z108高等代数模拟试卷

23=6分

《高等代数》试题1A，B，C是同阶方阵，且ABC=I，则必有（ ）（A）ACB=I （B）BAC=I（C）CAB=I （D）CBA=I2、设

为任意非零向量，则（ 。(A)线性相关 (B)线性无关 (C)线性相关或线性无关 3设向量组（,, I（,, , , ,则必须 1 2 r 1 2 r rs(A)I无关II无关 (B)II无关I无关(C)I无关II相关 (D)II相关I相二、填空：1、单个向量线性无关的充要条件。、A 是nn矩阵，对任何b 矩阵，方程AX=b 都有解的充要条件是n1 。3、叙述替换定 。三、计算题： 2x2x xx 0x 1 2x 2x

3

5x 04、

1 2 3 4 5xx 2xx 01 2 3 5 xx x 03 4 5四、证明题：11,2,r（r2）量的线性组合。21,2,r10并且每一i都不能表成它的前i1个向量1,2,i1的线性组合，证明1,2,r线性无关。3、设向量1,2,s线性表示，证明表法唯一的充要条件是,, 线性无关。1 2 s《高等代数》试题2一、单选题（每小题4分，共20分）1、设A，B为数域F上的n阶方阵，下列等式成立的是（ 。Adet（A+B）=detA+detB 、det（kA）=kdetAC、det（kA）=kn-1detA D、det（AB）=detA2、如果AA-1=A-1A=I，那么矩阵A的行列应该有（ 。A、|A|=0 B、|A|≠0C、|A|=k，k＞1 D、|A|=k，k＜-13设A为数域F上的n阶方阵满足则下列矩阵哪个可（ 。A、A 、A-I CA+I DA-2I4、以下乘积中（ ）是5阶行列式D=|a中取负号的项。ijAa a a a a 、a a a a a31 45 12 24 53 45 54 42 12 33C、a a a a a D、a a a a a23 51 32 45 14 13 32 24 45 545、设为n阶方阵A的伴随矩阵，||A*|A|=（ 。A、An2 、A

、An2n D、An2n1二、填空题（每小题3分，共15分）1n级排列ii12

i的反数的反序数为kin

in1

ii。2111 1 2 、设A

，A*

A 15 31 )1。3、设f(x)Q[x]使得0(f(x))≤2，且f（1）=1，f(1)=3，f（2）=3，则f（x）= 。4设f(x)x4x2axb，g(x)

((,(

，则 。1 2 2 1 5、设A2 12 2，则R(A)= 。 114 三、计算题（共59分）1FF[x]f(x4x42x316x25x9，g(x)2x3x25x4的最大公因式f(xg(x))，并求出u(xv(x使得f(x)u(xg(x)v(x)f(xg(x（12分）2f(x)x36x215x14（7分）3、用初等对称多项式表示n元对称多项式f x3x（10分）1 2xxx 14、问当

取何值时，线性方程组x

1 2 3xx

有唯一解？无解？有无1 2 3穷多解？并在有解时写出解（10分

xx1

x3

25n

x a aaa x aa a a ax

（6分） 12 3 6、设矩阵A2 21，问矩阵A是否可逆？若可逆，求出A1（8分） 3 4 3 7问取何值时多项式f(x)x3x2，g(x)

有公根。（6分）四、证明题（共6 分）是F[x]f(x),g(xF[x]，只要p）（）g（）就有（）（）或p）g（（）不可约。（6分）《高等代数》试题3一、单选题（每小题4分，共20分）1、设A，B为数域F上的n阶方阵，下列等式成立的是（ 。Adet（A+B）=detA+detB 、det（kA）=kdetAC、det（kA）=kn-1detA D、det（AB）=detAdetB2、若矩阵A，B满足AB=0，则（ 。AA=0或B=0 B、A≠0且B≠0C、A=0且B=0D、以上结论都不正确3、如果矩阵A的秩等于r，则（。A、至多有一个r阶子式不为零B、所有r阶子式都不为零C、所有r+1阶子式全为零，而至少有一个r阶子式不为零D、所有低于r阶子式都不为零 4设n阶矩阵A可（A是矩阵A的伴随矩阵则结论正确的（ A、AC、

An1An2

A B、A D

An1AAn2A5、以下乘积中（ ）是4阶行列式D=|a中取负号的项。ija11a a a a Aa11a a a a 23 33 44 14 23 31 42C、a12a23a31a44 D、a23a41a32a11二、填空题（每小题3分，共15分）1n级排列ii12

i(in

in1

ii。211 0 02 、设

A2 2A* 3 4 5

A 的伴随矩阵，则)1。3、设f(x)Q[x]使得0(f(x))≤2，且f（1）=1，f(1)=3，f（2）=3，则f（x）= 。4、当a，b满足条时，多项式f（x）=x3+3ax+b才能有因式。 12 311 5、设A3153 2，则R（A）= 。 2122 3 三、计算题（共59分）1、设f(x)x42x3x24x2，g(x)

