人教版初中数学锐角三角函数的基础测试题及答案

人教版初中数学锐角三角函数的基础测试题及答案一、选择题VABCOABAB4CDAD分别平分ACB和CABD点，则OD的最小值为（）．A．1【答案】D【解析】【分析】

B． 222

1 D．2 2根据三角形角平分线的交点是三角形的内心，得到DO最小时，DO为三角形ABC内切圆的半径，结合切线长定理得到三角形为等腰直角三角形，从而得到答案．【详解】解CD，AD分别平分ACB和CAB，交于D点，∴D为的内心，ODOD为的内切圆的半径，DOAB,过D作DEAC,DFBC,垂足分别为E,F,DEDFDO,四边形DFCE为正方形，QO为AB的中点，AB4,AOBO2,由切线长定理得：AOAE2,BOBF2,CECFr,ACBCABsin452 2,2CEACAE2 2,2Q DFCE为正方形，CEDE,222ODCE222故选D．

2,【点睛】本题考查的动态问题中的线段的最小值，三角形的内心的性质，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数的计算，掌握相关知识点是解题关键．如图，在AC4ABCADBCD，ABCADEAE的长为（）2A．2 2

223 2

423 23 D．223 2【答案】C【解析】【分析】在Rt△ADC中，利用等腰直角三角形的性质可求出AD的长度，在Rt△ADB中，由AD的长度及∠ABD的度数可求出BD的长度，在Rt△EBD中，由BD的长度及∠EBD的度数可求出DE的长度，再利用AE=AD−DE即可求出AE的长度．【详解】∵AD⊥BC∴∠ADC=∠ADB=90在Rt△ADC中，AC=4，∠C=4522∴AD=CD=2222 6Rt△ADB中，AD2 6

，∠ABD=603∴BD=3

3 AD= 3 ．∵BE平分∠ABC，∴∠EBD=30°．Rt△EBD中，BD=236，∠EBD∴DE=

3 2 23 BD= 32 2 4 2∴AE=AD−DE=2 2- 3 = 3故选：C【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，以及利用特殊角三角函数解直角三角形．如图，△ABC5，圆心OBC3的正切值等于（）3434A．5B．5C．4D．3【答案】C【解析】试题分析：如答图，过点O作OD⊥BC，垂足为D，连接OB，OC，∵OB=5，OD=3，∴根据勾股定理得BD=4.1∵∠A=2∠BOC，∴∠A=∠BOD.BD 4∴tanA=tan∠BOD=OD 3.故选D．考点：1.垂径定理；2.圆周角定理；3.勾股定理；4.锐角三角函数定义．△ABC中，∠C＝90°，DBC△ABCAD重合，EF为折痕，则的值是（ ）535A．3 B．5

222 D．32【答案】B【解析】【分析】先根据翻折变换的性质得到AEF，再根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得到BEDCDF，设CD1CFx，则CACB2，再根据勾股定理即可求解．【详解】解：∵△DEF是△AEF翻折而成，∴△DEF≌△AEF，∠A＝∠EDF，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠EDF＝45°，由三角形外角性质得∠CDF+45°＝∠BED+45°，∴∠BED＝∠CDF，设CD＝1，CF＝x，则CA＝CB＝2，∴DF＝FA＝2﹣x，∴在Rt△CDF中，由勾股定理得，CF2+CD2＝DF2，即x2+1＝（2﹣x）2，3解得：x4，sinBEDsinCDF故选：B．【点睛】

CF 3 ．DF 5本题考查的是图形翻折变换的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、三角形外角的性质，涉及面较广，但难易适中．如图，在x绕原点O.若∠BOA的两边分别与y

