2020年高考数学选填题专项测试11 基本不等式

33.（2020・海南咼二月考）已知a，bwR，且a+2b—4=0，则2a+4b的最小值为（）2020高考数学选填题专项测试01（基本不等式）（文理通用）第I卷（选择题）一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.（2020・河北高三期末（文））已知递增等差数列｛a｝中，aa=-2，则《的（）n123A.最大值为-4B.最小值为4C.最小值为-4D.最大值为4或-4【答案】B【解析】【分析】根据等差数列的通项公式可用ai表示出d.由数列单调递增可得ai<0•用ai表示出葺结合基本不等式即可求得最值.【详解】因为aia2—-2，由等差数列通项公式，设公差为d，可得ai（气+d）=—2，变形可得d—-ai-221a1因为数列｛a｝为递增数列，所以d=-〈-一>0，即ai<0，而由等差数列通项公式可知《-a’1a1a+2f2]-a-——(-a)+f4、1Iiai丿1<ai丿a—(-a)+a—(-a)+314，由-3>°，—>0结合基本不等式可得1-a1—4，当且仅当ai--2时取得等号，所以a3的最小值为4。点睛】本题考查了等差数列通项公式与单调性的应用,基本不等式在求最值中的用法,属于中档题.C.(2,+8)D.(0,1)2.（2020.山西高三期末（理））若方程血X—m有两个不等的实根xi和x2，则X2+的取值范围是（A.（C.(2,+8)D.(0,1)答案】解析】分析】详解】由方程可得两个实数根的关系，再利用不等式求解范围.分析】详解】因为|lnX—m两个不等的实根是X和x2，不妨令Xe（0,i）,x?e（i,+8），Inx—-m,Inx—m故可得In(xix2)—0，解得x2—X，则%2+%2=x2+-丄—2，故选：C.1~1点睛】本题考查对数函数的性质，涉及均值不等式的使用，属基础题.A.4B.4^2C.8D.2【答案】C【解析】【分析】利用基本不等式即可求得结果.【详解】由a+2b—4=0得：a+2b=4,/.2a+4b=2a+22b>2x2a-22b=22a+2b=224=8（当且仅当2a=22b，即a=2b时取等号）故答案为：8【点睛】本题考查利用基本不等式求解和的最小值的问题，属于基础题.91（2020・内蒙古高三期末）+的最小值为（）sm2acos2aA.2B.16C.8D.12【答案】B【解析】91【分析】利用sin2a+cos2a=1将+变为积为定值的形式后，根据基本不等式可求得最小值.sin2acos2a【详解】Tsin2a+cos2a=1，.:91+—sin2a91+—sin2acos2a2a+cos2a91)+sin2acos2a丿=io+出+9cosia・・io+6=16，当且仅当cos2asin2a191sm2a=丁，cos2a=丁时“=成立，故+的最小值为16.4sin2acos2a【点睛】本题考查了利用基本不等式求和的最小值，解题关键是变形为积为定值，才能用基本不等式求最值，属于基础题.111⑵2。.广东中山纪念中学高三月考（文、理））已知x，y均为正实数，且匸+丰=6，则x+y的最小值为（）A.20B.24C.28D.32【答案】A【解析】分析：由已知条件构造基本不等式模型x+y=（x+2）+（y+2）-4即可得出.

