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微积分复习无穷小问题课件2022/12/16冯国臣gcfeng@无穷小及其应用-历史微积分是经过了长时间的酝酿才产生的。积分的思想,在阿基米德时代已经萌芽。16、17世纪之交,开普勒、卡瓦列里、费马、沃利斯,特别是巴罗等人作了许多准备工作。因而微分学的起点远远落在积分学之后。
Leibniz莱布尼兹(1646~1716)31岁时,作为巴黎外交官,结识惠更斯、巴罗、牛顿等名流,开始对微积分进行研究。1684年,莱布尼茨发表《关于极大极小以及切线的新方法》2022/12/12冯国臣gcfeng@2022/12/16冯国臣gcfeng@无穷小及其应用-历史牛顿在微积分的应用上更多地结合了运动学,造诣精深;但莱布尼兹的表达形式简洁准确,胜过牛顿。任何一项重大发明,都不可能一开始便完整无瑕。17世纪的微积分带有严重的逻辑困难,以致受到多方面的非议,它的主要原因之一就是无穷小问题。2022/12/12冯国臣gcfeng@2022/12/16冯国臣gcfeng@无穷小及其应用-历史莱布尼兹发现微分和积分是一对互逆的运算,并建立微积分基本定理,从而使微积分学成为统一整体。牛顿从运动学角度出发,以“瞬”(无穷小的“o”)的观点创建了微积分。莱布尼兹认为dx和x相比,如同点和地球,或地球半径与宇宙半径相比。牛顿、莱布尼茨的极限观念是十分模糊的。究竟极限是什么,无穷小是什么,在当时是带有根本性质的难题。现在,无穷小理论也是大家学习微积分的关键。2022/12/12冯国臣gcfeng@2022/12/16冯国臣gcfeng@无穷小的定义1.定义:极限为零的变量称为无穷小.2022/12/12冯国臣gcfeng@2022/12/16冯国臣gcfeng@无穷小的性质-无穷小的运算性质1
在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.性质2
无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.性质3
有界函数与无穷小的乘积是无穷小.性质4
在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.性质5
常数与无穷小的乘积是无穷小.性质6
有限个无穷小的乘积也是无穷小.2022/12/12冯国臣gcfeng@2022/12/16冯国臣gcfeng@无穷小与无穷大绝对值无限增大的变量称为无穷大.定理
同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;
恒不为零的无穷小的倒数,为无穷大.2022/12/12冯国臣gcfeng@2022/12/16冯国臣gcfeng@无穷小与函数极限注意1.无穷小是变量,不能与很小的数混淆;2.零是可以作为无穷小的唯一的数.3.将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);4.2022/12/12冯国臣gcfeng@2022/12/16冯国臣gcfeng@无穷小理论一切极限问题均可以表示为无穷小问题2022/12/12冯国臣gcfeng@2022/12/16冯国臣gcfeng@无穷小及其应用-从极限计算开始定理,则解商的法则不能用例所以2022/12/12冯国臣gcfeng@2022/12/16冯国臣gcfeng@无穷小及其应用-1解例(消去零因子法)2022/12/12冯国臣gcfeng@2022/12/16冯国臣gcfeng@无穷小及其应用-1例解(无穷小因子分出法)2022/12/12冯国臣gcfeng@2022/12/16冯国臣gcfeng@无穷小推广极限法2022/12/12冯国臣gcfeng@2022/12/16冯国臣gcfeng@无穷小及其应用求下列各极限1、2;2、;3、-1;4、-2;5、;6、0;7、答案:2022/12/12冯国臣gcfeng@2022/12/16冯国臣gcfeng@无穷小的比较2022/12/12冯国臣gcfeng@2022/12/16冯国臣gcfeng@2022/12/12冯国臣gcfeng@2022/12/16冯国臣gcfeng@常用等价无穷小2022/12/12冯国臣gcfeng@2022/12/16冯国臣gcfeng@两个重要极限(1)(2)用等价无穷小可给出函数的近似表达式:例如,2022/12/12冯国臣gcfeng@2022/12/16冯国臣gcfeng@无穷小到底有多少小从中学的无穷等比数列求和谈起2022/12/12冯国臣gcfeng@2022/12/16冯国臣gcfeng@无穷小及其应用-1
