正态分布社会统计学原理

1第六讲：正态分布正态分布社会统计学原理共47页，您现在浏览的是第1页!2学习目标掌握正态分布的特性；正态分布曲线下面积的含义；标准分的计算和应用；利用标准正态分布表计算概率。理解大数定理和中心极限定理正态分布社会统计学原理共47页，您现在浏览的是第2页!3一、什么是正态分布？正态分布社会统计学原理共47页，您现在浏览的是第3页!4从“分布”说起正态分布社会统计学原理共47页，您现在浏览的是第4页!5峰点（Peak)研究单峰多峰正态分布社会统计学原理共47页，您现在浏览的是第5页!6一、正态分布曲线

xφ(x)正态分布社会统计学原理共47页，您现在浏览的是第6页!71.2正态分布的基本特征特征一：一个高峰特征二：一条对称轴特征三：一条渐近线xf(x)M0＝Md=μ

众值=中位值＝均值正态分布社会统计学原理共47页，您现在浏览的是第7页!81.4两个参数的影响（μ，σ）位置参数均值μ标准差σ

形状参数正态分布社会统计学原理共47页，您现在浏览的是第8页!91.4.2

对正态曲线的影响xφ(x)CAB曲线A和B的比较正态分布社会统计学原理共47页，您现在浏览的是第9页!10正态曲线的位置由均值μ决定；正态曲线的形状“高，矮，胖，瘦”的特点由标准差σ决定；

当σ较小时，曲线“高”且“瘦”；当σ较大时，曲线“矮”且“胖”。

正态分布社会统计学原理共47页，您现在浏览的是第10页!112.1正态曲线下面积的涵义随机变量的频次总和；一般把正态曲线下的总面积约等于1，这时一定区间内的频次分布表现为概率分布。正态分布社会统计学原理共47页，您现在浏览的是第11页!12正态曲线下的面积（图）-2+22.3%2.3%-+95.46%68.26%正态分布社会统计学原理共47页，您现在浏览的是第12页!13三、标准正态分布正态分布社会统计学原理共47页，您现在浏览的是第13页!143.2标准正态分布的重要性

——简化统计分析▲一般的正态分布取决于均值和标准差；

▲计算概率时，每一个正态分布都需要有自己的正态概率分布表，这种表格是无穷多的▲若能将一般的正态分布转化为标准正态分布，计算概率时只需要查一张表正态分布社会统计学原理共47页，您现在浏览的是第14页!153.4标准正态分布的表达式正态分布的表达式为：N（，）标准正态分布的表达式为：N（0，1）标准正态分布是一般正态分布的特例，即＝0，＝1的正态分布。正态分布社会统计学原理共47页，您现在浏览的是第15页!163.6标准分的应用例题:李明参加了全校新生入学摸底考试，数学得了90分，英语得了75分。假定全校新生数学成绩的均值

=85分，标准差=10分；全校新生英语成绩的均值=60分，标准差=5。这次考试李明哪门科目考试考得好一些？正态分布社会统计学原理共47页，您现在浏览的是第16页!17四、标准正态分布表的使用正态分布社会统计学原理共47页，您现在浏览的是第17页!184.2标准正态分布的计算【例5】已知ξ服从标准正态分布N（0，1），求P（ξ

≤1.3)=?解：因为ξ服从标准正态分布N（0，1），可直接查附表4，根据z=1.3，有P（ξ≤1.3)=1.3=0.9032Xi:大写Ξ，小写ξ读作：克西

正态分布社会统计学原理共47页，您现在浏览的是第18页!19【例7】已知ξ服从标准正态分布N（0，1），求P（ξ≤－1.3)=?解：附表四中没有给出Z≤0的Z值。根据标准正态分布图形是以Z＝0为对称的原理，P（ξ≤－1.3)=1－1.3＝0.0968正态分布社会统计学原理共47页，您现在浏览的是第19页!20【例9】根据统计，北京市初婚年龄服从正态分布。其均值为25岁，标准差为5岁，问25岁到30岁之间结婚的人，其百分比为多少？解：1.年龄换为标准分：Z1＝，Z2＝2.查表得Z1＝0.50,Z2＝0.8413Z2-Z1=0.3413,所以25岁到30岁之间结婚的人，百分数为34.13%.正态分布社会统计学原理共47页，您现在浏览的是第20页!21常用的标准值Z≥1.65,概率P为0.05;Z≥1.96,概率P为0.025;Z≥2.58,概率P为0.005;正态分布社会统计学原理共47页，您现在浏览的是第21页!225.1极限定理

简单讲，凡是采用极限的方法（例如，观察次数n趋于无限）所得出的一系列定理统称极限定理。极限定理分为两类：大数定理（Lawoflargenumbers）中心极限定理(Centrallimittheorem)

正态分布社会统计学原理共47页，您现在浏览的是第22页!235.2大数定理

这些例子说明，在大量随机现象中，不仅看到了随机事件频率的稳定性，而且还看到平均结果的稳定性。这就是概率论中大数定理的概念。阐明大量随机现象平均结果的稳定性的一系列定理。著名的大数定理：贝努里大数定理和切贝谢夫大数定理

