倾斜角与斜率

关于倾斜角与斜率第一页，共五十一页，2022年，8月28日3.1直线的倾斜角与斜率第三章3.1.1倾斜角与斜率第二页，共五十一页，2022年，8月28日互动课堂2随堂测评3课后强化作业4预习导学1第三页，共五十一页，2022年，8月28日预习导学第四页，共五十一页，2022年，8月28日●课标展示1．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握它们之间的关系．2．掌握过两点的直线的斜率计算公式，并会简单的应用．第五页，共五十一页，2022年，8月28日●温故知新旧知再现1．在直角三角形中，当内角α为锐角时，sinα＝____，cosα＝______，tanα＝_____，其中x、y分别为角α的邻边、对边，r为斜边．第六页，共五十一页，2022年，8月28日－tanα

第七页，共五十一页，2022年，8月28日4．几个特殊角的三角函数值：tan30°＝______；tan45°＝_____；tan60°＝_______；tan120°＝__________；tan135°＝________；tan150°＝__________.5．______点确定一条直线．1－1两第八页，共五十一页，2022年，8月28日新知导学1．倾斜角定义当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，____轴正向与直线l向_____方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．规定当直线l与x轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为__________.记法αx上0°第九页，共五十一页，2022年，8月28日图示范围0°≤α<180°作用(1)用倾斜角表示平面直角坐标系内一条直线的__________(2)确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的__________，二者缺一不可倾斜程度倾斜角第十页，共五十一页，2022年，8月28日[破疑点]理解倾斜角的概念时，要注意三个条件：①x轴正向；②直线向上的方向；③小于180°的非负角．第十一页，共五十一页，2022年，8月28日2．斜率(倾斜角为α)定义α≠90°一条直线的倾斜角α的_________叫做这条直线的斜率α＝90°斜率不存在记法k，即k＝________范围________公式经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝__________作用用实数反映了平面直角坐标系内的直线的_________正切值tanαR倾斜程度第十二页，共五十一页，2022年，8月28日[破疑点]①当倾斜角是90°时，直线的斜率不存在，并不是直线不存在，此时，直线垂直于x轴；②所有的直线都有倾斜角，但不是所有的直线都有斜率；③直线的斜率也反映直线相对于x轴的正方向的倾斜程度．当0°≤α<90°时，斜率越大，直线的倾斜程度就越大；当90°<α<180°时，斜率越大，倾斜角也越大；④k>0⇔0°<α<90°；k＝0⇔α＝0°；k<0⇔90°<α<180°；k不存在⇔α＝90°.第十三页，共五十一页，2022年，8月28日●自我检测1．给出下列命题：①任何一条直线都有唯一的倾斜角；②一条直线的倾斜角可以为－30°；③倾斜角为0°的直线只有一条，即x轴；④按照倾斜角的概念，直线倾斜角的集合{α|0°≤α<180°}与直线集合建立了一一映射关系．其中正确命题的个数是()A．1 B．2C．3 D．4[答案]A第十四页，共五十一页，2022年，8月28日[解析]

序号正误理由①√任何直线都有唯一的倾斜角，故①正确②×倾斜角的范围是[0°，180°)，故②错误③×所有与x轴平行或重合的直线的倾斜角都是0°，故③错误④×倾斜角相同的直线有无数条，不是一一映射关系，故④错误第十五页，共五十一页，2022年，8月28日[答案]B第十六页，共五十一页，2022年，8月28日3．已知直线过点A(0,4)和点B(1,2)，则直线AB的斜率为()A．3 B．2C．－2 D．不存在[答案]C第十七页，共五十一页，2022年，8月28日互动课堂第十八页，共五十一页，2022年，8月28日直线的倾斜角的理解

●典例探究

第十九页，共五十一页，2022年，8月28日[分析]

(1)直线倾斜角α的范围是什么？(2)关于x轴对称的两条直线的倾斜角能互补吗？[解析]

(1)因为直线l的倾斜率为β－15°，所以0°≤β－15°<180°，即15°≤β<195°.(2)当α1＝0°时，α2＝0°，当0°<α1<180°时，α2＝180°－α1.[答案](1)D(2)0°或180°－α1第二十页，共五十一页，2022年，8月28日