求出u(xv(x，使得u(x)f(xv(x)g(x)f(xg(x（12分）5 12f(x)x5x4x32x2x3（7分）2 23、用初等对称多项式表示n元对称多项式f x2x2（10分）1 2(1)xxx 0 1 2 34x

(1)x

3有唯一解？无解？1 2 3x x(1)x 1 2 3有无穷多解？并在有解时写出解（10分）1a a a a1 2 3 na 1a a a1 2 3 n5na1a1

a 1a2 3 a a2 3

an1an

（6分）111 6、设矩阵A21 0，问矩阵A是否可逆？若可逆，求出A1（8分） 110 7问取何值时多项式f(x)x3x2，g(x) 2 有公根。（6分）四、证明题（共6 分）p（x）f（x）k（k＞1）p（x）f（x）的导k-1（6分）《高等代数》试题4一、选择题。（每小题5分，共15分）211、下列集合中，是R3的子空间的为（ ，其中(x,21

3,x)'333

0

2x

0

x ）

1 x2x

33x

13 1 2 32、设,是相互正交的n维实向量，则下列各式中错误的是（ 。

2

22

（B）（D）3、设A是mn矩阵，若（ 。则AX=0有非零解。积A=n （D）积A=m4、对于n阶实对称矩阵A，以下结论正确的是（ 。（A）一定有n个不同的特征根。 （B）正交矩阵P，使P成对角形。（C）它的特征根一定是整数。 （D）属于不同特征根的特征向量必性无关，但不一定正交5、设向量组,,线性无关。,,线性相关，则（ 。1 2 3 1 2 4（A）

1

,,3

线性表示。

,4 1

,线性表示3（C）4必可1,2,3线性表示。 （D）4必不可1,2,3线性示。二、填空题（每小题3分共15分）1 、设L(V) 是欧氏空间，则 是正交变换 。2 、 设 ,

,,

,,b

， 则 在1 2 n 12 n,,。3数域F上任一n维向量空间都却与Fn 。（不同构，同构）4 、n+1 个n 维向量构成的向量组一定是线性（无关，相关）5SF则dimS=

A的n阶矩阵A所成的向量空间， 。三、计算题（共55分）1、（15分）设非齐次线性方程组为x3x x 01 2 3x4x ax b1 2 13 12xx 3x 51 2 3试问a1……题…………答……1a班 1

,b取何值时，方程组有唯一解？并求出唯一解。1,b取何值时，方程组有无穷多解？并用基础解系表示出来。1,b取何值时，方程组无解？1教学 2、（5分）问t取何值时，二次型教课选 f(x,x,x)x2x25x2x

2xx

4x

x正定？1 2 3 1 2 3 1 2 13 2 3第名4 23（10分设A2 42 221 4（10分）设A2 11 11对角形式。

22，求一个正交矩阵u,使u/Au为对角形矩阵。4411，用初等变换求一可逆矩阵P,使P/AP是331 0 1 5（15分）R3中的两个基分别为1

0,1

1,0

22 1 1 1 0,1 0

1,0

11 （1）求由基,,的过渡矩阵。1 2 3 1 2 31已知向量在基,,下的坐标为3，求在基

下的坐标。 01 2 3 0

1 2 3四、证明题（共15分）1、设u(1)u的行列等于1或-（u于13u的伴随矩阵U*（8分）2、全t是数域F上向量空间V,1 2

,n

分别是t的属于互不相同的特征值1 2

, ,n

,1 2

, n

线性无关。（7分）《高等代数》试题5一、选择题。（每小题5分，共15分）1、设,,与都是三维向量空间v的的基，且1 2 3 1 2 31 1 1a,

,

P

0 1是由基1 1

1 2

1 2 3 010 010,,到（ ）的过渡矩阵。1 2 3,, , ,, ,,2 1 3 1 2, 3 2 3 1 3 2 12、n阶方阵A具有n个不同的特征值是A与对角阵相似的（ 。（A）充分必要条件 （B）充分而非必要条件（C）必要而非充分条件 （D）既非充分也非必要条件3、设，是相互正交的n维实向量，则下列各式中错误的是（ 。

22

2

（B）（C）

2

2

（D）4、对于n阶实对称矩阵A，以下结论正确的是（ 。（A）一定有n个不同的特征根。 （B）正交矩阵P，使P成对角形。（C）它的特征根一定是整数。 （D）属于不同特征根的特征向量必性无关，但不一定正交5、设向量组,,线性无关。,,线性相关，则（ 。1 2 3 1 2 4（A）表示。

1

,,3

线性表示。

,4 1

,线性3（C）4必可1,2,3线性表示。 （D）4必不可1,2,3线性示。二、填空题（每小题3分共15分）1、设为变换，V为欧氏空间，若,V则为 变换。2 、R3,则, 1 2 1 3。

(),,，在3、令S是数域FA1An阶矩阵A则dimS= 。、n+1 个

维向量构成的向量的一定线性的。、设V 与W 都是F 上的两个有限维向量空间，则VW 。三、计算题（共55分）1（15）设非齐次线性方程组为x3x x 01 2 3x4x ax b1 2 13 12x x 3x 51 2 3试问a1a1a1