常用函数公式2022/12/12冯国臣gcfeng@2022/12/16冯国臣gcfeng@特别提示:证明此处,也成立2022/12/12冯国臣gcfeng@2022/12/16冯国臣gcfeng@无穷小及其应用-1例解2022/12/12冯国臣gcfeng@2022/12/16冯国臣gcfeng@无穷小及其应用-1例计算解令2022/12/12冯国臣gcfeng@2022/12/16冯国臣gcfeng@例解无穷小及其应用-12022/12/12冯国臣gcfeng@2022/12/16冯国臣gcfeng@无穷小及其应用-1例解2022/12/12冯国臣gcfeng@2022/12/16冯国臣gcfeng@例解原极限=无穷小及其应用-12022/12/12冯国臣gcfeng@2022/12/16冯国臣gcfeng@无穷小及其应用-1解2022/12/12冯国臣gcfeng@2022/12/16冯国臣gcfeng@解2022/12/12冯国臣gcfeng@2022/12/16冯国臣gcfeng@解练习均为正数.2022/12/12冯国臣gcfeng@2022/12/16冯国臣gcfeng@例解2022/12/12冯国臣gcfeng@2022/12/16冯国臣gcfeng@部分应用例题2022/12/12冯国臣gcfeng@2022/12/16冯国臣gcfeng@部分应用例题2022/12/12冯国臣gcfeng@2022/12/16冯国臣gcfeng@部分应用例题2022/12/12冯国臣gcfeng@2022/12/16冯国臣gcfeng@部分应用例题2022/12/12冯国臣gcfeng@2022/12/16冯国臣gcfeng@部分应用例题2022/12/12冯国臣gcfeng@2022/12/16冯国臣gcfeng@部分应用例题2022/12/12冯国臣gcfeng@2022/12/16冯国臣gcfeng@部分应用例题2022/12/12冯国臣gcfeng@2022/12/16冯国臣gcfeng@部分应用例题2022/12/12冯国臣gcfeng@2022/12/16冯国臣gcfeng@部分应用例题2022/12/12冯国臣gcfeng@2022/12/16冯国臣gcfeng@部分应用例题2022/12/12冯国臣gcfeng@2022/12/16冯国臣gcfeng@部分应用例题2022/12/12冯国臣gcfeng@2022/12/16冯国臣gcfeng@部分应用例题2022/12/12冯国臣gcfeng@2022/12/16冯国臣gcfeng@部分应用例题2022/12/12冯国臣gcfeng@2022/12/16冯国臣gcfeng@2022/12/12冯国臣gcfeng@2022/12/16冯国臣gcfeng@部分应用例题2022/12/12冯国臣gcfeng@2022/12/16冯国臣gcfeng@无穷小应用-洛必塔法则定理2022/12/12冯国臣gcfeng@微积分复习无穷小问题课件微积分复习无穷小问题课件2022/12/16冯国臣gcfeng@无穷小及其应用-历史微积分是经过了长时间的酝酿才产生的。积分的思想,在阿基米德时代已经萌芽。16、17世纪之交,开普勒、卡瓦列里、费马、沃利斯,特别是巴罗等人作了许多准备工作。因而微分学的起点远远落在积分学之后。
Leibniz莱布尼兹(1646~1716)31岁时,作为巴黎外交官,结识惠更斯、巴罗、牛顿等名流,开始对微积分进行研究。1684年,莱布尼茨发表《关于极大极小以及切线的新方法》2022/12/12冯国臣gcfeng@2022/12/16冯国臣gcfeng@无穷小及其应用-历史牛顿在微积分的应用上更多地结合了运动学,造诣精深;但莱布尼兹的表达形式简洁准确,胜过牛顿。任何一项重大发明,都不可能一开始便完整无瑕。17世纪的微积分带有严重的逻辑困难,以致受到多方面的非议,它的主要原因之一就是无穷小问题。2022/12/12冯国臣gcfeng@2022/12/16冯国臣gcfeng@无穷小及其应用-历史莱布尼兹发现微分和积分是一对互逆的运算,并建立微积分基本定理,从而使微积分学成为统一整体。牛顿从运动学角度出发,以“瞬”(无穷小的“o”)的观点创建了微积分。莱布尼兹认为dx和x相比,如同点和地球,或地球半径与宇宙半径相比。牛顿、莱布尼茨的极限观念是十分模糊的。究竟极限是什么,无穷小是什么,在当时是带有根本性质的难题。现在,无穷小理论也是大家学习微积分的关键。2022/12/12冯国臣gcfeng@2022/12/16冯国臣gcfeng@无穷小的定义1.定义:极限为零的变量称为无穷小.2022/12/12冯国臣gcfeng@2022/12/16冯国臣gcfeng@无穷小的性质-无穷小的运算性质1
