数学模型基本概念

数学模型基本概念

《数学建模》的重要性

1、科学技术飞速发展，数学模型越来越起到重要作用；

2、《数学建模》课程建设在全国各大专院校蓬勃开展；

3、数学建模教育有利于学生解决实际问题综合能力的提高；

4、我们身边许多实际问题看起来与数学无关，但通过分析都可用简捷数学方法完美的解决。一、观测实验和抽象分析法欧拉多面体问题问题：一般凸的多面体其面数F、顶点数V和边数E之间有何关系？对此欧拉具体地观察了四面体、五面体…结果如下：几种简单的数学方法名称FVE四面体446五面体5（5）5（6）8（9）六面体6（6）8（6）12（10）七面体7（7）7（10）12（15）欧拉猜想F+V-E=2欧拉证明了这一猜想，这便是著名的欧拉定理。说明：1)用观察、归纳发现数学定理（建立模型）是一种重要方法。2）观察应该是大量的，仅凭少量的观察就去猜想有时会铸成错误。例如：17世纪大数学家费尔马（Fermat.1601-1655年）对公式进行试算：都是素数费尔马断言：“对任意自然数n，都是素数。”，这是著名的费尔马猜想。相隔近100年后，欧拉算出：不是素数，后来又有很多人算出n=6.7.8.9.11.12.15.18.23等都不是素数。二、鸽笼原理鸽笼原理：M+1只鸽子飞进M只笼子里，至少有2只鸽子在同一个笼子里。问题１：在一个边长为1的正三角形ABC中，一次最多能找到几个点，使得这些点彼此间的距离大于1/2？方法：在三角形内分别以A、B、C为中心，以1/2为半径作圆弧，将三角形分为四个部分，则根据鸽笼原理可知，最多可找到四个点，彼此距离大于1/2，例如A、B、C点及三角形的中心这四个点。问题２：能否在8×8的方格表ABCD各个空格中分别填写1、2、3这三个数中的任一个，使得每行、每列及对角线AC、BD上的各个数的和都不相同？为什么？方法：如图，因为每行、每列及对角线上的数都是8个,所以8个数的和最小值是1×8＝8，最大值是3×8=24，共有17个不同的和。而由题意知，每行、每列及对角线AC、BD上各个数的和应有8+8+2=18个，所以根据鸽笼原理，要想使每行、每列及两对角线上18个和都不相同是办不到的。三、估算方法问题：能否将一张纸对折100次？而从地球到太阳也不过1.5亿千米。结论：普通的纸对折100次是无法办到的。方法：设纸的厚度为0.05毫米，对折100次后，共有2100层。四、“奇偶校验”方法问题：铺瓷砖问题要用40块方形瓷砖铺设如图所示的地面上，但当时商店只有长方形瓷砖，每块大小等于方形的两块。一人买了20块长方形瓷砖，试着铺地面，结果弄来弄去始终无法完整铺好，你能给解决吗？方法：在40个方格上黑白相间地染色（思考：发现了什么？）仔细观察，发现共有19个白格和21个黑格。一块长方形瓷砖可盖住一白一黑两格，所以铺上19块长方形瓷砖后（无论用什么方式），总要剩下2个黑格没有铺，而一块长方形瓷砖是无法盖住2个黑格，唯一的办法是把最后一块长方形瓷砖一分为二。