1 2、y 的图象交于A两点，则大小的变化趋势为（）x x【答案】D【解析】【分析】

逐渐变大 C．时大时小 D．保持不变BE OE 1 如图，作辅助线；首先证得到OF AF；设B为（a，a），A为（，），得到b 2 （，），得到b

，OF=b，AF= ，进而得到a2b22，此为解决问题的关21ab21a2键性结论；运用三角函数的定义证明知tan∠OAB=22【详解】

为定值，即可解决问题．解：分别过BABE⊥x轴于点E，AF⊥x轴于点F，则BE OE∴OFAF，设点B为（a，1 A b 2a），为（，b），OE=-a，EB=1，OF=b，AF=2，a b2b可代入比例式求得a2b22，即a2 ，ba2a21a2OF2AF2b24b2OE2OE2EB2

，OA= ，OB∴tan∠OAB=OA

= =a21aa21a2b24b2b22b22b24b221(4b2)2b2b24b2∴∠OAB大小是一个定值，因此∠OAB的大小保持不变.故选D【点睛】该题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定等知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线，将分散的条件集中；解题的关键是灵活运用相似三角形的判定等知识点来分析、判断、推理或解答．”．制作方法如下：如图，设OA1，以O0.05，0.1，0.15，0.2，…，0.9，0.95锐角余弦值速查卡可以读出相应锐角余弦的近似值．例如：cos300.87cos450.71．下列角度中余弦值最接近0.94的是（）A．【答案】D【解析】【分析】

B．50 C．40 D．20根据“锐角余弦值速查卡”解答即可.【详解】从“锐角余弦值速查卡”可以读出cos200.94，0.94的是20，【点睛】此题考查“锐角余弦值速查卡”，正确读出“锐角余弦值速查卡”是解题的关键.如图，在RtVABC中，，30，AD是BAC的角平分线，，则点D到AB的距离( )3A．3

B．3 C．2 3 D．33【答案】C【解析】【分析】如图，过点DDE⊥ABEAD为∠BACDE=CD的正切CD的值即可得答案．【详解】∵∠B=30°，∠C=90°，∴∠BAC=60°，∵AD平分∠BAC，∴∠DAC=30°，DE=CD，∵AC=6，∴CD=AC·tan∠DAC=6×

33 =2 3，即DE=2 3，∴点D到AB的距离为2 3，故选：C．【点睛】本题考查解直角三角形及角平分线的性质，在直角三角形中，锐角的正弦是角的对边比斜边；余弦是邻边比斜边；正切是对边比邻边；余切是邻边比对边；角平分线上的点到角两边的距离相等；熟练掌握三角函数的定义是解题关键．2AO=5，sinB=5AC的长为（）A．1【解析】【分析】

B．2 C．4 D．5首先连接CO并延长交⊙O于点D，连接AD，由CD是⊙O的直径，可得∠CAD=90°，又由2⊙O的半径是5，sinB=5，即可求得答案．【详解】解：连接CO并延长交⊙O于点D，连接AD，由CD是⊙O的直径，可得∠CAD=90°，∵∠B和∠D所对的弧都为弧AC，2∴∠B=∠D，即sinB=sinD=5，∵半径AO=5，∴CD=10，∴sinD∴AC=4，故选：C.【点睛】

AC AC 2CD105，本题考查了同弧所对的圆周角相等，以及三角函数的内容，注意到直径所对的圆周角是直角是解题的关键.c a在、、c分别为角、、Cabcb的值为（ ）1A．2 【答案】C【解析】【分析】

2C．1 D．223 1先过点AAD⊥BC于，利用sin601 3

2=2,DB

c,AD cRt△ADC的勾股定理表达式中，2 2化简可得即a2+c2=b2+ac，再把此式代入通分后所求的分式中，可求其值等于1．【详解】解：过AAD⊥BC于DRt△BDA∴DB1c,AD 3c,2 2在Rt△ADC中，DC2=AC2﹣AD2， 1 2 3∴a2c b24c2， 即a2+c2=b2+ac，c a c2cba2ab

