2022年全国中学生物理竞赛决赛模拟试卷试题及答案解析（一）

清北学堂第39届全国中学生物理竞赛决赛模拟题1考试时间180分钟320分一、位力定理（40分）位力定理是力学中描述稳定的多自由度孤立体系的总动能和总势能时间平均之间的一个数学关系。此数学关系的意义在于对于那些无法求得精确解的非常复杂的系统，可以通过此定理获得一些有意义的结论。本题旨在带领大家从证明此定理到初步体会其在不同系统中的实际应用。（1）位力定理的证明(1.1.1)我们定义这样一个量：I=i=iNpi⋅ri求和是对整个多质点的系统进行的，其中pi（1.1.2）我们假设这个系统的相互作用势能的形式如下Vij=−A（1.1.3）接上小问，请求出在天体系统和弹簧系统中的数学关系。（2）本小问讨论位力定理在热力学系统中的应用。（1.2.1）利用上一问的结论，请推导出理想气体压强p和分子平均动能E，分子数密度n的关系。我们假设理想气体分子之间没有任何的相互作用。（1.2.2）接上小问，请推出光子气体系统中的压强p和分子平均动能E，分子数密度n的关系二、简单相对论（69分）以下反应是高能物理早期的一个重要反应：p+p→在这个反应中，来自加速器的高能质子撞击静质子而产生π+介子和氘核D。已知质子、π+介子和氘核D(2.1)计算实验室参照系中入射质子动能的阈值Tmin(2.2)假定入射质子的动能为第（1）问中求得的阈值的Tmin两倍，试计算该反应中产生的π+介子的动量的可能的最大值。（2.3)续第（2）问，设在质心系中这一反应是各向同性的，即在质心系中任意方向单位立体角内产生一个π+介子的概率相同。求：在实验室参照系中，在质子入射方向上单位立体角内产生一个π+介子的概率。三、简单动力学（20分）有一小虫子沿正方形盘上的一轨道运动，正方形盘放在一光滑水平面上，正方形盘和虫子的质量分别为M,m，轨迹相对盘为y=bsin2πxR，盘的边长为2R.（3.1）请写出正方形盘绕z轴的转动惯量。（3.2）求出虫子运动到x=R的时候正方形盘转过的角度。你可以保留定积分（蒲公英语）（3.3）bR=0.5四、复杂动力学（81分）图2是车的简化模型，该车前后各有一圆柱体作为轮子，轮子结构如图3。每个轮子的质量为m2，圆柱轮由外半径为R，内半径为0.8R，质量为0.8m2的圆柱壳和总质量为0.2m2的8根辐条组成。质量为m1的车身对称地架在轮子上（车身与轮轴之间是固定的，其长为L，厚度为t。前后轮中心之间间距为l，圆柱轮中心到车身底部距离为ℎ(4.1)通过量纲分析可知每一个圆柱车轮转动惯量I=am2R现在考虑车刹车时刹车片给前轮的阻力矩为M。假设没有轮子脱离地面。引入无量纲常数b=2ℎ(4.2)若前后轮均做纯滚动，求刚刹车时加速度a，前后轮均做纯滚动时,MR(4.3)若前轮纯滚动、后轮滑动，求刚刹车时加速度a，前轮纯滚动、后轮滑动时MR满足的条件，能达到前轮纯滚动、后轮滑动时Rl满足的条件，以及没有轮子脱离地面的条件(4.4)若前后轮均滑动，求刚刹车时加速度a。五、互LC震荡（35分）我们知道电感有自感和互感.但是,虽然我们有“互电容”的概念,其并不能与互感很好地对应.我们现在来构造一种与互感相对应的概念“互容”:若两个电容器的电容量分别为C1和C2,且它们之间的互容系数为N,则U1=Q考虑四块的面积为S的平行极板,依次编号为a–d.极板a和极板c看作一个电容器,极板间距为d1;极板b和极板d看作一个电容器,极板间距为d2;极板b和极板c的间距为d.其中d<d1(5.1)求这两个电容器之间的互容系数.(5.2)设有两个LC电路,电路中分别有电容C1与C2,电感L1与L2.两个电容之间的互容系数为N,两个电感之间的互感系数为M.求电路的振动频率.若该振动由多个频率不同的简谐振动叠加而成,六、地铁站闸机（75分）某地铁站的出入站闸机采用三锟闸设计.三锟闸是这样一种装置:考虑三维空间中的三根长度均为l的细硬轻杆,每根杆都有一端被固定在点O处,且它们两两之间的夹角被固定为α.显然存在一条过O的轴z使得三锟闸绕z轴有2π3旋转对称.z轴与地面的夹角被适当地选取,以至于三锟闸在初始状态可以与地面达成这样一种相对位形:其中一根杆与地面平行,另外两根杆的自由端的连线也与地面平行.有一堵固定在地面上的墙,其位置满足:在初始状态下,三锟闸的水平杆垂直于墙,且墙面紧贴在水平杆的自由端.将通过闸机的人简化为刚性长方体.人通过闸机的过程中,长方体推动三锟闸绕z轴转动,长方体的一个面紧贴地面,另一个面紧贴墙面。长方体足够高（6.1）求满足以下条件的长方体的最大宽度w0:人能完全通过闸机,且长方体的厚度可以任意大（6.2）接上问,若长方体的宽度大于w0,求满足以下条件的长方体的最大横截面积:人能完全通过闸机.