线性系统的能控性和能观性课件

现代控制理论现代控制理论2第5章控制系统的李雅普诺夫稳定性分析

5.1李雅普诺夫稳定性定义

5.2李雅普诺夫稳定性理论

5.3线性系统的李雅普诺夫稳定性分析

5.4非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析

5.5李雅普诺夫第二法在系统设计中的应用2第5章控制系统的李雅普诺夫稳定性分析5.1李雅普3

一个控制系统要能够正常工作首要条件是保证系统是稳定的。因此，控制系统的稳定性分析是系统分析的首要任务。

1892年，俄国学者李雅普诺夫（Lyapunov）在“运动稳定性一般问题”一文中，提出了著名的李雅普诺夫稳定性理论。该理论作为稳定性判别的通用方法，适用于各类控制系统。李雅普诺夫稳定性理论的核心是提出了判断系统稳定性的两种方法，分别被称为李雅普诺夫第一法和第二法。3一个控制系统要能够正常工作首要条件是保证4

李氏第一法是通过求解系统的微分方程，然后根据解的性质来判断系统的稳定性。其基本思路与分析方法和经典理论是一致的。该方法又称为间接法。而李氏第二法的特点是不必求解系统的微分方程（或状态方程），而是首先构造一个类似于能量函数的李雅普诺夫函数，然后再根据李雅普诺夫函数的性质直接判断系统的稳定性。因此，该方法又称为直接法。4李氏第一法是通过求解系统的微分方程，然后根55.1李雅普诺夫稳定性定义

稳定性指的是系统在平衡状态下受到扰动后，系统自由运动的性质。因此，系统的稳定性是相对于系统的平衡状态而言的。对于线性定常系统，由于通常只存在唯一的一个平衡状态，所以，只有线性定常系统才能笼统地将平衡点的稳定性视为整个系统的稳定性。而对于其他系统，平衡点不止一个，系统中不同的平衡点有着不同的稳定性，我们只能讨论某一平衡状态的稳定性。为此，首先给出关于平衡状态的定义，然后再介绍李雅普诺夫关于稳定性的定义。55.1李雅普诺夫稳定性定义稳6初始状态为x(t0)=x0。对于上述系统，若对所有的t，状态x满足，则称该状态x为平衡状态，记为xe。故有5.1.1平衡状态

f（xe，t）=0由平衡状态xe在状态空间中所确定的点，称为平衡点。

由于稳定性考察的是系统的自由运动，故令u=0。此时设系统的状态方程为6初始状态为x(t0)=x0。对于上述系统，若对所有的t7

系统的平衡状态应满足Axe=0。当A是非奇异的，则系统存在唯一的一个平衡状态xe=0。当A是奇异的，则系统有无穷多个平衡状态。显然对线性定常系统来说，当A是非奇异的，只有坐标原点是系统的唯一的一个平衡点。

对于线性定常系统，其状态方程为7系统的平衡状态应满足Axe=0。对于8

对于非线性系统，方程f(xe，t)=0的解可能有多个，即可能有多个平衡状态。如解得

因此该系统有三个平衡状态由于存在坐标变换，今后只取坐标原点作为系统的平衡点。8对于非线性系统，方程f(xe，t)=95.1.2范数的概念

李雅普诺夫稳定性定义中采用了范数的概念。

范数的定义：在n维状态空间中，向量x的长度称为向量x的范数，用‖x‖表示，则

向量（x

xe）范数可写成通常又将‖x

xe‖称为x与

xe的距离。当向量（x

xe）的范数限定在某一范围之内时，则记为

‖x

xe‖

>0

几何意义为，在状态空间中以xe为球心，以为半径的一个球域，记为S()。95.1.2范数的概念李雅普诺夫稳定性定义中105.1.3李雅普诺夫稳定性定义

定义:

对于系统，若对任意给定的实数

>0，都对应存在另一个实数(,t0)>0，使得一切满足‖x0xe‖(,t0)的任意初始状态x0所对应的解x，在所有时间内都满足

‖x

xe‖

（t

t0）则称系统的平衡状态xe稳定的。若与t0无关，则称平衡状态xe是一致稳定的。1.稳定和一致稳定105.1.3李雅普诺夫稳定性定义定义:11x1x2xeS()S()x0x11x1x2xeS()S()x0x12

定义:

