基本不等式与最值问题讲师版

高三数基本不等式与最值问题（学生授课日教师授知识定本讲义主要介绍了基本不等式及应用与最值问题，大出现的题型多为选择题和填空题不等式是证明不等式和求函数最值的常用工具,尤其是高考内容中不要求利用导数求最值,axbx

知识梳理与典型例

ab2(a2b2①a2b22ab；②ab2(a2b22

；④aba22 a222

2aba，b RaR C.A.B.C. B. C.【题目】当x,y,z为正实数时，满 【题目】当时，求yx(82x)的最大值积的形式，但其和不是定值。注意到2x82x8yx(82x凑上一个系数即可。当，即x＝2时取等号当x＝2时，yx(82x)的最大值为8【题目】某企业要建造一个容积为18 分别为200元和150元，如何才能使得总造价最低？最低总造价为多少？)yx225x)(0x)5

【解析】0x225x05yx2(25x)45x5x(2 252 4 x x25x 2 255

3 2x25xx15ymax2【试题】已知函数f(x)x 的定义域 .设点P是函数图象上的任意一点，过点P分别作2xy=x和yM、 0（1）证明：设点P的坐标为(x,y)，则有yx2 0x x0，故有，即为定值，这个值为∵由（1）知∴当且仅当，点在 2)时，有最小值x0AxAf(xf(x0f(x0yf(x的最大值，记为ymaxf(x0；x0AxAf(xf(x0)f(x0yf(x的最小值，记为yminf(x0；Δ=b2（）－4（yc（y≥0数的最值，检验这个最值在定义域内有相应的x值.

x2x2- １-x ,x(2- １-【答案】无最大值，最小值为tx2t(0,6xt2(t2)2(t2) 代入得y =t y3．函数的值域为[3,)

f(x2xa(aR的定义域为0,2yf(xx并求出函数取最值时x的值【解析】①当a0,f(xxf(xx2,maxf(2)4a2②当a0f(xx2,

f(2)4a2a2③当a0 2即0a8时,所以x a,min22a，无最大a22a2④当a0 2即a8时，所以x2,min4a，无最大值a22f(xx22x3f(xx[m,1]1，求实数m3【答案】m3ｍ１【解析】由题意得，f(x)x22x3x1)24，ｍ１f(xx[m,1]上单调递增，f

f(m)m22m3解得m13．m1,m1 3【题目】已知函数y＝1－x＋x＋3的最大值为M，最小值为 32232C.

y2＝4＋2(1x)(x(1x)(xy＝a－cx＋cx＋b＋b)2(acx)(cxb

【讲评】解决这类问题的重要的一步就是判断函数在给定区间上的单调性．这一点处理好了，以下的问在[m，n]上单调递增，则f(x)min＝f(m)，f(x)max＝f(n)；若函数f(x)在[m，n]上单调递减，则f(x)min＝f(n)，f(x)max习题演练 ，求的最小值及此时x与y的值关于x的不等式，讨论x的解a2b2c2【试题】已知a,b,cR，求证a2b2c2a2b22ab2(a2b2)(ab)2a2b21(ab)22a2a2

|ab222

2(ab)2b2b2

2(bc)c2c2

2(ca)2a2b2c2a2b2c2f(x【答案】

x27x10,xx2x5【题目】求函数y ，1x2x5 22【答案】2【试题】设函数g(x)3xh(x)

g(x1)，若f(x) 是实数集R上的奇函数，且g(x)f(h(x1)f(2kg(x0x恒成立，求实数k的取值范围【答案】kf(x

g(x1)ag(x)b

是实数集上的奇函数，所以a3,bf(x) f(x在实数集上单调递增3xf(h(x1f(2kg(x0f(h(x1f(2kg(xf(x是实数集上的奇函数，所以，f(h(x)1)f(kg(x)2，f(x在实数集上单调递增，所以h(x)1kg(x)即32x1k3x2xRk3x

当a<0时，ymin＝f(a)＝a2－2.【讲评】利用二次函数的性质求最值，要特别注意自变量的取值范围，同时还要注意对称轴与区间的相f(xD上的最大值与最小值分别为maxf(x|xD与minf(x|xD．f(x x(b,

3，

h(amaxg(x|x[1,3]ming(x|x[1,3]，记d(bminh(a|a若函数g(x)在[1,3]上单调递减，求a当ab1时，求h(a关于a2试写出h(a)的表达式，并求maxd(b)|baxb,x(b,

a1,由题意a

a（2）当b2a10a1g(x)(a1)x4a2,x[12a1]ax2a x(2a1,显然g(x)在[12a1]上单调递减，在[2a1,3上单调递增g(1)g(3)5a1，故maxg(x|x[1,3]g(1)g(3)5aming(x|x[1,3]g(2a12a23a （3）g(x)ax 1）当a0maxg(x|x[1,3]=g(1)=a+2b-

ming(x)|x当a1maxg(x|xb

当0a 2b当2

a1maxg(x|x[1,3]=g(3)=3a+bming(x|x[1,3]

a

bh(a3aa