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文档简介
第二章矩阵第5节
矩阵的初等变换一、初等变换定义1
以下三种变换称为矩阵的初等行变换:（1）互换矩阵的两行——换法变换（2）用一个非零常数乘以矩阵的某一行——倍法变换（3）将矩阵某一行的k倍加到另一行上去——消法变换矩阵的初等列变换与初等行变换统称为矩阵的初等变换。
初等变换的逆变换仍为初等变换，且变换类型相同．逆变换逆变换逆变换等价关系的性质：定义2
若矩阵A可以经过有限次初等变换变成矩阵B，则称矩阵A、B等价。定理1.
初等变换不改变矩阵的可逆性。（1）反身性A与A等价（2）对称性若A与B等价，则B与A等价（3）传递性若A与B等价，B与C等价，则A与C等价（Ⅰ）阶梯形矩阵（梯矩阵）：①零行在下方；②各非零行的首非零元均位于上一行首非零元的右方。几种简化的矩阵形式（Ⅱ）简化阶梯形矩阵（行简化梯矩阵）：①阶梯形矩阵；②非零行的首非零元为1；③包含首非零元的列其他元素全为0。（Ⅲ）标准形矩阵定义3.
若矩阵A经过有限次初等变换变成标准形矩阵D，则称D为矩阵A的等价标准形。定理2.
任意一个矩阵经过若干次初等行变换均可化为阶梯形矩阵，再经过若干次初等行变换可变为简化阶梯形矩阵。定理3.
任意一个矩阵可经过若干次初等变换化为标准形矩阵。行变换：①先将前面元素为0的往下挪，前面元素为1的往上挪；②从上往下将首非零元下面的元素变为0；——阶梯形矩阵③将首非零元变为1；④从下往上将首非零元上方的元素变为0；——简化阶梯形矩阵列变换：⑤利用首非零元将同行其他元素化为0；⑥零列移到右边。——等价标准形二、初等矩阵
矩阵初等变换前后两个矩阵之间的关系是什么？,如何把它们用等号联系起来？
单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。定义4记号（1）换法变换（2）倍法变换（3）消法变换问:以下矩阵是否初等矩阵?性质：1）初等矩阵的转置矩阵仍为初等矩阵。
2）初等矩阵都是可逆的，且其逆矩阵仍是同一种初等矩阵。（左行右列原则）
对一个m×n阶矩阵A施行一次初等行变换，相当于用一个相应的m阶初等矩阵左乘A
；对矩阵A施行一次初等列变换，相当于用一个相应的n阶初等矩阵右乘A。定理4证明：（只证行变换的情形，列变换与此类似）将矩阵A按行分块，则有三、初等变换法求逆矩阵
可逆矩阵经过初等行变换得到的简化阶梯形矩阵是同阶单位矩阵。定理5推论1.推论2.推论3.例1矩阵方
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