,b取价值时，方程组有唯一解？并求出唯一解。1,b取价值时，方程组有无穷多解？并用基础解系表示出来。1,b取价值时，方程组无解？12、（5分）取何值时，实二次型f(x2

x2

x2)2xx

2x

2x

x2是正定的？1 2 3

13 2

31 413（10分）A22形矩阵。

2 2 2 4 ，求一个正交矩阵u,u/Au为对角4 20 14（10分设A1 0

1 3P,P/AP1 31

10 是对角形式。

1 0 1 5（15分）R3中的两个基分别为1

0，1

1,0

22 1 1 1 0,1 0

1,0

11 （1）求由基,,的过渡矩阵。1 2 3 1 2 31（2）已知向量在基,,x=3，求在基 1 2 3

1 2 30 0下的坐标。（共15分）1（8分）uu1，证明①u有一个特征根等于1。②u的特征多项式有形状fxx3

tx

tx1,这里-1≤t≤32（7分）全是数域F上向量空间V的一个线性变换，如1,2, ,n分 别是的属于互不相同的特征值,, ,的特征向量，那么,, 1 2 n 1 2 n线性无关。一、选择题3=6分

《高等代数》试题61A是n阶矩阵是非零常数，|KA|=( )K|A| (B) |K||A| (C) Kn(D) |K|nA2A，B，C是同阶方阵，且ABC=I，则必有（ ）（A）ACB=I （B）BAC=I（C）CAB=I （D）CBA=I3A，B是n阶方阵，则下列结论成立得是（）（A）AB0A且B0 （B）|A|=0A0(C) |AB|=0|A或|B0 (D) AI|A|1二、填空（3412分）001Dn

0 0 10 2 0 = 0 n1 0 0n 0 0 0x1233x122x1233x1223x1123x

, 则f(4)= 3、A,B,C是同阶矩阵，A若AB=AC,必有B=C，则A应 k4、已知A

0 11 1,其中k0，则A1 0 0 1bc

c

ab a b c三、证,行列式 bc1 1b c2

ca1 1c a2

a b1 1a b2 2

2a b c1 1 1a b c2 2 2

（10分）1xaaaxaaaax1xaaaxaaaaxaaaaaaaxa1a000011a1a00010 12

223002300001an1an000011a10110110111abcd11103把行列式 依第三行展开然后加以计算3 1 3014 1 2 102.2 4 1990y0x0y0xx0y00x0yy0x01a1

1 1 16、D 1n

1a 1 12

(aaa1 2 a

0)1 1 1 1an2 1x x 12 1五、

取怎样的数值时,线性方程组x

x

有唯一解，没有解， 1 2 3x x 2有无穷多解?（10分）1 2

1 2 3A

3 1

的逆矩阵.（8分） 1 0 2《高等代数》试题7一、问下列向量组是否线性相关？（13，，4，-（4，-，7）（22，，1，-（1，-，1）二、设,线性无关，证明,也线性无关。三、考虑R3中以下两组向量(2,3,1)};1 2 3{ 容易证明,,,和{都1 2 3 1 2 3 1 2 3R3.求出由基,,}到{.1 2 3 1 2 3xx 5x x 0x1x22x334 0x四求齐次线性方程组

1 2 3

的一个基础解系.3xx1 2

8x x 03 4x3x1 2

9x3

7x 04五.设F 上三维向量空间的相性变换 关于基,2,3}的矩阵是11 5 20 15 8 8 7 6求关于基, , 的矩阵.矩阵.3A232262,求矩阵T,使T1AT.七判断实二次形10x1

2x2

3x3

4xx1

4xx1

是不是正定的.八取什么值时,

(x2x2x2)2x

2x

2xx x2 是正定的.

1 2

1 2 1

2 3 4九证明:两个对称变换的和还是一个对称变换,两个对称变换的乘积是不是对称变换?找出两个对称变换的乘积是对称变换的一个充要条件. 十证明题:设向量组,, }线性无关,而,, ,}线性相关 1 2 r 1 2 r一定可以由,, 相性表.1 2 r《高等代数》试题8一、10分）设（）=，试证（1（（x，（+g）=1（2（（）gx，（）+）=1（10分）求f（x）=x3

6x

15x14的有理根。123411112123411112341，（2）D12343 412136104 123141020（1）D ，xa aa x

a a（3）D（3）Dnaaxaaaaaxa（10分）bc

c

ab a b cbc1 1b c2

ca1 1c a2

a b1 1a b2 2

2a b c1 1 1a b c2 2 21 2 1（15分）A

3 1 0

，请用两种方法（行初等变换，伴随矩阵）求A1

1 0 2

x1

x 43（10分）用克莱姆规则解方程组

xx x 42x1x2x33 1 2 3（15分）P

A C0 是一个n阶方阵，其中A，B0 是r阶，s阶可逆阵+s=n ，P1

A1CB1 ，0 B1 21P0

1 1 21 1 1，求P1 。0 2 50 0 1 30八、计算（10分）ab ab 0 0 0D n01aD n01ab00，(其中ab)0001ab九、计算（10分）xzzyxxzzyxzyyxyyyyyyzzzxyzzzzxn24=8分