a2c2ab

b2acab

1.∴ab cb bcb故选C．

acabbcb2

acabbcb2【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、勾股定理的内容．在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．注意作辅助线构造直角三角形是解题的好方法．如图，在扇形OAB中，AOB120，点P是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合），C、D分别是弦AP，BP的中点．若CD3 3，则扇形AOB的面积为（A．12 B．2 C．D．【答案】A【解析】【分析】OH⊥ABHABOB解决问题．【详解】解：如图作OH⊥AB于H．∵C、D分别是弦AP、BP的中点．∴CD是△APB的中位线，∴AB＝2CD＝6 3，∵OH⊥AB，∴BH＝AH＝33，∵OA＝OB，∠AOB＝120°，∴∠AOH＝∠BOH＝60°，AH在Rt△AOH中，AO3 33AH 3 33sinAOH ，2∴扇形AOB的面积为：120gg6212，360故选：A．【点睛】本题考查扇形面积公式，三角形的中位线定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．11．AB11．AB的坡比是BC=10mAB的长度是A．15mA．15mB．C．20mD．【解析】【分析】解:解:∵Rt△ABC中，BC=10m，tanA=，∴AC===m∴AC===m．∴AB=m．【点睛】本题考查解直角三角形的应用（坡度坡角问题）,锐角三角函数,特殊角的三角函数值及勾股定理,熟练掌握相关知识点正确计算是本题的解题关键．如图，有一个边长为2cm片，则这个圆形纸片的半径是（）【答案】A【解析】【分析】2cm C．2 D．4cm根据题意画出图形，再根据正多边形圆心角的求法求出∠AOB的度数，最后根据等腰三角形及直角三角形的性质解答即可．【详解】解：如图所示，正六边形的边长为2cm，OG⊥BC，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC=360°÷6=60°，∵OB=OC，OG⊥BC，1∴∠BOG=∠COG=2∠BOC=30°，∵OG⊥BC，OB=OC，BC=2cm，1 1∴BG=2BC=2×2=1cm，∴OB=

BGsin

=2cm，∴OG= OB2BG2 22 3，∴圆形纸片的半径为3cm，故选：A．【点睛】本题考查的是正多边形和圆，根据题意画出图形，利用直角三角形的性质及正六边形的性质解答是解答此题的关键．111 1 1 △ABC的顶点C与平面直角坐标系的原点O重合，顶点A111 1 1 11 111 11x轴与y轴上，且CA＝1，∠CAB11 111 11BC ABC ABC 222 333 20193A．（2018+67234035

，0）

B．（2019+673

，0）3C．（3

2

，2

D．（2020+674

，0）333【答案】B333【解析】【分析】根据题意可知三角形在x轴上的位置每三次为一个循环，又因为20193673，那么.C 相当于第一个循环体的673个C即可算出.2019 3【详解】C

1，CA

60，11 1 1 1则CBA

30，A

A

2，C

CB

CB

3，1 1 1

11 2

11 2 2 3 3结合图形可知，三角形在x轴上的位置每三次为一个循环，Q 20193673，OC2019

2 3)20196733，C (20196733,0)，2019故选B.【点睛】.ABAD斜靠在墙CE上，量得BAC60，则竹ABAD的长度之比为（）．A．2sin70【答案】B【解析】【分析】

B．2cos70 C．2tan70 D． 2tan70直接利用锐角三角函数关系分别表示出AB，AD的长，即可得出答案．【详解】解：∵∠BAC=60°，∠DAC=70°，AC1∴cos60°=

AB 2，则AB=2AC，AC∴cos70°=

AD，∴AC=AD•cos70°，ACAD=cos70，AB∴AD

2ACAC cos70故选：B．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确表示出各边长是解题关键．如图，点M是正方形ABCD边CD上一点，连接AM，作DE⊥AM于点E，BF⊥AM于点F，连接BE，若AF＝1，四边形ABED的面积为6，则∠EBF的余弦值是（ ）1321313

