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文档简介

第二节定积分的几何应用(3)

三、平面曲线的弧长

1.平面曲线弧长的概念2.弧长的计算公式(3)极坐标情形(1)参数方程情形(2)直角坐标情形四、旋转体的侧面积

第六章

★1.平面曲线弧长的概念定义.三、平面曲线的弧长光滑曲线弧必可求长.⌒⌒定理可以证明：曲线上每一点均有切线，且切线随切点的移动而连续转动.2.弧长的计算公式曲线弧由参数方程给出:(1)参数方程情形对应该小区间的弧段的长度s，有可以证明：弧长元素(弧微分)因此所求弧长L计算摆线一拱的弧长.解例1解星形线的参数方程为根据对称性第一象限部分的弧长例2xyo星形线星形线是内摆线的一种.大圆半径

R＝a小圆半径(当小圆在圆内沿圆周滚动时,小圆上的定点的轨迹为是内摆线)点击图片任意处播放开始或暂停(2)直角坐标情形设曲线弧L由直角坐标方程给出:L的参数方程：弧长元素(弧微分):L弧长:例3解所求弧长为ab的一段弧的长度.求连续曲线段解的弧长.例4xyo(3)极坐标情形曲线弧由极坐标方程给出:弧长元素(弧微分):因此所求弧长例5解例6(综合题)解

(1)xyO1(2)(3)xyO1x设平面光滑曲线旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积.求它绕x轴★

四、旋转体的侧面积积分后得旋转体的侧面积可以证明：侧面积元素恰为注侧面积元素△S的线性主部.若光滑曲线由参数方程给出,则它绕

x

轴旋转一周所得旋转体的不是薄片侧面积侧面积为yy+dyox例7计算圆x

轴旋转一周所得的球台的侧面积S.解对曲线弧当球台高h＝2R

时,得球的表面积公式内容小结平面曲线弧长的概念直角坐标系下参数方程情形下极坐标系下求弧长的公式弧微分:注意:求弧长时积分上下限必须上大下小思考题证根据椭圆的对称性知故原结论成立.备用题例3-1

两根电线杆之间的电线,由于其本身的重量,求这一段弧长.解下垂成悬链线.悬链线方程为例4-1解例5-1

解试用定积分求圆绕x

轴上半圆为：下解旋转而成的环体的表面积

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