正态分布社会统计学原理共47页，您现在浏览的是第23页!245.2.2切贝谢夫大数定理

多次重复试验，随机变量的平均值接近数学期望（即总体均值）。

正态分布社会统计学原理共47页，您现在浏览的是第24页!25

为什么社会经济生活、自然界存在许多随机变量的分布都服从正态分布？请结合中心极限定理来解释。正态分布社会统计学原理共47页，您现在浏览的是第25页!26☆直方图——用长条的面积来表示频次或相对频次；☆折线图——用直线连接直方图中条形顶端的中点；当组距逐渐减小时，折线将逐渐平滑为曲线。正态分布社会统计学原理共47页，您现在浏览的是第26页!27几种常见的频数分布曲线对称分布右偏分布左偏分布正J型分布反J型分布U型分布正态分布社会统计学原理共47页，您现在浏览的是第27页!281.1什么是正态分布？1、由德国数学家高斯提出，也叫高斯分布；2、自然界、社会经济生活中大量存在的分布规律；3、经典统计推断的基础；4、在所有的分布中，正态分布居于首要位置；xf(x)正态分布社会统计学原理共47页，您现在浏览的是第28页!291.3正态分布的数学表达式φ(x)=随机变量X的频次（概率密度）＝总体标准差；=总体方差=总体均值=3.14159;e=2.71828x=随机变量的取值(-<x<)正态分布社会统计学原理共47页，您现在浏览的是第29页!301.4.1μ对正态曲线的影响μ1

μ2

μ3μ1

＜μ2＜

μ3正态分布社会统计学原理共47页，您现在浏览的是第30页!正态分布社会统计学原理共47页，您现在浏览的是第31页!32二、正态曲线下的面积正态分布社会统计学原理共47页，您现在浏览的是第32页!332.2正态曲线的一个重要性质

无论正态曲线具有哪种均值和标准差，在均值和横坐标某一点的距离内（用标准差来表示）曲线下的面积是常数。

下图说明此意。正态分布社会统计学原理共47页，您现在浏览的是第33页!342.3几个典型取值区间的概率值P(-≤ξ≤

+)=0.6827;P(-2≤ξ≤

+2)=0.9545;P(-3≤ξ≤

+3)=0.9973;正态分布社会统计学原理共47页，您现在浏览的是第34页!353.1什么是标准正态分布——以标准差为单位的正态分布一般称为标准正态分布（standardizednormaldistribution)正态分布社会统计学原理共47页，您现在浏览的是第35页!363.3标准分（Standardscores)公式:Z值代表每个X值在标准正态分布上的数值。正态分布社会统计学原理共47页，您现在浏览的是第36页!373.5标准分的实际意义各总体之间可以通过标准分进行合理的比较不同总体间综合指标的比较如:甲城市居民月收入的均值为3000元，标准差为500元；乙城市居民月收入的均值为4500元，标准差为1000元。若甲城市的居民A的月收入为4000元，乙城市居民B的月收入为5500元。看起来B的收入比A的高，但与本地其他居民相比较，结果可能有所不同。这时候就需要把A与B的收入都转换成标准值，进行更加直观的比较。结果是？正态分布社会统计学原理共47页，您现在浏览的是第37页!383.7标准正态分布的面积P(-1≤Z≤

1)=0.6827;P(-2≤Z≤

2)=0.9545;P(-3≤Z≤

3)=0.9973;由于标准正态分布N（0，1）的图形是唯一的，因此使用标准正态分布无须自己计算，只需要学会查表就行了。正态分布社会统计学原理共47页，您现在浏览的是第38页!394.1标准正态分布表的介绍见教材P385——附录二有问题正态分布社会统计学原理共47页，您现在浏览的是第39页!40【例6】:已知ξ服从标准正态分布N（0，1），求P（ξ≥1.3)=?解：因为∞＝1，而∞＝P（ξ＜1.3)＋P（ξ≥1.3)＝1因此有P（ξ≥1.3)＝1－P（ξ＜1.3)＝1－1.3＝0.0968正态分布社会统计学原理共47页，您现在浏览的是第40页!41【例8】已知ξ服从标准正态分布N（0，1），求P（1.3≤ξ≤2.3）＝？解：P（1.3≤ξ≤2.3）＝2.3－1.3=0.9893－0.9032=0.0861正态分布社会统计学原理共47页，您现在浏览的是第41页!424.3标准正态分布表的使用1.通过标准分公式，将一般为正态分布转换为标准正态分布；2.计算概率时，查标准正态分布表；3.对于负的x，可由(-x)x得到；4.对于标准正态分布，即X~N(0,1)，有P(aXb)baP(|X|a)2a1正态分布社会统计学原理共47页，您现在浏览的是第42页!43五、大数定理和中心极限定理正态分布社会统计学原理共47页，您现在浏览的是第43页!445.2大数定理【例子】从扑克牌盒中取出一张牌，出现牌“K”的概率是1/13，在取的次数比较少时，出现“K”的频率可能与1/13相差得很大，但是在取的次数很多时，出现“K”的频率接近1/13几乎是必然的。正态分布社会统计学原理共47页，您现在浏览的是第44页!455.2.1贝努里大数定理

多次重复试验，随机事件的频率日趋稳定，具有接近概率的趋势。

正态分布社会统计学原理共47页，您现在浏览的是第45页!465.3中心极限定理