《高等代数》试题91A，B，C是同阶方阵，且ABC=I，则必有（ ）（A）ACB=I （B）BAC=I（C）CAB=I （D）CBA=I2A，B都是n阶方阵，且A与B有相同的特征值，则（ ）（A）A相似于B （B）A=B（C）A合同于B （D）|A|=|B|3A是n阶实方阵，则A是正交矩阵的充要条件是（ ）（A）AA1I （B）AA/（C）A1

A/ （D）A2I4、设A是n阶方阵，那么AA是（）（A）对称矩阵（B）反对称矩阵（C）可逆矩阵（D）对角矩阵35=15分）1、A相似于单位矩阵，则A= .2、A满足A22AI0，则A有特征.1 1 0 3、A

1

0 是正定阵，则k满足条. 0 0 k24、任一个有限维的向量空间的基是 的，但任两个基所含量个数.三、计算题：1、判断实二次型10x21

2x2

3x3

4xx1

4xx1

是不是正定的。（8分）2A

5 0 0 0 3 2的特征根和相应的特征向量（ 0 2 33、设A为n阶方阵，A2

5A6E0，判断A+3E与A3E是否一定可逆，如果可逆，求出其逆（9分）3 2 4A

2 2

求一个可逆矩阵T，使T1AT是对角形矩（12分

6 5f(x)x

4x3

1,g(x)x

3x1,f(x)g(x)除所得的商式和余式。（8分）6 、令 F 是有理数域，求 F[x] 的多项式f(x)x42x34x24xg(x)2x35x24x3（12分）7、在有理数域上分解多项式x3

2x

2x1为不可约因式的乘积（8分）8x3

6x

15x14（10分）《高等代数》试题10一、选择题（每题3分，共12分）1、下列集合有（ ）个是Rn的子空间；w (x,x1 1

, xn

)|xi

R,xx1

xn

0}；w (x,x2 1

, xn

)|xi

R,x x1

x}；nw (a,b,a,b, ,a,b)|a,bR}；3w (x,x4 1

, xn

)|x为整数}；i（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个2（1）若两个向量组等价，则他们所含向量的个数相同；（2）若向量组1

，，2

线性无关，

r

可由,1

r

线性表出，则向量组1

，2

r

}也线性无关；（3）设1

，，2

线性无关，则1

，2

r

}也线性无关；1

，，2

}线性相关，则r

一定可由1

,，2

r

线性表出；以上说法正确的有（ ）个。（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个3（1）n维向量空间V的任意n个线性无关的向量都可构成V的一个基；（2）设1

,，2

是向量空间Vn个向量，且V中的每个向量都可由之线性表示，则1

,，2

是V的一个基；（3）1

,，2

}是向量空间V的一个基，如果{，与1 2 n,，1 2 n

等价，则{，1 2

}也是V的一个基；（4）n维向量空间V的任意n1个向量线性相关以上说法中正确的有（ ）个。（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个4（1）线性变换的本征向量之和仍为的本征向量；属于线性变换的同一本征值0的本征向量的任一线性组合仍是的本相似矩阵有相同的特征多项式；(IX0的非零解向量都是A的属于 的特征向量；0 0以上说法正确的有（ ）个。（A）1个 （B）2个（C）3个（D）4二、填空题（每空3分，共18分）1、复数域C作为实数域R上的向量空间，则dimC 它的一个基。2、设,1 2

, n

是向量空间V的一个基，由该基到

，2

，}的过n 1渡矩阵。3V是数域C3是V1

，}是2 31 1 1V的一个基，关于该基的矩阵是1 2 3， 1 2 1 2

，则(关于3 1

，}的坐标。2 32 0 0 3 4、矩阵A0 0 0 0 0

006的特征值。335、在欧氏空间C[2,2]里x2的长度。6f(xyzx

y

z

xyxzyz的矩阵.三、计算题（3小题14分，其余每小题12分，共50分）1、已知{x3,x3坐标。

x,x

xx是C[xx2x1在该基下的31 2 4 5 2A

x 2B

y xy。 4 2 1 3XPY把二次型

4f(x,x1 2

,x)4x3 1

3x22

2xx2

3x3

2化为只含有平方项的标准形。4、tf(xx1 2

,x)x3 1

x2

5x23x1

2xx1

4xx2 3正定。四、证明题（每小题10，共20分）1、令是数域C上向量空间V的一个线性变换，如果，1

，，2

分别是的属于互不相同的本征值

的本征向量，证明，

，线性无关。

1 2 n

1 2 n2、设是n维欧氏空间V是正交变换又是对称变换，证明2是单位变换。《高等代数》试题11一、选择题（每题3分，共12分）1、下列集合有（ ）个不是Rn的子空间；w (x,x1 1

