可靠性工程 课件

回顾复习可靠度R(t)产品在规定条件下和规定时间内完成规定功能的概率。失效率λ(t)工作到某时刻t时尚未失效或故障的产品，在t时刻以后的下一个单位时间内发生失效或故障的概率。回顾复习可靠度R(t)可靠性指标及其内在关系可靠性指标及其内在关系第二章不可修复系统的可靠性2.1可靠性功能逻辑图2.2串联系统2.3并联系统2.4混联系统2.5表决系统2.6旁联系统2.7网络系统第二章不可修复系统的可靠性2.1可靠性功能逻辑图1．可靠性功能逻辑图就其功能研究系统可靠性。可靠性逻辑图：系统与单元功能间的逻辑关系图建立可靠性功能逻辑框图，不能从结构上而应从功能上研究系统类型1．可靠性功能逻辑图就其功能研究系统可靠性。1．可靠性功能逻辑图BAC2C1例1：逻辑关系？1．可靠性功能逻辑图BAC1例1：逻辑关系？1．可靠性功能逻辑图如果分析的是短路失效，只要一个短路，系统即短路。其系统逻辑框图为：如果分析的是开路失效，当两个电容同时失效，才会引起系统失效。其逻辑框图为：ABC1C2ABC1C21．可靠性功能逻辑图如果分析的是短路失效，只要一个短路，系统1．可靠性功能逻辑图

例2：AB12逻辑关系？1．可靠性功能逻辑图

例2：AB12逻辑关系？1．可靠性功能逻辑图如果研究的是液体“流通”：1、2都实现自己的功能“开启”，系统才能实现液体“流通”。其逻辑框图为：如果研究的是液体“被截流”：1、2只要有一个功能正常“关闭”，系统就可实现“被截流”。其逻辑框图为：AB12AB121．可靠性功能逻辑图AB12AB121．可靠性功能逻辑图若已知逻辑图和每个单元的工作概率或故障概率，则通过适当的运算，可求得整个系统的工作概率（可靠度）、故障概率（不可靠度）、MTTF等可靠性特征量（指标）。主要研究几种常用的典型系统及其可靠性特征量的计算方法。假设： ①系统、单元均有两种状态正常与失效； ②各单元所处的状态是相互独立的。1．可靠性功能逻辑图若已知逻辑图和每个单元的工作概率或故障概2．串联系统特征：n个单元全部正常工作时，系统正常工作； 只要有一个单元失效，系统即失效。设： －系统正常工作状态 －系统故障状态 －单元i处于正常工作状态（i＝1，2，…，n） －单元i处于故障状态（i＝1，2，…，n）12nAB2．串联系统12nAB2．串联系统则

A

＝ ＝

＝ ＝2．串联系统则 2．串联系统由上式： ＝ （Ai之间相互独立） ＝ ＝上式表明，在串联系统中，系统的可靠度是元件(单元)可靠度乘积。 ∵＜1， ∴ ＜1，而且＜即串联子系统的可靠度比任一单元要小。因此，提高最低可靠度单元（薄弱环节）的可靠度效果会更好。2．串联系统由上式： ＝ （Ai之间相互独立）2．串联系统若各单元服从指数分布，

＝＝＝由此可知，串联后仍服从指数分布：

λs

＝，θs＝。2．串联系统若各单元服从指数分布，3．并联系统特征：任一单元正常工作，子系统即正常工作;只有所有单元均失效，系统才失效。设： A－系统正常状态 －系统故障 －单元i

处于正常工作状态（i＝1，2，…，n） －单元i

处于故障状态123AB3．并联系统123AB3．并联系统则 ＝ ＝

（设各单元状态相互独立） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝3．并联系统则 ＝ ＝ 3．并联系统若各单元寿命均服从指数分布，λi， ＝当n＝2时， ＝ ＝ ＝3．并联系统若各单元寿命均服从指数分布，λi，3．并联系统经分析，并联系统＞