对于系统，若对任意给定的实数

>0，总存在(,t0)>0，使得‖x0xe‖(,t0)的任意初始状态x0所对应的解x，在所有时间内都满足2.渐近稳定则称平衡状态xe是渐近稳定的。‖x

xe‖

（t

t0）且对于任意小量μ>0，总有12定义:对于系统13x1x2xeS()S()x0x经典理论中的稳定，就是这里所说的渐近稳定。

13x1x2xeS()S()x0x经典理论中的稳14

定义:如果系统对整个状态空间中的任意初始状态x0的每一个解，当t→时，都收敛于xe，则系统的平衡状态xe叫做大范围渐近稳定的。3.大范围渐近稳定

显然，由于从状态空间中的所有点出发的轨迹都要收敛于xe，因此这类系统只能有一个平衡状态，这也是大范围渐近稳定的必要条件。对于线性定常系统，当A为非奇异的，系统只有一个唯一的平衡状态xe=0。所以若线性定常系统是渐近稳定的，则一定是大范围渐近稳定的。而对于非线性系统，由于系统通常有多个平衡点，因此非线性系统通常只能在小范围内渐近稳定。在实际工程问题中，人们总是希望系统是大范围渐近稳定的。14定义:如果系统15

定义:

如果对于某个实数ε>0和任一实数δ>0，不管这两个实数有多么小，在球域S(δ)内总存在一个初始状态x0，使得从这一初始状态出发的轨迹最终将超出球域S(ε)，则称该平衡状态是不稳定的。4.不稳定15定义:如果对于某个实数ε>0和任一165.2李雅普诺夫稳定性理论

5.2.1

李雅普诺夫第一法

李雅普诺夫第一法的基本思想是利用系统的特征值或微分方程及状态方程的解的性质来判断系统的稳定性。通常又称为间接法。它适用于线性定常系统、线性时变系统及非线性系统可以线性化的情况。

1.线性定常系统

定理5-1

线性定常系统，渐近稳定的充要条件是A的特征值均具有负实部，即

Re(i)<0（i=1，2，…，n）显然，这与经典理论中判别系统稳定性的结论是完全相同的。这里的渐近稳定就是经典理论中的稳定。165.2李雅普诺夫稳定性理论5.2.1李雅普诺夫17

2.线性时变系统

对于线性时变系统，由于矩阵A(t)不再是常数阵，故不能应用特征值来判断稳定性，需用状态解或状态转移矩阵Φ(t,t0)来分析稳定性。若矩阵Φ(t,t0)中各元素均趋于零，则不论初始状态x(t0)为何值，当t→时，状态解x(t)中各项均趋于零，因此系统是渐近稳定的。这里若采用范数的概念来分析稳定性，则将带来极大的方便。为此，首先引出矩阵范数的定义。

定义

矩阵A的范数定义为

如果趋于零，即矩阵Φ(t,t0)中各元素均趋于零，则系统在原点处是渐近稳定的。172.线性时变系统如果18

定理5-2线性时变系统，其状态解为

x(t)=Φ(t,t0)x(t0)系统稳定性的充要条件是：若存在某正常数N(t0)，对于任意t0和t

t0，有‖Φ(t,t0)‖

N(t0)则系统是稳定的。

若‖Φ(t,t0)‖

N，则系统是一致稳定的。

若，则系统是渐近稳定的。18定理5-2线性时变系统，其状态解为若19若存在某常数N>0，C>0，对任意t0和t

t0，有则系统是一致渐近稳定的。3.非线性系统设非线性系统的状态方程为f(x,t)对状态向量x有连续的偏导数。设系统的平衡状态为xe=0，则在平衡状态xe=0处可将f(x,t)展成泰勒级数，则得19若存在某常数N>0，C>0，对任意t0和t20R(x)：