, xn

)|xi

R,xx1

xn

0}；w (x,x2 1

, xn

)|xi

R,x x1

x}；nw (a,b,a,b, ,a,b)|a,bR}；3w (x,x4 1

, xn

)|x为整数}；i（A）1个 （B）2个 （C）3个（D）4个2（1）若两个向量组等价，则他们所含向量的个数相同；（2）若向量组1

，，2

线性无关，

r

可由, 1 2,

线性表出，则向量组1

，2

r

}也线性无关；（3）设1

，，2

线性无关，则1

，2

r

}也线性无关；1

，，2

}线性相关，则r

一定可由1

,，2

r

线性表出；以上说法中不正确的有（ ）个。（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个3（1）n维向量空间V的任意n个线性无关的向量都可构成V的一个基；（2）设1

,，2

是向量空间Vn个向量，且V中的每个向量都可由之线性表示，则1

,，2

是V的一个基；（3）1

,，2

}是向量空间V的一个基，如果{，与1 2 n,，1 2 n

等价，则{，1 2

}也是V的一个基；（4）n维向量空间V的任意n1个向量线性相关以上说法中不正确的有（ ）个。（A）1个 （B）2个（C）3个（D）4个4（1）线性变换的本征向量之和仍为的本征向量；属于线性变换的同一本征值0

的本征向量的任一线性组合仍是的本征向量；相似矩阵有相同的特征多项式；（4）(0

IA)X0的非零解向量都是A的属于0

的特征向量；以上说法不正确的有（ ）个。（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个二、填空题（每空3分，共18分）1、 复数域C作为复数域C上的向量空间，则dimC 它的一个基。2、设{1

,，2

是向量空间V

，n

，}的1过渡矩阵。3V是数域C3是V1

，}是2 31 1 1V的一个基，关于该基的矩阵是1 2 3， 1 2 1 2

，则(关于3 1

，}的坐标。2 304A00

0 0 08 0 00 3 4的特征值。30 1 35、在欧氏空间C[2,2]里x的长度。6、二次型f(x,y,z)x2y2z2xyxzyz的矩阵.三、计算题141250分）1{x3x3xx2xx是C[x的一个基，求x23标。

2x1在该基下的坐1 2 4 5 2A

x 2B

y xy。 4 2 1 3XPYf(xx1 2

,x)2x3 1

x2

4xx2

4xx1 2化为只含有平方项的标准形。4、tf(xx1 2

,x)t(x3 1

x2

x2)2xx3 1

2xx2

正定。四、证明题（每小题10，共20分）1、令是数域C上向量空间V的一个线性变换，如果(i)的特征多项式的根都在C内；(ii对于的特征多项式的每一根V

的维数等于的重数。证明可以对角化2、设n维欧氏空间V的一个线性变换，如果是对称变换，且换。证明是正交变换。《高等代数》试题1233=9分）1A，B，C是同阶方阵，且ABC=I，则必有（ ）（A）ACB=I （B）BAC=I

2是单位变（C）CAB=I （D）CBA=I2、设

为任意非零向量，则（ 。(A)线性相关 (B)线性无关 (C)线性相关或线性无关 3、设向量组（,, I（,, , , , 1 2 r 1 2 r rsI无关II无关 (B)II无关I无关(C)I无关II相关 (D)II相关I相二、填空3412分）1、单个向量线性无关的充要条件。2、A 是nn矩阵，对任何b 矩阵，方程AX=b 都有解的充要条件是n1 。3、叙述替换定 。x1233x1223x1233x1223x1123x

, 则f(4)= 三、计算题：1 1 1 1 1 11、解矩阵方程X0

21 1 0（9分） 1 1 0 2 1 11

12、R3中的两向量组3

(1,1,1)

2 3（i）（ii）（iii）

证明它们都是R3的基，并求第一个基到第二个基的过渡矩阵，如果在基{,,}下的坐标为，，1 2 3求在基,,（15分）1 2 31a1

1 1 13、计算行列式D 1n

1a 12

1 （aaa 1 2 a

0（9分）1 1 1 1an4、求线性齐次方程组的基础解系 2x2x x x 0x 1 2x 2x

3

5（10分）x （10分）1 2 3 4 5 xx 2x x 01 2 3 5 x x x 03 4 55,,,(II),,,,(III),,,.若各向量组1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 5的秩分别为r(I)=r(II)=3,r(III)=4（I,,,的1 2 3 5 4（5分四、证明题：1、证明向量,, （r2线性相关必要且只要其中某一个向量是其余向1 2 r量的线性组合。（10分）2、设W，W 是向量空间的两个子空间，那么它们的交W+W 也是V的一个1 2 1 2子空间。（7分）3设在向量组,, 中0并且每一 都不能表成它的前i1个向量1 2 r 1 i ,, 的线性组合，证明,, 线性无关（7 1 2 i1 1 2 r4、设向量可由向量组,, 线性表示，证明表法唯一的充要条件是1 2 s,, （7分）1 2 s33=9分