之最大值，n越大，越高，但并联单元多，结构尺寸大，重量、造价高，且

∴通常取n

＝2～3。

n缓慢3．并联系统经分析，并联系统＞之最4．混联系统一般混联系统（由串联、并联混合组成的系统）12345678子系统S167S28等效单元8S4S34．混联系统一般混联系统（由串联、并联混合组成的系统）1234．混联系统其中 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝4．混联系统其中 ＝4．混联系统串－并联系统1121m111222m221n2nmnnij第j列i=1,2,…,mj=1,2,…,n4．混联系统串－并联系统1121m111222m221n2n4．混联系统每一列视为一个子系统，求出各子系统的Rj

，再相乘即得Rs

＝

＝ ＝当m1

＝m2

＝…＝mn

＝m，且＝时，

＝ 4．混联系统每一列视为一个子系统，求出各子系统的Rj，再相4．混联系统并－串联系统11i=1,2,…,mj=1,2,…,n第i行121n121222n2m1m2mnmij4．混联系统并－串联系统11i=1,2,…,m第i行121n4．混联系统每一行视为一个子系统，求出各子系统的Ri

，再求得Rs

＝ ＝ ＝当n1＝n2＝…＝nm＝n，＝时，

＝4．混联系统每一行视为一个子系统，求出各子系统的Ri，再求5．表决系统（r/n）特征：n个单元中只要有r个单元正常工作系统就能正常工作。设：Ai－单元i处于正常工作状态（i＝1，2，3）

A－系统处于正常工作状态则 A＝设Ai

间相互独立，但事件Ⅰ：A1∩A2，Ⅱ：A1∩A3，Ⅲ：A2∩A3

，Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ相容

12nr/n以1232/3为例5．表决系统（r/n）12nr/n以1232/3为例5．表决系统（r/n）

＝P（A）＝P(A1∩A2)＋P(A1∩A3)＋P(A2∩A3)

－[P(Ⅰ∩Ⅱ)＋P(Ⅰ∩Ⅲ)＋P(Ⅱ∩Ⅲ)]＋P[Ⅰ∩Ⅱ∩Ⅲ]

＝P(A1∩A2)＋P(A1∩A3)＋P(A2∩A3)

－[P(A1∩A2∩A3)＋P(A1∩A2∩A3)＋P(A1∩A2∩A3)]

＋P(A1∩A2∩A3)

＝P(A1∩A2)＋P(A1∩A3)＋P(A2∩A3)－2P(A1∩A2∩A3)

＝P(A1)P(A2)＋P(A1)P(A3)＋P(A2)P(A3)－2P(A1)P(A2)P(A3)

＝ ＋ ＋ -25．表决系统（r/n） ＝P（A）5．表决系统（r/n）当各单元相同时：＝；＝

5．表决系统（r/n）当各单元相同时：5．表决系统（r/n）

对上述“2/3”子系统也可以表示为： 由此，按前述并、串联系统的计算方法即可求得系统的可靠性特征量。

1233215．表决系统（r/n） 对上述“2/3”子系统也可以表示为：5．表决系统（r/n）一般，对于n个相同单元（）组成的r/n表决系统，由于各单元只有两个状态，因此r/n系统可靠度可表示为： ＝

i为正常工作单元数，i＝r，r＋1，…，n时系统都可正常工作。式中：5．表决系统（r/n）一般，对于n个相同单元（）5．表决系统（r/n）又r/n系统，当r＝n时，n/n系统，即为串联系统 当r＝1时，1/n系统，即为并联系统各系统单元相同，且均服从指数分布时，失效率为λ；则 ＝此时 ＝ ＝ ＝用数学归纳法可以证明：

＝ (1)5．表决系统（r/n）又r/n系统，当r＝n时，n/n系统，5．表决系统（r/n）

当i＝1时， ＝ ＝ ＝上式成立。设i＝k（1≤k＜n）时等式成立， 即 ＝ (2)