包含对x的二次及二次以上的高阶导数项。取一次近似，可得线性化方程为20R(x)：包含对x的二次及二次以上的高阶导数项。21

定理5-3

（1）若线性化方程中的系数矩阵A的特征值均具有负实部，则系统的平衡状态xe是渐近稳定的，系统的稳定性与被忽略的高阶项R(x)无关。

（2）若线性化方程中的系数矩阵A的特征值中，至少有一个具有正的实部，则不论高阶导数项R(x)情况如何，系统的平衡状态xe总是不稳定的。

（3）若线性化方程中的系数矩阵A的特征值中，至少有一个实部为零，则原非线性系统的稳定性，不能用线性化方程来判断。系统的稳定性与被忽略的高次项有关。若要研究原系统的稳定性，必须分析原非线性方程。21定理5-3（1）若线性化方程中的系数矩阵A的特征值225.2.2二次型函数定义:设x是n维列向量，称标量函数为二次型函数，并将P称为二次型的矩阵。该式又可展开为一个二次型函数总可以化成P为实对称的二次型函数。225.2.2二次型函数定义:设x是n维列向量，称标量函23称v(x)为正定的。例如，v(x)=x12

+2x22>0

。（2）若称v(x)为正半定的。例如，v(x)=(x1+x2)20

。（3）如果

v(x)是正定的，则v(x)称为负定的，即例如，v(x)=(x12

+2x22)<0。

标量函数v(x)的定号性：设x是欧氏状态空间中的非零量，v(x)是向量x的标量函数。（1）若23称v(x)为正定的。例如，v(x)=x12+2x24例如，v(x)=(x1+x2)20。（5）若v(x)既可正也可负，则v(x)称为不定的。例如，v(x)=x1x2+x22。

（4）如果

v(x)是正半定的，则称v(x)为负半定的，即24例如，v(x)=(x1+x2)20。25

二次型函数的定号性判别准则：对于P为实对称矩阵的二次型函数v(x)的定号性，可以用塞尔维斯特(Sylvester)准则来判定。（1）正定：二次型函数v(x)为正定的充要条件是，P阵的所有各阶主子行列式均大于零，即

（2）负定：二次型函数v(x)为负定的充要条件是，P阵的各阶主子式满足即2526

（3）正半定：二次型函数v(x)为正半定的充要条件是，P的各阶主子式满足

（4）负半定：二次型函数v(x)为负半定的充要条件是，P的各阶主子式满足26（3）正半定：二次型函数v(x)为正半定的充要条27

二次型矩阵P的定号性：二次型函数v(x)和它的二次型矩阵P是一一对应的。这样，可以把二次型函数的定号性扩展到二次型矩阵P的定号性。设二次型函数v(x)=xTPx，P为实对称矩阵，则定义如下：当v(x)是正定的，称P是正定的，记为P>0；当v(x)是负定的，称P是负定的，记为P<0；当v(x)是正半定的，称P是正半定的，记为P0；当v(x)是负半定的，称P是负半定的，记为P0。

27二次型矩阵P的定号性：二次型函数v(x28

例5-1

已知v(x)=10x12+4x22+2x1x2

，试判定v(x)是否正定。解:

v(x)=10x12+4x22+2x1x2

所以v(x)是正定的。28例5-1已知v(x)=10x12+295.2.3李雅普诺夫第二法

1．基本思想李氏第二法是从能量的观点出发得来的，它的基本思想是建立在古典的力学振动系统中一个直观的物理事实上。任何物理系统的运动都要消耗能量，并且能量总是大于零的。对于一个不受外部作用的系统，如果系统的能量，随系统的运动和时间的增长而连续地减小，一直到平衡状态为止，则系统的能量将减少到最小，那么这个系统是渐近稳定的。295.2.3李雅普诺夫第二法1．基本30

但由于系统的形式是多种多样的，不可能找到一种能量函数的统一表达形式。因此，为克服这一困难，李雅普诺夫引入了一个虚构的能量函数，称为李雅普诺夫函数，记为v(x，t)或v(x)。由于v(x)是表示能量的函数，所以v(x)>0。这样就可以根据的定号性来判断系统的稳定性。显然，若v(x)>0，并且<0，则系统就是渐近稳定的。30但由于系统的形式是多种多样的，不可能找到31

例5-2

一个简单的RC一阶电路，试判断这个系统的稳定性。

R+CucES

解：选择状态变量x1为电容上的电压uc，得系统的状态方程为电容器储存的电场能为31例5-2一个简单的RC一阶电路，试322.

