数学极值思维变化技巧探讨(含解析)

数学极值思维变化技巧探讨(含解析)数学极值思维变化技巧探讨(含解析)数学极值思维变化技巧探讨(含解析)资料仅供参考文件编号：2022年4月数学极值思维变化技巧探讨(含解析)版本号：A修改号：1页次：1.0审核：批准:发布日期：数学有关中考轴对称变式扩展技巧探索在一平直的河岸l同侧有A、B两村庄，A、B到l的距离分别为3km、2km。AB=akm(a＞1)现计划在河岸l上建一抽水站P，用输水管向两个村庄供水。方案设计DC图2ABPlABlP图1（案例1）某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：如图1设该方案中管道长度为且（其中BP⊥l于点P）、如图2设计方案中管道长度为且（其中点DC图2ABPlABlP图1观察计算：在方案一中=________km(用含a的式子表示)在方案二中，组长小宇为了计算的长，作了如图2所示的辅助线，请你按小宇同学的思路计算=___________________km(用含a的式子表示)探索归纳：（１）①当a=4时，比较大小:____(填“＞”“=”或“＜”)②当a＝６时，比较大小:____(填“＞”“=”或“＜”)（２）请你参考方程中的方法指导，就a(当a＞1时)的所有取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，应选择方案一还是方案二？

（３）若是考虑△ＡＢＰ周长最短又是如何呢？

２、条件如下图１：A、B是直线l同旁的两个定点，问题在直线l上确定一点P；使图1ABPl图2ＢＡＥＰ图1ABPl图2ＢＡＥＰＤＣ 模型应用：如图２正方形ＡＢＣＤ的边长为２，Ｅ为AB的中点，P是ＡＣ上一动点，连接ＢＤ，由正方形对称性可知，Ｂ与Ｄ关于直线ＡＣ对称，连接ＥＤ交ＡＣ于点P，直接写出ＰＢ＋ＰＥ的最小值ＰＢＡＥＤ图4图3ACBOP.如图３ＰＢＡＥＤ图4图3ACBOP.如图４已知ＡＢ＝５，ＤＥ＝１，ＢＤ＝８，ＰＤ＝ｘ，请构造图形并求出代数式的最小值CMNDBA３、（灵活运用）在锐角△ABC中，AB=,∠BAC=CMNDBA数学有关中考轴对称变式扩展技巧探索（附分析）在一平直的河岸l同侧有A、B两村庄，A、B到l的距离分别为3km、2km。AB=akm(a＞1)现计划在河岸l上建一抽水站P，用输水管向两个村庄供水。方案设计DC图2ABPlABlP图1（案例1）某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案图1：设该方案中管道长度为且（其中BP⊥l于点P）、图2：设计方案中管道长度为，且（其中点DC图2ABPlABlP图1观察计算：在方案一中=a+2km(用含a的式子表示)在方案二中，组长小宇为了计算的长，作了如图2所示的辅助线，请你按小宇同学的思路计算=km(用含a的式子表示)探索归纳：（１）①当a=4时，比较大小:﹤(填“＞”“=”或“＜”)②当a＝６时，比较大小:﹥(填“＞”“=”或“＜”)（２）请你参考方程中的方法指导，就a(当a＞1时)的所有取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，应选择方案一还是方案二？

（３）若是考虑△ＡＢＰ周长最短又是如何呢？

解析:（2）当+2﹤当+2=当+2﹥﹤=﹥﹤=﹥﹤20=20﹥20﹤5=5﹥5故当1﹤﹤5时选择方案一当=5时两种方案均可当﹥5时选择方案二（3）△ＡＢＰ周长=AB+PA+PB=+PA+PB即PA+PB的值要最短，才能使△ＡＢＰ周长最短，利用轴对称性加上两点之间线段最短，所以应选择方案二。（应注意（2）、（3）之间的区别和联系）以下进一步探索应用２、条件如下图１：A、B是直线l同旁的两个定点，问题在直线l上确定一点P；使ＰＡ＋ＰＢ的值最小，方法：作点A关于直线l的对称点，连接交l于点P，则ＰＡ＋ＰＢ＝的值最小（不必证明）图2Ｂ图2ＢＡＥＰＤＣ图1ABPl 模型应用：如图２正方形ＡＢＣＤ的边长为２，Ｅ为AB的中点，P是ＡＣ上一动点，连接ＢＤ，由正方形对称性可知，Ｂ与Ｄ关于直线ＡＣ对称，连接ＥＤ交ＡＣ于点P，直接写出ＰＢ＋ＰＥ的最小值（注ＰＢ＋ＰＥ的最小值=）图3OACBPDＰＢＡＥＤ图4MN.如图３⊙Ｏ的半径为２，点Ａ、Ｂ、Ｃ在⊙Ｏ上，ＯＡ⊥ＯＢ，图3OACBPDＰＢＡＥＤ图4MN.如图４已知ＡＢ＝５，ＤＥ＝１，ＢＤ＝８，ＰＤ＝ｘ，请构造图形并求出代数式的最小值解析：（构造图形）延长线段ED到M，使ED=DM,得到E关于直线DB的对称点M，连接AM交BD于P点，过M点作MN∥DB交AB延长线于N点。 ∵DE=DM=1,PD=x,∴在Rt△PDM中PM=.