证明i＝k＋1时，上式（1）成立：

i＝k＋1时： ＝5．表决系统（r/n）当i＝1时，5．表决系统（r/n）

＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝∴i＝k＋1时，（1）成立，∴（1）式成立。5．表决系统（r/n） ＝6．旁联系统（非工作贮备系统）

设贮备单元完全可靠（由于单元受环境的影响，单元贮备期间也可能失效，此部分内容这里不讲，而只讲贮备单元完全可靠的情况）

12n故障检测和转换装置R0(t)6．旁联系统（非工作贮备系统）12n故障检测和转换装置R0(6．旁联系统（非工作贮备系统）转换装置完全可靠（R0(t)＝1） 设T1，T2，…，Tn为1～n个单元的寿命，随机变量，且两两相互独立则 系统寿命随机变量：

Ts

＝T1＋T2＋…＋Tn

系统可靠度： ＝P（Ts＞t）＝P（T1＋T2＋…＋Tn＞t） 系统平均寿命： ＝＝ －单元i的平均寿命 6．旁联系统（非工作贮备系统）转换装置完全可靠（R0(t)＝6．旁联系统（非工作贮备系统）下面以两个单元组成的旁联系统为例，说明上式的计算方法。 设两单元：T1、T2

均服从指数分布，失效率分别为λ1

、λ2

则 f1(t)＝ ，f2(t)＝6．旁联系统（非工作贮备系统）下面以两个单元组成的旁联系统为6．旁联系统（非工作贮备系统）

＝P(Ts＞t)＝ :Ts＝T1＋T2

的概率密度函数∵ Ts＝T1＋T2∴ ＝ 即f1(t)和f2(t)的卷积。两边取拉普拉斯变换： ＝ ＝由上式： ＝ ， ＝ （用到：＝；）6．旁联系统（非工作贮备系统） ＝P(Ts＞t)＝ 6．旁联系统（非工作贮备系统）代入上式即可得6．旁联系统（非工作贮备系统）代入上式即可得6．旁联系统（非工作贮备系统）对两个相同单元组成的旁联系统，用上述同样方法得对n个不同单元组成的旁联系统6．旁联系统（非工作贮备系统）对两个相同单元组成的旁联系统，6．旁联系统（非工作贮备系统）6．旁联系统（非工作贮备系统）6．旁联系统（非工作贮备系统）转换装置不完全可靠［（服从指数分布）］,仍以２个单元组成的旁联系统为例1２6．旁联系统（非工作贮备系统）转换装置不完全可靠［（服从指数分布函数（或不可靠度）

6．旁联系统（非工作贮备系统）分布函数（或不可靠度）6．旁联系统（非工作贮备6．旁联系统（非工作贮备系统）

6．旁联系统（非工作贮备系统）6．旁联系统（非工作贮备系统）

转换装置不完全可靠。（不使用时=0，使用时(t)==c）单元1先投入使用，单元1失效时，转换装置投入使用，此时转换装置有两种可能：

失效：系统寿命为，失效概率为1-R0

正常：系统寿命为，正常概率为R06．旁联系统（非工作贮备系统）转换装置不完全可靠。单元6．旁联系统（非工作贮备系统）此时：

对指数分布：

6．旁联系统（非工作贮备系统）此时：6．旁联系统（非工作贮备系统）时对由n个相同指数单元组成的旁联系统，经推导可得：6．旁联系统（非工作贮备系统）时对由n个相同指数单元组成的旁７．网络系统除前面介绍的串联、并联和表决等典型模型外，还有一般网络模型，如通性网络，交通网络，电路网络等本节讨论网络模型常用的R分析方法，网络由节点和节点间的连线(弧或单元)连接而成，假设弧(单元)和系统只有两种可能状态—正常或失效。弧(或单元)之间相互独立。７．网络系统除前面介绍的串联、并联和表决等典型模型外，还有一７．网络系统例如１２４３也可表示为：1234７．网络系统例如１２４３也可表示为：1234７．网络系统