基本定理李雅普诺夫第二法包括以下五个基本定理。

(1)渐近稳定的判别定理一

定理5-4

设系统的状态方程为其平衡状态为xe=0，如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数v(x，t)，并且满足条件①

v(x，t)是正定的，②

是负定的，则系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的。又当‖x‖，有v(x，t)

，则在原点处的平衡状态是大范围内渐近稳定的。322.基本定理其平衡状态为xe=0，如果存33

几何意义：以二维状态空间为例，设李雅普诺夫函数为二次型函数，即

v(x)=x12+x22

令

v(x)=

ci

物理意义：李雅普诺夫函数v(x，t)是一个能量函数，能量总是大于零的，即v(x)>0。若随系统的运动，能量在连续地减小，则。当能量最终耗尽，此时系统又回到平衡状态。符合渐近稳定的定义，所以是渐近稳定的。x1x20c1c2x033几何意义：以二维状态空间为例，设李34

该定理给出地是渐近稳定的充分条件，即如果能找到满足定理条件的v(x)，则系统一定是渐近稳定的。但如果找不到这样的v(x)，并不意味着系统是不稳定的。

该定理本身并没有指明v(x)的建立方法。一般情况下，v(x)不是唯一的。许多情况下，李雅普诺夫函数可以取为二次型函数，即v(x)=xTPx的形式，其中P阵的元素可以是时变的，也可以是定常的。但在一般情况下，v(x)不一定都是这种简单的二次型的形式。该定理对于线性系统、非线性系统、时变系统及定常系统都是适用的，是一个最基本的稳定性判别定理。34该定理给出地是渐近稳定的充分条件，即如果能找到35解得唯一的平衡点为x1=0，x2=0，即xe=0，为坐标原点。选取李氏函数为二次型函数，即

v(x)=x12+x22

显然v(x)是正定的。v(x)的一阶全导数为

解：

由平衡点方程得

例5-3

设系统的状态方程为试确定其平衡状态的稳定性。35解得唯一的平衡点为x1=0，x2=0，即xe=36因此是负定的。又当‖x‖时，有v(x)

，故由定理5-4，平衡点xe=0是大范围渐近稳定的。

例5-4

设系统的状态方程为试确定其平衡状态的稳定性。可知xe=0是唯一的一个平衡状态。选取

解：

由平衡点方程得36因此是负定的。又当‖x‖时，有37v(x)=x12+x22>0（正定）（负半定）②

是负半定的。其平衡状态为xe=0，如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数v(x，t)，并且满足条件①

v(x，t)是正定的。定理5-5

设系统的状态方程为③在x≠0时不恒等于零，则在平衡点xe=0处是渐近稳定的。37v(x)=x12+x22>0（正定）（负半381)恒等于零，即v(x)=x12+x22

C，表示系统的能量是个常数，不会再减小。另外又表示系统的状态x距原点的距离也是一个常数，不会再减小而趋向原点。显然，此时系统一定不是渐近稳定的。非线性系统中的极限环便属于这种情况。

以二维状态空间，并且以v(x)=x12+x22为例加以说明。2)不恒等于零，即只在某个时刻暂时为零，而其他时刻均为负值。这表示能量的衰减不会终止。另一方面也表示状态x到原点的距离的平方也不会停留在某一定值v(x)=x12+x22=C上，其他时刻这个距离的变化率均为负值。因此状态x必然要趋向原点，所以系统一定是渐近稳定的。381)恒等于零，即v(39

例5-4

设系统的状态方程为试确定其平衡状态的稳定性。v(x)=x12+x22>0

当x1=任意值，x2=0时，=0，但不会恒等于零。按照定理5-5，系统在xe=0处是渐近稳定的。又当‖x‖时，v(x)，故xe=0也是大范围渐近稳定的。当0时，x2=0，x1=0。39例5-4设系统的状态方程为v(x)=40

为验证定理5-5的正确性，仍以例5-4加以说明。对例5-4，另选李雅普诺夫函数为即是负定的，满足定理5-4的条件，所以系统在xe=0处是渐近稳定的。由此可见，定理5-5是正确的。同时，对于一个给定的系统，判定渐近稳定的李氏函数不是唯一的。40为验证定理5-5的正确性，仍以例5-4加以说明41其平衡状态为xe=0，如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数v(x，t)，并且满足条件①

v(x，t)是正定的。②

是负半定的。定理5-6

设系统的状态方程为③在x≠0时存在某一x值使恒为零，则系统在平衡点xe=0处是稳定的。对此定理的说明与定理5-5的说明（1）相同。是等幅振荡，满足李雅普诺夫意义下的稳定。41其平衡状态为xe=0，如果存在一个具有连续一阶偏导数42

