2023学年四川省石室中学高三第五次模拟考试数学试卷（含答案解析）

2023高考数学模拟试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知的展开式中第项与第项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（）．A． B． C． D．2．已知平面向量，满足，且，则与的夹角为（）A． B． C． D．3．设双曲线（a>0,b>0）的右焦点为F，右顶点为A,过F作AF的垂线与双曲线交于B,C两点，过B,C分别作AC，AB的垂线交于点D．若D到直线BC的距离小于，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是（）A．B．C．D．4．设全集，集合，.则集合等于（）A． B． C． D．5．已知平面向量满足与的夹角为，且，则实数的值为（）A． B． C． D．6．下列函数中，值域为的偶函数是（）A． B． C． D．7．若函数，在区间上任取三个实数，，均存在以，，为边长的三角形，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．8．已知为抛物线的准线，抛物线上的点到的距离为，点的坐标为，则的最小值是（）A． B．4 C．2 D．9．设是虚数单位，复数（）A． B． C． D．10．已知偶函数在区间内单调递减，，，，则，，满足（）A． B． C． D．11．已知函数，给出下列四个结论：①函数的值域是；②函数为奇函数；③函数在区间单调递减；④若对任意，都有成立，则的最小值为；其中正确结论的个数是（）A． B． C． D．12．已知全集，则集合的子集个数为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知等差数列满足，，则的值为________．14．已知，若的展开式中的系数比x的系数大30，则______．15．已知实数，满足约束条件，则的最大值是__________.16．已知函数为奇函数，，且与图象的交点为，，…，，则______．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知数列和，前项和为，且，是各项均为正数的等比数列，且，．（1）求数列和的通项公式；（2）求数列的前项和．18．（12分）已知函数.（1）解不等式；（2）若函数最小值为，且，求的最小值.19．（12分）如图，底面是等腰梯形，，点为的中点，以为边作正方形，且平面平面.（1）证明：平面平面.（2）求二面角的正弦值．20．（12分）某中学的甲、乙、丙三名同学参加高校自主招生考试，每位同学彼此独立的从五所高校中任选2所．（1）求甲、乙、丙三名同学都选高校的概率；（2）若已知甲同学特别喜欢高校，他必选校，另在四校中再随机选1所；而同学乙和丙对五所高校没有偏爱，因此他们每人在五所高校中随机选2所．（i）求甲同学选高校且乙、丙都未选高校的概率；（ii）记为甲、乙、丙三名同学中选高校的人数，求随机变量的分布列及数学期望．21．（12分）已知函数的最小正周期是，且当时，取得最大值．（1）求的解析式；（2）作出在上的图象（要列表）．22．（10分）已知函数．（1）解不等式：；（2）求证：．

2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．D【答案解析】因为的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以，解得，所以二项式中奇数项的二项式系数和为．考点：二项式系数，二项式系数和．2．C【答案解析】

根据，两边平方，化简得，再利用数量积定义得到求解.【题目详解】因为平面向量，满足，且，所以，所以，所以，所以，所以与的夹角为.故选：C【答案点睛】本题主要考查平面向量的模，向量的夹角和数量积运算，属于基础题.3．A【答案解析】

由题意,根据双曲线的对称性知在轴上，设，则由得：，因为到直线的距离小于，所以，即，所以双曲线渐近线斜率，故选A．4．A【答案解析】

先算出集合，再与集合B求交集即可.【题目详解】因为或.所以，又因为.所以.故选：A.【答案点睛】本题考查集合间的基本运算，涉及到解一元二次不等式、指数不等式，是一道容易题.5．D【答案解析】

由已知可得，结合向量数量积的运算律，建立方程，求解即可.【题目详解】依题意得由，得即，解得.故选:.【答案点睛】本题考查向量的数量积运算，向量垂直的应用，考查计算求解能力，属于基础题.6．C【答案解析】试题分析：A中，函数为偶函数，但，不满足条件；B中，函数为奇函数，不满足条件；C中，函数为偶函数且，满足条件；D中，函数为偶函数，但，不满足条件，故选C．考点：1、函数的奇偶性；2、函数的值域．7．D【答案解析】

利用导数求得在区间上的最大值和最小，根据三角形两边的和大于第三边列不等式，由此求得的取值范围.【题目详解】的定义域为，，所以在上递减，在上递增，在处取得极小值也即是最小值，，，，，所以在区间上的最大值为.要使在区间上任取三个实数，，均存在以，，为边长的三角形，则需恒成立，且，也即，也即当、时，成立，即，且，解得.所以的取值范围是.故选：D【答案点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的最值，考查恒成立问题的求解，属于中档题.8．B【答案解析】

设抛物线焦点为，由题意利用抛物线的定义可得，当共线时，取得最小值，由此求得答案.【题目详解】解：抛物线焦点，准线，过作交于点，连接由抛物线定义，

，

当且仅当三点共线时，取“＝”号，∴的最小值为.