全概率分解法根据全概率公式其中，=1(全集)

互不相容７．网络系统全概率分解法根据全概率公式其中，=1(全集７．网络系统设x—某被选单元正常状态(事件)

—某被选单元故障状态(事件)S—系统正常状态

—系统故障状态

则有：７．网络系统设x—某被选单元正常状态(事件)—某被选７．网络系统则同理可写出：其中：表示单元x正常时子系统故障状态的概率

表示单元x故障时子系统故障状态的概率若S(x)—单元正常时的子系统（正常状态）

S()—单元故障时的子系统（正常状态）７．网络系统则同理可写出：其中：表示单元x正常时子系统故障７．网络系统例如：1

2345ＢＡ按单元３展开：如图a,bＢＡＡ

（ａ）正常时（短路）（ｂ）故障时（断路）Ｂ７．网络系统例如：12345ＢＡ按单元３展开：如图７．网络系统可转化为：全概率分解法的关键是选择合适的单元进行展开，对于更为复杂的网络系统，可按此原理逐级分解，将其转化为一般的串并联，从而求出全系统的可靠性。７．网络系统可转化为：全概率分解法的关键是选择合适的单元进行７．网络系统布尔真值表法（穷举法）n个单元组成的网络系统，各单元均有“正常”和“失效”2种状态，则系统就有2n种（微观）状态。对这个状态逐一分析，判断系统的状态是“正常”还是“故障”，由于各状态互斥。因此所有正常工作状态的概率之和就是系统的可靠度。例如：1234０—故障１—正常７．网络系统布尔真值表法（穷举法）n个单元组成的网络系统，各７．网络系统共有＝32微观状态系统７．网络系统共有＝32微观状态系统７.网络系统网络中有一些弧或单元，当这些弧正常时，网络就正常，这些弧的集合称为路集，若路集中除去任一弧，就不能仍为路集，这种路集称为最小路集。最小路集法路：连接任意两节点间由有向弧组成的弧的集合，称为这两个节点的一条路，或称道路。如

{

，

７.网络系统网络中有一些弧或单元，当这些弧正常时，网络就正常７．网络系统路集：由输入节点到输出节点的所有路的集合，称为路集最小路：如果一条路中移去一条弧后就不再构成路，则称这条路为最小路。最小路集：由最小路构成的集合。具有n个节点的网络的最小路集的最大路长为n—1。求最小路集的方法：有联络矩阵法、网络遍历法（计算机求解）等，主要介绍联络矩阵法。７．网络系统路集：由输入节点到输出节点的所有路的集合，称为路７．网络系统联络矩阵法给定一个有n个节点的网络s（有向、无向或混合型），定义相应的n阶矩阵其中＝若节点i到j之间有弧直接相连若节点i到j之间无弧直接相连称c为网络s的联络矩阵（或关联矩阵）

７．网络系统联络矩阵法＝若节点i到j之间有弧直接相连若节点i７．网络系统例如网络s1234７．网络系统例如网络s1234７．网络系统联络矩阵的乘方规则定义

其中

显然，表示节点i到节点j的长度为2的最小路集的全体.

同理所以从任意节点i到节点j的所有最小路集可表示为：

（=）

（路长r=1,2n-1）７．网络系统联络矩阵的乘方规则定义其中显然，表示节点７．网络系统由于n个节点网络的最小路集的最大路长为n-1，因此当r

n时，必有[0]