解：显然，原点为系统的平衡状态。选取李氏函数为下面的二次型函数，即

v(x)=x12+4x22>0

例5-5

设系统的状态方程为试确定系统平衡状态的稳定性。

可见，在任意的x值上均保持为零。因此，系统在xe=0处是稳定的，但不是渐近稳定的。42解：显然，原点为系统的平衡状态。选取李氏函数43其平衡状态为xe=0，如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数v(x，t)，并且满足条件①

v(x，t)是正定的。②

是正定的。定理5-7

设系统的状态方程为则系统在原点处的平衡状态是不稳定的。43其平衡状态为xe=0，如果存在一个具有连续一阶偏导数44

解：显然，原点为系统的平衡状态。选取李氏函数为下面的二次型函数，即

v(x)=x12+x22>0系统在xe=0处是不稳定的。

例5-6设系统的状态方程为试确定系统平衡状态的稳定性。44解：显然，原点为系统的平衡状态。选取李氏函数为45其平衡状态为xe=0，如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数v(x，t)，并且满足条件①

v(x，t)是正定的。②

是正半定的。定理5-8

设系统的状态方程为③在x≠0时不恒等于零，则系统在原点处的平衡状态是不稳定的。45其平衡状态为xe=0，如果存在一个具有连续一阶偏导数46

解：显然，原点为系统的平衡状态。选取李氏函数为下面的二次型函数，即

v(x)=x12+x22>0

例5-7设系统的状态方程为试确定系统平衡状态的稳定性。当x2=0，x1为任意值时，=0

，而

所以x2=0是暂时的，不会恒等于0。所以系统不稳定。46解：显然，原点为系统的平衡状态。选取李氏函数47结束47结束现代控制理论现代控制理论49第5章控制系统的李雅普诺夫稳定性分析

5.1李雅普诺夫稳定性定义

5.2李雅普诺夫稳定性理论

5.3线性系统的李雅普诺夫稳定性分析

5.4非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析

5.5李雅普诺夫第二法在系统设计中的应用2第5章控制系统的李雅普诺夫稳定性分析5.1李雅普50

一个控制系统要能够正常工作首要条件是保证系统是稳定的。因此，控制系统的稳定性分析是系统分析的首要任务。

1892年，俄国学者李雅普诺夫（Lyapunov）在“运动稳定性一般问题”一文中，提出了著名的李雅普诺夫稳定性理论。该理论作为稳定性判别的通用方法，适用于各类控制系统。李雅普诺夫稳定性理论的核心是提出了判断系统稳定性的两种方法，分别被称为李雅普诺夫第一法和第二法。3一个控制系统要能够正常工作首要条件是保证51

李氏第一法是通过求解系统的微分方程，然后根据解的性质来判断系统的稳定性。其基本思路与分析方法和经典理论是一致的。该方法又称为间接法。而李氏第二法的特点是不必求解系统的微分方程（或状态方程），而是首先构造一个类似于能量函数的李雅普诺夫函数，然后再根据李雅普诺夫函数的性质直接判断系统的稳定性。因此，该方法又称为直接法。4李氏第一法是通过求解系统的微分方程，然后根525.1李雅普诺夫稳定性定义

稳定性指的是系统在平衡状态下受到扰动后，系统自由运动的性质。因此，系统的稳定性是相对于系统的平衡状态而言的。对于线性定常系统，由于通常只存在唯一的一个平衡状态，所以，只有线性定常系统才能笼统地将平衡点的稳定性视为整个系统的稳定性。而对于其他系统，平衡点不止一个，系统中不同的平衡点有着不同的稳定性，我们只能讨论某一平衡状态的稳定性。为此，首先给出关于平衡状态的定义，然后再介绍李雅普诺夫关于稳定性的定义。55.1李雅普诺夫稳定性定义稳53初始状态为x(t0)=x0。对于上述系统，若对所有的t，状态x满足，则称该状态x为平衡状态，记为xe。故有5.1.1平衡状态

f（xe，t）=0由平衡状态xe在状态空间中所确定的点，称为平衡点。

由于稳定性考察的是系统的自由运动，故令u=0。此时设系统的状态方程为6初始状态为x(t0)=x0。对于上述系统，若对所有的t54

系统的平衡状态应满足Axe=0。当A是非奇异的，则系统存在唯一的一个平衡状态xe=0。当A是奇异的，则系统有无穷多个平衡状态。显然对线性定常系统来说，当A是非奇异的，只有坐标原点是系统的唯一的一个平衡点。

