行列式定义性质与计算

2009-2010第一学期线性代数任课教师：部门：信息学院办公室：718室E-mail：下页一、研究对象二、核心方法下页以讨论线性方程组的解为基础，研究线性空间的结构、线性变换的形式.《线性代数》研究对象与逻辑结构概述通过初等变换，将方程组化为最简形式的同解方程组求解.主要流程为：方程组行最简形矩阵方程组的解初等行变换矩阵三、逻辑结构下页方程组有解？是唯一解？无解，停求唯一解，停求通解，停YNYN例1．显然，此方程组无解.

例2．显然，此方程组有无穷多解.

例4．此方程组如何求解？例3．显然，此方程组有唯一解.

a11x1+a12x2+

+a1nxn

=b1a21x1+a22x2+

+a2nxn

=b2am1x1+am2x2+

+amnxn=bm

，下页附：关于作业和作业纸问题1．统一要求使用专用的作业纸；作业纸不足者，可联合购买使用，由课代表联系任课教师办理；2．作业由课代表同学收齐后，于下周第一次课前交给任课老师，并注意以下问题：①作业首页上写清楚个人的学号；②课代表同学的作业，在学号后标注_K；

③课代表同学负责：⑴将每个同学的作业的左上角用订书机订好（建议用班费为课代表配订书机）；⑵将收齐后的作业按从小到大的学号顺序排序.四、基本要求理解内在逻辑，掌握运算技能；记录分析思路，及时完成作业.

第1章行列式1.1二三阶行列式

考虑用消元法解二元一次方程组

(a11a22-a12a21)x2=a11b2-b1a21

(a11a22-a12a21)x1=b1a22-a12b2第1节行列式的概念用a22和a12分别乘以两个方程的两端，然后两个方程相减，消去x2得

同理，消去x1得当时，方程组的解为下页二阶行列式

当时，方程组的解为为便于叙述和记忆，

引入符号D=D1=称D为二阶行列式.按照二阶行列式定义可得D2=于是，当D≠0时，方程组的解为下页

j=1，2，3类似引入符号其中D1,

D2,D3分别为将D的第1、2、3列换为常数项后得到的行列式.三阶行列式

求解三元方程组称D为三阶行列式.下页25431是一个5级排列.如，3421是4级排例；

例1．写出所有的3级全排列.

解：所有的3级排列为：321.312，231，213，132，123，1.2排列n个自然数1,2,…,n按一定的次序排成的一个无重复数字的有序数组称为一个n级排列，记为i1i2…in.显然，n级排列共有个n!.其中，排列12…n称为自然排列.下页342

1逆序数的计算方法(向前看法)43

21从而得

τ(3421)=5.5逆序及逆序数

定义1

在一个级排列i1i2

in中，若一个较大的数排在一个较小数的前面，则称这两个数构成一个逆序.一个排列中逆序的总数，称为这个排列的逆序数，记为τ(i1i2

in).下页奇排列与偶排列逆序及逆序数

定义1

在一个级排列i1i2

in中，若一个较大的数排在一个较小数的前面，则称这两个数构成一个逆序.一个排列中逆序的总数，称为这个排列的逆序数，记为τ(i1i2

in).逆序数是奇数的排列，称为奇排列.逆序数是偶数或0的排列，称为偶排列.

如3421是奇排列，1234是偶排列，因为τ(3421)=5.因为τ(1234)=0.下页

定义3

符号称为n阶行列式，它表示代数和

其中和式中的排列j1

j2

jn要取遍所有n级排列.元素aij列标行标1.3n阶行列式下页n阶行列式定义a11a21…an1

a12a22…an2

a1na2n…ann

…………

(3)n阶行列式共有n!项.

(-1)τ(j1

j2

jn).之前的符号是n个元素的乘积.(1)在行列式中,项是取自不同行不同列的

行列式有时简记为|a

ij|.一阶行列式|a|就是a.

=说明：下页(2)项乘积a14a23a31a44a14a23a31a44

a14a23a31a42

a14a23a31a42例如，四阶行列式a11a21a31a41

a12a22a32a42

a13a23a33a43

a14a24a34a44

(-1)τ(4312)

a14a23a31a42为行列式中的一项.

表示的代数和中有4!=24项.

a14a23a31a42取自不同行不同列,

的列标排列为4312所以它不是行列式中的一项.中有两个取自第四列的元素，下页(为奇排列)，D=行列式计算

解：根据行列式定义例1．计算2

阶行列式D=注：3阶行列式的计算类似，略.下页

例2．计算n阶下三角形行列式D的值其中aii0(i=1,2,

,n).D=a11a21a31…an1

0a22a32…an2

00a33…an3

000…ann

……………

解：为使取自不同行不同列的元素的乘积不为零，D=(-1)τ(12n)a11a22a33ann第一行只能取a11，第三行只能取a33，第二行只能取a22，第n

行只能取ann.

，

这样不为零的乘积项只有a11a22a33ann，所以=a11a22a33ann.下页

例3．计算n阶下三角形行列式D的值D=00…0bn………bn-1*00…**b1*…**0b2…**

解：为使取自不同行不同列的元素的乘积不为零，D=(-1)τ(nn-121)b1b2b3bn第一行只能取b1，第n-1行只能第二行只能取b2，第n

行只能取bn.

，

这样不为零的乘积项只有b1b2b3bn，所以取bn-1，下页下三角形行列式的值：a11a21a31…an1

0a22a32…an2

00a33…an3

000…ann

……………

=a11a22a33ann.上三角形行列式的值：a1100…0a12a220…0a13a23a33…0a1na2na3n…ann

……………

=a11a22a33ann.对角形行列式的值：a1100…00a220…0

00a33…0

000…ann

……………

=a11a22a33ann.结论：下页

将行列式D的行与列互换后得到的行列式称为D的转置行列式，记为DT(Transpose)或D.即如果2.1行列式的性质a11a21…an1

a12a22…an2

a1na2n…ann

…………

D=，a11a12…a1n

a21a22…a2n

an1an2…ann

…………

DT

=则.第2节

行列式的性质与计算显然，(DT)T=D.下页行列式的转置性质3

用数k乘以行列式的某一行(列)，等于用数k乘以此行列式.即a11…kai1…an1

a12…kai2…an2

a1n…kain…ann

……………=k.a11…ai1…an1

a12…ai2…an2

a1n…ain…ann

……………性质1

行列式与它的转置行列式相等，即D=DT.推论1

如果行列式的某一行(列)的元素为零，则D＝0.性质2

互换行列式的两行(列)，行列式的值变号.推论

如果行列式D中有两行(列)的元素相同，则D=0.

推论2

如果D中有两行(列)成比例，则D=0.下页

性质4

若行列式中的某一行(列)的元素都是两数之和，则此行列式可以写成两个行列式之和.即a11…ai1+bi1…an1a12…ai2+bi2…an2a1n…ain+bin…ann……………a11…ai1…an1

a12…ai2…an2

a1n…ain…ann

……………

=

性质5

将行列式的某一行(列)的所有元素同乘以数k后加到另一行(列)对应位置的元素上，行列式的值不变.即a11…ai1…an1

a12…ai2…an2

a1n…ain…ann

……………

a11…ai1+kaj1…an1a12…ai2+kaj2…an2a1n…ain+kajn…ann……………=.+a11…bi1…an1

a12…bi2…an2

a1n…bin…ann

……………

.下页行列式的计算要点：利用性质将其化为上三角行列式，再进行计算.为表述方便，引入下列记号(行用r，列用c)：2)以数k乘以行列式的第i行，用kri表示；3)以数k乘以行列式的第i