例如：求上例从1到4最小路集当r=1时７．网络系统由于n个节点网络的最小路集的最大路长为n-1，因７．网络系统当r=2时＝７．网络系统当r=2时＝７．网络系统

当r=3时

＝７．网络系统当r=3时＝７．网络系统系统S的最小路集为S=

注：集合运算７．网络系统系统S的最小路集为S=注：集合运算７．网络系统b搜索法可以用建搜索树的方法求解如上例

s=７．网络系统b搜索法可以用建搜索树的方法求解如上例

７．网络系统

□由最小路集求系统可靠度（正常工作概率）设某网络共有m个最小路集

最小路集存在，足以使网络正常，

，任意因此网络正常事件可表示为第i个最小路集存在的事件

网络系统正常工作的概率（可靠度）

７．网络系统□由最小路集求系统可靠度（正常工作概率７．网络系统

仍以上述网络为例已知且各弧正常工作的概率事件之间相互独立

７．网络系统仍以上述网络为例已知且各弧正常工作的概率事件之７．网络系统应用上式：７．网络系统应用上式：７．网络系统类似方法：利用上式可得：＋＋……７．网络系统类似方法：利用上式可得：＋＋……７．网络系统（4）最小割集法网络中的一些弧（或单元），当这些弧失效时，网络就失效，这些弧的集合称为割集，若由割集中去掉任何一个弧，就不能仍为割集，这种割集称为最小割集。设系统即失效，

为系统的k个最小割集，任一最小割集发生失效，因此系统

失效事件B为：

７．网络系统（4）最小割集法网络中的一些弧（或单元），当这７．网络系统则系统的失效概率（不可靠度）如割集：

则７．网络系统则系统的失效概率（不可靠度）如割集：则作业：有旁联系统（非工作贮备系统）如下图所示。1.转换装置不完全可靠［（服从指数分布）］,仍以２个单元组成的旁联系统为例1２求系统的可靠性和平均寿命，要求有详细的推导过程作业：有旁联系统（非工作贮备系统）如下图所示。1２求系统的可

2.转换装置不完全可靠。（不使用时=0，使用时(t)==c）单元1先投入使用，单元1失效时，转换装置投入使用，此时转换装置有2种可能：

失效：系统寿命为，失效概率为1-R0

正常：系统寿命为，正常概率为R0求系统的可靠性和平均寿命，要求有详细的推导过程2.转换装置不完全可靠。单元1先投入使用，单元1失效时回顾复习可靠度R(t)产品在规定条件下和规定时间内完成规定功能的概率。失效率λ(t)工作到某时刻t时尚未失效或故障的产品，在t时刻以后的下一个单位时间内发生失效或故障的概率。回顾复习可靠度R(t)可靠性指标及其内在关系可靠性指标及其内在关系第二章不可修复系统的可靠性2.1可靠性功能逻辑图2.2串联系统2.3并联系统2.4混联系统2.5表决系统2.6旁联系统2.7网络系统第二章不可修复系统的可靠性2.1可靠性功能逻辑图1．可靠性功能逻辑图就其功能研究系统可靠性。可靠性逻辑图：系统与单元功能间的逻辑关系图建立可靠性功能逻辑框图，不能从结构上而应从功能上研究系统类型1．可靠性功能逻辑图就其功能研究系统可靠性。1．可靠性功能逻辑图BAC2C1例1：逻辑关系？1．可靠性功能逻辑图BAC1例1：逻辑关系？1．可靠性功能逻辑图如果分析的是短路失效，只要一个短路，系统即短路。其系统逻辑框图为：如果分析的是开路失效，当两个电容同时失效，才会引起系统失效。其逻辑框图为：ABC1C2ABC1C21．可靠性功能逻辑图如果分析的是短路失效，只要一个短路，系统1．可靠性功能逻辑图