3 2131313 C．3 D．131313【答案】B【解析】【分析】首先证明△ABF≌△DEA得到BF=AE；设AE=x，则BF=x，DE=AF=1，利用四边形ABED的面1积等于△ABE的面积与△ADE的面积之和得到2•x•x+•x×1=6，解方程求出x得到AE=BF=3，则EF=x-1=2，然后利用勾股定理计算出BE，最后利用余弦的定义求解．【详解】∵四边形ABCD为正方形，∴BA＝AD，∠BAD＝90°，∵DE⊥AM于点E，BF⊥AM于点F，∴∠AFB＝90°，∠DEA＝90°，∵∠ABF+∠BAF＝90°，∠EAD+∠BAF＝90°，∴∠ABF＝∠EAD，在△ABF和△DEA中BFADEAABFEADABDA∴△ABF≌△DEA（AAS），∴BF＝AE；设AE＝x，则BF＝x，DE＝AF＝1，∵四边形ABED的面积为6，1 1∴2xx2x16，解得x1＝3，x2＝﹣4（舍去），∴EF＝x﹣1＝2，2213在Rt△BEF中，BE221313313∴cosEBFBF 3 ．13313BE 13故选B．【点睛】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．会运用全等三角形的知识解决线段相等的问题．也考查了解直角三角形．ABCD4，点、FAB、BCAE=BF=1，CE、DF交4四于点O，下列结论：①∠DOC=90°，②OC=OE，③CE=DF，④tan∠OCD=3四中，正确的有（ ）边形EOFB

，⑤S△DOC=S个【答案】D【解析】

B．2个 C．3个 D．4个分析：由正方形ABCD的边长为4，AE=BF=1，利用SAS易证得△EBC≌△FCD，然后全等三角形的对应角相等，易证得①∠DOC=90°正确，③CE=DF正确；②由线段垂直平分线的性质与正方形的性质，可得②错误；易证得∠OCD=∠DFC，即可求得④正确；由①易证得⑤正确．详解：∵正方形ABCD的边长为4，∴BC=CD=4，∠B=∠DCF=90°．∵AE=BF=1，∴BE=CF=4﹣1=3． BCCD在△EBC和△FCD中，BDCF， BECF∴△EBC≌△FCD（SAS），∴∠CFD=∠BEC，CE=DF，故③正确，∴∠BCE+∠BEC=∠BCE+∠CFD=90°，∴∠DOC=90°；故①正确；连接DE，如图所示，若OC=OE．∵DF⊥EC，∴CD=DE．∵CD=AD＜DE（矛盾），故②错误；∵∠OCD+∠CDF=90°，∠CDF+∠DFC=90°，∴∠OCD=∠DFC，∴tan∠OCD=tan∠DC 4SDFC=S

FC=3④正确；∵△EBC≌△FCD，∴S正确；

△EBC=S

，∴S△FCDS

﹣S△EBCS

△FOC=S

﹣△FCD

，即S△FOCS

△ODC=S

．故⑤四边形BEOF⑤故正确的有：①③④⑤．故选D．点睛：本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及三角函数等知识．此题综合性较强，难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．8ABCDDDF为半径ADECDG（）A．18C【解析】【分析】

B．18 C．

16 D．18

933由菱形的性质得出AD=AB=8，∠ADC=120°，由三角函数求出菱形的高DF，图中阴影部分的面积=菱形ABCD的面积-扇形DEFG的面积，根据面积公式计算即可．33【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∠DAB=60°，∴AD=AB=8，∠ADC=180°-60°=120°，∵DF是菱形的高，∴DF⊥AB，33∴DF=AD•sin60°=8 4 ，3323ABCD的面积DEFG的面积33=843故选：C.【点睛】

120120(4 3)2

16．本题考查了菱形的性质、三角函数、菱形和扇形面积的计算；由三角函数求出菱形的高是解决问题的关键．3是⊙OCD⊥ABEADCD23

．则BC

的长( )A．3

23

33

2 3【答案】B【解析】【分析】根据垂径定理得到CEDE即可利用弧长公式计算解答.【详解】如图：连接OD，

3，»

»

，∠A=30°，再利用三角函数求出OD=2，∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E点，ADCD2 3，∴CEDE