故选：B.【答案点睛】本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，体现了数形结合的数学思想，属于中档题.9．D【答案解析】

利用复数的除法运算，化简复数，即可求解，得到答案．【题目详解】由题意，复数，故选D．【答案点睛】本题主要考查了复数的除法运算，其中解答中熟记复数的除法运算法则是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．10．D【答案解析】

首先由函数为偶函数，可得函数在内单调递增，再由，即可判定大小【题目详解】因为偶函数在减，所以在上增，，，，∴.故选：D【答案点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性,不同类型的数比较大小,应找一个中间数,通过它实现大小关系的传递，属于中档题.11．C【答案解析】

化的解析式为可判断①，求出的解析式可判断②，由得，结合正弦函数得图象即可判断③，由得可判断④.【题目详解】由题意，，所以，故①正确；为偶函数，故②错误；当时，，单调递减，故③正确；若对任意，都有成立，则为最小值点，为最大值点，则的最小值为，故④正确.故选：C.【答案点睛】本题考查三角函数的综合运用，涉及到函数的值域、函数单调性、函数奇偶性及函数最值等内容，是一道较为综合的问题.12．C【答案解析】

先求B.再求，求得则子集个数可求【题目详解】由题=,则集合,故其子集个数为故选C【答案点睛】此题考查了交、并、补集的混合运算及子集个数，熟练掌握各自的定义是解本题的关键，是基础题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．11【答案解析】

由等差数列的下标和性质可得，由即可求出公差，即可求解；【题目详解】解：设等差数列的公差为，，又因为，解得故答案为：【答案点睛】本题考查等差数列的通项公式及等差数列的性质的应用，属于基础题.14．2【答案解析】

利用二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，求得的值．【题目详解】展开式通项为：且的展开式中的系数比的系数大，即：解得：（舍去）或本题正确结果：【答案点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．15．【答案解析】

令，所求问题的最大值为,只需求出即可，作出可行域，利用几何意义即可解决.【题目详解】作出可行域，如图令，则，显然当直线经过时，最大，且，故的最大值为.故答案为：.【答案点睛】本题考查线性规划中非线性目标函数的最值问题，要做好此类题，前提是正确画出可行域，本题是一道基础题.16．18【答案解析】

由题意得函数f（x）与g（x）的图像都关于点对称，结合函数的对称性进行求解即可．【题目详解】函数为奇函数，函数关于点对称，，函数关于点对称，所以两个函数图象的交点也关于点（1，2）对称，与图像的交点为，，…，,两两关于点对称，.故答案为：18【答案点睛】本题考查了函数对称性的应用，结合函数奇偶性以及分式函数的性质求出函数的对称性是解决本题的关键，属于中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（1），；（2）.【答案解析】

（1）令求出的值，然后由，得出，然后检验是否符合在时的表达式，即可得出数列的通项公式，并设数列的公比为，根据题意列出和的方程组，解出这两个量，然后利用等比数列的通项公式可求出；（2）求出数列的前项和，然后利用分组求和法可求出.【题目详解】（1）当时，，当时，.也适合上式，所以，.设数列的公比为，则，由，两式相除得，，解得，，；（2）设数列的前项和为，则，.【答案点睛】本题考查利用求，同时也考查了等比数列通项的计算，以及分组求和法的应用，考查计算能力，属于中等题.18．（1）（2）【答案解析】

（1）利用零点分段法，求得不等式的解集.（2）先求得，即，再根据“的代换”的方法，结合基本不等式，求得的最小值.【题目详解】（1）当时，，即，无解；当时，，即，得；当时，，即，得.故所求不等式的解集为.（2）因为，所以，则，.当且仅当即时取等号.故的最小值为.【答案点睛】本小题主要考查零点分段法解绝对值不等式，考查利用基本不等式求最值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.19．（1）见解析；（2）【答案解析】

（1）先证明四边形是菱形,进而可知,然后可得到平面,即可证明平面平面;（2）记AC,BE的交点为O,再取FG的中点P.以O为坐标原点,以射线OB,OC,OP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系,分别求出平面ABF和DBF的法向量,然后由,可求出二面角的余弦值,进而可求出二面角的正弦值.【题目详解】（1）证明：因为点为的中点,,所以,因为,所以,所以四边形是平行四边形,因为,所以平行四边形是菱形,所以,因为平面平面,且平面平面,所以平面.因为平面,所以平面平面.（2）记AC,BE的交点为O,再取FG的中点P.由题意可知AC,BE,OP两两垂直,故以O为坐标原点,以射线OB,OC,OP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系.因为底面ABCD是等腰梯形,,所以四边形ABCE是菱形，且,所以,则,设平面ABF的法向量为,则,不妨取,则,设平面DBF的法向量为,则,不妨取,则,故.记二面角的大小为,故.【答案点睛】本题考查了面面垂直的证明,考查了二面角的求法,利用空间向量求平面的法向量是解决空间角问题的常见方法,属于中档题.20．（1）（2）（i）（ii）分布列见解析，【答案解析】

（1）先计算甲、乙、丙同学分别选择D高校的概率，利用事件的独立性即得解；（2）（i）分别计算每个事件的概率，再利用事件的独立性即得解；（ii），利用事件的独立性，分别计算对应的概率，列出分布列，计算数学期望即得解.【题目详解】（1）甲从五所高校中任选2所，共有共10种情况，甲、乙、丙同学都选高校，共有四种情况，甲同学选高校的概率为，因此乙、丙两同学选高校的概率为,因为每位同学彼此独立，所以甲、乙、丙三名同学都选高校的概率为．（2）（i）甲同学必选校且选高校的概率为，乙未选高校的概率为，丙未选高校的概率为，因为每位同学彼此独立，所以甲同学选高校且乙、丙都未选高校的概率为．（ii），因此，．即的分布列为0123因此数学期望为．【答案点睛】本题考查了事件独立性的应用和随机变量的分布列和期望，考查了学生综合分析，概念理解，实际应用，数学运算的能力，属于中档题.21．（1）；（2）见解析.【答案解析】

（1）根据函数的最小正周期可求出的值，由该函数的最大值可得出的值，再由，结合的取值范围可求得的值，由此可得出函数的解析式；（2）由计算出的取值范围，据此列表、描点、连线可得出函数在区间上的图象.【题目详解】（1）因为函数的最小正周期是，所以．又因为当时，函数取得最大值，所以，同时，得，因为，所以，所以；（2）因为，所以，列表如下：描