规律总结：1.理解直线的倾斜角首先要弄清以下几个问题：(1)倾斜角定义中含有三个条件：①x轴正向；②直线向上的方向；③小于180°的非负角．(2)从运动变化的观点来看，直线的倾斜角是由x轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角．(3)直线的倾斜角α的取值范围是：0°≤α＜180°.第二十一页，共五十一页，2022年，8月28日2．求直线倾斜角的方法及关注点：(1)方法定义法：根据题意画出图形，结合倾斜角的定义找倾斜角．分类法：根据题意把倾斜角α分为以下四类讨论：α＝0°，0°＜α＜90°，α＝90°，90°＜α＜180°.(2)关注点结合图形求角时，应注意平面几何知识的应用，如三角形内角和定理及其有关推论．第二十二页，共五十一页，2022年，8月28日设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为()A．α＋45°B．α－135°C．135°－αD．当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾斜角为α－135°[答案]D第二十三页，共五十一页，2022年，8月28日[分析]

画出图象辅助理解，由于条件中未指明α的范围，所以需综合考虑α的可能取值，以使旋转后的直线的倾斜角在[0°，180°)内．[解析]

根据题意，画出图形，如图所示：第二十四页，共五十一页，2022年，8月28日因为0°≤α<180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图(如图所示)可知：当0°≤α<135°，l1的倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.故选D.第二十五页，共五十一页，2022年，8月28日

规律总结：求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论．第二十六页，共五十一页，2022年，8月28日已知两点坐标求倾斜角和斜率

第二十七页，共五十一页，2022年，8月28日第二十八页，共五十一页，2022年，8月28日

规律总结：

1.对直线斜率公式的认识：直线的斜率公式表明了直线相对于x轴正向的倾斜程度，可通过直线上任意两点的坐标表示，比使用几何的方法先求倾斜角，再求斜率要更简便．2．应用斜率公式时的注意事项：(1)运用公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的；(2)斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置．特别提醒：在解决与斜率有关的问题时，要根据题目条件对斜率是否存在做出判断，以免漏解．

第二十九页，共五十一页，2022年，8月28日第三十页，共五十一页，2022年，8月28日第三十一页，共五十一页，2022年，8月28日第三十二页，共五十一页，2022年，8月28日第三十三页，共五十一页，2022年，8月28日

规律总结：

(1)对求斜率的两个公式注意其应用的条件，必要时应分类讨论；(2)当直线绕定点由与x轴平行(或重合)位置按逆时针方向旋转到与y轴平行(或重合)时，斜率由0逐渐增大到＋∞；按顺时针方向时，斜率由0逐渐减小到－∞，这种方法即可定性分析倾斜角与斜率的关系，也可以定量求解斜率和倾斜角的取值范围．第三十四页，共五十一页，2022年，8月28日[分析]

1.当三点共线时，任意两点的连线的斜率(斜率存在时)有怎样的关系？2．题2中求范围可用什么方法？直线的倾斜角与斜率的综合应用

第三十五页，共五十一页，2022年，8月28日第三十六页，共五十一页，2022年，8月28日已知某直线l的倾斜角α＝45°，又P1(2，y1)，P2(x2,5)，P3(3,1)是此直线上的三点，求x2，y1的值．[分析]

题中直线的倾斜角已知，且三点在同一条直线上，故可考虑根据点与斜率及其倾斜角之间的关系求解．第三十七页，共五十一页，2022年，8月28日

规律总结：用斜率公式可解决三点共线问题：

第三十八页，共五十一页，2022年，8月28日第三十九页，共五十一页，2022年，8月28日第四十页，共五十一页，2022年，8月28日[错因分析]当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象进行分类讨论，然后对每一类分别研究，得出每一类结果，最终解决整个问题．本题的讨论分两个层次：第一个层次是讨论斜率是否存在；第二个层次是讨论斜率的正、负．也可以分为m＝1，m>1，m<1三种情况进行讨论．第四十一页，共五十一页，2022年，8月28日第四十二页，共五十一页，2022年，8月28日直线l过点M(－2，m)，N(m,4)两点，则直线l的斜率为________．第四十三页，共五十一页，2022年，8月28日随堂测评第四十四页，共五十一页，2022年，8月28日1．如下图，直线l的倾斜角为()A．45° B．135°C．0° D．不存在[答案]B第四十五页，共五十一页，2022年，8月28日[答案]A第四十六页，共五十一页，2022年，8月28日3．下列各组中的三点共线的是()A．(1,4)，(－1,2)，(3,5)B．(－2，－5)，(7,6)，(－5,3)C．(1,0)，(0，－)，(7,2)D．(0,0)，(2,4)，(－1,3)[答案]C[解析]

利用斜率相等判断可知C正确．[答案]60°或120°第四十七页，共五十一页，2022年，8月28日5．已知直线l经过A(5，－3)、B(4，y)、