小学数学教师招聘考试专业知识103

数学教师招聘专业知识复习一、复习要求（由于招考题目仅为高考知识，所以本内容以均为高考知识点）1、理解集合及表示法，掌握子集，全集与补集，子集与并集的定义；2、掌握含绝对值不等式及一元二次不等式的解法；3、理解逻辑联结词的含义，会熟练地转化四种命题，掌握反证法；4、理解充分条件，必要条件及充要条件的意义，会判断两个命题的充要关系；5、学会用定题，理解数形结合，分类讨论及等价变换等思想方法。1、集合的概念：集合中元素特征，确定性，互异性，无序性；集合的分类：数学教师招聘专业知识复习一、复习要求（由于招考题目仅为高考知识，所以本内容以均为高考知识点）1、理解集合及表示法，掌握子集，全集与补集，子集与并集的定义；2、掌握含绝对值不等式及一元二次不等式的解法；3、理解逻辑联结词的含义，会熟练地转化四种命题，掌握反证法；4、理解充分条件，必要条件及充要条件的意义，会判断两个命题的充要关系；5、学会用定题，理解数形结合，分类讨论及等价变换等思想方法。1、集合的概念：集合中元素特征，确定性，互异性，无序性；集合的分类：①按元素个数分：有限集，无限集；{y|y=x2}，表示非负实数集，点集{(x，y)|y=x2y集合的表示法：N+={0，1，2，3，…}；②描述法。2、两类关系：元素与集合的关系，用或表示；集合与集合的关系，用，=表示，当ABABABAB3、集合运算（1）：A∩{x|xA∈B}A∪{x|xA，x∈}，CA｛x|x∈UxAU（2）∩（B∪C（A∩B）（A∩CU（A∪B）=（CUA）∩（CUB）等。4、命题：C（A∩B=CUA）∪CU命题分类：真命题与假命题，简单命题与复合命题；复合命题的形式：pq，pq，非p；（3）复合命题的真假：对p且q而言，当q、p为真时，其为真；当p、q中有一个为假时，其为假。对p或q而言，当p、q均为假时，其为假；当p、qp（3）复合命题的真假：对p且q而言，当q、p为真时，其为真；当p、q中有一个为假时，其为假。对p或q而言，当p、q均为假时，其为假；当p、qpppp（3）qppqqp“，q则非p个命题同真假，即等价。因此，四种命题为真的个数只能是偶数个。5、充分条件与必要条件pq”而言，当它是真命题时，pqqpqppqpq在判断充分条件及必要条件时，首先要分清哪个命题是条件，哪个命题是结论，其次，结论要分四种情况说明：充分不必要条件，必要不充分时，pqBApqA=Bpq当p和q互为充要时，体现了命题等价转换的思想。6、反证法是中学数学的重要方用反证法证明一些代数命题。7、集合概念及其基本理论是近代数学最基本的内容之一。学会用集合的思想处理数学问题。三、典型例题M∩N。解题思路分析：在集合运算之前，首先要识别集合，即认清集合中元素的特征。M、N合的特征化。M={y|y=x2+1，x∈R}={y|y≥1}，N={y|y=x+1，x∈R}={y|y∈R}∴M∩N=M={y|y≥1}y=x2+1元素特征与代表元素的字母无关，例{y|y≥1}={x|x≥1}。A∩B=Bm解题思路分析：A={1，2}，A∩B=BBA或{2}，B={1，2}时，△=m2-8<0∴22或{2}，B={1，2}时，△=m2-8<0∴22m220B={1}或{2，m1m20或42m20B={1，2122∴m=3综上所述，m=322m22B={1}或{2}时，不能遗漏△=0。3、x、y∈R，x+y≥2，x、y1。解题思路分析：y<1，x+y<2x+y≥2∴x、y1pq”pq”p，qq成立pq”p”一定为真。4、若AB，C是B，DCDA解题思路分析：”符号分析各命题之间的关系DCBA∴DA，D是A”具有传递性，不过前者是单方向的，后者是双方向的。1：2x-2y-3=02：3x-5y+1=0（不能同时成立，但必有一个解题思路分析：从必要性着手，分充分性和必要性两方面证明。2x2y30得，P（1711）4 4由1 23x5y10∵P∴a17从必要性着手，分充分性和必要性两方面证明。2x2y30得，P（1711）4 4由1 23x5y10∵P∴a1711b04 4∴17a+4b=11a，b17a+4b=11b1117a∴4axy1117a04(y11)a(x17)044此方程表明，直线恒过两直线y110,4x170的交点（1711）44 4而此点为1与2的交点要性着手，再检验充分性。四、同步练习（一）选择题a}MB、M{a}C、{aMD、M{a}A、{a}=MA∩B=φ，aA、[0，2]B（-2，2）C（0，2]D（0，2）、{x|x=b2-b，b∈RM，NAMNB、MNC、M=ND、不确定且|x|≤5}，A∪BA∩B=φ，aA、[0，2]B（-2，2）C（0，2]D（0，2）、{x|x=b2-b，b∈RM，NAMNB、MNC、M=ND、不确定且|x|≤5}，A∪BA、11B、10C、16D、15的子集是A、15B、16C、31D、326A、所给命题为假的A、充分不必要条件C、充要条件B、它的逆否命题为真D、它的否命题为真B、必要不充分条件D、既不充分也不必要条件之间的关系是A、SBAB、S=BAC、SB=AD、SB=A mx2+2x+1=0m<0C、m<1B、0<m≤1D、m≤110、已知px2+ax+b=0，q：a，bpqA、充分不必要条件充要条件B、必要不充分条件D、既不充分又不必要条件（二）填空题11Mm|m4Z}，N={x|x3N}M∩N=。22人，则两者都 的人数最少是 人。100有解的充要条件是 。14、命题“若ab=0，则a、b中至少有一个为零”的逆否命题为 。15非空集合p满足下列两个条件）p{1，2，4，}人，则两者都 的人数最少是 人。100有解的充要条件是 。14、命题“若ab=0，则a、b中至少有一个为零”的逆否命题为 。15非空集合p满足下列两个条件）p{1，2，4，}）若元素ap，则-a，则集合p个数是 。（三）解答题A∩Ba17：y-x+mxM（0，N3，CMNA∩M=φ，A∩N=Ap、q19、已知ax21，b=2-x，c=x2-x+1，用反证法证明：a、b、c1。2函数一、复习要求7、函数的定义及通性；2、函数性质的运用。1、函数的概念：（1）A，BAaBbAB则，b=f(a)。若A中不同元素的象也不同，则称 为单射，若B中每一个元素都有原象与之对应，则称为满射。既是单射又是满射的称为一一。A，BAC={f(x)|x∈A}为值域。定义域，对应法则，值域构成了函数的三要素，从逻辑上讲，定义域，对应法则决定了值域，是两个最基本的因素。逆过来，值域也会限制定义域。求函数定义域，通过解关于自变量的不等式（组）来实现的。要熟记基本初等函数的定义域，通过四则运算构成的初等函数，其定义域是每个初等函数定义域的交集。复合函数定义域，不仅要考虑内函数的定义域，还要考虑到外函数对应法则的要求。