详解：Q详解：Qx，y均为正实数，且丄+占=6则6・•・x+y=(x+2)+(y+2)-4=6(1x+2十・•・x+y=(x+2)+(y+2)-4=6(1=6(2+=+兰)-4>6(2+2)-4=20当且仅当x=y=10时取等号.x+2y+2yx+2y+2二x+y的最小值为20.故选A.点睛：本题考查了基本不等式的性质，“一正、二定、三相等”.6.(2020・海南中学高三月考)当xe(1,2)时，不等式x2+mx+2>0恒成立，则m的取值范围是()A.A.(一2,+8)B.(2七2+8)C.(0,+8)D.(-2找+8)【答案】D解析】分析】将不等式恒成立转化为最值问题，利用均值不等式求解即可.(2)【详解】当xe(1,2)时，不等式x2+mx+2>0恒成立，等价于m>-x+—在xe(1,2)时恒成立Jx丿(2)(2)x(2)(2)x+—；而因为xe(I，2)，故—x+—Jx丿Jx丿即等价于m>max<-2x•-=-2迈x2，当且仅当x=时取得x最大值.故：m>-2^2【点睛】本题考查二次函数在区间上的恒成立问题，分离参数，转化为最值问题，是一般思路；本题中还涉及利用均值不等式求最值.属综合题.1n7.(2020.天水市第一中学高三月考(文))已知a>0,b>0，若不等式—+〒>恒成立，则n的最ab3a+b大值为()A.A.9B.12C.16D.20答案】C解析】【分析】可左右同乘3a+b，再结合基本不等式求解即可详解】Qa详解】Qa>0,b>0，3+丄>丄ab3a+b―+―(3a+b)>nJab丿3+-l（3a+b）二9+3+3a+1>10+23b-3a二16,当且仅当a二b=1时，等号成立，故n<16。Vab丿abvab点睛】本题考查基本不等式求最值，属于基础题8.(20208.(2020・四川石室中学高三月考(文、理))设x>0,y>0,11且—+——=4JtdLc，X2yZ=2lOg4X+lOg2y，则z的最小值是()A.-z的最小值是()A.-4B.-3【答案】BC.-log263D.2叫解析】【分析】利用基本不等式可求出xy的最小值，利用换底公式以及对数的运算律可得出z的最小值.【详解】Qx>0，y>0，【详解】Qx>0，y>0，且-+2-=4，•4=丄+2->2x2yx2y11Vx2y=2Y2xy2xy<211•••xy>，当且仅当x=2y时取等号.z=2logx+logy=logx+logy=logxy>log=-3，则z84222228的最小值是-3•故选：B.点睛】本题考查利用基本不等式求最值，同时也考查了换底公式以及对数运算性质的应用，考查计算能力，属于基础题.9.(2020・广东高三月考(文))如图，三棱锥P-ABC的四个顶点恰是长、宽、高分别是m，2,n的长方体的顶点，此三棱锥的体积为2，则该三棱锥外接球体积的最小值为()A.256^B体的顶点，此三棱锥的体积为2，则该三棱锥外接球体积的最小值为()A.256^B.C.32^D.36^答案】C解析】【分析】根据三棱锥的体积关系可得mn=6,根据三棱锥与长方体共外接球，长方体的对角线就是外接球的直径可得2R=Jm2+加+4，根据基本不等式可得半径的最小值,进一步可得体积的最小值.

【详解】根据长方体的结构特征可知三棱锥的高为n，所以3-n-1-m-2二2,所以mn=6,又该三棱锥的外接球就是长方体的外接球,该外接球的直径是长方体的对角线，设外接球的半径为R，所以2R=咖+n+4,所以2R>^2mn+4二、：'12+4二4，当且仅当m二n仝时，等号成立,，所以R>2，所以该三棱锥外接球体积为3体积为3兀R3>4兀x23二暂•故选:C点睛】本题考查了三棱锥的体积公式,球的体积公式,长方体的对角线长定理,基本不等式,属于中档题.10.（2020・江苏南京师大附中咼三月考）在AABC中，内角A,B,C的对边另别是a，b，c，已知2sin2A+sin2B+叮2sinAsinB=3sin2C，则sinC的最大值为（）A．V34A．V34~6~D．答案】A解析】【分析】由已知可得2a2+b2+\-2ab=3c2，结合余弦定理，求出cosC用a,b表示，用基本不等式求出cosC的最小值，即可求解.【详解】2sin2A+sin2B+\：2sinAsinB=3sin2C，由正弦定理得2a2+b2+论2ab=3c234等号成立，•.sinC="1一cos2C<—6由余弦定理得3c2=3a2+3b2-6abcosC，6abcosC=34等号成立，•.sinC="1一cos2C<—66cosC=a+越-迈>J2,cosC>—，当且仅当a=<2b时ba66cosC=所以sinC的最大值为上里.6【点睛】本题考查三角函数的最值，考查正、余弦定理解三角形，应用基本不等式求最值，属于中档题.fx—y—1<011.（2020.