2020年高考理科数学《不等式选讲》题型归纳与训练

11112020年高考理科数学《不等式选讲》题型归纳与训练题型归纳】题型一解绝对值不等式例1、设函数f(xA|hl|+|h2.(1解不等式f(x)>3;(2若f(x}>a对xgR恒成立，求实数a的取值范围【答案】(1)(一刃0)U(3+g)(2)(一刃1).32x,xv1,【解析】(1因为f(x=|一11+|x-2|=1,1Cx<2,2x-3,x>2.所以当xv1时，3-2x>3,解得xv0；当1<<2时，f(x>3无解；当x>2时，2x-3>3，解得x>3.所以不等式f(x>3的解集为(-刃0)U(3+x)・32x,xv1,(2因为f(x=1,<x<2,所以f(x)=1.min2x-3,x>2.因为f(x>a恒成立，【易错点】如何恰当的去掉绝对值符号【思维点拨】用零点分段法解绝对值不等式的步骤：(1)求零点；(2)划区间、去绝对值号；(3)分别解去掉绝对值的不等式；(4)取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值.题型二利用绝对值的几何意义或图象解不等式例2、(1若不等式|—1+$+2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是【答案】⑴-]-/7一1+严-【解析】(1)V|x-11+|x+2|〉|-1)—(x-2)=3,.•.a2+^a+2<3解得即实数a的取值范围是易错点】绝对值的几何意义和如何把恒成立问题转化为最值问题【思维点拨】解含参数的不等式存在性问题，只要求出存在满足条件為即可；不等式的恒成立问题，可3333v|c-d|的充要条件.v|c-d|的充要条件.转化为最值问题，即f(x)<af亘成立oa>f(x),f(x)>a恒成立oa<f(x)•maxmin题型三不等式的证明与应用例3、设a，b,c,d均为正数，且a+b=c+d,证明：⑴若ab>cd,贝「a+b>c+d；【答案】略.【解析】［证明］(1)因为(、.ya+\；b)2=a+b+2斗1ab(恭+\・'d)2=c+d+2、.!td,由题设a+b=c+d,ab>cd得(..；a+飞冋2>(#+飞砂2・因此翻+^.b>'c+jcl(2)①若|a—b|v|c-d|,【J(a—b)2<(c—d)2,卩(a+b)2—4ab<(+c)2—4cd.因为a+b=c+d,所以ab>cd•由(1)得才a+rJb>:c+rJd.②若嗣+衲>卡+辺，贝1」(逅+一朋2>(占+一卫2,艮卩a+b+2；ab>c+d+2讨1cd.因为a+b=c+d,所以ab>cd于是(a—b)2=(a+b)2—4ab<(+c)2—4cd=(c—d)2・因此|a—b|<|c—d|.综上，十a+i；b>jc+讨d是|a—b|<|c-d|的充要条件.【易错点】不等式的亘等变形.【思维点拨】分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆．巩固训练】题型一解绝对值不等式1•不等式|x—1|+|x+2|>5的解集为【答案】{x|峑一3或x>2}.[(x—1)+(x+2)>5「—2«<1,或｛—(x-1)+(x+2)>5