理解函数定义域，应紧密定义域是研究函数性质的基础和前提。对应法则。函数函数对应法则通常表现为表格，式和图象。其中式是最常见的表现形式。求已知类型函数式的方法是待定系数法，抽象函数的式常用换元法及凑合法。求函数值域是函数中常见问题，在初等数学范围内，直接法的途径有单调性，基本不等式及几何意义，间接法的途径为函数与方程的思想，表现为△法，反函数法等，在高等数学范围内，用导数法求某些函数最值（极值）更加方便。在中学数学的各个部分都存在着求取值范围这一典型问题，它的一种典型处理方法就是建立函数2、函数的通性式，借助于求函数值域的方法。（1）奇偶性：函数定义域关于原点对称是判断函数奇偶性的必要条件，在利用定义判断时，应在化简式后进行，同时灵活运用定义域的变形，如f(x)f常用换元法及凑合法。求函数值域是函数中常见问题，在初等数学范围内，直接法的途径有单调性，基本不等式及几何意义，间接法的途径为函数与方程的思想，表现为△法，反函数法等，在高等数学范围内，用导数法求某些函数最值（极值）更加方便。在中学数学的各个部分都存在着求取值范围这一典型问题，它的一种典型处理方法就是建立函数2、函数的通性式，借助于求函数值域的方法。（1）奇偶性：函数定义域关于原点对称是判断函数奇偶性的必要条件，在利用定义判断时，应在化简式后进行，同时灵活运用定义域的变形，如f(x)f(x)0f(x)1（f(x)≠0f(x)奇偶性的几何意义是两种特殊的图象对称。利用奇偶性的运算性质可以简化判断奇偶性的步骤。（2）单调性：研究函数的单调性应结合函数单调区间，单调区间应是定义域的子集。判断函数单调性的方法：①定义法，即比差法；②图象法；③单调性的运算性质（实质上是不等式性质函数单调性是单调区间上普遍成立的性质，是单调区间上恒成立的不等式。函数单调性是函数性质中最活跃的性质，它的运用主要体现在不等式方面，如比较大小，解抽象函数不等式等。（3）周期性：周期性主要运用在三角函数及抽象函数中，是化归思想的重要。f(x)f(a-x)=f(a+x)，f(b-x)=f(b+x)，a≠bT=2|a-b|。（4）f(xf-1(x)的性质f-1(x)f(x)的问题是处理反函数问题的重要思想。C，则f-1[f(x)]=x，x∈Af[f-1(x)]=x，x∈C8、函数的图象函数的图象既是函数性质的一个重要方面，又能直观地反映函数的性质，在解题过程中，充分发挥图象的工具作用。图象作法：①描点法；②图象变换。应掌握常见的图象变换。4、本单常见的初等函数；一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数。在具体的对应法则下理解函数的通性，掌握这些具体对应法则的性质。分段函数是重要的函数模型。对于抽象函数，通常是抓住函数特性是定义域上恒等式，利用赋值法（变量代换法）解题。题 口。应用题是函数性质运用的重要题型。审清题意，找准数量关系，把握好模型是解应用题的关键。5、主要思想方法：数形结合，分类讨论，函数方程，化归等。三、典型例题到具体的函数模型可以简便地找到解题思路，及解1、已知fx2x3y=g(x4、本单常见的初等函数；一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数。在具体的对应法则下理解函数的通性，掌握这些具体对应法则的性质。分段函数是重要的函数模型。对于抽象函数，通常是抓住函数特性是定义域上恒等式，利用赋值法（变量代换法）解题。题 口。应用题是函数性质运用的重要题型。审清题意，找准数量关系，把握好模型是解应用题的关键。5、主要思想方法：数形结合，分类讨论，函数方程，化归等。三、典型例题到具体的函数模型可以简便地找到解题思路，及解1、已知fx2x3y=g(xy=f-1(x+1)y=xg(11)的值。x1分析：y=g(x)y=f-1(x+1g(x)f(x)。y=f-1(x+1)x+1=f(y)x=f(y)-1g(x)=f(x)-132∵∴∴∴即∴f(x)b=f(a)，a=f-1(b)。式。解题思路分析：利用化归思想解题∵f(x)+f(x+2)=0∴f(x)=-f(x+2)x∈Rx-2x：f(x-2)=-f[(x-2)+2]=-f(x)，-1<x-2≤1∴f(x-2)=2(x-2)-1=2x-5∴f(x)=-f(x-2)=-2x+5∴f(x)=-2x+5（1<x≤3）评注：在化归过程中，一方面要转化自变量到已知式的定义域，另一方面要保持对应的函数值有一定关系。在化归过程中还体现了整体思想。x∈[-1，2]时，f(x)f(x)+g(xf(x)式。分析：f(x)式ax∈Rx-2x：f(x-2)=-f[(x-2)+2]=-f(x)，-1<x-2≤1∴f(x-2)=2(x-2)-1=2x-5∴f(x)=-f(x-2)=-2x+5∴f(x)=-2x+5（1<x≤3）评注：在化归过程中，一方面要转化自变量到已知式的定义域，另一方面要保持对应的函数值有一定关系。在化归过程中还体现了整体思想。x∈[-1，2]时，f(x)f(x)+g(xf(x)式。分析：f(x)式a10f(x)+g(x)为奇函数c30a1∴c3∴f(x)=x2+bx+3-1，2]b，分类讨论。b2bb22fxx )3 ，对称轴x24（1）当b≥2，b≤-4，f(x)在[-1，2]上为减函数2∴(f(x))minf(2)2b7∴2b+7=1b=3（舍）（2）当b（-12，-<b<22b2b(f(x))minf(2)∴2b+7=1b=3（舍）（2）当b（-12，-<b<22b2b(f(x))minf(2) 34b2431∴∴b22（舍负）（3）当b≤-1，b≥2时，f(x)在[-1，2]上为增函数2∴(f(x)min=f(1)=4-b∴4-b=1∴b=3fxx22x3，或fxx33x3∴评注：二次函数在闭区间上的最值通常对对称轴与区间的位置关系进行讨论，是求值域的基本题型之一。在已知最值结果的条件下，仍需讨论何时取得最小值。x>0f(x)>1，a、b∈Rf(a+b)=f(a)f(b)，（1）求证：f(0)=1；x∈Rf(x)>0；证明：f(x)Rf(x)·f(2x-x2)>1，x分析：a=b=0f(0)=[f(0)]2∵f(0)≠0∴f(0)=1a=x，b=-xf(0)=f(x)f(-x)1f(x)∴f(x)x>0，f(x)>1>01a=b=0f(0)=[f(0)]2∵f(0)≠0∴f(0)=1a=x，b=-xf(0)=f(x)f(-x)1f(x)∴f(x)x>0，f(x)>1>01∴f(x)0f(x)f(0)=1>0∴对任意x∈R，f(x)>0f(x2)>0，f(x1)>0，x2-x1>0f(x2)f(x)f(x)f(xx)1∴212 1f(x)1∴f(x2)>f(x1)f(xR（4）f(x)·f(2x-x2)=f[x+(2x-x2)]=f(-x2+3x)R得：3x-x2>0∴0<x<3等式的典型方法。