只需写出它是什么函数在什么区间上的最大值即可.（6.3）长方体的宽度为w.人在完全通过闸机的过程中,与杆之间存在滑动摩擦,摩擦系数为μ.在三锟闸的转轴内有滑动摩擦力矩,其大小恒定为K.求人在缓慢地完全通过闸机的过程中,对杆做的功.可以保留积答案解析一、位力定理（40分）位力定理的证明（1.1.1）根据动量定理和速度的定义：dIdt考虑到系统做周期运动，一个周期后还原I不变，所以有dIdt所以有i（1.1.2）根据势能的定义：FFijr考虑到非相对论情形下物体动能为：Ek所以有p⋅带入上一问的结论后就有：n（1.1.3）对于天体，n=−1对于弹簧n（1.2.1）系统受力仅仅来自于器壁的压强：dF=pdS所以有r⋅所以有−N(1.2.2)对于光子E=所以有−3pVNEV或者p=u为光子气体的内能密度。评分标准：共40分1，2，4，5，6，7，8，10，12，16式各4分。二、简单相对论（69分）（2.1）设入射质子动量为p0E0=根据动量守恒末态能量为Ef=其中Ec由能量守恒：Ef=所以p0min=那么T0min带入数据后得到：T（2.2）根据能量守恒Ep2T0min所以Ec=继续带入数据后得到：Ec=同时，考虑到在质心系中：Ec于是我们得到：pccE继续带入数据后得到：pc同时我们可以求出质心速度为：βc=p代入数据后得到：βc=要使得动量最大，就要求pcpmax代入数据后得到：pmax(2.3)在质心系中物理过程是完全各向同性的，所以各个方向的概率都为：Pc然后我们换系：Plab考虑到θc那么Plab同时考虑到在质心系中βπ利用相对论的动量变换或者你可以直接默写角度变换(即光行差公式)dθlab=β评分标准：共69分1到23式各3分三、简单动力学（20分）（3.1）由垂直轴定理：I(3.2)考虑体系动能：E=其中r=同时考虑到角动量守恒后：L=积分：ϕ=0(3.3)带入数值后得到：ϕ=−0.03rad评分标准：共20分1，2，3，4式各5分。四、复杂动力学（81分）（4.1）对于轴部分：I1对于轮部分：I2所以I=所以有：α=262（4.2）受力分析如图：考虑质心运动定理：N1m1对轮子的角动量定理：IωIω考虑对于A点体系总角动量L1,外力矩MLM1=−L1如果是纯滚Rω1带入后得到：a=考虑到条件：μN带入后分别得到：MR≤MR≤1同时要求N1≥0显然在纯滚的时候N1所以我们得到：MR≤(4.3)若前轮比后轮先滑动：βm得到：Rl若后轮滑动：f2=μ全部带入之前算出来的式子后可以得到：a=同时要求N2得到：MR并且同时又有：μN得到：MR(4.4)此时有f带入计算后可以得到：a=−2M评分标准：共81分。1到27式各3分五、互LC震荡（35分）（5.1）如图所示,四块极板将空间分割为五个部分,分别设为I–V.分别列出五块区域中的电场(以向下为正):2从而电势差U比较互容的定义,可得互容系数N（5.2）分别对两个LC电路应用Kirchhoff电压定律,可得方程组Q1CQ2C定义电容矩阵C电感矩阵L从而可重写为C或者Q其中Q≔Q1L其中Λ≔q从而可重写为qq其解为qq2=从而可得解Q因此电路中的振动是由频率为ω1和ω经过一番冗长的计算后可得ω其中p评分标准：共35分1式中每一个小式子各2分，共10分2式中每个小式子3分，共6分3式3分6.7式各3分8式10分。六、地铁站闸机（6.1）如图所示,建立坐标系.以人前进的方向为x轴和x'轴,z'轴水平,y,y',z初始时,杆OA水平,于是可以写出初始时A,B,C三点的坐标x因为三根杆两两夹角为α,所以我们可以通过将它们的坐标点乘来获得β与α的关系x现在研究xyz坐标系与x'y'z'x再考虑三根杆的旋转变换.设三根杆旋转了φ角后A在xyz坐标系中的坐标为a​a令R于是可得三根杆转了φ角后A在xyz坐标系中的坐标a其中a是A的初始坐标.将式全部展开后化简可得a同时我们可以获得B和C的坐标b若长方体的宽度小于等于三根杆的末端到墙的距离(三个中最小的那个)的最大值,则它的厚度可以无限大.很明显,当三根杆的末端到墙的距离最大时,应有φ=w（6.2）设长方体的宽度为w.假定长方体可以完全通过三锟闸.令长方体的厚度逐渐增加,直到它恰好能完全通过三锟闸.在临界情况下,它刚好能够把OA杆推至一个它不需要再推就能使它继续通过的角度(即l−a'3​经过上述讨论可以得知,我们需要考察OB杆上与A点恰好具有相同的z'd在临界情况下,宽度为l−a'3​S​代入可得S​φ=由题目中所说,长方体的宽度大于w0,所以在研究