学案排列与排列数

6/6排列与排列数【第一学时】【学习目标】1．通过学习排列的概念，培养数学抽象的素养。2．借助排列数公式进行计算，培养数学运算的素养。【学习重难点】1．理解排列的概念，能正确写出一些简单问题的所有排列。（重点）2．会用排列数公式进行求值和证明。（难点）【学习过程】一、新知初探1．排列的概念（1）一般地，从n个不同对象中，任取m（m≤n）个对象，按照一定的顺序排成一列，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个排列。（2）特别地，m＝n时的排列（即取出所有对象的排列）称为全排列。2．排列数及排列数公式排列数的定义从n个不同对象中取出m个对象的所有排列的个数，称为从n个不同对象中取出m个对象的排列数排列数的表示Aeq\o\al(m,n)（n，m∈N，m≤n）排列数公式乘积式Aeq\o\al(m,n)＝n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）阶乘式Aeq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,n－m！)阶乘Aeq\o\al(n,n)＝n×（n－1）×（n－2）×…×2×1＝n！规定0！＝1，Aeq\o\al(0,n)＝1性质Aeq\o\al(m,n)＋mAeq\o\al(m－1,n)＝Aeq\o\al(m,n＋1)二、初试身手1．思考辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）（1）a，b，c与b，a，c是同一个排列。 （）（2）从1，2，3，4中任选两个元素，就组成一个排列。 （）（3）同一个排列中，同一个元素不能重复出现。 （）（4）在同一个排列中，若交换两个元素的位置，则该排列不发生变化。 （）2．89×90×91×92×…×100可表示为（）A．Aeq\o\al(10,100) B．Aeq\o\al(11,100)C．Aeq\o\al(12,100) D．Aeq\o\al(13,100)3．甲、乙、丙三名同学排成一排，不同的排列方法有（）A．3种 B．4种C．6种 D．12种4．（教材P14A组T2改编）eq\f(A\o\al(3,4),5！)＝________。三、合作探究类型1排列的概念【例1】判断下列问题是否为排列问题。（1）北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格（假设来回的票价相同）；（2）选2个小组分别去植树和种菜；（3）选2个小组去种菜；（4）选10人组成一个学习小组；（5）选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；（6）某班40名学生在假期相互通信。类型2排列的列举问题【例2】（教材P10例1改编）写出下列问题的所有排列。（1）从1，2，3，4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？（2）写出从4个元素a，b，c，d中任取3个元素的所有排列。类型3排列数公式的推导及应用【例3】（1）计算：eq\f(A\o\al(5,9)＋A\o\al(4,9),A\o\al(6,10)－A\o\al(5,10))；（2）求3Aeq\o\al(x,8)＝4Aeq\o\al(x－1,9)中的x。【学习小结】1．判断一个问题是否是排列问题的关键是看该问题中的元素是否与顺序有关，有关为排列问题，否则，不是排列问题。2．排列数公式Aeq\o\al(m,n)＝n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）适合已知m的排列数计算，而Aeq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,n－m！)常用于与排列数有关的证明、解方程、解不等式等。求解时务必注意隐含条件：n，m∈N，m≤n。【精炼反馈】1．从1，2，3，4四个数字中，任选两个数做加、减、乘、除运算，分别计算它们的结果，在这些问题中，有几种运算可以看作排列问题（）A．1 B．2C．3 D．42．4×5×6×…×（n－1）×n等于（）A．Aeq\o\al(4,n) B．Aeq\o\al(n－4,n)C．n！－4! D．Aeq\o\al(n－3,n)3．5本不同的课外读物分给5位同学，每人一本，则不同的分配方法有________种。4．Aeq\o\al(6,6)－6Aeq\o\al(5,5)＋5Aeq\o\al(4,4)＝________。5．从0，1，2，3这四个数中，每次取3个不同的数字排成一个三位数，写出其中大于200的所有三位数。【第二学时】【学习目标】1．通过排列知识解决实际问题，提升逻辑推理的素养。2．借助排列数公式计算，提升数学运算的素养。【学习重难点】1．进一步理解排列的概念，掌握一些排列问题的常用解题方法。（重点）2．能应用排列知识解决简单的实际问题。（难点）【学习过程】一、合作探究类型1无限制条件的排列问题【例1】（1）有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？（2）有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？类型2排队问题角度一元素“相邻”与“不相邻”问题【例2】3名男生、4名女生按照不同的要求排队，求不同的排队方法的种数。（1）全体站成一排，男、女各站在一起；（2）全体站成一排，男生必须站在一起；（3）全体站成一排，男生不能站在一起；（4）全体站成一排，男、女各不相邻。角度二元素“在”与“不在”问题【例3】六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？（1）甲不站两端；（2）甲、乙站在两端；（3）甲不站左端，乙不站右端。角度三定序问题【例4】将A，B，C，D，E这5个字母排成一列，要求A，B，C在排列中的顺序为“A，B，C”或“C，B，A”（可以不相邻）。则有多少种不同的排列方法？类型3数字排列问题【例5】（教材P12例6改编）用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成多少个无重复数字的（1）六位奇数？（2）个位数字不是5的六位数？【学习小结】1．解排列应用题的基本思想eq\x(实际问题)eq\o(→,\s\up10(化归),\s\do12(建模))eq\x(排列问题)eq\o(→,\s\up10(求数学模型的解))eq\x(求排列数)eq\o(→,\s\up10(得实际问题的解))eq\x(实际问题)2．求解排列问题的主要方法直接法把符合条件的排列数直接列式计算优先法优先安排特殊元素或特殊位置捆绑法把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列插空法对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中定序问题除法处理对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列间接法正难则反，等价转化的方法【精炼反馈】1．6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为（）A．36 B．120C．720 D．2402．某段铁路所有车站共发行132种普通车票，那么这段铁路共有的车站数是（）A．8 B．12C．16 D．243．用1，2，3，4，5，6，7这7个数字排列组成一个七位数，要求在其偶数位上必须是偶数，奇数位上必须是奇数，则这样的七位数有________个。4．A，B，C，D，E五人并排站成一