例5、已知lgx+lgy=2lg(x-2y)，求log x的值。2y分析：在化对数式为代数式过程中，全面挖掘x、y满足的条件x0,y0由已知得x2y0xy(x例5、已知lgx+lgy=2lg(x-2y)，求log x的值。2y分析：在化对数式为代数式过程中，全面挖掘x、y满足的条件x0,y0由已知得x2y0xy(x2y)2∴x=4y，x4y∴log xlog 4422y6、123一个函数模拟该 关系，模拟函数可选用y=abx+c（其中a，b，c为常数）或二次函数，已知4月份该1.37件，请问用哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由。分析：f(2)4p2qr1则p0.05q0.35∴r0.7∴f(4)=-0.05×42+0.35×4+0.7=1.3g(x)=abx+cg(2)abc1.22则c1.33a0.8g(2)abc1.22则c1.33a0.8b0.5∴c1.4∴g(4)=-0.8×0.54+1.4=1.35∵|1.35-1.37|<|1.3-1.37|四、巩固练习（一）选择题f(x+1)=-f(x)，且在[-1，0a=f(3)，b=f(a，b，cA、a>b>cB、a>c>bC、b>c>aD、c>b>a2、方程loga(x2x（a>0a≠1）的实数解的个数是A、0B、1C、2D、31|1x|3、y() 的单调减区间是3A（-∞，1）B（1，+∞）C（-∞，-1）∪（1，+∞）D（-∞，+∞）9、函数ylog1(x24x12的值域为2A、（-∞，3]B（-∞，-3]C（-3，+∞）D（3，+∞）10、x=2，a12B、12A、C、2D、-224A、3B、4C、6D、12（二）填空题7Rf(x)f(x+2)=-f(x)，0≤x≤1f(x)=x，则f15=。2是x的增函数，则a的取值范围是 。12B、12A、C、2D、-224A、3B、4C、6D、12（二）填空题7Rf(x)f(x+2)=-f(x)，0≤x≤1f(x)=x，则f15=。2是x的增函数，则a的取值范围是 。定义域为[1，3]，则f(x2+1)的定义域是 。满足f(1+x)=f(1-x)，且f(0)=3，则f(bx)与f(cx)的大小关系是 。2 2则y=[f(x)]+f(x)的最大值是 。则A∩B中所有元素的和是 。都是奇函数，f(x)=mφ(x)+ng(x)+2在（0，+∞）上有最大值，则f(x)在（-∞，0）上最小值为 。2数y=log2(x+1)（x>0）的反函数是 。11115、求值：=。1xabxac 1xbcxba 1xcaxcb（三）解答题ax116、若函数fx)的值域为[-1，5]，求a，c。x2cf(x)在区间[0，2]f(1-m)<f(m)，my=logax（x≥1）A，B，Ct，t+2，t+4（1）若△ABCS，求S=f(t)；（2）S=f(t)的单调性；S=f(t)最大值。219f(x)=a，x∈R2x1a，f(x)在（-∞，+∞）上是增函数；f(xa；1x。（3）当f(x)为奇函数时，对于给定的正实数k，解不等式f1x)log2k20、设0<a<1，函数f(x)=219f(x)=a，x∈R2x1a，f(x)在（-∞，+∞）上是增函数；f(xa；1x。（3）当f(x)为奇函数时，对于给定的正实数k，解不等式f1x)log2k20、设0<a<1，函数f(x)=log 值[loga(n-1)，loga(m-1)]，aaax3（1）求证：m>3；a数列一、复习要求11、等差数列及等比数列的定义，通项公式，前n项和公式及性质；n1、数列，是按照一定顺序排列而成的一列数，从函数角度看，这种顺序法则就是函数的对应法则，因此数列可以看作是一个特殊的函数，其特殊性在于：第一，定义域是正整数集或其子集；第二，值域是有顺序的，不能用集合符号表示。：an=f(n)，n∈N+nnSn：Sn=a1+a2+…an，Sn1。1SnanSnSn1n2SnSn还有下列基本题型：列项相消法，错位相消法。2、等差数列（1），{a}为等差数列an+-a=d（n∈N+2a=n-1an+1n≥2∈N+（2）通项公式：an=an+(n-1)d，an=am+(n-m)d；n(n1)dn(a1an)；前nSnan 122（3）性质：an=an+ban是na2Sn=an+bnSn是nk若{an}，{bn}均为等差数列，则{an±nnak},{kan+c}（k，c）均为等差数列；i1（3）性质：an=an+ban是na2Sn=an+bnSn是nk若{an}，{bn}均为等差数列，则{an±nnak},{kan+c}（k，c）均为等差数列；i1：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…；，2an=ap+aq；=n1a=n1a，S2n-1；S，S偶。n 奇中中223、等比数列（1）an1=an2为常数，a0a=aannn-1n+1+n-1 n-m（2）通项公式：an=a1q，an=amq;q1a前nS (1qn) aa；n1 1 11q1（3）性质：a1an=a2an-1=a3an-2=…，k2n=p+q，an=apaq，数列{kana}成等比数列。2ii14、等差、等比数列的应用基本量的思想：常设首项、公差及首项、公比为基本量，借助于消元思想及解方程组思想等；灵活运用等差数列、等比数列的定义及性质，简化计算；anaan}为等比数列（a>0a1若{a{logan（a>0a1三、典型例题1、已知数列{and≠0，其中akakak1 2 n解题思路分析：a1d1、已知数列{and≠0，其中akakak1 2 n解题思路分析：a1dk1+k2+…+kn。∵成等比数列2∴a5=a1a172=a1(a1+16d)∴a1=2dq，则qa5a1对ak项来说，nan4d3a11a在等差数列中：a a(k1)dknkn 1 n12a1qn1a13n1akn∴kn23n11∴k1k2kn(2301)(2311)(23n11)2(133n1)n3nn1看成是数列{kn}的求和问题，着重分析{knSnn为数列{ }的前n项和，求T。例2、设数列{a}为等差数列，Sn为数列{anS7，S=75,Tnn715nn解题思路分析：法一：利用基本元素分析法76S77a1d72设{aad，则n11514S1515a1d752a12∴11)∴Sn2∴ 276S77a1d72设{aad，则n11514S1515a1d752a12∴11)∴Sn2∴ 2n1n5Snn2 2 2n{Snn∴}为等差数列T1n2an∴n442Sn=An+BnS7A727B7∴15A151B752A12解之得：52B∴S1n25n，下略n22注：法二利用了等差数列前n项和的性质Snan1，求：3、正数数列{an}的前nSn，且2（1）数列{an}的通项公式；11.2（2）设b，数列{bnB：Bnnnnaann1解题思路分析：（I）an及Snan=Sn-Sn-1（n≥2）消元化归。