学案等差数列421等差数列的概念

6/6等差数列4.2.1等差数列的概念【第一学时】等差数列的概念及通项公式【学习目标】1．理解等差数列、等差中项的概念。2．掌握等差数列的通项公式，并能运用通项公式解决一些简单的问题。3．掌握等差数列的判断与证明方法。【学习重难点】理解等差数列、等差中项的概念。【学习过程】一、新知初探知识点一等差数列的概念一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，公差可正可负可为零。知识点二等差中项的概念由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列。这时，A叫做a与b的等差中项且2A＝a＋B．知识点三等差数列的通项公式首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)D．知识点四从函数角度认识等差数列{an}若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，则an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)。（1）点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上，这条直线的斜率为d，在y轴上的截距为a1－d

；（2）这些点的横坐标每增加1，函数值增加D．二、合作探究1．等差数列的通项公式及其应用例1在等差数列{an}中，（1）已知a5＝－1，a8＝2，求a1与d；（2）已知a1＋a6＝12，a4＝7，求an。2．等差数列的判定与证明例2已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝eq\f(2an,an＋2)。（1）数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是否为等差数列？说明理由；（2）求an。3．等差中项及应用例3（1）在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数列。【学习小结】1．知识清单：（1）等差数列的有关概念。（2）等差数列的通项公式。（3）等差数列的判定与证明。2．方法归纳：列方程组法、迭代法、构造法。3．常见误区：在具体应用问题中项数不清。【精炼反馈】1．已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n(n∈N*)，则它的公差d为（）A．2B．3C．－2D．－32．若5，x，y，z，21成等差数列，则x＋y＋z的值为（）A．26B．29C．39D．523．在等差数列{an}中，若a1＝84，a2＝80，则使an≥0，且an＋1<0的n为（）A．21B．22C．23D．244．已知eq\r(3)＋1与eq\r(3)－1的等差中项为a，等差数列{an}的通项公式为an＝a2n＋1(n∈N*)，公差为d，则a＋d＝。5．《九章算术》是我国古代数学名著，其中有道“竹九问题”：“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升。问中间二节欲均容各多少？”意思为：今有竹九节，下三节容量之和为4升，上四节容量之和为3升，且每一节容量变化均匀（即每节容量成等差数列），则中间两节各多少容量？在这个问题中，中间一节的容量为升。【第二学时】等差数列的性质【学习目标】1．能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质。2．能运用等差数列的性质简化计算。【学习重难点】能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质。【学习过程】一、新知初探知识点一等差数列通项公式的变形及推广设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则①an＝dn＋(a1－d)(n∈N*)，②an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)，③d＝eq\f(an－am,n－m)(m，n∈N*，且m≠n)。其中，①的几何意义是点(n，an)均在直线y＝dx＋(a1－d)上。②可以用来利用任一项及公差直接得到通项公式，不必求a1．③可用来由等差数列任两项求公差。知识点二等差数列的性质1．若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有数列结论{c＋an}公差为d的等差数列（c为任一常数）{c·an}公差为cd的等差数列（c为任一常数）{an＋an＋k}公差为kd的等差数列（k为常数，k∈N*）{pan＋qbn}公差为pd＋qd′的等差数列（p，q为常数）2．下标性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q（m，n，p，q∈N*），则am＋an＝ap＋aq。特别地，若m＋n＝2p（m，n，p∈N*），则有am＋an＝2ap。3．在等差数列中每隔相同的项选出一项，按原来的顺序排成一列，仍然是一个等差数列。4．等差数列{an}的公差为d，则d>0⇔{an}为递增数列；d<0⇔{an}为递减数列；d＝0⇔{an}为常数列。二、合作探究1．an＝am＋（n－m）d的应用例1已知{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75．2．等差数列性质的应用例2（1）已知数列{an}是等差数列，若a1－a9＋a17＝7，则a3＋a15等于（）A．7B．14C．21D．7（n－1）（2）已知数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，那么数列{an＋bn}的第37项为（）A．0B．37C．100D．－373．等差数列中对称设项法的应用例3（1）三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数；（2）四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数。【学习小结】1．知识清单：（1）等差数列通项公式的变形运用。（2）等差数列的性质。（3）等差数列中项的设法。2．方法归纳：解方程组法。3．常见误区：（1）对等差数列的性质不理解而致错。（2）不注意运用性质而出错或解法烦琐。【精炼反馈】1．在等差数列{an}中，已知a3＝10，a8＝－20，则公差d等于（）A．3B．－6C．4D．－32．在等差数列{an}中，a4＋a5＝15，a7＝12，则a2等于（）A．3B．－3C．eq\f(3,2)D．－eq\f(3,2)3．在等差数列{an}中，若a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝100，则a1＋a13的值为（）A．20B．30C．40D．504．由公差d≠0的等差数列a1，a2，…，an组成一个新的数列