《高等代数》试题131A，B是n阶方阵，则下列结论成立得是（ ）（B）AB0A且B0 （B）|A|=0A0(C) |AB|=0|A或|B0 (D) AI|A|12、若向量组中含有零向量，则此向量组（ ）线性相关 (B)线性无关 (C)线性相关或线性无关3、n维向量组,, , (3sn)线性无关的充分必要条件是（ ）1 2 s存在一组不全为零的数k

,,

k

k

k 01 2 s 1 1 2 2 s s,, ,中任意两个向量组都线性无关1 2 s,, ,中存在一个向量，它不能用其余向量线性表示1 2 s,, ,中任意一个向量都不能由其余向量线性表示1 2 s3412分）0000x0002x01、003x0015，x= 04000500002、已知向量组(2,2,3), t)线性无关，则1 2 3t= 3向量组,, ,}的极大无关组的定义 1 2 nx1233x122x1233x1223x1123x

, 则f(4)= 三、计算题1 1 1 1 16、解矩阵方程0

2X1 1 0（9分） 1 1 0 2 1 11a100001a1000011a1a2000011a2a30000001an1an000011a1

n 13R3中的两向量组3

(1,1,1)

2 3（i）证明它们都是R3的基， (ii)求第一个基到第二个基的过渡矩阵，(iii)如果在基{,,}下的坐标为，，，1 2 3求在基,,（14分）1 2 3xx x 4x 3x 021 2 3 4 5xx 3x 5x 5x 04、线性齐次方程组的基础解系

1 xx

3 4 53x 2x x

（10分）1 2 3 4 5四、证明题

3xx1 2

5x3

6x4

7x 051、设,,线性无关，证明,,也线性无关。（8分）2、设W1，W2是向量空间的两个子空间，那么它们的交W1 W2也是V的个子空间（7分）3（维数定理）设W和W 都是数域F上的向量空间V的有限维子空间，那么1 2W+W 也是有限维的，并且1 2dim(W1+W2)=dimW1+dimW2--dim(W1W2)（12分）4、设向量组,, ,}线性无关，且 1 2 n ki1

b (k,n)ki ib b b11 12 1n证明，1

，，2

b线性无关的一个充要条件是bn1

b22 b2n0（9分） b bn2 nn《高等代数》试题14一、填空题（每小题3分，共15分）设A为5阶方阵，且detA3，则detA1

，det(AA) ，A的伴随矩阵A的行列式det(A) 。多项式f(x)x

x3

3x

4x1与g(x)x3

x

x1的最大公因式(f(xg(x)) 。10131013111211102214

A14

A A A24 34

。把f(x)x

5表成x1的多项式。xx a1 2方程组x x2 3

1a 有解的充要条件。2x x a3 1 3二、单项选择题（每小题3分，共15分）设A为四阶行列式，且，则A（ ）（A）4 25（C）25

（D）8A为任意阶(n为任意常数，且k0，则必有(kA)1（）knA1

kn1A11kA1

k

A1下列对于多项式的结不正确的是（ ）如果f(x)g(x),g(x)f(x)，那么f(x)g(x)如果f(x)g(x),f(x)h(x)，那么f(x)(g(x)h(x))如果f(x)g(x)，那么h(x)F[x]，有f(x)g(x)h(x)f(xg(xg(xh(xf(xh(x)对于非齐次线性方程组AX=BA(aij

) ,B(bnn

) ,X(x

) ，则以下n1结不正确的是（ ）若方程组无解，则系数行列式0。若方程组有解，则系数行列式0。若方程组有解，则有惟一解，或者有无穷多解。系数行列式0是方程组有惟一解的充分必要条件。1设A(BI)，则A2A的充要条件是（ ）12（A）B=I （B）BI（C）B

I B

I三、解下列各题（40分）1．计算下列行列式a 1 1 1 101 a 0 0 01D

1 0 a2 0 0n 1 0 0 a 0n11 0 0 0 anxaaxxaaxaaaaxn2f(x)3x

8x3

6x

3x2的有理根。a取何值时，方程组有解，并求解。axx x a3 1 2 3xax x 1 2

2xx ax 21 2 31 0 1 2 3 1 求解矩阵方程0

2X1 1 0 1 1 0 四、证明下列各题（30分）设abcdF，且adbc0f(xg(xF[x]，则有f(xg(x))af(xbg(xcf(xdg(x))An（n≥2）Adet