∵2Snan12∴4Sn=(an+1)2（n≥2）2 211.2（2）设b，数列{bnB：Bnnnnaann1解题思路分析：（I）an及Snan=Sn-Sn-1（n≥2）消元化归。∵2Snan12∴4Sn=(an+1)2（n≥2）2 2-(an-1+1)2 24an=an-an-1+2an-2an-1∴∵∴∴an>0an-an-1=222Snan1n=1，a1=1∴an=2n-111(11b)n22n1 2n11[(1 )( 1)( )]1(1 )1111 11112n2a aa aa a2a a2 2an n11 n1n11 22 32 2实际上也就是说已知条件中的递推关系是关于n的恒等式，代换就是对n赋值。4{am77m33aam=18，分析：利用前奇数项和和与中项的关系S2n1(2n1)an77则S1)a33n偶2n177∴n1 33n=4m=7an=11a1+amS2n1(2n1)an77则S1)a33n偶2n177∴n1 33n=4m=7an=11a1+am=2an=22∴∴∴∴∴∴∴a1=20，am=2d=-3an=-3n+231211b()2an、设{an}是等差数列，知b1+b2+b3= ，求等差数列的通项an。8n8解题思路分析：an}为等差数列bn}为等比数列从求解{bn}着手2∵b1b3=b2183∴b=2∴b=122b17814b1 3∴b1b2b121b1∴或b 18b223811n132nn12n5∴b2() 24bn84 2或n1an∵b()2n∴anlog1bnb121b1∴或b 18b223811n132nn12n5∴b2() 24bn84 2或n1an∵b()2n∴anlog1bn2an=2n-3an=-2n+5{an}求解，则运算量较大。6、已知{a21的等比数列，Snnn2（1）Sn表示Sn+1；（2）c和k，使得Sk1c2成立。Skc1)n2n∴S )1S21n1n2n123c(Sk2)2Sk1c20（*）（2）SkccSk1)4k2k31∴S(Sk2)2 Sk02 2k∴式（*）3S2cS①kk2∵Sk+1>Sk3S223S21∴k12c=2c=3c=2∵∴S1=2c<Sk不成立，从而式①不成立3S22∴式（*）3S2cS①kk2∵Sk+1>Sk3S223S21∴k12c=2c=3c=2∵∴S1=2c<Sk不成立，从而式①不成立3S225c∵223 3k k+1得：S2 S2∴S<Skk1223S2c，从而式①不成立∴k2式①不成立∴∴3S213c,3S23S2∵kkk124223S2c，从而式①不成立∴k2c，k，使Sk1c2成立Skc例7、某公司全年的利润为b元，其中一部分作为资金发给n位职工，资金分配方案如下：首先将职工按工作业绩（工作业绩均不相等）从大到小，由1到n排序，第1位职工得资金b元，然后再将余额除以n发给第2位职工，按此方法将资金逐一发给每位职工，并将最后剩余部分作为公司发展基n金。设k（1≤knka，a3，nbak（；：akak+1k=1，2，，n1解题思路分析：谈懂题意，理清关系，建立模型由1到n排序，第1位职工得资金b元，然后再将余额除以n发给第2位职工，按此方法将资金逐一发给每位职工，并将最后剩余部分作为公司发展基n金。设k（1≤knka，a3，nbak（；：akak+1k=1，2，，n1解题思路分析：谈懂题意，理清关系，建立模型b1位职工的奖金a1n2a1(11)b2n n3a1(112b3n n……ka1(11k1bkn n (11)k1b01（2）aak k1n2n此奖金分配方案体现了“按劳分配”或“不吃大锅饭”等原则。4解题思路分析：an2lg2)(n1)2，公差为lg∴2的等差数列S2nn(n1)(lg2)0.07525n22.07525nn∴20.07525(n13.8)213.820.07525∵n∈N+∴20法二：∵∴Sn必为最大值a0k设ak∵n∈N+∴20法二：∵∴Sn必为最大值a0k设ak102(k(g2)0∴2k(g2)0k14.2∴k13.2k=14(Sn)max=S14=14.35∴∴四、同步练习（一）选择题1、已知a，b，a+ba，b，ab0<logmab<1mA、m>1B、1<m<8C、m>80<m<1m>8，a，y1，y2，bx1+x2y1+y2的大小关系是A、x1+x2≤y1+y2C、x1+x2<y1+y2B、x1+x2≥y1+y2D、x1+x2>y1+y2nSn{a}的前n，SnP（PR，nN+{a}12、AP≠0D、不是等比数列13、a3+a5等于B、10C、15D、20a，b，cy=ax2+2bx+cxA015、A8204B、1C、2D、12F(m)F(1)+F(2)+…+F(1024)的值是B、8192C、9218D、80217、若xx2-x+a=0x2-x+b=0（a≠b）1a+b438B1124C1324D3172A、81003A015、A8204B、1C、2D、12F(m)F(1)+F(2)+…+F(1024)的值是B、8192C、9218D、80217、若xx2-x+a=0x2-x+b=0（a≠b）1a+b438B1124C1324D3172A、810037A、1557B、1473C、1470D、1368500m50m320最佳方案是使运输车运行A11700mB、14700mC、14500mD、14000m10、已知等差数列{an}中，|a3|=|a9|，d<0，nSnnA、45（二）填空题5667D、8911、已知数列{an}满足a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2)，则它的前n项和Sn= 。2n项之和为100，后2n项之和为200，则该等差数列的中间n项的和等于 。12n13a{b}（bn∈Nan（n∈N则{a}为等数列是{b}等比数列的 条。nn n++nnn体的三条棱成等比数列，若体积为216cm3，则全面积的最小值是 。正数a，b，c成等比数列，则(2-logba)(1+logca)= 。（三）解答题1，85170，求这个数列的公比和项数。17{aa1q（q≠{bbnan++n+（n∈N{a},{bnA，Bn，试比较An与Bn大小。an+2=2an+1-an（n∈N+）（1）求数列{an}通项公式；Sn；1m32（3）设b（n∈N）T=b+b+bmn∈NT成立？若存在，求出m的值；若不存+ n 1 2n+nnn(12a（1）求数列{an}通项公式；Sn；1m32（3）设b（n∈N）T=b+b+bmn∈NT成立？