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第二章矩阵主要内容矩阵运算逆分块秩初等变换第1节

矩阵的概念及运算

引例1四个城市间的单向航线如图：1234④③②①④③②①可简单地用一个数表来表示：

引例2某班级有m名学生，期末考试有n种科目，用aij表示第i个学生第j科的成绩，那么将所有学生的成绩汇总，可得到一个数表。一、矩阵的定义(1)元素全为零的矩阵称为零矩阵，记为Om×n

。(2)行数与列数都等于n的矩阵A，称为n阶方阵或n阶矩阵。(3)

只有一行的矩阵称为行矩阵或n

维行向量。(4)

只有一列的矩阵称为列矩阵或m

维列向量。二、矩阵的线性运算（I）相等设，如果(此时称A与B是同型矩阵)且则称A与B相等，记作A=B。问：与相等吗？（II）加法加法运算律

（III）数乘数乘运算律例1例2三、矩阵的乘法

（I）矩阵的乘法例3例4例5注1.矩阵乘法交换律不成立。AB不一定等于BA。注2.矩阵乘法有零因子。非零矩阵的乘积可能是零矩阵。注3.矩阵乘法消去律不成立。乘法运算律

（II）行矩阵和列矩阵的乘法例6

（III）线性方程组的矩阵表示则线性方程组可表示为齐次线性方程组可表示为例7

（IV）线性变换记，则应该相等！

（V）方阵的幂设A是n阶方阵，定义乘方运算律例8

（VI）方阵的多项式是一个实数域上的多项式，A为n阶方阵，则称为矩阵A的多项式，其中E为n阶单位矩阵。例9四、矩阵的转置定义：把矩阵Am×n的行、列互换，得到的新矩阵称为矩阵A的转置矩阵，记作AT或A′。性质例10解法一解法二例11例12注：(1)(2)五、方阵的行列式定义：n阶方阵A=(aij)n×n的元素按照原来位置构成的行列式，称为方阵A的行列式，记为∣A∣。性质设A，B均为n

阶方阵例13定义：设A为n阶方阵，如果∣A∣=0，则称A是奇异矩阵（退化矩阵）；如果∣A∣≠0，则称A

是非奇异的（非退化的）。例14设n阶方阵A、B

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