(detA)n1设A，B，C，D都是n阶矩阵，其中0并且AC=CA，证明：A BADC D已知方阵AA2

2AI0A1。《高等代数》试题15一、填空题（每小题3分，共15分）1．把f(x)2x3x23x5表成x1的多项式。12A111

0 1 31 1 21 1 02 1 4

，则A A41

A A43

。3．设A(BI)，则A2A的充要条件。24．a,b满条件时，实系数多项式f(x)x3

axb有重因式。 x x x a15．方程组x x1 2

2 3x x3

1a 有解的充要条件是 。22x 2x x a2 3 4 3二、单项选择题（每小题3分，共15分）设A为n阶方阵，k为非零常数，则det(kA)（ ）（A）k(detA) （B）kdetA（C）kndetA （D）kn

detAbx

2ab设线性方程组

12cx

2

bc，则（ ） cx2ax 301 3当abc取任意实数时，方程组均有解。当a0时，方程组无解。当b0时，方程组无解。当c0时，方程组无解。A3AAA1 2 3等值的是（ ）（A）AA1 2（C）AA

A A2 AA

AA3 1A

（B）A1（D）2A

AA1 2A

AA A1 2 3AA1 2 1 2 3 3 1 1 1 3设AB为n阶方阵，则有（ ）（A）A，B可逆，则A+B可逆（B）A，B不可逆，则A+B不可逆（C）A可逆，B不可逆，则A+B不可逆（D）A可逆，B不可逆，则AB不可逆下列对于多项式的结不正确的是（ ）如果f(x)g(x),g(x)h(x)，那么f(x)h(x)如果f(x)g(x),f(x)h(x)，那么f(x)(g(x)h(x))如果f(x)g(x)，那么h(x)F[x]，有f(x)g(x)h(x)如果f(x)g(x),g(x)f(x)，那么f(x)g(x)三、解下列各题（40分）计算下列行列式xy0000xy00（1）D n000xyy000xa m a a1 2 na（2）

a m a2 n a a a m1 2 na取什么值时，方程组有解，并求解。x (a21)x 2x a 1 2 3ax ax (2a1)x 0 1 2 3x (2a1)x 2x 21 2 31 1 1 1 1 1 求解矩阵方程X0

21 1 0 1 1 0 514．求f(x)x5x4 x32x2 x3的有理根。512 2四、证明下列各题（30分）1An（n>2）A的伴随矩阵，试证：（1）detA(detA)n1（2）(A)(detA)n2A2．设f(xg(x))1，则f(xg(x)h(x))f(xh(x。3．设A，B均为n阶方阵，证明：A BABABB A《高等代数》试题一、 填空题（33=9分）1、 A相似于单位阵= 。2、 设A 为3 阶方阵，其特征值为3，—1，2，则|A|= 。3、 当t 满足条件

，使二次型fx22x

3x

2x

2x

x是正定的。1 2 3 1 2 13 2 3二、 判断题（15=5分）1、若,是方程AIX0的一个基础解系，则kk

A的属1 2 11 2 2于 的全部特征向量，其中k,k 是全不为零的常数。1 2（ ）2AB有相同的特征值，则A与B相似。 （ ）3、若f（x）无有理根，则f（x）在Q上不可约（ ）4、两个本原多项式的和仍是本原多项式。 （ ）5、对于整系数多项式x，若不存在满足艾森施坦判别法条件的素数，么f（x）不可约。 （ ）三、 证明定理2=20分）1、n个变量的二次型q(xx1 2

, ,xn

)

axxij i

的一切主子式都大于零，q(x,x1 2

, ,xn

)是正定的。

i1j12、令是数域F上向量空间V的一个线性变换，如,, ,分别是的1 2 n属于互不相同的本征值1 2

, n

的本征向量，那么,1 2

, ,n

线性无关。四、 计算题（104=40分）1、ab应该满足什么条件，有理系数多项式x33axb才能有重因式。2x5

x

6x3

14x

11x3的有理根。3A矩阵。

1 2 2 1 2 2 1

，求一个正交矩阵T，使T/AT是对角4、 将二次型 f(x,

,x)2x22xx

4x

6x

x 化为1 2 3

1 1 2 1

2 3 3规范形，并指出所用的线性变换五、 证明题（8+12=20分）1（f，g）=1，证明（fg，f+1。2n维欧氏空间V满足下列三个条件中（是正交变换i是对称变换2I是单位变换。六、证明：正定对称矩阵的主对角线上的元素都是正定的（6分）《高等代数》试题17一、选择题（每题3分，共12分）1、下列集合有（ ）个不是Rn的子空间；w (x,x1 1

, xn

)|xi

R,xx1

xn

0}；w (x,x2 1

, xn

)|xi

R,x x1

x}；nw (a,b,a,b, ,a,b)|a,bR}；3w (x,x4 1

, xn

)|x为整数}；i（A）1个 （B）2个 （C）3个（D）4个2（1）若两个向量组等价，则他们所含向量的个数相同；（2）若向量组1

，，2

线性无关，

r

可由,1

r

线性表出，则向量组1

，2

r

}也线性无关；（3）设1

，，2

线性无关，则1

，2

r

}也线性无关；1

，，2

}线性相关，则r

一定可由1

,，2

r

线性表出；以上说法中不正确的有（ ）个。（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个3（1）n维向量空间V的任意n个线性无关的向量都可构成V的一个基；（2）设1