若存在，求出m的值；若不存+ n 1 2n+nnn(12a)n在，说明理由。三角函数一、复习要求16、三角函数的概念及象限角、弧度制等概念；2、三角公式，包括诱导公式，同角三角函数关系式和差倍半公式等；3、三角函数的图象及性质。的角。这样一来，在直角坐标系中，当角的终边确定时，其大小不一定（通常把角的始边放在x轴正半轴上，角的顶点与原点重合，下同。为了把握这些角之间的，引进终边相同的角的概念，凡是与终边α相同xα|α=k·1800，k∈Z}yα|α=k·1800+900，k∈Z}，终边在坐标轴上的角的集合{α|α=k·900，k∈Z}。在已知三角函数值的大小求角的大小时，通常先确定角的终边位置，然后再确定大小。弧度制是角的度量的重要表示法，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度制。在弧度制下，扇形弧长公式=|α|R，扇形面积公式S1R1R2||，其中α为弧所对圆心角的弧度数。222、利用直角坐标系，可以把直角三角形中的三角函数推广到任意角的三角数。三角函数定义是本章重点，从它可以推出一些三角公式。重视用数学定 题。Px，α终边上任一点（与原点不重合r|OPx2y2，则nycosxanycotx。rrxy利用三角函数定义，可以得到（1）kt与α之间函数值关系（k∈Z（2）同角三角函数2关系式：平方关系，倒数关系，商数关系。3α，变形后得cos21利用三角函数定义，可以得到（1）kt与α之间函数值关系（k∈Z（2）同角三角函数2关系式：平方关系，倒数关系，商数关系。3α，变形后得cos21cos2,sin21cos2，可以作为降幂公式使用。22三角变换公式除用来化简三角函数式外，还为研究三角函数图象及性质做准备。4Tx，Tf(xTf(x)周期时，kT（k∈Z，k≠0）f(x)周期。三角函数图象是性质的重要组成部分。利用圆中的三角函数线作函数图象称为几何作图法，熟练掌握平移、伸缩、振幅等变换法则。5、本章思想方法（1）等价变换。熟练运用公式对问题进行转化，化归为熟悉的基本问题；（2）数形结合。充分利用圆中的三角函数线及三角函数图象帮助解题；（3）分类讨论。三、典型例题2（1）求它的定义域和值域；（2）求它的单调区间；（3）判断它的奇偶性；（4）判断它的周期性。分析：54 x2k，k∈Z2ksinx-cosx>0，利用圆中的三角函数线及4∴函数定义域为(2k,2k5，k∈Z444∴当x(2k,4∴0sinxcos∴函数定义域为(2k,2k5，k∈Z444∴当x(2k,4∴0sinxcos42k5时，42ylog 21∴1221,）2（3）∵f(x)定义域在数轴上对应的点关于原点不对称f(x)不具备奇偶性（4）∵f(x+2π)=f(x)f(x2π注；利用sinx-cosx以Ⅱ、Ⅲ象限角平分线为标准，可区分sinx+cosx的符号，如图。例221sin2(1cos)，α∈（π，2π）分析：凑根号下为完全平方式，化无理式为有理式cos )2222 22222|2∵α∈（π，2π）22)(,∴2 2∴cos02,cos02 2 422222sin|2∵α∈（π，2π）22)(,∴2 2∴cos02,cos02 2 422222sin,cos04 222222223 232arctan2)22注：1、本题利用了“1”的逆代技巧，即化1为sin2cos2，是欲擒故纵原则。一般地有1sin2|sincos|，1cos22|cos|，222|sin|。是基本三角函数式之一，引进辅助角，将它化为a2b2sinx（取arctanb）是常用变形a。特别是与特殊sin±cosx，±sinx±3cosx，要熟练掌握变形结论。311)例3(。sin21400 cos21400 2sin100分析：3cos21400sin214001原式=sin21400cos21400 100(3cos1400sin1400)(3cos1400sin1400)1(sin400cos400)311)例3(。sin21400 cos21400 2sin100分析：3cos21400sin214001原式=sin21400cos21400 100(3cos1400sin1400)(3cos1400sin1400)1(sin400cos400)2sin200011sin28004sin2000sin200016168sin800cos800注：在化简三角函数式过程中，除利用三角变换公式，还需用到代数变形公式，如本题平方差公式。400<α<β<900sinα，sinβx2(2cos400xcos24001=0sin(β-5α)的值。2分析：12∴sinβ-sinα=(sinsin)2(sinsin)24sinsin2(1cos2400)2sin4002cos4001sin (2cos400002∴1sin (2cos400002∵00<α<β<900850∴5032∴sin(β-5α)=sin600=sinα，sinβsinα，sinβ后再利用单调性求α，β的值。tan(α+β)·tanα的值；（2）2sincos850∴5032∴sin(β-5α)=sin600=sinα，sinβsinα，sinβ后再利用单调性求α，β的值。tan(α+β)·tanα的值；（2）2sincos5，求3cos24sin2的值。sin3cos分析：（1）从变换角的差异着手。∵2α+β=(α+β)+α，β=(α+β)-α∴8cos[(α+β)+α]+5cos[(α+β)-α]=0展开得：13cos(α+β)cosα-3sin(α+β)sinα=0得：tan(α+β)tanα133（2）以三角函数结构特点出发∵tan32tan15∴tan3∴tanθ=22sin2)8sincos33tan28tan75∴3cos24sin2sin2cos21tan2注；齐次式是三角函数式中的基本式，其处理方法是化切或降幂。sin4xsin2x6、已知函数fx)a22（a∈01f(x分析：对三角函数式降幂x222222sin4xsin2x6、已知函数fx)a22（a∈01f(x分析：对三角函数式降幂x22222211cos2xcos2x111(sinx) sinx 2224428cos2x1∴f(x)=a8令u1cos2x188则y=au∴0<a<1∴是减函数∴由2x[2k,2k得x[k,kf(x)的减区间22x[2k,2k]得x[k,k]f(x)增区间2∵u(-x)=u(x)∴f(x)=f(-x)∴f(x)为偶函数∵u(x+π)=f(x)∴f(x+π)=f(x)∴f(x)为周期函数，最小正周期为π时，ymin=11（k∈Z）时，ynaxa42x=kπ+y=Asin(ωx+φ)等一名一次一项的形式。