天水市第一中学高三月考（理、文））实数x，y满足条件k当目标函数z=ax+by（a，b>°）在该约束条件下取到最小值4时，|+1的最小值为（）A.6B.4C.3D.2答案】D解析】az【分析】先将目标函数化为y=-bx+b，由题中约束条件作出可行或，结合图像，由题意得到2a+b二4(12)1(—+—(2a+b)—_Vab丿41121再由a+b二4结合基本不等式，即可求出结果.aza【详解】由z=ax+by得y=-〒x+，因为a,b>0，所以直线的斜率为—<0bbbfx-y-1<0作出不等式1对应的平面区域如下：TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"azaz由图像可得：当直线y———x+经过点A时，直线y———x+在y轴截距最小，此时z最小。\o"CurrentDocument"bbbb\o"CurrentDocument"fx—y—1—0fx—2/、由1解得1，即A(2,l)，此时目标函数z=ax+by(a,b>0丿的最小值为412x—y—3—0Iy—112即2a+b12即2a+b-4，所以a+b—4二+匚(2a+b)—二2+-++2Vab丿丄(4+42当且仅当-—半，即；：—2时，等号成立•故选：dabIb—2【点睛】本题主要考查简单线性规划与基本不等式的综合，熟记基本不等式，会求解简单的线性规划问题即可，属于常考题型.12.(2020・内蒙古咼二期末(文、理))已知0<x<1，0<y<1，则<x2+y2+x2+(1一y丿2+(1一x丿2+y2+\：(1-x丿2+(1-y丿2的最小值为()A.J5B.2迈C.価D.2爲【答案】B【解析】【分析】根据均值不等式，可有"+*>M2，贝y甘2+y2n：，v，x2+(1-y丿2^―2222Y(l-x)2+y2>1芳y,t'(l-x)2+(1-y)2>1x#y,再利用不等式的基本性质，两边分别相加求解。【详解】因为x2+y2>2xy，所以2(x2+y2)>2xy+x2+y2=(x+y)2，所以广；W>xA-_^，所以,右>N,W+(1—y1,\：'(1-xl+y2>，,(1-x)2+(1-y)2>2222所以两边分别相加得tx2+y2+$x2+(1-y)2+*(1-xl+y2+f(l-x)2+(1-y)2>2€2，当且仅当1x二y二-取等号，故选：b【点睛】本题主要考查了均值不等式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.第II卷(非选择题)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中的横线上。51(2020.广西柳州高级中学高三开学考试(文))已知x>，则函数y=4x+的最小值为4x—5【答案】7【解析】【分析】转化函数，通过基本不等式求解即可.11【详解］Qx>，4x—5>0，y—4x+—(4x—5)++5>2+5=744x—54x—513当且仅当4x—5—，即，即x—时等号成立.TOC\o"1-5"\h\z4x—52【点睛】本题考查基本不等式在最值中的应用，考查计算能力．(2020・江苏高三月考)若a，b均为非负实数，且ab+a+b—1—0，则2a+b的最小值为.【答案】1【解析】1—b小丁47^^【分析】由条件可得a—，然后将2a+b变形为+b+1—3，运用基本不等式即可求出.b+1b+1【详解】因为ab+a+b—1—0，且a,b均为非负实数，所以a—工b+1所以2a+b—+b——2(b+1+4+b+1—1—丄+b+1—3>2j4—3—1b+1b+1b+14当且仅当-b+1即b—1时取得最小值，所以2a+b的最小值为1,此时a—0,b—1，故答案为：1b+1【点睛】当题目中有2个字母时，利用题目的方程将所求式子进行消元是常用方法.15.(2020.江苏南京师大附中高三月考)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，2)，点M(4,2)，点N在

线段OA的延长线上•设直线MN与直线OA及x轴围成的三角形面积为S,则S的最小值为【答案】12【解析】【分析】求出直线OA方程，设点N坐标，求出直线MN的方程，进而求出直线MN与x轴交点的坐标,将所求三角形的面积S表示成N点坐标的函数，根据函数特征，利用基本不等式求出最小值.【详解】点A(1,2)，直线OA方程为y二2x,点N在线段OA的延长线上，设N(a,2a),a>1当a=4时，N(4,8),S=16，当a>1，且a丰4时，直线MN方程为TOC\o"1-5"\h\z2a—2a—43y-2二(X-4)，令y二0,x二4-二3+a—4a—1a—1\o"CurrentDocument"1a1S=2ax3(1+