函数与方程函数的应用

第四讲函数与方程、函数的应用1．二次函数1求二次函数在某段区间上的最值时，要利用好数形结合，特别是含参数的两种类型：“定轴动区间，定区间动轴”的问题，抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指的是对称轴．2注意三个“二次”的相互转化解题3二次方程实根分布问题，抓住四点：“开口方向、判别式Δ、对称轴位置、区间端点函数值正负．”2．函数与方程1函数的零点对于函数f，我们把使f＝0的实数叫做函数f的零点．2零点存在性定理如果函数＝f在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有fa·fbne，∴>1－eq\f1,2∵＝og52eq\f1,\r4＝eq\f1,2，∴eq\f1,20，fb＝b－cb－aa·fb1621时，f＝－－1＝2og2－1，－eq\f1,2令f＝0得og2＝eq\b\c\\rc\\a\v4\a\co1\f1,2，由＝og2，＝eq\b\c\\rc\\a\v4\a\co1\f1,2的图象知在1，＋∞上有一个交点，即f在1，＋∞上有一个零点，故选B5．最新·辽宁已知函数f＝2－2a＋2＋a2，g＝－2＋2a－2－a2＋1＝ma{f，g}，H2＝min{f，g}ma{in{2a2a4a4a4a4a4a4a1－1，g＝＋eq\fe2,>0．1若g＝m有实根，求m的取值范围；2确定m的取值范围，使得g－f＝0有两个相异实根．审题破题1g＝m有实根，可以分离参数转化为求函数最值．2利用图象，探究可能的不等关系，从而构造关于m的不等式求解．解1∵g＝＋eq\fe2,≥2eq\re2＝2e，等号成立的条件是＝e故g的值域是[2e，＋∞，因而只需m≥2e，则g＝m就有实根．故m∈[2e，＋∞．2若g－f＝0有两个相异的实根，即g＝f中函数g与f的图象有两个不同的交点，作出g＝＋eq\fe2,>0的大致图象．∵f＝－2＋2e＋m－1＝－－e2＋m－1＋e2其对称轴为＝e，开口向下，最大值为m－1＋e2故当m－1＋e2>2e，即m>－e2＋2e＋1时，g与f有两个交点，即g－f＝0有两个相异实根．∴m的取值范围是－e2＋2e＋1，＋∞．反思归纳解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解．变式训练2已知函数f＝2a2＋2－＝f在区间[－1,1]上有零点，则实数a的取值范围为______________．答案eq\b\c\[\rc\\a\v4\a\co1\f1,2，＋∞解析若a＝0，则f＝2－3，f＝0⇒＝eq\f3,2∉[－1,1]，不合题意，故a≠0下面就a≠0分两种情况讨论：1当f－1·f1≤0时，f在[－1,1]上至少有一个零点，即2a－52a－1≤0，解得eq\f1,2≤a≤eq\f5,22当f－1·f1>0时，f在[－1,1]上有零点的条件是eq\b\c\{\rc\\a\v4\a\co1f\b\c\\rc\\a\v4\a\co1－\f1,2af1≤0，,－10，解得a>eq\f5,2综上，实数a的取值范围为eq\b\c\[\rc\\a\v4\a\co1\f1,2，＋∞题型三函数模型及其应用例3为方便游客出行，某旅游点有50辆自行车供租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金元只取整数，并且要求出租自行车一日的收入必须高于这一日的管理费用，用元表示出租自行车的日净收入即一日出租自行车的总收入减去管理费用后的所得．1求函数＝f的解析式及其定义域；2试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多审题破题f为分段函数，要分≤6和>6两种情况分别寻求函数关系，应为整数．解1当≤6时，＝50－115令50－115>0，解得>∵∈N*，∴≥3，∴3≤≤6，∈N*当>6时，＝[50－3－6]－115，令[50－3－6]－115>0,32－68＋115185，∴当每辆自行车的日租金定在11元时，才能使一日的净收入最多．反思归纳解应用题首先要正确理解题意，将实际问题化为数学问题，再利用数学知识如函数、导数、不等式解决数学问题，最后回归到实际问题的解决上．变式训练3里氏震级M的计算公式为：M＝gA－gA0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的________倍．答案610000解析由M＝gA－gA0知，M＝g1000－g＝3－－3＝6，∴此次地震的震级为6级．设9级地震的最大振幅为A1,5级地震的最大振幅为A2，则geq\fA1,A2＝gA1－gA2＝gA1－gA0－gA2－gA0＝9－5＝4∴eq\fA1,A2＝104＝10000，∴9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的10000倍．典例12分省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数f与时刻时的关系为f＝eq\b\c\|\rc\|\a\v4\a\co1\f,2＋1－a＋2a＋eq\f2,3，∈[0,24]，其中a是与气象有关的参数，且a∈eq\b\c\[\rc\]\a\v4\a\co10，\f1,2，若用每天f的最大值为当天的综合放射性污染指数，并记作Ma．1令t＝eq\f,2＋1，∈[0,24]，求t的取值范围；2省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标规范解答解1当＝0时，t＝0；[1分]当02a3aeq\f1,21eq\f1,2eq\f1,220，,－2－2，≤0，则关于的函数＝2f2－3f＋1的零点的个数为________．eq\f1,2eq\f1,2eq\f1,2答案7解析由＝2f2－3f＋1＝f＝eq\f1,2或f＝1，如图画出f的图象，由f＝eq\f1,2知有4个根，由f＝1知有3个根，故共有7个零点．5．已知函数f＝eq\b\c\{\rc\\a\v4\a\co1\f2,，≥2，,－13，0，所以根据零点存在性定理可知函数的零点所在的区间是0,1，选D2．已知函数f＝a＋－b的零点0∈n，n＋1n∈Z，其中常数a，b满足2a＝3,3b＝2，则nA．－2B．－1C．0D．答案B解析a＝og23>1，b＝og3230时，f＝eq\b\c\\rc\\a\v4\a\co1\f1,5－og3是减函数，又0是方程f＝0的根，即f0＝0∴当0f0＝05．设函数＝f在R上有意义，对于给定的正数M，定义函数fM＝eq\b\c\{\rc\\a\v4\a\co1f，f≤M,M，f>M，则称函数fM为f的“孪生函数”．若给定函数f＝2－2，M＝1，则fM0的值为A．2B．1\r2D．－eq\r2答案B解析由题意，当f＝2－2≤1，即≤－1或≥1时，fM＝2－2当－12261恰有3个不同的实数根，则a的取值范围是________．22答案eq\r3,4，2解析由f－2＝f＋2，知f是周期为4的周期函数，于是可得f在－2,6]上的草图如图中实线所示，而函数g＝oga＋2a>1的图象如图中虚线所示，结合图象可知，要使得方程f－oga＋2＝0a>1在区间－2,6]内恰有3个不同的实数根，必需且只需eq\b\c\{\rc\\a\v4\a\co1g23所以eq\b\c\{\rc\\a\v4\a\co1oga43解得eq\r3,42.5米2.5米2.5米2.5米100平方米0，则方程a－1