四、同步练习（一）选择题1、下列函数中，既是（0，）上的增函数，又是以π为周期的偶函数是2D、y2sin2xA、y=lgx2B、y=|sinx|C、y=cosx17、 图象关于直线x=-对称，则a值为8A、-2D、2B、-1C、13y=Asin(ωφ)（A>0φ>x=时，ymax=2；当x=5时，ymin=-2，则此函数式为1（k∈Z）时，ynaxa42x=kπ+y=Asin(ωx+φ)等一名一次一项的形式。四、同步练习（一）选择题1、下列函数中，既是（0，）上的增函数，又是以π为周期的偶函数是2D、y2sin2xA、y=lgx2B、y=|sinx|C、y=cosx17、 图象关于直线x=-对称，则a值为8A、-2D、2B、-1C、13y=Asin(ωφ)（A>0φ>x=时，ymax=2；当x=5时，ymin=-2，则此函数式为88(2 42x42x484tan1=1998，则sec2tan2的值为1tanA、1997B、1998C、1999D、20005tanα，tanβx233x40两根，且α，β,，则α+β等于2 2B、23 3C23 3D3A236、若xysinx·siny3B12C34D14A、-1A、5.5B、6.5C、7D、8sinθ<cosθ<cotθ<tanθ成立的θ取值范围是,）4 2B（3,）4C（5,3） D（7,2）A4 249、下列命题正确的是A、若α，β是第一象限角，α>β，6、若xysinx·siny3B12C34D14A、-1A、5.5B、6.5C、7D、8sinθ<cosθ<cotθ<tanθ成立的θ取值范围是,）4 2B（3,）4C（5,3） D（7,2）A4 249、下列命题正确的是A、若α，β是第一象限角，α>β，sinα>sinβBy=sinx·cotx(2k,2k，k∈Z22C、函数y1cos2x2πsin2xDy=sinxcos2φ-cosxsin2xyk，k∈Z2 410、函数fxlog1sin2xcos2x的单调减区间是3A(k,k)B、(kk]4888B(kk3)D、(kk5)k∈Z8填空题888（二）的图象关于y轴对称，则θ= 。12α+β=3(tantan+c)+taα=0cnβ=。33(cos2x-sin2x)的最大值与最小值的积为 。y=2sinxcosx-则x+y的最大值为 。15、函数f(x)=sin3x图象的对称中心是 。（三）解答题16tan(β)=1，tan3(cos2x-sin2x)的最大值与最小值的积为 。y=2sinxcosx-则x+y的最大值为 。15、函数f(x)=sin3x图象的对称中心是 。（三）解答题16tan(β)=1，tan1，α，β∈（-π，2α-β2717a，y=sin2x+acosx+5a3在闭区间[01a8 22f(x)=5sinxcosx-53cos2x53（x∈R）2f(x)的最小正周期；f(x)单调区间；f(x)图象的对称轴，对称中心。平面向量一、复习要求18、向量的概念；2、向量的线性运算：即向量的加减法，实数与向量的乘积，两个向量的数量积等的定义，运算律；3、向量运算的运用1、向量是数形结合的典范。向量的几何表示法——有向线段表示法是运用几何性质解决向量问题的基础。在向量的运算过程中，借助于图形性质不仅可以给抽象运算以直观解释，有时甚至更简捷。向量运算中的基本图形：①向量加减法则：三角形或平行四边形；②实数与向量乘积的几何意义——共线；③定比分点基本图形——起点相同的三个向量终点共线等。19、向量的三种线性运算及运算的三种形式。向量的加减法，实数与向量的乘积，两个向量的数量积都称为向量的线性运算，前两者的结果是向量，两个向量数量积的结果是数量。每一种运算都可以有三种表现形式：图形、符号、坐标语言。主要内容列表如下：20、运算律abbaab个向量终点共线等。19、向量的三种线性运算及运算的三种形式。向量的加减法，实数与向量的乘积，两个向量的数量积都称为向量的线性运算，前两者的结果是向量，两个向量数量积的结果是数量。每一种运算都可以有三种表现形式：图形、符号、坐标语言。主要内容列表如下：20、运算律abbaabcabc)实数与向量的乘积：λ(ab)=λa+λb；(λ+μ)a=λa+μa，λ(μa)=(λμ)a运算图形语言符号语言坐标语言加法与减法 OA+OB=OC OB-OA=AB 记OA=(x1,y1OB=(x1,y2)则OAOB=(x1+x2,y1+y2) OB-OA=（x2-x1,y2-y1） OA+AB=OB的乘积 AB=λaλ∈Ra=(x,y) a·b=|a||b|cos<a,b> ),b=(x2,y2) a·b=x1x2+y1y2 a·bb·a；(λa)·ba·(λb)=λ(a·bab)·ca·c a·bb·a；(λa)·ba·(λb)=λ(a·bab)·ca·cb·c说明：根据向量运算律可知，两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则，正确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算，例如(a±22b)2=a2abb21、重要定理、公式 e1e2a，有且只有一对数数λ1，λ2a=λ1e1+λ2e2，称λ1e1λ+λ2e2e1e2的线性组合。i，a与有序数对(λ1,λ2(λ1,λ2ae1，e2e1，e2}为a的平面直角坐标。Axy)，则OA（x,yB坐标Ax1y1B（,yB=(x-x,y-1)（2）两个向量平行的充要条件aba0a=λbxxaab1 2坐标语言为：设=（x,y1 b,y∥λ(x,yxy-xy=0y12 21 12 212 21y1 2 在这里，实数λab同向时，λ>0；ab异向时，λ<0。|a||λ|= ，λ的大小由a及b的大小确定。因此，当a，b确定时，λ的符号与大小就确定了。这就是实数乘向量中λ的几何意义。|b|（3）两个向量垂直的充要条件aba·b=0),b=(x2,y2abx1x2+y1y2=0（4）线段定比分点公式 P1PPP21则定比分点向量式：OP OP),b=(x2,y2abx1x2+y1y2=0（4）线段定比分点公式 P1PPP21则定比分点向量式：OP OP OP1 1 1 2Px,yP1（x,y，P2xy2）21则yyy1 21λ=12 12OP 2yy1 22y1OPOP1OP2（OP12不共线OP=uOP1+vOP2u+v=11。（5）平移公式：x'xhPx，y）a=h，k）P（x，y，则y'yk分别称（xy（x，y）a为平移法则在点P新、旧坐标及平移法则三组坐标中，已知两组坐标，一定可以求第三组坐标a=（h，k）C’对应的利用平移变换可以化简函数 式，从而便于研究曲线的几何性质（6）正弦定理，余弦定理abc2R正弦定理：sinA sinB sinCb2c2a2c2a2b2a2b2c2定理变形：cosA=，cosB=，cosC=2bc2ac2ab正弦定理及余弦定理是解决三角形的重要而又基本的工具。