例2：AB12逻辑关系？1．可靠性功能逻辑图

例2：AB12逻辑关系？1．可靠性功能逻辑图如果研究的是液体“流通”：1、2都实现自己的功能“开启”，系统才能实现液体“流通”。其逻辑框图为：如果研究的是液体“被截流”：1、2只要有一个功能正常“关闭”，系统就可实现“被截流”。其逻辑框图为：AB12AB121．可靠性功能逻辑图AB12AB121．可靠性功能逻辑图若已知逻辑图和每个单元的工作概率或故障概率，则通过适当的运算，可求得整个系统的工作概率（可靠度）、故障概率（不可靠度）、MTTF等可靠性特征量（指标）。主要研究几种常用的典型系统及其可靠性特征量的计算方法。假设： ①系统、单元均有两种状态正常与失效； ②各单元所处的状态是相互独立的。1．可靠性功能逻辑图若已知逻辑图和每个单元的工作概率或故障概2．串联系统特征：n个单元全部正常工作时，系统正常工作； 只要有一个单元失效，系统即失效。设： －系统正常工作状态 －系统故障状态 －单元i处于正常工作状态（i＝1，2，…，n） －单元i处于故障状态（i＝1，2，…，n）12nAB2．串联系统12nAB2．串联系统则

A

＝ ＝

＝ ＝2．串联系统则 2．串联系统由上式： ＝ （Ai之间相互独立） ＝ ＝上式表明，在串联系统中，系统的可靠度是元件(单元)可靠度乘积。 ∵＜1， ∴ ＜1，而且＜即串联子系统的可靠度比任一单元要小。因此，提高最低可靠度单元（薄弱环节）的可靠度效果会更好。2．串联系统由上式： ＝ （Ai之间相互独立）2．串联系统若各单元服从指数分布，

＝＝＝由此可知，串联后仍服从指数分布：

λs

＝，θs＝。2．串联系统若各单元服从指数分布，3．并联系统特征：任一单元正常工作，子系统即正常工作;只有所有单元均失效，系统才失效。设： A－系统正常状态 －系统故障 －单元i

处于正常工作状态（i＝1，2，…，n） －单元i

处于故障状态123AB3．并联系统123AB3．并联系统则 ＝ ＝

（设各单元状态相互独立） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝3．并联系统则 ＝ ＝ 3．并联系统若各单元寿命均服从指数分布，λi， ＝当n＝2时， ＝ ＝ ＝3．并联系统若各单元寿命均服从指数分布，λi，3．并联系统经分析，并联系统＞

之最大值，n越大，越高，但并联单元多，结构尺寸大，重量、造价高，且

∴通常取n

＝2～3。

n缓慢3．并联系统经分析，并联系统＞之最4．混联系统一般混联系统（由串联、并联混合组成的系统）12345678子系统S167S28等效单元8S4S34．混联系统一般混联系统（由串联、并联混合组成的系统）1234．混联系统其中 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝4．混联系统其中 ＝4．混联系统串－并联系统1121m111222m221n2nmnnij第j列i=1,2,…,mj=1,2,…,n4．混联系统串－并联系统1121m111222m221n2n4．混联系统每一列视为一个子系统，求出各子系统的Rj

，再相乘即得Rs

＝

＝ ＝当m1

＝m2

＝…＝mn

＝m，且＝时，

＝ 4．混联系统每一列视为一个子系统，求出各子系统的Rj，再相4．混联系统并－串联系统11i=1,2,…,mj=1,2,…,n第i行121n121222n2m1m2mnmij4．混联系统并－串联系统11i=1,2,…,m第i行121n4．混联系统每一行视为一个子系统，求出各子系统的Ri

，再求得Rs

＝ ＝ ＝当n1＝n2＝…＝nm＝n，＝时，

＝4．混联系统每一行视为一个子系统，求出各子系统的Ri，再求5．表决系统（r/n）特征：n个单元中只要有r个单元正常工作系统就能正常工作。设：Ai－单元i处于正常工作状态（i＝1，2，3）

A－系统处于正常工作状态则 A＝设Ai

间相互独立，但事件Ⅰ：A1∩A2，Ⅱ：A1∩A3，Ⅲ：A2∩A3

，Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ相容

12nr/n以1232/3为例5．表决系统（r/n）12nr/n以1232/3为例5．表决系统（r/n）

＝P（A）＝P(A1∩A2)＋P(A1∩A3)＋P(A2∩A3)

