE//解析连接DF，贝UAE//DF,•••/DiFD为异面直线AE与DiF所成的角•设正方体棱长为a,Di贝UDiD=a贝UDiD=a,DFa,DiF=-25a•••cos/DiFD=Ta—a2寻寻=5答案B二、填空题6.如图，在正方体ABCD—AiBiCiDi中，M,N分别为棱CiDi,CiC的中点，有以下四个结论：直线AM与CCi是相交直线；直线AM与BN是平行直线；直线BN与MBi是异面直线；直线MN与AC所成的角为60°其中正确的结论为填序号）.解析A,M,Ci三点共面，且在平面ADiCiB中，但C?平面ADiCiB,Ci?AM,因此直线AM与CCi是异面直线，同理AM与BN也是异面直线，①②错；M,Bi三点共面，且在平面MBBi中，但N?平面MBBi,B?MBi，因此直线BN与MBi是异面直线，③正确；连接DiC，因为DiC/MN，所以直线MN与AC所成

的角就是DiC与AC所成的角，且角为60°答案③④7.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面7.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面a上，且AB/CD，贝U直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为解析如图所示，取BC中点D，连接MN解析如图所示，取BC中点D，连接MN，ND,AD.•••M,N分别是AiBi,AiCi的中点,ii•••MN綉尹iCi.又BD綉2BiCi,解析取CD的中点H，连接EH,FH.在正四面体CDEF中，由于CD丄EH,CD丄HF，且EHAFH=H，所以CD丄平面EFH，所以AB丄平面EFH，则平面EFH与正方体的左右两侧面平行，则EF也与之平行，与其余四个平面相交.答案4（20i4全国U卷改编）直三棱柱ABC—AiBiCi中，/BCA=90°,M,N分别是AiBi，AiCi的中点，BC=CA=CCi,贝UAiBi，•••MN綉BD，则四边形BDNM为平行四边形，因此ND//BM,•••/AND为异面直线BM与AN所成的角（或其补角）.设BC=2,贝UBM=ND=6,AN=5,在厶ADN中，由余弦定理得cos/and-ND2+AN2—AD-姮cos/AND-2NDAN_10.故异面直线BM故异面直线BM与AN所成角的余弦值为.30io.答案130ABAB、解答题如图所示，正方体ABCD—AiBiCiDi中，M,N分别是A1B1,B1C1的中点•问：AM和CN是否是异面直线？说明理由；DiB和CCi是否是异面直线？说明理由•解(1)AM，CN不是异面直线.理由：连接MN，A1C1，AC.因为M，N分别是A1B1，B1C1的中点，所以MN//A1C1.又因为AiA綉CiC，所以四边形AiACCi为平行四边形，所以AiCi//AC，所以MN//AC,所以A，M，N，C在同一平面内，故AM和CN不是异面直线.⑵直线DiB和CCi是异面直线•理由：因为ABCD—AiBiCiDi是正方体，所以B，C，Ci，Di不共面.假设DiB与CCi不是异面直线，则存在平面a，使DiB?平面a，CCi?平面a,所以Di，B，C，Ci€a,这与B，C，Ci，Di不共面矛盾.所以假设不成立，即DiB和CCi是异面直线•i0.(20i7成都月考)如图所示，在三棱锥P—ABC中，PA丄底面ABC，D是PC的中点.n已知/BAC=2，AB=2，AC=23，PA=2.求：三棱锥P—ABC的体积；异面直线BC与AD所成角的余弦值.i解(10abc=2x2X2,3=23，三棱锥P—ABC的体积为

114V=3压abcPA=3X23X2=33.⑵如图，取PB的中点E,连接DE,AE,贝UED//BC,所以/ADE是异面直线BC与AD所成的角（或其补角）.cos/ADE22+22_2_2X2X2—3cos/ADE22+22_2_2X2X2—34.3故异面直线BC与AD所成角的余弦值为4.能力提升题组（建议用时：20分钟）以下四个命题中，不共面的四点中，其中任意三点不共线；若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面;若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；依次首尾相接的四条线段必共面.TOC\o"1-5"\h\z正确命题的个数是（）A.0B.1C.2D.3解析①假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面，这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以①正确.②从条件看出两平面有三个公共点A，B，C,但是若A，B，C共线，则结论不正确；③不正确；④不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形•答案B若空间中四条两两不同的直线11,12,13,14,满足11丄12,12丄13,13丄14,则下列结论一定正确的是（）I1丄1411//I4I1与I4既不垂直也不平行I1与I4的位置关系不确定

解析如图，在长方体ABCD—AiBiCiDi中，记li=DDi,12=DC,l3=DA.若l4=AAl，满足1l丄l2,12丄l3,13丄l4，此时li//l4，可以排除选项A和C.若取CiD为14,贝Uli与l4相交；若取BA为14,贝Uli与l4异面；取CiDi为14,则li与l4相交且垂直.因此li与l4的位置关系不能确定答案Di3.如图，正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直，且AC=BC=2,ZACB=90°F,G分别是线段AE,BC的中点，贝UAD与GF所成的角的余弦值为.i解析取DE的中点H，连接HF,GH.由题设，HF綉qAD.•••/GFH为异面直线AD与GF所成的角(或其补角).在厶GHF中，可求HF=2,GF=GH=,6,二cos/HFG_2+6二cos/HFG2X•,2X,；6—6答案-6i4.如图，在四棱锥O—ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA丄底面ABCD,OA=2,M为OA的中点.求四棱锥O—ABCD的体积；求异面直线OC与MD所成角的正切值.解⑴由已知可求得正方形ABCD的面积S=4,18所以四棱锥O—ABCD的体积V=3X4X2=§.O⑵如图，连接AC,设线段AC的中点为E,连接ME,DE，又M为OA中点，二ME//OC,O则/EMD(或其补角)为异面直线0C与M