对于线性定常系统，其状态方程为7系统的平衡状态应满足Axe=0。对于55

对于非线性系统，方程f(xe，t)=0的解可能有多个，即可能有多个平衡状态。如解得

因此该系统有三个平衡状态由于存在坐标变换，今后只取坐标原点作为系统的平衡点。8对于非线性系统，方程f(xe，t)=565.1.2范数的概念

李雅普诺夫稳定性定义中采用了范数的概念。

范数的定义：在n维状态空间中，向量x的长度称为向量x的范数，用‖x‖表示，则

向量（x

xe）范数可写成通常又将‖x

xe‖称为x与

xe的距离。当向量（x

xe）的范数限定在某一范围之内时，则记为

‖x

xe‖

>0

几何意义为，在状态空间中以xe为球心，以为半径的一个球域，记为S()。95.1.2范数的概念李雅普诺夫稳定性定义中575.1.3李雅普诺夫稳定性定义

定义:

对于系统，若对任意给定的实数

>0，都对应存在另一个实数(,t0)>0，使得一切满足‖x0xe‖(,t0)的任意初始状态x0所对应的解x，在所有时间内都满足

‖x

xe‖

（t

t0）则称系统的平衡状态xe稳定的。若与t0无关，则称平衡状态xe是一致稳定的。1.稳定和一致稳定105.1.3李雅普诺夫稳定性定义定义:58x1x2xeS()S()x0x11x1x2xeS()S()x0x59

定义:

对于系统，若对任意给定的实数

>0，总存在(,t0)>0，使得‖x0xe‖(,t0)的任意初始状态x0所对应的解x，在所有时间内都满足2.渐近稳定则称平衡状态xe是渐近稳定的。‖x

xe‖

（t

t0）且对于任意小量μ>0，总有12定义:对于系统60x1x2xeS()S()x0x经典理论中的稳定，就是这里所说的渐近稳定。

13x1x2xeS()S()x0x经典理论中的稳61

定义:如果系统对整个状态空间中的任意初始状态x0的每一个解，当t→时，都收敛于xe，则系统的平衡状态xe叫做大范围渐近稳定的。3.大范围渐近稳定

显然，由于从状态空间中的所有点出发的轨迹都要收敛于xe，因此这类系统只能有一个平衡状态，这也是大范围渐近稳定的必要条件。对于线性定常系统，当A为非奇异的，系统只有一个唯一的平衡状态xe=0。所以若线性定常系统是渐近稳定的，则一定是大范围渐近稳定的。而对于非线性系统，由于系统通常有多个平衡点，因此非线性系统通常只能在小范围内渐近稳定。在实际工程问题中，人们总是希望系统是大范围渐近稳定的。14定义:如果系统62

定义:

如果对于某个实数ε>0和任一实数δ>0，不管这两个实数有多么小，在球域S(δ)内总存在一个初始状态x0，使得从这一初始状态出发的轨迹最终将超出球域S(ε)，则称该平衡状态是不稳定的。4.不稳定15定义:如果对于某个实数ε>0和任一635.2李雅普诺夫稳定性理论

5.2.1

李雅普诺夫第一法

李雅普诺夫第一法的基本思想是利用系统的特征值或微分方程及状态方程的解的性质来判断系统的稳定性。通常又称为间接法。它适用于线性定常系统、线性时变系统及非线性系统可以线性化的情况。

1.线性定常系统

定理5-1

线性定常系统，渐近稳定的充要条件是A的特征值均具有负实部，即

Re(i)<0（i=1，2，…，n）显然，这与经典理论中判别系统稳定性的结论是完全相同的。这里的渐近稳定就是经典理论中的稳定。165.2李雅普诺夫稳定性理论5.2.1李雅普诺夫64

2.线性时变系统

对于线性时变系统，由于矩阵A(t)不再是常数阵，故不能应用特征值来判断稳定性，需用状态解或状态转移矩阵Φ(t,t0)来分析稳定性。若矩阵Φ(t,t0)中各元素均趋于零，则不论初始状态x(t0)为何值，当t→时，状态解x(t)中各项均趋于零，因此系统是渐近稳定的。这里若采用范数的概念来分析稳定性，则将带来极大的方便。为此，首先引出矩阵范数的定义。