某班有49个学生，坐成7行7列。每个坐位的前后左右的坐位叫做它的“邻座”，要让这49个学生都换到他的邻座上去，问这种调换位置的方案能否实现？思考：邻座问题方法：如果把7行7列的座位转化为7×7的方格表，然后对此7×7的方格表的每一格染上白色或黑色，染色时要满足相邻的两格是不同的颜色。则所谓每个人离开自己的座位坐到邻座上去即要从白格进入黑色或从黑色进入白格。而实际上图中的白格为25格而黑色为24格(或者白24黑25)，所以，白格中的人不可能都进入黑色。五、问题的转化处理法问题1：（几何转化）把一个复杂的问题，抽象成各种意义下的几何问题加以解决，这种方法叫做几何模拟法。几何模拟法常常在发现问题解答的同时，也就论证了解答的正确性，这种方法当然是数学中的一种重要思维方法。分析：本题局限在代数不等式的范畴不易求证，但将其转化到几何上，构造反映题目要求的几何模型即容易解决。根据题意作正三角形△PQR及△NML如图,所以在6人的集会上，总会有3人互相认识或者互相不认识。如何论证呢？问题2：（几何转化）于是原问题转化为：在这个6点图中，必然出现实三角形或虚三角形。方法：把6个人看作平面上的6个点，并分别记作为(i=1.2…6)。若两人相识，则用实线联接此两点，反之用虚线。而不相识与相识在问题中是对等的，至于其它点的情况类似。于是问题又转化为：在从出发并有3条实线的6点图中，必然出现实三角形或虚三角形。其它10种情况类似可证，至此问题得证。则必出现实的三角形，若都不是实线，即在这种情况下结论是正确的。在圆周上均匀地放上4枚围棋子，规定操作规则如下：原来相邻棋子若是同色的，就在其间放一枚黑子，若异色就在其间放一枚白子，然后把原来4枚棋子取走，完成这一程序就算是一次操作。证明：无论开始时园周上的黑白棋子的排列顺序如何，最多只需操作4次，圆周上就全是黑子。方法：构造一个反映题设要求的赋值模型，可使问题简化。问题3：（代数转化）分别化简为第一次操作后得到的4枚棋子可表示为：第二次操作后得到的4枚棋子可表示为：第三次操作后得到的4枚棋子可表示为：最后都是第四次操作后得到的4枚棋子都是故这4枚棋子的赋值都是1，这表明只需操作4次，圆周上的棋子全是黑子。几个简单的实际问题

问题１已知甲桶中放有10000个蓝色的玻璃球，乙桶中放有10000个红色的玻璃球。任取甲桶中100个球放入乙桶中，混合后再任取乙桶中100个球放入甲桶中，如此重复3次，问甲桶中的红球多还是乙桶中的蓝球多?

怎样用数学方法解决问题1？解：设甲桶中有x个红球;

乙桶中有y个蓝球因为对蓝球来说，甲桶中的蓝球数加上乙桶中的蓝球数等于10000,所以

10000-x+y=10000

解得：x=y

故甲桶中红球与乙桶中蓝球一样多。

问题2某人早8时从山下旅店出发沿一条路径上山，下午5时到达山顶并留宿，次日早8时沿同一路径下山，下午5时回到旅店，则这人在两天中的同一时刻经过途中的同一地点，为什么？

解法一：

将两天看作一天，一人两天的运动看作一天两人同时分别从山下和山顶沿同一路径相反运动，因为两人同时出发，同时到达目的地，又沿同一路径反向运动，所以必在中间某一时刻t两人相遇，这说明某人在两天中的同一时刻经过路途中的同一地点。

怎样用数学方法解决？解法二：

以时间t为横坐标，以沿上山路线从山下旅店到山顶的路程x为纵坐标，从山下到山顶的总路程为d；

第一天的行程可设为x=F(t)，则F(t)是单调增加的连续函数，且F(8)=0,F(17)=d；第二天的行程可设为x=G(t)，则G(t)是单调减少的连续函数，且G(8)=d,G(17)=0.在t时刻:

在坐标系中分别作曲线x=F(t)及x=G(t)，如下图：

则两曲线必相交于点，即这个人两天在同一时刻经过同一地点。

严格的数学论正：

令H(t)=F(t)-G(t)

由F(t)、G(t)在区间[8,17]上连续，所以H(t)在区间[8,17]上连续，又H(8)=F(8)-G(8)=0-d=-d<0

H(17)=F(17)-G(17)=d-0=d>0

由介值定理知在区间[8,17]内至少存在一点使即这人两天在同一时刻经过路途中的同一地点。

这说明在早8点至晚5点之间存在某一时刻

使得路程相等。

通过以上内容可以看出，在我们周围的许多实际问题，甚至有些实际问题看起来好象与数学无关，但通过细致的观测、分析及假设，都可以应用数学方法简捷和完美的解决。这说明只要善于观察和分析，数学的应用是非常灵活和十分广泛的.模型就是对现实原型的一种抽象或模仿。模型既反映原型，又不等于原型，或者是原型的一种近似。如地球仪这个模型，就是对地球这一原型的本质和特征的一种近似和集中反映；一个人的塑像就是这个人的一个模型。什么是数学模型？