,，2

是向量空间Vn个向量，且V中的每个向量都可由之线性表示，则1

,，2

是V的一个基；（3）1

,，2

}是向量空间V的一个基，如果{，与1 2 n,，1 2 n

等价，则{，1 2

}也是V的一个基；（4）n维向量空间V的任意n1个向量线性相关以上说法中不正确的有（ ）个。（A）1个 （B）2个（C）3个（D）4个4（1）线性变换的本征向量之和仍为的本征向量；属于线性变换的同一本征值0

的本征向量的任一线性组合仍是的本征向量；相似矩阵有相同的特征多项式；（4）(0

IA)X0的非零解向量都是A的属于0

的特征向量；以上说法不正确的有（ ）个。（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个二、填空题（每空3分，共18分）2、 复数域C作为复数域C上的向量空间，则dimC 它的一个基。2、设{1

,，2

是向量空间V

，n

，}的1过渡矩阵。3V是数域C3是V1

，}是2 31 1 1V的一个基，关于该基的矩阵是1 2 3， 1 2 1 2

，则(关于3 1

，}的坐标。2 304A00

0 0 08 0 00 3 4的特征值。30 1 35、在欧氏空间C[2,2]里x的长度。6f(xyzx

y

z

xyxzyz的矩阵.三、计算题141250分）1{x3x3xx2xx是C[x的一个基，求x23标。

2x1在该基下的坐1 2 4 5 2A

x 2B

y xy。 4 2 1 3XPYf(xx1 2

,x)2x3 1

x2

4xx2

4xx1 2化为只含有平方项的标准形。4、tf(xx1 2

,x)t(x3 1

x2

x2)2xx3 1

2xx2

正定。四、证明题（每小题10，共20分）1、令是数域C上向量空间V的一个线性变换，如果(i)的特征多项式的根都在C内；(ii)对于的特征多项式的每一根，本征子空间V

的维数等于的重数。证明可以对角化2、设n维欧氏空间V的一个线性变换，如果是对称变换，且换。证明是正交变换。《高等代数》试题18一、选择题（每题3分，共12分）1、下列集合有（ ）个是Rn的子空间；

2是单位变w (x,x1 1

, xn

)|xi

R,xx1

xn

0}；w (x,x2 1

, xn

)|xi

R,x x1

x}；nw (a,b,a,b, ,a,b)|a,bR}；3w (x,x4 1

, xn

)|x为整数}；i（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个2（1）若两个向量组等价，则他们所含向量的个数相同；（2）若向量组1

，，2

线性无关，

r1

可由,1

线性表出，则向量组1

，2

r

}也线性无关；（3）设1

，，2

线性无关，则1

，2

r

}也线性无关；1

，，2

}线性相关，则r

一定可由1

,，2

r

线性表出；以上说法正确的有（ ）个。（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个3（1）n维向量空间V的任意n个线性无关的向量都可构成V的一个基；（2）设1

,，2

是向量空间Vn个向量，且V中的每个向量都可由之线性表示，则1

,，2

是V的一个基；（3）1

,，2

}是向量空间V的一个基，如果{，与1 2 n,，1 2 n

等价，则{，1 2

}也是V的一个基；（4）n维向量空间V的任意n1个向量线性相关以上说法中正确的有（ ）个。（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个4（1）线性变换的本征向量之和仍为的本征向量；属于线性变换的同一本征值0

的本征向量的任一线性组合仍是的本征向量；相似矩阵有相同的特征多项式；（4）(0

IX0A的属于0

的特征向量；以上说法正确的有（ ）个。（A）1个 （B）2个（C）3个（D）4二、填空题（每空3分，共18分）1、复数域C作为实数域R上的向量空间，则dimC 它的一个基。2、设,1 2

, n

是向量空间V的一个基，由该基到

，2

，}的过n 1渡矩阵。3V是数域C3是V1

，}是2 31 1 1V的一个基，关于该基的矩阵是1 2 3， 1 2 1 2

，则(关于3 1

，}的坐标。2 32 0 0 3 4、矩阵A0 0 0 0 0

006的特征值。335、在欧氏空间C[2,2]里x2的长度。6f(x,yz)x

y

z

xyxzyz的矩阵.三、计算题（3小题14分，其余每小题12分，共50分）1、已知{x3x3xx2xx是C[xx2x1在该基下的3坐标。1 2 4 5 2A

x 2B

y xy。 4 2 1 3XPYf(xx1 2

,x)4x3 1

3x22

2xx2

3x23化为只含有平方项的标准形。4、t取何值时，二次型f(x,x1 2

,x)x3 1

x2

5x23x1

2xx1

4xx2 3正定。四、证明题（每小题10，共20分）1、令是数域C上向量空间V的一个线性变换，如果1

，，2

分别是的属于互不相同的本征值

的本征向量，证明，

，1 2 n 1 2 n线性无关。2、设是n维欧氏空间V是正交变换又是对称变换，证明2是单位变换。《高等代数》试题19一、选择题（每小题3分，共15分）1、设均为n阶矩阵，则正确的为 （ ）A det(AB)