－[P(Ⅰ∩Ⅱ)＋P(Ⅰ∩Ⅲ)＋P(Ⅱ∩Ⅲ)]＋P[Ⅰ∩Ⅱ∩Ⅲ]

＝P(A1∩A2)＋P(A1∩A3)＋P(A2∩A3)

－[P(A1∩A2∩A3)＋P(A1∩A2∩A3)＋P(A1∩A2∩A3)]

＋P(A1∩A2∩A3)

＝P(A1∩A2)＋P(A1∩A3)＋P(A2∩A3)－2P(A1∩A2∩A3)

＝P(A1)P(A2)＋P(A1)P(A3)＋P(A2)P(A3)－2P(A1)P(A2)P(A3)

＝ ＋ ＋ -25．表决系统（r/n） ＝P（A）5．表决系统（r/n）当各单元相同时：＝；＝

5．表决系统（r/n）当各单元相同时：5．表决系统（r/n）

对上述“2/3”子系统也可以表示为： 由此，按前述并、串联系统的计算方法即可求得系统的可靠性特征量。

1233215．表决系统（r/n） 对上述“2/3”子系统也可以表示为：5．表决系统（r/n）一般，对于n个相同单元（）组成的r/n表决系统，由于各单元只有两个状态，因此r/n系统可靠度可表示为： ＝

i为正常工作单元数，i＝r，r＋1，…，n时系统都可正常工作。式中：5．表决系统（r/n）一般，对于n个相同单元（）5．表决系统（r/n）又r/n系统，当r＝n时，n/n系统，即为串联系统 当r＝1时，1/n系统，即为并联系统各系统单元相同，且均服从指数分布时，失效率为λ；则 ＝此时 ＝ ＝ ＝用数学归纳法可以证明：

＝ (1)5．表决系统（r/n）又r/n系统，当r＝n时，n/n系统，5．表决系统（r/n）

当i＝1时， ＝ ＝ ＝上式成立。设i＝k（1≤k＜n）时等式成立， 即 ＝ (2)

证明i＝k＋1时，上式（1）成立：

i＝k＋1时： ＝5．表决系统（r/n）当i＝1时，5．表决系统（r/n）

＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝∴i＝k＋1时，（1）成立，∴（1）式成立。5．表决系统（r/n） ＝6．旁联系统（非工作贮备系统）

设贮备单元完全可靠（由于单元受环境的影响，单元贮备期间也可能失效，此部分内容这里不讲，而只讲贮备单元完全可靠的情况）

12n故障检测和转换装置R0(t)6．旁联系统（非工作贮备系统）12n故障检测和转换装置R0(6．旁联系统（非工作贮备系统）转换装置完全可靠（R0(t)＝1） 设T1，T2，…，Tn为1～n个单元的寿命，随机变量，且两两相互独立则 系统寿命随机变量：

Ts

＝T1＋T2＋…＋Tn

系统可靠度： ＝P（Ts＞t）＝P（T1＋T2＋…＋Tn＞t） 系统平均寿命： ＝＝ －单元i的平均寿命 6．旁联系统（非工作贮备系统）转换装置完全可靠（R0(t)＝6．旁联系统（非工作贮备系统）下面以两个单元组成的旁联系统为例，说明上式的计算方法。 设两单元：T1、T2