模型的含义非常广泛，如自然科学和工程技术中的一切概念、公式、定律、理论，社会科学中的学说、原理、政策，甚至小说、美术、表格、语言等都是某种现实原型的一种模型。如：牛顿第二定律就是“物体在力作用下，其运动规律”这个原型的一种模型（数学模型）。１、万有引力定律：几个简单的数学模型F:两个物体之间的引力K:万有引力常数m1:物体1的质量m2:物体2的质量r:两个物体之间的距离(大小)(r表示径向矢量)２、冷却问题将温度为T。=150℃的物体放在温度为24℃的空气中冷却，经10分钟后，物体温度降为T=100℃，问t=20分钟时，物体的温度是多少？解：设物体的温度T随时间t的变化规律为T=T(t)则由冷却定律及条件可得：其中K>0为比例常数，负号表示温度是下降的，这就是所要建立的数学模型。由于这个模型是一阶线性微分方程，很容易求出其特解为由T(10)=100,可定出K≈0.05当t=20时3、哥尼斯堡七桥问题18世纪东普鲁士的哥尼斯堡城（现俄罗斯加里宁格勒）.该城有一条布勒尔河，它有两条支流在城中心汇合，河中有一个小岛，河上有7座桥，将河中的两个岛和河岸连结。1).能否不重复的一次走完七座桥？2).能否不重复的一次走完七座桥又回到原地？〔欧拉方法〕岛A、B和陆地C、D无非都是桥的联结点，因此不妨把A、B、C、D看成4个点，把七桥看成联结这些点的七条线，如图。

这样当然不改变问题的实质，于是一人能否不重复一次通过七座桥的问题等价于其网络图能否一笔画成的问题（这是思维的飞跃），此网络图就是七桥问题的数学模型。欧拉证明了七桥问题是无解的，并给出了一般结论：（1）联接奇数个桥的陆地仅有一个或超过两个以上，不能实现一笔画。

（2）联接奇数个桥的陆地仅有两个时，则从两者任一陆地出发，可以实现一笔画而停在另一个陆地。说明：

（1）数学模型不一定都是数学表达式，如七桥问题的数学模型是一个网络图。（3）每个陆地都联接有偶数个桥时，则从任一陆地出发都能实现一笔画，而回到出发点。

（2）欧拉解决七桥问题时，超出了过去解决问题所用数学方法的范畴，充分发挥自己的想象力，用了完全崭新的思想方法（可称为几何模拟方法），从而使问题解决得十分完美，结论明确而简捷。由于他的开创性的工作，产生了“图论”这门学科，欧拉是人们公认的图论的创始人。

（3）图论是一门非常有用的学科，很多实际问题都可化为图论问题解决。设有n个车间位于不同的地点，现拟建一仓库P，长期向各车间运送原材料和产品，问P应建在何处，才能使总运费在一定时期内达到最小？4、最佳场址的选择问题问题变为寻求P(x,y)，使C(x,y)达到最小，这便是此问题的数学模型。是否还有其它方法？

数学模型就是指对于现实世界的某一特定对象，为了某个特定的目的，做出一些必要的简化和假设，运用适当的数学工具得到的一个数学结构；它或者能解释特定现象的现实性态，或者能预测对象的未来状况，或者能提供处理对象的最优决策或控制等。

数学模型的定义建立数学模型的方法和步骤（2）现实问题的理想化（3）建立数学模型（1）观察（4）模型求解

（5）模型的分析、验证

（6）模型的修改

以上步骤也可用下框图表示：

现实问题简化假设

建立模型

模型求解验证分析模型

合理模型应用

不合理

建立数学模型应注意以下几点：

（1）分清变量类型，恰当使用数学工具