通过阅读，理解用向量法推导正、余弦定理的重要思想方法。5、向量既是重要的数学概念，也是有力的解题工具。利用向量可以证明线线垂直，线线平行，求夹角等，特别是直角坐标系的引入，体现了向量解决问题的“程序性”特点。三、典型例题利用平移变换可以化简函数 式，从而便于研究曲线的几何性质（6）正弦定理，余弦定理abc2R正弦定理：sinA sinB sinCb2c2a2c2a2b2a2b2c2定理变形：cosA=，cosB=，cosC=2bc2ac2ab正弦定理及余弦定理是解决三角形的重要而又基本的工具。通过阅读，理解用向量法推导正、余弦定理的重要思想方法。5、向量既是重要的数学概念，也是有力的解题工具。利用向量可以证明线线垂直，线线平行，求夹角等，特别是直角坐标系的引入，体现了向量解决问题的“程序性”特点。三、典型例题 OA与OB1200，OC与OA450，|OC|=5，用OAOB表示OC。1、OAOB为分析：以OAOBOC为对角线构造平行四边形 把向量OC在OA，OBOE=λOA，OD=μOB，λ>0，μ>0则OC=λOA+μOB∵|OA|=|OB|=1∴λ=|OE|，μ=|OD||OE||OC||CE|，∠E=600，∠OCE=750，由得：sin750sin600sin450|OE|7505(326)sin6006|OC|sin450 56|CE|sin60035(326),56∴635(32|OE|7505(326)sin6006|OC|sin450 56|CE|sin60035(326),56∴635(32∴OC6) 65OA OB36说明：用若干个向量的线性组合表示一个向量，是向量中的基本而又重要的问题，通常通过构造平行四边形来处理BCADDAD坐标。例2、ABC，A，-，B，2C（，-分析：用解方程组思想D（xyD=（-，y+1）∵C=（6，，D·C=0∴-2x+y-3=0①∵BD=(x-3，y-2)，BC∥BD∴-x-2y+1=0②x1y1∴D1，，D=（1，）3）夹角相等，且模为2c的坐标。3、a(3，-1）b=（1，分析：用解方程组思想法一c=（x，a·c=3x-y，b·c=x+3y∵<a，c>=<b，c> acbc∴ |a||c| |b用解方程组思想法一c=（x，a·c=3x-y，b·c=x+3y∵<a，c>=<b，c> acbc∴ |a||c| |b||c|∴ 3xyx3y即x23)y又|c|=2∴x2+y2=2①②xx3131由①②得或231231（舍）yy31,22∴c=(31)22法二：从分析形的特征着手∵|a|=|b|=2a·b=0∴|OC|=2，∠AOC=∠BOC∵∴31,31）∴C（22说明：数形结合是学好向量的重要思想方法，分析图中的几何性质可以简化计算。4、在△OABOA、OBM、N，使|OM|∶|OA|=1∶3，|ON|∶|OB|=1∶4，设线段ANBMP，记OA=aOBb，用ab表示向量OP。分析：∵B、P、MBP=sPMOMOAa1s31,31）∴C（22说明：数形结合是学好向量的重要思想方法，分析图中的几何性质可以简化计算。4、在△OABOA、OBM、N，使|OM|∶|OA|=1∶3，|ON|∶|OB|=1∶4，设线段ANBMP，记OA=aOBb，用ab表示向量OP。分析：∵B、P、MBP=sPMOMOAa1s11ss1s∴OP OBbOB①1s1s APtPN∴OP=b1ta②1t t)ab不共线∵1s9283s1t 3(1s)∴由①②得1 t t1s 41t) 8 2∴OP a b11 11说明：从点共线转化为向量共线，进而引入参数（s，t）是常用技巧之一。平面向量基本定理是向量重要定理之一，利用该定理唯一性的性质得s，t5、ABCD，AB=3，BC=2，EBC，PABP，∠PED=450；：P、D、C、E分析：利用坐标系可以确定点P位置如图，建立平面直角坐标系C（20，D（23，E（10）P（0，y）∴DP，∠PED=450；：P、D、C、E分析：利用坐标系可以确定点P位置如图，建立平面直角坐标系C（20，D（23，E（10）P（0，y）∴D=（1，，P=（1，）∴|ED| 10,|EP|y21ED·EP=3y-1EDEPcos450=|ED||EP|解之得y1（舍y=22∴点PAAB当∠PED=450时，由（1）P（0，2）∴PD=（2，P=（-1）∴EP·PD=0∴∠DPE=900又∠DCE=900P、E、C说明：利用向量处理几何问题一步要骤为：①建立平面直角坐标系；②设点的坐标；③求出有关向量的坐标；④利用向量的运算计算结果；⑤得到结论。四、同步练习（一） （x，1BCx1（0，3（3，A、-5B、-1C、1D、5 112、平上A（2，，B（14，D（4-，C点满足C CB，连C结论。四、同步练习（一） （x，1BCx1（0，3（3，A、-5B、-1C、1D、5 112、平上A（2，，B（14，D（4-，C点满足C CB，连C并延至E，使|CE|=|D|，则点E标为：42A（-8，5）3B（8,11）D（0，1）或（2，11）3C（0，1）3 32、点（2，1a平移到（-21，则点（-，1）a平移到：3、A（2，-1）B（-2，1）C（6，-3）D（-6，3）2cosB·sinC=sinA，则此三角形是：AB、等腰三角形C、等边三角形D、以上均有可能c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则：5ab，①(a·b)c-(c·a)b=0②|a|-|b|<|a-b|b·cac·abc垂直22④(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|4b|真命题是：A、①②B、②③C、③④D、②④∠CA、6004501350C、1200D、300 a b7、△OAB中，OA=a，OB=b，OP=p，若p=t( 则点P在 |a| |b|∠AOBD、AB边的中线上8PRSM，OA、6004501350C、1200D、300 a b7、△OAB中，OA=a，OB=b，OP=p，若p=t( 则点P在 |a| |b|∠AOBD、AB边的中线上8PRSM，OOP=（0OS=（4，，则M=A（7,1）2 2（二）7,1）227,7）2 2BC（7，4）D9、已知{e1，e2|是平面上一个基底，若a=e1+λe2，b=-2λe1-e2，若a，b共线，则λ= 。10、已知|a|=6 3，|b|=1，a·b=-9，则a与b的夹角是 。600，11e1e2是两个则(2e1-e2)·(-3e1+2e2)= 。