均服从指数分布，失效率分别为λ1

、λ2

则 f1(t)＝ ，f2(t)＝6．旁联系统（非工作贮备系统）下面以两个单元组成的旁联系统为6．旁联系统（非工作贮备系统）

＝P(Ts＞t)＝ :Ts＝T1＋T2

的概率密度函数∵ Ts＝T1＋T2∴ ＝ 即f1(t)和f2(t)的卷积。两边取拉普拉斯变换： ＝ ＝由上式： ＝ ， ＝ （用到：＝；）6．旁联系统（非工作贮备系统） ＝P(Ts＞t)＝ 6．旁联系统（非工作贮备系统）代入上式即可得6．旁联系统（非工作贮备系统）代入上式即可得6．旁联系统（非工作贮备系统）对两个相同单元组成的旁联系统，用上述同样方法得对n个不同单元组成的旁联系统6．旁联系统（非工作贮备系统）对两个相同单元组成的旁联系统，6．旁联系统（非工作贮备系统）6．旁联系统（非工作贮备系统）6．旁联系统（非工作贮备系统）转换装置不完全可靠［（服从指数分布）］,仍以２个单元组成的旁联系统为例1２6．旁联系统（非工作贮备系统）转换装置不完全可靠［（服从指数分布函数（或不可靠度）

6．旁联系统（非工作贮备系统）分布函数（或不可靠度）6．旁联系统（非工作贮备6．旁联系统（非工作贮备系统）

6．旁联系统（非工作贮备系统）6．旁联系统（非工作贮备系统）

转换装置不完全可靠。（不使用时=0，使用时(t)==c）单元1先投入使用，单元1失效时，转换装置投入使用，此时转换装置有两种可能：

失效：系统寿命为，失效概率为1-R0

正常：系统寿命为，正常概率为R06．旁联系统（非工作贮备系统）转换装置不完全可靠。单元6．旁联系统（非工作贮备系统）此时：

对指数分布：

6．旁联系统（非工作贮备系统）此时：6．旁联系统（非工作贮备系统）时对由n个相同指数单元组成的旁联系统，经推导可得：6．旁联系统（非工作贮备系统）时对由n个相同指数单元组成的旁７．网络系统除前面介绍的串联、并联和表决等典型模型外，还有一般网络模型，如通性网络，交通网络，电路网络等本节讨论网络模型常用的R分析方法，网络由节点和节点间的连线(弧或单元)连接而成，假设弧(单元)和系统只有两种可能状态—正常或失效。弧(或单元)之间相互独立。７．网络系统除前面介绍的串联、并联和表决等典型模型外，还有一７．网络系统例如１２４３也可表示为：1234７．网络系统例如１２４３也可表示为：1234７．网络系统

全概率分解法根据全概率公式其中，=1(全集)

互不相容７．网络系统全概率分解法根据全概率公式其中，=1(全集７．网络系统设x—某被选单元正常状态(事件)

—某被选单元故障状态(事件)S—系统正常状态

—系统故障状态

则有：７．网络系统设x—某被选单元正常状态(事件)—某被选７．网络系统则同理可写出：其中：表示单元x正常时子系统故障状态的概率

表示单元x故障时子系统故障状态的概率若S(x)—单元正常时的子系统（正常状态）

S()—单元故障时的子系统（正常状态）７．网络系统则同理可写出：其中：表示单元x正常时子系统故障７．网络系统例如：1

2345ＢＡ按单元３展开：如图a,bＢＡＡ

（ａ）正常时（短路）（ｂ）故障时（断路）Ｂ７．网络系统例如：12345ＢＡ按单元３展开：如图７．网络系统可转化为：全概率分解法的关键是选择合适的单元进行展开，对于更为复杂的网络系统，可按此原理逐级分解，将其转化为一般的串并联，从而求出全系统的可靠性。７．网络系统可转化为：全概率分解法的关键是选择合适的单元进行７．网络系统布尔真值表法（穷举法）n个单元组成的网络系统，各单元均有“正常”和“失效”2种状态，则系统就有2n种（微观）状态。对这个状态逐一分析，判断系统的状态是“正常”还是“故障”，由于各状态互斥。因此所有正常工作状态的概率之和就是系统的可靠度。例如：1234０—故障１—正常７．网络系统布尔真值表法（穷举法）n个单元组成的网络系统，各７．网络系统共有＝32微观状态系统７．网络系统共有＝32微观状态系统７.网络系统网络中有一些弧或单元，当这些弧正常时，网络就正常，这些弧的集合称为路集，若路集中除去任一弧，就不