定义

矩阵A的范数定义为

如果趋于零，即矩阵Φ(t,t0)中各元素均趋于零，则系统在原点处是渐近稳定的。172.线性时变系统如果65

定理5-2线性时变系统，其状态解为

x(t)=Φ(t,t0)x(t0)系统稳定性的充要条件是：若存在某正常数N(t0)，对于任意t0和t

t0，有‖Φ(t,t0)‖

N(t0)则系统是稳定的。

若‖Φ(t,t0)‖

N，则系统是一致稳定的。

若，则系统是渐近稳定的。18定理5-2线性时变系统，其状态解为若66若存在某常数N>0，C>0，对任意t0和t

t0，有则系统是一致渐近稳定的。3.非线性系统设非线性系统的状态方程为f(x,t)对状态向量x有连续的偏导数。设系统的平衡状态为xe=0，则在平衡状态xe=0处可将f(x,t)展成泰勒级数，则得19若存在某常数N>0，C>0，对任意t0和t67R(x)：

包含对x的二次及二次以上的高阶导数项。取一次近似，可得线性化方程为20R(x)：包含对x的二次及二次以上的高阶导数项。68

定理5-3

（1）若线性化方程中的系数矩阵A的特征值均具有负实部，则系统的平衡状态xe是渐近稳定的，系统的稳定性与被忽略的高阶项R(x)无关。

（2）若线性化方程中的系数矩阵A的特征值中，至少有一个具有正的实部，则不论高阶导数项R(x)情况如何，系统的平衡状态xe总是不稳定的。

（3）若线性化方程中的系数矩阵A的特征值中，至少有一个实部为零，则原非线性系统的稳定性，不能用线性化方程来判断。系统的稳定性与被忽略的高次项有关。若要研究原系统的稳定性，必须分析原非线性方程。21定理5-3（1）若线性化方程中的系数矩阵A的特征值695.2.2二次型函数定义:设x是n维列向量，称标量函数为二次型函数，并将P称为二次型的矩阵。该式又可展开为一个二次型函数总可以化成P为实对称的二次型函数。225.2.2二次型函数定义:设x是n维列向量，称标量函70称v(x)为正定的。例如，v(x)=x12

+2x22>0

。（2）若称v(x)为正半定的。例如，v(x)=(x1+x2)20

。（3）如果

v(x)是正定的，则v(x)称为负定的，即例如，v(x)=(x12

+2x22)<0。

标量函数v(x)的定号性：设x是欧氏状态空间中的非零量，v(x)是向量x的标量函数。（1）若23称v(x)为正定的。例如，v(x)=x12+2x71例如，v(x)=(x1+x2)20。（5）若v(x)既可正也可负，则v(x)称为不定的。例如，v(x)=x1x2+x22。

（4）如果

v(x)是正半定的，则称v(x)为负半定的，即24例如，v(x)=(x1+x2)20。72

二次型函数的定号性判别准则：对于P为实对称矩阵的二次型函数v(x)的定号性，可以用塞尔维斯特(Sylvester)准则来判定。（1）正定：二次型函数v(x)为正定的充要条件是，P阵的所有各阶主子行列式均大于零，即

（2）负定：二次型函数v(x)为负定的充要条件是，P阵的各阶主子式满足即2573

（3）正半定：二次型函数v(x)为正半定的充要条件是，P的各阶主子式满足

（4）负半定：二次型函数v(x)为负半定的充要条件是，P的各阶主子式满足26（3）正半定：二次型函数v(x)为正半定的充要条74

二次型矩阵P的定号性：二次型函数v(x)和它的二次型矩阵P是一一对应的。这样，可以把二次型函数的定号性扩展到二次型矩阵P的定号性。设二次型函数v(x)=xTPx，P为实对称矩阵，则定义如下：当v(x)是正定的，称P是正定的，记为P>0；当v(x)是负定的，称P是负定的，记为P<0；当v(x)是正半定的，称P是正半定的，记为P0；当v(x)是负半定的，称P是负半定的，记为P0。