12y=cosx图象沿b2k ,)(kZ平移，得到函数2（三）13、设OA=（，1OB=（，2OCOBCOA，试求满足ODOAOC的ODO14ab=（，-ab=-81abab夹角θ的余弦值。 15、已知|a|=2，|b|=3，ab450a+λb与λab夹角为锐角时，λ的取值范围。不等式一、复习要求22、不等式的概念及性质；1、不等式的性质是证明不等式和解不等式的基础。不等式的基本性质有：对称性或反身性：a>bb<a；a>b，b>c，a>c；可加性：a>ba+c>b+c，此法则又称为移项法则；c<0，ac<bc。不等式运算性质：a>b，c>da+c>b+d；a>b>0，c>d>0，ac>bd。322、不等式的概念及性质；1、不等式的性质是证明不等式和解不等式的基础。不等式的基本性质有：对称性或反身性：a>bb<a；a>b，b>c，a>c；可加性：a>ba+c>b+c，此法则又称为移项法则；c<0，ac<bc。不等式运算性质：a>b，c>da+c>b+d；a>b>0，c>d>0，ac>bd。3a>b>0，∈N+，则anbn；11a>b>0，n∈N+，则anbn；11。a b掌握不等式的性质，应注意：”符号；不等式性质的重点是不等号方向，条件与不等号方向是紧密相连的。a2b22 22 22ababa，bab≥2|ab|||≤；2ab2a，b≥0，a+b≥2abab≤.2在具体条件下选择适当的形式。3、不等式的证明：（1）不等式证明的常用方法：比较法，公式法，分析法，反证法，换元法，放缩法；在不等式证明过程中，应注重与不等式的运算性质证明不等式的过程中，放大或缩小应适度。4使用；解不等式是寻找使不等式成立的充要条件，因此在解不等式过程中应使每一步的变形都要恒等。（组）是解不等式的基础，一元二次不等式是解不等式的基本题型。利用序轴标根法可以解分式及高次不等式。含参数的不等式应适当分类讨论。用基本不等式求分式函数及多元函数最值是求函数最值的初等数学方法之一。研究不等式结合函数思想，数形结合思想，等价变换思想等。三、典型例题f(3)的取值范围。分析：f(3)，再利用不等式的性质求解。f(3)=mf(1)+nf(2)∴9a-c=m(a-c)+n(4a-c)∴3、不等式的证明：（1）不等式证明的常用方法：比较法，公式法，分析法，反证法，换元法，放缩法；在不等式证明过程中，应注重与不等式的运算性质证明不等式的过程中，放大或缩小应适度。4使用；解不等式是寻找使不等式成立的充要条件，因此在解不等式过程中应使每一步的变形都要恒等。（组）是解不等式的基础，一元二次不等式是解不等式的基本题型。利用序轴标根法可以解分式及高次不等式。含参数的不等式应适当分类讨论。用基本不等式求分式函数及多元函数最值是求函数最值的初等数学方法之一。研究不等式结合函数思想，数形结合思想，等价变换思想等。三、典型例题f(3)的取值范围。分析：f(3)，再利用不等式的性质求解。f(3)=mf(1)+nf(2)∴9a-c=m(a-c)+n(4a-c)∴9a-c=(m+4n)a-(m+n)c发现具体问题背景下的不等式模型。m4n9∴mn1m53∴83n33∵-4≤f(1)≤-1，-1≤f(2)≤5∴5≤5f(1)≤20,8≤8f(2)≤403 3∴-1≤f(3)≤20说明：3 3 3311a，c，a=[f(2)-f(1)]，c=[f(2)-4f(1)]，f(3f(1)，f(2)f(3)的目的。33a，cf(3)=9a-c等式的运算性质时，不等式之间出现了不等价变形。23、本题还可用线性规划知识求解。a bb a≥ab。2a>0，b>0，求证：分析：法一：比差法，当不等式是代数不等式时，常用比差法，比差法的三步骤即为函数单调性证明的步骤。左-右= abab∵-4≤f(1)≤-1，-1≤f(2)≤5∴5≤5f(1)≤20,8≤8f(2)≤403 3∴-1≤f(3)≤20说明：3 3 3311a，c，a=[f(2)-f(1)]，c=[f(2)-4f(1)]，f(3f(1)，f(2)f(3)的目的。33a，cf(3)=9a-c等式的运算性质时，不等式之间出现了不等价变形。23、本题还可用线性规划知识求解。a bb a≥ab。2a>0，b>0，求证：分析：法一：比差法，当不等式是代数不等式时，常用比差法，比差法的三步骤即为函数单调性证明的步骤。左-右= ababba(ab)(aba b1 1 )(ab)b abab aabab(ab)2≥0ab∴左≥右法二：基本不等式根据不等号的方向应自左向右进行缩小，为了出现右边的整式形式，用配方的技巧。abbab≥2a∵a≥2ba b∴两式相加得： ≥abb a(21。aa8分析：xx221(x1)211111∵ ay≥2axaxy8， (x)2 ≤，0<a<12 2 8 82a2a2 21(x1)211∴2a2 28≥a b∴两式相加得： ≥abb a(21。aa8分析：xx221(x1)211111∵ ay≥2axaxy8， (x)2 ≤，0<a<12 2 8 82a2a2 21(x1)211∴2a2 28≥2a81∴ ay≥2a8ax118说明：本题在放缩过程中，利用了函数的单调性，函数知识与不等式是紧密相连的。4、已知a，b，x，yab1x+yx y分析：aybxxxaya bbxay法一：直接利用基本不等式：xy(xy)( )ab ≥ab2x yab当且仅当a 时等号成立，即yxbybx y“1”的逆代换。法二：消元为一元函数ab1得xx yayybayya(yb)abyaabab∴xyy(yb)abybybybyb∵x>0，y>0，a>0ay∴由>0y-b>0ybx+y≥2abab∴abybybyb当且仅当a，即时，等号成立bxa∵x>0，y>0，a>0ay∴由>0y-b>0ybx+y≥2abab∴abybybyb当且仅当a，即时，等号成立bxax yacos2bsin2∈（0，）xy2aasec2，ybcsc2∴xcos2∴x+y=a(1tan2)b(1cot2)abatan2bcot2≥ab2abacoty当且仅当时，等号成立xaf(1)>0；（-1，3）a，b分析：（1）f(1)=-3+a(6-a)+b=-a2+6a+b-3∵f(1)>0∴a2-6a+3-b<0△=24+4b，△≤0∴f(1)>0φ；b>-63b6a3b6∴f(1)>0x∴f(1)>0φ；b>-63b6a3b6∴f(1)>0x|3b6a3b63x2+a(6-a)x+b>0（-1，3）∴(x+1)(x-3)<0∵（-1，3）2a(6a)3∴b33a3解之得3b96、a，b∈R，关于xx2+ax+b=0α，β，若|a|+|b|<1，求证：|α|<1，|β|<1。f(x)=x2+ax+b则f(1)=1+a+b>1-(|a|+|b|)>1-1=0f(-1)=1-a+b>1-(|a|+|b|)>00<|a|≤|a|+|b|<1∴-1<a<1∴1a