或产-2，或]-(x-1)-(x+2)>5,解得x>2或x<-3.故原不等式的解集为{x|峑一3或x>2}・2•已知函数f(x)=|x+a|+|x—2|.当a=—3时，求不等式f(x)>3的解集；若f(x)<|x—4的解集包含[1,2],求a的取值范围【答案】(1){x|Xl或x>4};(2)[—3,0]・p—2x+5,x<2,【解析】(1)当a=—3时，f(x)Ll,2«<3I2x—5,x>3.当x<2时，由f(x)>3得一2x+5>3,解得x<l；当2<x<3时，f(x)>3无解；当x>3时，由f(x)>3得2x—5>3，解得x>4；所以f(x)>3的解集为{x|峑1或x>4}・(2)f(M<|x—4Q|x—4|—|x—2|>|x+a|.当x^[1,2]时，|x—4|—|x—2|>|x+a|°4—x—(2—x)>|x+a|o—2—a<x<2—a.由条件得一2—a<1且2—a>2，即一3<a<0.故满足条件的a的取值范围为[―3,0]・当a=—5时，求函数f(x)的定义域；若函数f(x)的定义域为R，试求a的取值范围.【答案】(1)(—^,—2]U[3,+^)；(2)a>—3.【解析】(1)由题设知|x+11+|x—2|_5>0,如图，在同一坐标系中作出1函数|x+1|+|x—2和y=5的图象，知定义域为(一a,—2]U[3,+s).(2)由题设知，当x^R时，恒有|x+11+|x—2|+a>0,艮P|x+1|+|x—2|>—a，又由(1)知仪+1|+|x—2|>3,所以一a<3,即a>—3.题型二利用绝对值的几何意义或图象解不等式1•已知函数f(x)=x+1—2x-3i（2（2）求不等式f（x）|>1的解集.（2（2）求不等式f（x）|>1的解集.【答案】⑴见解析⑵r，為九泸‘【答案】⑴见解析⑵r，為九泸‘+』31⑵当-1<X<2,3x-2>1,解得x>1或x33当x>^,x一4>1解得x>5或x<3,综上，x<A1<x<3或x>5,.f<x）>1解集利-皙M丸（5汁J2•不等式|x+1|—|x—2|>k勺解集为R，则实数k的取值范围是・【答案】（一8，—3）【解析】解法一：根据绝对值的几何意义，设数<，—1,2在数轴上对应的点分别为P,A,B,则原不等式等价于PA—PB>k恒成立.VAB=3,即|x+1—|x—2|>—3故当k<—3时，原不等式恒成立.解法二：令y=|x+1|—|x—2，p—3，x<—1，则y=<2x—1，—1<x<2I3，x>2，55要使|x+1|—|x—2|>k旦成立，从图象中可以看出，只要《—3即可•故k<—3满足题意.题型三不等式的证明与应用1.已知a、b、c^R，且a+b+c=1；求证：(1+a)(1+b)(1+c)>8(1—a)(1—b)(1—c).答案】略.【解析】证明：因为a、b、c^R，且a+b+c=1,所以要证原不等式成立,即证[(a+b+c)+a][(a+b+c)+b][(a+b+c)+c]>8[(a＋b＋c)—a][(a＋b＋c)—b][(a＋b＋c)—c]，也就是证[(a+b)+(c+a)][(a+b)+(b+c)][(c+a)+(b+c)]>8(b+c)(c+a)(a+b)•①因为(a+b)+(b+c)>2、,：(a十b)(b十c)〉0,三式相乘得①式成立，故原不等式得证2.设a、b、c、d均为正数，且a+b=c+d,证明:答案】略.【解析】证明(1)因为^,'a十,■b)2=a+b+^abl-d)2=c+d+2J^cd,由题设a+b=c+d,ab〉cd得(飞⑥十；b)2〉(、c+、d)2・因此、:a十护〉\疋十护(2)①若|a—b|<|c—d|,贝0(a—b)2<(c—d)2,即(a+b)2—4ab<(c+d)2—4cd.因为a+b=c+d,所以ab〉cd.由(1)得陌十輕〉、.c十,-dl②若叮屮十.0，贝I」(叩百十.*恸2〉(店十申)2,即a+b+2pab〉c+d+2jcd・因为a+b=c+d,所以ab〉cd,于是(a—b)2=(a+b)2—4ab<(c+d)2—4cd=(c—d)2.因此|a—b|v|c—d|.综上,闫仁®〉、,.d是|a-b|v|c-d|的充要条件.3•设a、b、c均为正数，且a+b+c=1证明:1(1)ab^bc+ac<3；答案】略.【解析】(1)由a2+bN2abbp+c2N2bcc2+a2>