在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.性质2
无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.性质3
有界函数与无穷小的乘积是无穷小.性质4
在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.性质5
常数与无穷小的乘积是无穷小.性质6
有限个无穷小的乘积也是无穷小.2022/12/12冯国臣gcfeng@2022/12/16冯国臣gcfeng@无穷小与无穷大绝对值无限增大的变量称为无穷大.定理
同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;
恒不为零的无穷小的倒数,为无穷大.2022/12/12冯国臣gcfeng@2022/12/16冯国臣gcfeng@无穷小与函数极限注意1.无穷小是变量,不能与很小的数混淆;2.零是可以作为无穷小的唯一的数.3.将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);4.2022/12/12冯国臣gcfeng@2022/12/16冯国臣gcfeng@无穷小理论一切极限问题均可以表示为无穷小问题2022/12/12冯国臣gcfeng@2022/12/16冯国臣gcfeng@无穷小及其应用-从极限计算开始定理,则解商的法则不能用例所以2022/12/12冯国臣gcfeng@2022/12/16冯国臣gcfeng@无穷小及其应用-1解例(消去零因子法)2022/12/12冯国臣gcfeng@2022/12/16冯国臣gcfeng@无穷小及其应用-1例解(无穷小因子分出法)2022/12/12冯国臣gcfeng@2022/12/16冯国臣gcfeng@无穷小推广极限法2022/12/12冯国臣gcfeng@2022/12/16冯国臣gcfeng@无穷小及其应用求下列各极限1、2;2、;3、-1;4、-2;5、;6、0;7、答案:2022/12/12冯国臣gcfeng@2022/12/16冯国臣gcfeng@无穷小的比较2022/12/12冯国臣gcfeng@2022/12/16冯国臣gcfeng@2022/12/12冯国臣gcfeng@2022/12/16冯国臣gcfeng@常用等价无穷小2022/12/12冯国臣gcfeng@2022/12/16冯国臣gcfeng@两个重要极限(1)(2)用等价无穷小可给出函数的近似表达式:例如,2022/12/12冯国臣gcfeng@2022/12/16冯国臣gcfeng@无穷小到底有多少小从中学的无穷等比数列求和谈起2022/12/12冯国臣gcfeng@2022/12/16冯国臣gcfeng@无穷小及其应用-1
常用函数公式2022/12/12冯国臣gcfeng@2022/12/16冯国臣gcfeng@特别提示:证明此处,也成立2022/12/12冯国臣gcfeng@2022/12/16冯国臣gcfeng@无穷小及其应用-1例解2022/12/12冯国臣gcfeng@2022/12/16冯国臣gcfeng@无穷小及其应用-1例计算解令2022/12/12冯国臣gcfeng@2022/12/16冯国臣gcfeng@例解无穷小及其应用-12022/12/12冯国臣gcfeng@2022/12/16冯国臣gcfeng@无穷小及其应用-1例解2022/12/12冯国臣gcfeng@2022/12/16冯国臣gcfeng@例解原极限=无穷小及其应用-12022/12/12冯国臣gcfeng@2022/12/16冯国臣gcfeng@无穷小及其应用-1解2022/12/12冯国臣gcfeng@2022/12/16冯国臣gcfeng@解2022/12/12冯国臣gcfeng@2022/12/16冯国臣gcfeng@解练习均为正数.2022/12/12冯国臣gcfeng@2022/12/16冯国臣gcfeng@例解2022/12/12冯国臣gcfeng@2022/12/16冯国臣gcfeng@部分应用例题2022/12/12冯国臣gcfeng@2022/12/16冯国臣gcfeng@部分应用例题2022/12/12冯国臣gcfeng@2022/12/16冯国臣gcfeng@部分应用例题2022/12/12冯国臣gcfeng@2022/12/16冯国臣gcfeng@部分应用例题2022/12/12
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