27二次型矩阵P的定号性：二次型函数v(x75

例5-1

已知v(x)=10x12+4x22+2x1x2

，试判定v(x)是否正定。解:

v(x)=10x12+4x22+2x1x2

所以v(x)是正定的。28例5-1已知v(x)=10x12+765.2.3李雅普诺夫第二法

1．基本思想李氏第二法是从能量的观点出发得来的，它的基本思想是建立在古典的力学振动系统中一个直观的物理事实上。任何物理系统的运动都要消耗能量，并且能量总是大于零的。对于一个不受外部作用的系统，如果系统的能量，随系统的运动和时间的增长而连续地减小，一直到平衡状态为止，则系统的能量将减少到最小，那么这个系统是渐近稳定的。295.2.3李雅普诺夫第二法1．基本77

但由于系统的形式是多种多样的，不可能找到一种能量函数的统一表达形式。因此，为克服这一困难，李雅普诺夫引入了一个虚构的能量函数，称为李雅普诺夫函数，记为v(x，t)或v(x)。由于v(x)是表示能量的函数，所以v(x)>0。这样就可以根据的定号性来判断系统的稳定性。显然，若v(x)>0，并且<0，则系统就是渐近稳定的。30但由于系统的形式是多种多样的，不可能找到78

例5-2

一个简单的RC一阶电路，试判断这个系统的稳定性。

R+CucES

解：选择状态变量x1为电容上的电压uc，得系统的状态方程为电容器储存的电场能为31例5-2一个简单的RC一阶电路，试792.

基本定理李雅普诺夫第二法包括以下五个基本定理。

(1)渐近稳定的判别定理一

定理5-4

设系统的状态方程为其平衡状态为xe=0，如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数v(x，t)，并且满足条件①

v(x，t)是正定的，②

是负定的，则系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的。又当‖x‖，有v(x，t)

，则在原点处的平衡状态是大范围内渐近稳定的。322.基本定理其平衡状态为xe=0，如果存80

几何意义：以二维状态空间为例，设李雅普诺夫函数为二次型函数，即

v(x)=x12+x22

令

v(x)=

ci

物理意义：李雅普诺夫函数v(x，t)是一个能量函数，能量总是大于零的，即v(x)>0。若随系统的运动，能量在连续地减小，则。当能量最终耗尽，此时系统又回到平衡状态。符合渐近稳定的定义，所以是渐近稳定的。x1x20c1c2x033几何意义：以二维状态空间为例，设李81

该定理给出地是渐近稳定的充分条件，即如果能找到满足定理条件的v(x)，则系统一定是渐近稳定的。但如果找不到这样的v(x)，并不意味着系统是不稳定的。

该定理本身并没有指明v(x)的建立方法。一般情况下，v(x)不是唯一的。许多情况下，李雅普诺夫函数可以取为二次型函数，即v(x)=xTPx的形式，其中P阵的元素可以是时变的，也可以是定常的。但在一般情况下，v(x)不一定都是这种简单的二次型的形式。该定理对于线性系统、非线性系统、时变系统及定常系统都是适用的，是一个最基本的稳定性判别定理。34该定理给出地是渐近稳定的充分条件，即如果能找到82解得唯一的平衡点为x1=0，x2=0，即xe=0，为坐标原点。选取李氏函数为二次型函数，即

v(x)=x12+x22

显然v(x)是正定的。v(x)的一阶全导数为

解：

由平衡点方程得

例5-3

设系统的状态方程为试确定其平衡状态的稳定性。35解得唯一的平衡点为x1=0，x2=0，即xe=83因此是负定的。又当‖x‖时，有v(x)

，故由定理5-4，平衡点xe=0是大范围渐近稳定的。

例5-4

设系统的状态方程为试确定其平衡状态的稳定性。可知xe=0是唯一的一个平衡状态。选取

解：

由平衡点方程得36因此是负定的。又当‖x‖时，有84v(x)=x12+x22>0（正定）（负半定）②

是负半定的。其平衡状态为xe=0，如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数v(x，t)，并且满足条件①

v(x，t)是正定的。定理5-5

设系统的状态方程为③在x≠0时不恒等于零，则在平衡点xe=0处是渐近稳定的。37v(x)=x12+x22>0（正定）（负半851)恒等于零，即v(x)=x12+x22

C，表示系统的能量是个常数，不会再减小。另外又表示系统的状态x距原点的距离也是一